线性变换 (Linear Transformations).
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
空间几何的线性变换
空间几何的线性变换在空间几何学中，线性变换是一项重要的概念。
它被广泛应用于各个领域，如计算机图像处理、物理学、统计学等。
本文将从空间几何的角度出发，详细讨论线性变换的概念、性质、以及在实际应用中的一些例子。
1. 线性变换的概念线性变换是指一个向量空间中的一个函数，将空间中的任意一个向量映射到另外一个向量。
对于一个线性变换T，它的定义可以表示为：T(x + y) = T(x) + T(y)T(kx) = kT(x)其中，x和y是空间中的向量，k是一个标量。
在空间几何学中，线性变换可以改变向量的大小、旋转角度和位置。
这类变换通常用一个矩阵来表示，矩阵的每一行代表一个向量在变换后的位置。
2. 线性变换的性质线性变换有许多重要的性质，其中最重要的是保持向量的线性组合。
具体来说，如果T是一个线性变换，x和y是向量，k和l 是标量，则有：T(kx + ly) = kT(x) + lT(y)这个性质可以被证明是线性变换的基本性质，因为它说明了线性变换是一个在向量空间中保持线性性质的函数。
此外，线性变换还有一些其他的性质。
比如说，如果T是一个线性变换，那么它就是一个双射（又称为一一映射），这意味着每一个向量都有唯一的映射结果。
同时，线性变换还满足复合性质，也就是说，如果T1和T2都是线性变换，那么它们的复合T1T2也是一个线性变换。
3. 线性变换的应用线性变换在实际应用中有着广泛的用途。
其中一个重要的应用领域是计算机图像处理。
在数字图像处理中，线性变换可以用来对图像进行旋转、缩放等处理，从而提高图像的质量和效果。
另一个应用领域是物理学。
在物理学中，线性变换可以用来描述一些粒子的运动和旋转。
此外，它还可以用来解决一些比较复杂的问题，如电场和磁场之间的相互作用等。
在统计学中，线性变换也有重要的应用。
例如，在多元正态分布中，当协方差矩阵不满足对称和正定性的条件时，线性变换可以直接对协方差矩阵进行修正，从而得到更加准确和可靠的结果。
线性代数 英文讲义
Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R.§1 Definition and ExamplesNew words and phrasesMapping 映射Linear transformation 线性变换Linear operator 线性算子Dilation 扩张Contraction 收缩Projection 投影Reflection 反射Counterclockwise direction 反时针方向Clockwise direction 顺时针方向Image 像Kernel 核1.1 Definition★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set.★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if(1) 11221122(v v )(v )(v )L L L αααα+=+for all 12v ,v V ∈ and for all scalars 1α and 2α. (1) is equivalent to(2) 1212(v v )(v )(v )L L L +=+ for any 12v ,v V ∈ and(3) (v)(v)L L αα= for any v V ∈ and scalar α.Notation: A mapping L from a vector space V into a vector space W is denotedL: V →WWhen W and V are the same vector space, we will refer to a linear transformation L: V →V as a linear operator on V . Thus a linear operator is a linear transformation that maps a vector space V into itself.1.2 Linear Operators on 2R1. Dilations(扩张) and Contractions Let L be the operator defined byL(x)=k xthen this is a linear operator. If k is a positive scalar, then the linear operator can be thought of as a stretching or shrinking by a factor of k.120(x)x 0x k L A x k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2. Projection （投影）onto the coordinate axes.L(x)=11e x 1210(x)x 00x L A x ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ L(x)=22e x 1200(x)x 01x L A x ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. Reflections (反射) about an axis Let L be the operator defined byL(x)=12(,)T x x -, then it is a linear operator. The operator L has theeffect of reflecting vectors about the x-axis. 1210(x)x 01x L A x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭Reflecting about the y-axis L(x)=12(,)T x x -, 1210(x)x 01x L A x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. RotationsL(x)=21(,)T x x -, L has the effect of rotating each vector by 90 degrees in the counterclockwise direction （逆时针方向）.1201(x)x 10x L A x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.3 Linear Transformations from n R to m RIf A is an mxn matrix, then we can define a linear transformation A L from n R to m R by()A L X AX =It is easy to verify that the mapping above is linear. In the next section, we will see that any linear transformation from n R to m R must be of this form.1.4 The Image and Kernel★Definition Let L: n R →m R is a linear transformation. The kernel （核）of L denoted ker(L), is defined by ker(L)={}v |(v)0W V L ∈=★Definition Let L: n R →m R is a linear transformation and let S be a subspace of V . The image （像）of S, denoted L(S), is defined by L(S)= {}w |w (v) for some v m n R L R ∈=∈The image of the entire vector space, L(V), is called the range （值域）of L.Theorem 4.1.1 If L: n R →m R is a linear transformation and S is a subspace of n R , then (i) ker(L) is a subspace of n R . (ii) L(S) is a subspace of m R .Assignment for section 1, chapter 4Hand in: 3, 4, 17, 20,Not required : 8, 10, 11, 15, 16, 19, 25§2 Matrix Representations of Linear TransformationsNew words and phrasesMatrix representation 矩阵表示 Formal multiplication 形式乘法 Similarity 相似性2.1 Matrix Representation of Linear TransformationsIn section 1 of this chapter, the examples of linear transformations can be represented by matrices. In general, a linear transformation can be represented by a matrix.If we use the basis E=[12u ,u ,,u n ] for U and the basisF=[12v ,v ,,v m ] for V , and L: U → V .If u is a vector in U, then1122u u u u n n x x x =+++ (in U) |→ 1122L(u)v v v m m y y y =+++ (in V)The linear transformation L is determined by the change of the coordinate vectors:12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Assume that1122(u )v v v j j j mj m L a a a =+++, j=1, 2, …, nFormally,12[(u ),(u ),,(u )]n L L L =12[v ,v ,,v ]m 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭Write 12[(u ),(u ),,(u )]n L L L as linear combinations of 12[v ,v ,,v ]m , then consequently, A is obtained.Then L(u) = 1122(u u u )n n L x x x +++ =12[v ,v ,,v ]m 12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(formal multiplication)1122L(u )L(u )L(u )n n x x x =+++=nj=1(u )j j x L ∑1212[L(u ),L(u ),,L(u )]n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(formal multiplication)==11(v )n mj ij i j i x a =∑∑=i=11()v m nij j i j a x =∑∑=12[v ,v ,,v ]m 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭Hence12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111212122212n n m m mn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭Thus, y=A x is the coordinate vector of L (u) with respect toF =[12v ,v ,,v m ]. y=A x is called the matrix representation of thelinear transformation. A is called the matrix representing L relative to thebases E and F. A is determined by the following equations.12[(u ),(u ),,(u )]n L L L =12[v ,v ,,v ]m 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭We have established the following theorem. Theorem 4.2.2 If E=[12u ,u ,,u n ] is an ordered basis for U andF=[12v ,v ,,v m ] is an ordered basis for V , then corresponding to eachlinear transformation L:U →V there is an mxn matrix A such that [()][]F E L u A u = for each u in U.A is the matrix representing L relative to the ordered bases E and F. In fact, a [(u )]j j F L =.2.2 Matrix Representation of L: n R →m RIf U=n R , V=m R , then we have the following theorem.Theorem 4.2.1 If L is a linear transformation mapping n R into m R , there is an mxn matrix A such thatL (x)=A xfor each x n R ∈. In fact, the jth column vector of A is given by12((e ),(e ),,(e ))n A L L L =Proof If we choose standard basis 12[e ,e ,,e ]n for n R and thestandard basis 12[e ,e ,,e ]m for m R ,L(x)= 1122(e e e )n n L x x x +++=12(e ,e ,,e )m 12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1122L(e )L(e )L(e )n n x x x =+++=nj=1(e )j j x L ∑1212(L(e ),L(e ),,L(e ))n n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭And let A=()ij a =()12a ,a ,,a n 12(L(e ),L(e ),,L(e ))n =If 1122x e e e n n x x x =+++, then L(x)=Ax.A is referred to as the standard matrix representation (标准矩阵表示) of L.( A representation with respect to the standard basis.)Example 1 (example 1 on page 186) Determine the standard matrix representation of L.Define the linear transformation L:3R 2R by1223(x)(,)T L x x x x =++ for each 123x (,,)T x x x = in 3R , find the linear standard representation of L.Solution: Find 123L(e ),L(e ),L(e ). Then 123110(L(e ),L(e ),L(e ))011A ⎛⎫== ⎪⎝⎭Example 2 rotation by an angle θLet L be the linear transformation operator on 2R that rotates each vector by an angle θ in the counterclockwise direction. We can see that1e is mapped to (cos ,sin )T θθ, and 2e is mapped to (sin ,cos )T θθ-.1(e )(cos ,sin )T L θθ=, 2(e )(sin ,cos )T L θθ=-The matrix A representing the transformation will be12cos sin (L(e ),L(e ))sin cos A θθθθ-⎛⎫==⎪⎝⎭To find the matrix representation A for a linear transformation L n R→ m R w.r.t. the bases E=[12u ,u ,,u n ] and F=[12b ,b ,,b m ], wemust represent each vector 1122(u )b b b j j j mj m L a a a =+++. The followingtheorem shows that determining this representation is equivalent to solving the linear system Bx=(u )j L , where (u )j L is regarded as a column vector in m R .Theorem 4.2.3 Let E =[12u ,u ,,u n ] and F =[12b ,b ,,b m ] beordered bases for n R and m R , respectively. If L : n R → m R is a linear transformation and A is the matrix representing L with respect to E and F , then112((u ),(u ),,(u ))n A B L L L -=where B =(12b ,b ,,b m ).Proof L(u) = 1122(u u u )n n L x x x +++ =12(b ,b ,,b )m 12m y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1122L(u )L(u )L(u )n n x x x =+++=nj=1(u )j j x L ∑1212(L(u ),L(u ),,L(u ))n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12(b ,b ,,b )m 12m y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1212(L(u ),L(u ),,L(u ))n n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭The matrix B is nonsingular since its column vectors form a basis form R . Hence, 112((u ),(u ),,(u ))n A B L L L -=12((u ),(u ),,(u ))n L L L is the matrix representing L relative to the bases [12u ,u ,,u n ] and [12e ,e ,,e m ]. B is the transition matrixcorresponding to the change of basis from [12b ,b ,,b m ] to[12e ,e ,,e m ].Corollary 4.2.4 If A is the matrix representing the linear transformation L:n R m R with respect to the bases12m [b ,b ,,b ]1B -12m [e ,e ,,e ]12n [u ,u ,,u ] A12((),(),,())n L u L u L uBE=[12u ,u ,,u n ] and F=[12b ,b ,,b m ]then the reduced row echelon form of1212(b ,b ,,b |(u ),L(u ),,L(u ))m n Lis (I |A )Proof 1212(b ,b ,,b |(u ),L(u ),,L(u ))m n L =(B|BA), which is rowequivalent to (I|A).Examples Finding the matrix representing L Example 3 on page 188Let L be a linear transformation mapping 3R into 2R defined by 11232L(x)b ()b x x x =++. Find the matrix A representing L with respect to the ordered bases 123[e ,e ,e ] and 12[b ,b ], where 11b 1⎛⎫= ⎪⎝⎭, 21b 1-⎛⎫= ⎪⎝⎭Solution:Method 1. Represent 123[e ,e ,e ] in terms of 12[b ,b ] Method 2. 112123(b ,b )((e ),(e ),(e ))A L L L -=1111111/21/2111100111111/21/2111011A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Method 3 Applying row operations. 12123(b ,b |(e ),(e ),(e ))L L L Example 4 on page 188Let L be a linear transformation mapping 2R into itself defined by 1212L(b b )()b 2b αβαββ+=++, where 12[b ,b ] is the ordered basisdefined in example 3. Find the matrix A representing L with respect to12[b ,b ].Solution: Use three methods as in example 3. Example 6 on page 190Determine the matrix representation of L with respect to the given bases. Let L: 2R 3R be the linear transformation defined by 21212L(x)(,,)T x x x x x =+-Find the matrix representation of L with respect to the ordered bases12[u ,u ] and 123[b ,b ,b ], where12u (1,2),u (3,1)T T ==123b (1,0,0),b (1,1,0),b (1,1,1)T T T ===Assignment for section 2, chapter 4Hand in: 2, 6, 8, 16, 20 Not required: 9—15, 17, 19§3 SimilarityLet L be a linear operator on V , E=[12v ,v ,,v n ] be an orderedbasis for V , A is the matrix representing L with respect to the basis E. 1122u v v v n n x x x =+++, 1122L(u)v v v n n y y y =+++1211221212(v )v v v [v ,v ,,v ][v ,v ,,v ]a j j j j j nj n n n j nj a a L a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭y=Ax F=[12w ,w ,,w n ]1122u w w w n n c c c =+++, 1122L(u)w w w n n d d d =+++1211221212(w )w w w [w ,w ,,w ][w ,w ,,w ]b j jj j j nj n n n j nj b b L b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭d=BcLet the transition matrix corresponding the change of basis from F=[12w ,w ,,w n ] to [12v ,v ,,v n ]Then x=Sc, y=Sd, 11y x S BS --= 1y x SBS -= or 1A SBS -=Hence, we have established the following theorem.Theorem 4.3.1 Let E=[12v ,v ,,v n ] and F=[12w ,w ,,w n ] betwo ordered bases for a vector space V , and let L be a linear operator onn R . Let S be the transition matrix representing the change from F to E. IfA is the matrix representing L with respect to E, andB is the matrix representing L with respect to F, then 1B S AS -=.★Definition Let A and B be nxn matrices. B is said to be similar to A if there is a nonsingular matrix S such that 1B S AS -=.Example 2 (on page 204)Example Let L be the linear operator on 3R defined by L(x)=Ax, whereV VV VBasis E=12n [v ,v ,,v ] Su →L(u)u →L(u)Ax=yBc=dS -1Coordinate vector of L(u): dBasis FCoordinate vector of L(u) :y Basis ECoordinate vector of u: xCoordinate vector of u: c Basis E=12n [w ,w ,,w ] x=Sc y=Sd220112112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Thus the matrix A represents L with respect to the standard basis for 3R . Find the matrix representing L with respect to the basis [123y ,y ,y ], where 1y (1,1,0)T =-, 2y (2,1,1)T =-, 3y (1,1,1)T =. SolutionD=000010004⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭is the matrix representing L w.r.t the basis [123y ,y ,y ],. Or, we can find D using 1D Y AY -= 11x ()x=()x n n n A YDY YD Y --=Using this example to show that it is desirable to find as simple as a representation as possible for a linear operator. In particular, if the operator can be represented by a diagonal matrix, this is usually preferred representation. It makes the computation of Dx and x n D easier.Assignment for section 3, chapter 4Hand in: 2, 3, 4, 8, 10, 15 Not required 5, 6。
线性变换的特性与判别定理
线性变换的特性与判别定理线性变换在数学、物理、计算机科学等领域中都有着非常重要的应用。
一个线性变换可以描述一个向量从一种形式转换为另一种形式。
在这个过程中，向量的长度和夹角都可能会被改变。
在本文中，我们将探讨线性变换的特性以及如何使用判别定理来判断一个变换是否是线性变换。
一、线性变换的特性1. 线性变换是保持向量加法的。
一个线性变换必须满足以下条件：$$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$$其中$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着如果我们对两个向量进行线性变换，然后将它们的结果相加，那么这个结果将等于将这两个向量相加，然后再对它们进行线性变换得到的结果。
这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
2. 线性变换是保持向量数乘的。
一个线性变换还必须满足以下条件：$$T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})$$其中$c$是任意标量，$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着线性变换将向量的长度缩放到$c$倍。
同样，这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
3. 线性变换是保持原点不变的。
在一个向量空间中，原点是一个特殊的向量，它的坐标为$(0,0,...,0)$。
一个线性变换必须保持原点不变，也就是说$T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$。
这个特性是任何线性变换都必须满足的，因为没有这个特性的话，那么变换不再是一个向量空间到自身的映射了。
4. 线性变换可以用矩阵来表示。
上述三个特性意味着我们可以使用矩阵来描述一个线性变换。
给定一个向量$\mathbf{v}$，我们可以使用矩阵$A$来表示它的变换：$$T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$$其中$A$是一个$n\times n$的矩阵，$\mathbf{v}$是一个$n$维的向量。
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
第7章线性变换（第1讲）
第7章线性变换（第1讲）目标与要求理解线性变换的概念，了解几个特殊线性变换；掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法、逆变换、多项式的定义及其运算性质，并会计算具体问题．重点难点重点：理解线性变换的概念，掌握线性变换的运算及其运算性质，并会计算具体问题．难点：理解线性变换的概念，掌握线性变换的运算．设计安排循序渐进逐一给出线性变换的定义、线性变换的线性运算、线性变换的乘法、逆变换及线性变换的多项式的概念与运算性质，以示例的讲解加深对概念的理解．教学进程见幻灯片部分．（3学时）黑板与多媒体讲授相结合．教学内容§1 线性变换的定义一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.α,和数定义1 线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素β域P中任意数k，都有α+)=A (α)+A (β);A (βk)=A k(α). （1）A(α一般用花体拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A(α)或Aα代表元素α在变换A下的像.定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法（或保持线性运算）.例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转θ角，就是一个线性变换，用ℐθ表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是),(y x ，那么像ℐθ(α)的坐标，即α旋转θ角之后的坐标),(y x ''是按照公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x y x θθθθcos sin sin cos . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.例2 设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是αααξαξα),(),()(=∏. 这里),(),,(ααξα表示内积. 例3 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ，即ℴ)(0)(V ∈=αα 都是线性变换.例4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下：K ：V k ∈→ααα,.这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k 时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.例5 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即D （)(x f ）=)(x f '.例6 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ（)(x f ）=⎰x a dt t f )(是一线性变换.二、线性变换的简单性质1. 设A 是V 的线性变换，则A (0)=0, A (α-)=-A (α).2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是r ααα,,,21 的线性组合：r r k k k αααβ+++= 2211,那么经过线性变换A 之后，A (β)是A (1α),A (2α),…, A (r α)同样的线性组合：A (β)=1k A (1α)+2k A (2α)+…+ r k A (r α)又如果r ααα,,,21 之间有一线性关系式02211=+++r r k k k ααα那么它们的像之间也有同样的关系式1k A (1α)+2k A (2α)+…+ r k A (r α)=0.3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB)(α)= A(B (α)) (V ∈α).则线性变换的乘积也是线性变换.线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D （)(x f ）=)(x f '.ℐ（)(x f ）=⎰x a dt t f )(的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD ≠ℰ.对于任意线性变换A ，都有 A ℰ=ℰA = A.二、线性变换的加法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的和A+B 为(A+B)(α)= A (α)+B (α) (V ∈α).则线性变换的和还是线性变换.线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A ：A+ℴ=A.对于每个线性变换A ，可以定义它的负变换（-A ）：(-A)(α)=- A (α) (V ∈α).则负变换（-A ）也是线性变换，且A+（-A ）=ℴ.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC ，(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P 中的数与线性变换A 的数量乘法定义为k A =KA即k A(α)=K(A (α))=KA (α),当然A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：)(kl A=k (l A),)(l k +A=k A+l A,k (A+B)=k A+k B,1A=A.线性空间V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P 上一个线性空间.V 的变换A 称为可逆的，如果有V 的变换B 存在，使 AB=BA=E.这时，变换B 称为A 的逆变换，记为A 1-.如果线性变换A 是可逆的，那么它的逆变换A 1-也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n 个（n 是正整数）线性变换A 相乘时，就可以用个n A AA来表示，称为A 的n 次幂，简记为A n .作为定义，令 A 0= E.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：A n m +=A m A n ,(A m )n =A mn )0,(≥n m 当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为A n -=(A 1-)n (n 是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB)n ≠A n B n .设011)(a x a x a x f m m m m +++=-- 是][x P 中一多项式，A 是V 的一个线性变换，定义f (A)=m a A m +1-m a A 1-m +…+0a E显然f (A)是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式.不难验证，如果在][x P 中,)()()(,)()()(x g x f x p x g x f x h =+=那么h (A)=f ( A)+g ( A), p (A)=f ( A)g ( A).特别地， f (A)g ( A)=g ( A)f ( A).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.例1 在三维几何空间中，对于某一向量α的内射影α∏是一个线性变换. α∏可以用下面的公式来表示： αααξαξα),(),()(=∏.其中),(),,(ααξα表示向量的内积.不难看出，ζ在以α为法向量的平面x 上的内射影)(ζx ∏可以用公式)()(ζζζα∏-=∏x表示.因此 =∏x ℰ-α∏.这里ℰ是恒等变换.ζ对于平面x 的反射ℛx 也是一个线性变换，它的像由公式ℛ)(2)(ζζζα∏-=x给出.因此 ℛx =ℰ-2α∏.设βα,是空间的两个向量.显然，α与β互相垂直的充要条件为=∏⋅∏βαℴ例2 在线性空间n P ][λ中，求微商是一个线性变换，用D 表示.显然有D =n ℴ.其次，变换的平移P a a f f ∈+→)()(λλ也是一个线性变换，用ℐa 表示.根据泰勒展开式)()!1()(!2)()()()1(12λλλλλ---++''+'+=+n n f n a f a f a f a f ,因之ℐa 实质上是D 的多项式：ℐa =ℰ+a D+!22a D 2+…+)!1(1--n a n D 1-n .备注通过补充例题达到使学生吸收消化重点内容的目的．思考：线性变换满足什么条件，才能将线性无关的向量组变为线性无关的向量组？（可逆变换）作业布置课后相应习题．第7章 线性变换（第2讲）目标与要求理解线性变换的矩阵定义；熟悉线性变换的运算与矩阵运算的关系；掌握线性变换在不同基下矩阵的关系及相似矩阵的概念和性质．重点难点重点：理解线性变换的矩阵的概念，掌握线性变换的运算与矩阵运算的关系及线性变换在不同基下矩阵的关系及相似矩阵的概念和性质．难点：理解线性变换的运算与矩阵运算的关系，掌握线性变换在不同基下矩阵的关系及相似矩阵的性质．设计安排首先给出线性空间中线性线性变换的矩阵的定义，其次讨论线性变换的运算与矩阵运算的关系最后指明线性变换在不同基下矩阵的关系及相似矩阵的概念和性质：若A ~B ，则(i) |A |= |B |；(ii) A m ~B m ；(iii) kA ~kB ；(iv) 对 f (x )ÎP[x],有f (A )~f ( B )；(v) 若A 可逆，则A –1~ B –1；(vi) r (A )=r (B )；(vii) B 1= X -1A 1X , B 2= X -1A 2X , 则B 1 +B 2 = X -1(A 1+ A 2)X , B 1B 2 = X -1A 1A 2X .教学进程见幻灯片部分．（3课时） 黑板与多媒体讲授相结合．教学内容§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）=1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换Å与ℬ在这组基上的作用相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i =那么A= B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换Å使 A i ε=i α .,,2,1n i =定理 1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换Å使 A i ε=i α .,,2,1n i =定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21 ）=（A(1ε)，A Å(2ε)，…， A(n ε)）=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.例1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理 2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4 设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21 , (6) n ηηη,,,21 (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系.定义 3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-, X A A X B B )(21121-=由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη备注补充例题，加深对有关概念、结论的理解．归纳解题思路方法，给学生留出时间做练习．作业布置课后相应习题．第7章 线性变换（第3讲）目标与要求理解线性变换的特征值和特征向量的概念，熟练掌握特征值和特征向量的求法； 掌握特征值和特征向量的性质，并能利用性质进行相关计算；了解特征子空间的概念，理解哈密顿-凯莱定理，掌握其简单应用（计算A 的逆及A 的幂）．重点难点重点：理解线性变换的特征值和特征向量的概念，熟练掌握特征值和特征向量的求法；掌握特征值和特征向量的性质，并能利用性质进行相关计算；理解哈密顿-凯莱定理并掌握其简单应用．难点：理解线性变换的特征值和特征向量的概念，掌握特征值和特征向量的性质，理解哈密顿-凯莱定理．设计安排首先给出理线性变换的特征值和特征向量的概念，通过分析得到特征值和特征向量的求法；以示例（见幻灯片例1~4）加深对概念的理解和方法的掌握；其次讨论特征值和特征向量的性质；最后介绍了哈密顿-凯莱定理并举例说明其简单应用（计算A 的逆及A 的幂），教学进程见幻灯片部分．（3课时）黑板与多媒体讲授相结合．教学内容§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义4 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得A ξ=0λξ. （1）那么0λ称为A 的一个特征值,而ξ叫做A 的属于特征值0λ的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变)0(0>λ或者方向相反)0(0<λ,至于)0(0=λ时，特征向量就被线性变换变成0.如果ξ是线性变换A 的属于特征值0λ的特征向量，那么ξ的任何一个非零倍数ξk 也是A 的属于特征值0λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法设V 是数域P 上n 维线性空间，n εεε,,,21 是它的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵是A .设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在n εεε,,,21 下的坐标是n x x x 00201,,, ,则A ξ的坐标是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 00201 . ξλ0的坐标是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 002010 λ 因此（1）式相当于坐标之间的等式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 00201000201 λ (2) 或0)(002010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n x x x A E λ 这说明特征向量ξ的坐标),,,(00201n x x x 满足齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,02211202222121101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+---=---+-=----,0)(,0)(,0)(022112222012112121110n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (3) 由于0≠ξ,所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即00212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ. 定义5 设A 是数域P 上一个n 级矩阵,λ是一个数字.矩阵A E -λ的行列式.212222111211nnn n n na a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ(4) 叫做矩阵A 的特征多项式,这是数域P 上的一个n 次多项式.上面的分析说明，如果0λ是线性变换A 的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即00=-A E λ，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果),,,(00201n x x x 是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量)0202101n n x x x εεεξ+++=满足（1），即0λ是线性变换A 的一个特征值，ξ就是属于特征值0λ的一个特征向量.因此确定一个线性变换A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1.在线性空间V 中取一组基n εεε,,,21 ，写出A 在这组基下的矩阵A ；2.求出A 的特征多项式A E -0λ在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n εεε,,,21 下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.例1 在n 维线性空间中，数乘变换K 在任意一组基下的矩阵都是kE ，它的特征多项式是 n k kE E )(-=-λλ.因此，数乘变换K 的特征值只有k ，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K 的特征向量.例2 设线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A ,求A 的特征值与特征向量.例3 在空间n x P ][中，线性变换D )()(x f x f '=在基)!1(,,!2,,112--n x x x n 下的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010 D D 的特征多项式是n D E λλλλλ=---=- 0001000010001.因此，D 的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转ℱθ在直角坐标系下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 它的特征多项式为 1cos 2cos sin sin cos 2+-=---θλλθλθθθλ 当πθk ≠时，这个多项式没有实根.因之，当πθk ≠时，ℱθ没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.容易看出，对于线性变换A 的任一个特征值0λ，全部适合条件A αλα0=的向量α所成的集合，也就是A 的属于0λ的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V 的一个子空间，称为A 的一个特征子空间，记为0λV .显然，0λV 的维数就是属于0λ的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.{}V A V ∈==ααλααλ,|00在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在.212222111211nnn n n na a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积)())((2211nn a a a ---λλλ展开式中的其余项，至多包含2-n 个主对角线上的元素，它对λ的次数最多是2-n .因此特征多项式中含λ的n 次与1-n 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是12211)(-+++-n nn n a a a λλ .在特征多项式中令0=λ，即得常数项A A n)1(-=-.因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有 A a a a A E n n nn n )1()(12211-+++++-=-- λλλ. (5)由根与系数的关系可知，A 的全体特征值的和为nn a a a +++ 2211（称为A 的迹）.而的A 全体特征值的积为A .特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011,1001B A 它们的特征多项式都是)1(-λ，但A 和B 不相似，因为和A 相似的矩阵只能是A 本身.哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n推论 设A 是有限维空间V 的线性变换，)(λf 是A 的特征多项式，那么f (A)=ℴ.备注线性变换是否一定有特征值？（不一定，与数域有关）考虑作业布置课后相应习题．第7章 线性变换（第4讲）目标与要求掌握线性变换的矩阵为对角矩阵的充分必要条件；掌握线性变换的矩阵为对角矩阵的实施步骤（矩阵对角化方法）掌握可对角化矩阵的简单应用．重点难点重点：掌握线性变换的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及矩阵对角化的方法；掌握可对角化矩阵的简单应用难点：掌握矩阵相似于对角阵的条件及对角化方法．01.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设计安排首先介绍线性变换的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及推论，进而给出线性变换的矩阵为对角矩阵的实施步骤并举例，最后研究可对角化矩阵的简单应用：(i) 由特征值和特征向量反求矩阵A: A=X Λ X –1；(ii) 求方阵的幂: A k =X Λk X –1补充例题显示应用情况．教学进程见幻灯片部分．（2时）习题课梳理、总结本章内容，通过典型例题加深、巩固所学内容，讲评思考题、作业问题，处理课后疑难问题．（2课时）教学内容§5 对角矩阵定理7 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论1 如果在n 维线性空间V 中，线性变换A 的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即Å有n 个不同的特征值，那么A 在某组基下的矩阵是对角形的.推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A 的特征多项式没有重根，那么A 在某组基下的矩阵是对角形的.在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.定理9 如果k λλ,,1 是线性变换A 的不同的特征值，而i ir i αα,,1 是属于特征值i λ的线性无关的特征向量，k i ,,2,1 =那么向量组k kr k ir αααα,,,,,,1111 也线性无关.根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A 全部不同的特征值是r λλ,,1 ，于是A 在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是A 的特征子空间r V V λλ,,1 的维数之和等于空间的维数.应该看到，当线性变换A 在一组基下的矩阵A 是对角形时：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ 00000000021 A 的特征多项式就是)())((21n A E λλλλλλλ---=-因此，如果线性变换A 在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是A 的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.根据§3定理5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题.例 在§4的例2中，已经算出线性变换A 的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量是.,,3213322311εεεξεεξεεξ++=-=-= 由此可见，A 在基.,,321ξξξ下的矩阵为对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500010001B而由321,,εεε到.,,321ξξξ的过渡矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111110101X于是，B AX X=-1.习题课 备注如何判定矩阵A 与对角矩阵相似？作业布置课后相应习题．。
线性变换的应用实例
线性变换的应用实例线性变换(linear transformation)是一章从静态矩阵Ax=b转向动态变化的过程，因此我觉得把线性变换放在这里讲更加合适。
之前的内容从空间到行列式，都是静态的，而之后的内容，如特征值(eigenvalues)和特征向量(eigenvectors)、相似矩阵等，都是对向量做变换得到的。
线性变换线性变换包括两个部分：线性和变换。
首先，变换是把一个东西变成另一个东西，比如把一个向量变成另一个向量，进而也可以把一个空间变成另一个空间。
举个例子，常见的求导符号就是一种变换，d/dx把f(x)变成f′(x).而线性，就是要保加法&数乘。
所以，假设有一个对向量的线性变换叫做T,那么T(v+w)=T(v)+T(w),T(cv)=cT(v)对所有c都成立，所以有结论T(0)=0.且看以下三个线性变换的例子。
f(x,y)↦f(2x,3y)是一个R2到R2的线性变换，如果有一个长方形，变换后就被缩放&拉伸了。
f(x,y)↦f(x+y,2y)也是一个R2到R2的线性变换，它会把长方形拉成平行四边形。
f(x,y)↦f(x+y,2y,x+2y)就把R2投射到R3上。
一些二维平面上的线性变换这些平面上的特殊线性变换都有它们的几何意义。
1、伸缩A=[c00c]2、翻折A=[0110]3、投影把向量投影在θ角的直线上，我们用两个分量分别去看投影后的位置，又已知v=xi+yj，最后重新组合就行了。
我们可以发现(1,0)点投影后变成了(cos2θ,cosθsinθ),而(0,1)变成了(cosθsinθ,sin2θ).因此P[xy]=x[c2cs]+y[css2]=[c2cscss2][xy](c for cosθ,s for sinθ).P=[c2cscss2].投影矩阵有两个关键性质：首先，投影操作是不可逆的，投影矩阵也是不可逆的（detP=0）；其次，多次投影和一次投影得到的结果是完全相同的，因此Pn=P.（在投影部分已经接触）4、镜像镜像是先求一次在直线上的投影，得到e向量（垂直于投影直线）的坐标，在初始点加上2e就得到了。
第七章 线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
线性变换及其运算
线性变换及其运算概述：线性变换是数学中重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的元素映射为另一个向量空间中的元素，同时保持线性关系的变换。
线性变换可以用矩阵来表示，并且有着丰富的运算规则。
定义：在向量空间V和W之间，如果存在一个映射T，对于任意的向量u和v以及任意的标量k，满足以下两个条件：1.T(u + v) = T(u) + T(v)2.T(ku) = kT(u)这样的映射T被称为线性变换。
线性变换保持向量的线性组合关系，即映射后的向量的线性组合等于原向量线性组合的映射。
线性变换可以将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中。
属性：线性变换有许多重要的属性：1.线性变换保持零向量不变：T(0) = 02.线性变换保持向量的长度和角度：对于向量v和w，如果它们的夹角为θ，则经过线性变换后的向量T(v)和T(w)的夹角也为θ，且长度也相同。
3.线性变换保持向量的共线性：对于向量v和w，如果它们共线，则线性变换后的向量T(v)和T(w)依然共线。
4.线性变换在两个向量的和上的作用等于这个线性变换在每个向量上的作用之和：T(u + v) = T(u) + T(v)5.线性变换在一个向量上的作用乘以一个标量等于这个标量乘以这个线性变换在向量上的作用：T(ku) = kT(u)线性变换的运算：线性变换可以进行加法、数乘和复合运算，具体如下：1.加法运算：对于线性变换T1和T2，它们的加法运算是指将T1作用于一个向量v，然后将T2作用于T1作用后的向量T1(v)。
即 (T1 + T2)(v) = T2(T1(v))，其中v为向量。
2.数乘运算：对于线性变换T和标量k，它们的数乘运算是指将T作用于一个向量v，然后将k乘以T作用后的向量T(v)。
即(kT)(v) = k(T(v))，其中v为向量。
3.复合运算：对于线性变换T1和T2，它们的复合运算是指先将T2作用于向量v，然后再将T1作用于T2作用后的向量T2(v)。
线性变换的矩阵表示与坐标变换
线性变换的矩阵表示与坐标变换线性变换是线性代数中非常重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的向量按照一定的规则进行变换的操作。
线性变换可以通过矩阵进行表示，并且与坐标变换之间存在着紧密的联系。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指满足以下两个性质的向量空间之间的映射：1. 对于任意的两个向量u和v，线性变换T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，线性变换T(ku) = kT(u)。
线性变换具有一些重要的性质：1. 零向量的线性变换结果仍为零向量：T(0) = 0；2. 线性变换保持向量空间中向量间的线性组合关系；3. 线性变换将向量空间中所有向量的零向量映射到目标向量空间的零向量。
二、矩阵表示线性变换线性变换可以通过矩阵来表示。
假设V和W是两个向量空间，维数分别为n和m，线性变换T: V→W可以表示为一个m×n的矩阵A。
对于向量v∈V，其在基底B={b1,b2,...,bn}下的坐标表示为[v]B =[x1,x2,...,xn]^T，T(v)在基底B'={b1',b2',...,bm'}下的坐标表示为[T(v)]B'= [y1,y2,...,ym]^T，则矩阵A表示了从基底B到基底B'的坐标变换关系。
具体而言，矩阵A的第j列为T(bj)在基底B'下的坐标表示的列向量。
通过矩阵向量乘法，可以得到变换后向量的坐标表示。
即：[T(v)]B' = A[v]B三、从坐标变换到线性变换以上我们讨论了线性变换如何通过矩阵表示，现在我们来看看如何从给定的坐标变换得到对应的线性变换矩阵。
考虑二维向量空间的坐标变换示例。
假设向量空间V的基底为B={e1,e2}，向量空间W的基底为B'={e1',e2'}。
将V中的向量v表示为[v]B = [x1,x2]^T，W中的向量T(v)表示为[T(v)]B' = [y1,y2]^T。
向量空间中的线性变换和矩阵变换
向量空间中的线性变换和矩阵变换在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是一组元素的集合，这些元素可以相加和相乘，满足一些特定的规则。
线性变换和矩阵变换则是向量空间中的基本操作，它们有着重要的应用，例如在机器学习和物理学等领域中。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的变换。
严格地说，线性变换应该满足以下两个性质：1. 对于任意向量a和b，有T(a+b) = T(a) + T(b)；2. 对于任意向量a和标量k，有T(ka) = kT(a)。
这两个性质分别对应向量的加法和乘法。
线性变换不仅用于向量空间中，还可以应用于其他数学领域，例如微积分和拓扑学等。
线性变换有很多重要的性质，例如：1. 线性变换可以用矩阵表示；2. 线性变换保持向量空间的结构不变；3. 线性变换可以有逆变换，逆变换也是线性变换。
这些性质使得线性变换成为了一个非常常见的数学工具。
二、矩阵变换的定义和性质矩阵变换是指将一个向量空间中的向量用矩阵相乘的方式进行变换。
矩阵变换的定义可以表示为：T(x) = Ax其中T表示矩阵变换，A表示一个矩阵，x表示一个向量。
矩阵变换中的矩阵A具有很多特殊的性质，例如：1. 矩阵A可以表示线性变换；2. 矩阵A的行列式为0时，矩阵A不可逆，否则可逆；3. 矩阵A的秩表示变换后空间的维度；4. 矩阵A的特征值和特征向量可以用于描述变换的性质。
矩阵变换可以方便地进行计算，并且可以应用于很多实际问题中。
三、线性变换与矩阵变换的关系线性变换和矩阵变换有着密切的关系。
事实上，线性变换可以用矩阵表示，也可以通过矩阵变换来实现。
具体来说，任何一个线性变换T都可以表示成矩阵变换的形式：T(x) = Ax其中x表示一个向量，A表示一个矩阵。
如果我们在一个标准基下进行求解，那么矩阵A的每一列就是变换后的基向量的坐标。
同时，任何一个矩阵变换也可以表示成线性变换的形式。
对于任意矩阵A，可以定义一个线性变换T，使得：T(x) = Ax这里的x同样表示一个向量。
高等代数第7章线性变换[1]
![高等代数第7章线性变换[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/59b5182a05087632311212e3.png)
推论 设e1, e2, …, en是线性空间V的一
组基, 如果V的两个线性变换A与B在这
组基上的作用相同,即
Aei = Bei ,
则必有 A = B.
推论 设x1, x2, …, xs是n维线性空间V的一
组线性无关向量, a1,a2,…,as是V中任意取
二、线性变换在一组基下的矩阵
定义 设e1, e2, …, en是数域P上n维
线性空间V的一组基,A是V的线性变
换,则基向量的象可唯一地被基线
性表示为
Ae1 a11e1 a21e 2 an1e n
Ae 2 a12e1 a22e 2 an2e n
Ae n a1ne1 a2ne 2 anne n
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
1、设A是线性空间V的一个线性变换,则
A(0) = 0, A(-a) = - A(a)
2、线性变换保持向量的线性组合与线性 关系式不变.即若
，
定义 设V是数域P上的n维线性空间,
A :VV为V的一个变换, 若对任意a,bV
和数kP, 都有
A(a + b ) = A(a) + A(b)
A(ka) = kA(a)
则称A是线性空间V的一个线性变换. (linear transformation).
称A(a)或Aa为向量a在线性变换A下的
象(image)．
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
数学二线代范围
数学二线代范围数学二线性代数是大部分大学本科理工科专业的一门必修课程，它是数学中的一个分支，研究的是向量、向量空间以及线性变换等概念和性质。
熟练掌握线性代数的理论和方法，对于理解和应用许多高级数学学科，如微分方程、概率统计、数值计算等都具有重要的意义。
线性代数主要包括向量空间、线性变换和矩阵等内容。
1. 向量空间（Vector Space）向量空间是线性代数的核心概念之一，它研究的是向量和对向量的线性运算。
向量空间要求满足一些基本的性质，如封闭性、交换律、结合律、分配律等。
常见的向量空间有n维欧氏空间、n维复数空间等。
2. 线性变换（Linear Transformation）线性变换是指将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中，并且保持向量空间的线性结构不变。
线性变换具有很多重要的性质，如线性映射、满射和单射等。
线性变换的矩阵表示是线性代数中重要的工具之一。
3. 矩阵（Matrix）矩阵是线性代数中最常见的工具，它是一个由元素组成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性变换，并且在方程组的求解、特征值和特征向量的计算等方面具有重要的作用。
常见矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等。
4. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
矩阵的特征值是指满足线性方程组$Av=\lambda v$的标量λ，其中A是一个矩阵，v是一个非零向量。
特征向量是指满足上述方程的非零向量v。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和应用。
5. 正交性和正交变换（Orthogonality and Orthogonal Transformations）正交性是指向量空间中两个向量的内积为零，或者是指向量空间中的一组向量两两正交。
正交变换是指一个线性变换保持向量空间中向量的长度和角度不变。
正交性和正交变换在线性代数中具有重要的应用，如解析几何、波动方程、信号处理等。
linear层基础概念
linear层基础概念
线性层（Linear Layer）是深度学习中常用的一种基础层结构，也称为全连接层（Fully Connected Layer）或者仿射变换层（Affine Transformation Layer）。
在神经网络中，线性层的主要功能是将输入数据和权重进行线性变换，并输出线性变换的结果。
线性变换可以表示为：
y = Wx + b
其中，y是线性层的输出，W是权重矩阵，x是输入数据，b是偏置向量。
线性层有以下几个基本概念：
1. 权重矩阵（Weight Matrix）：权重矩阵是线性层的参数之一，用于将输入数据进行线性变换。
权重矩阵的大小决定了线性层的输出维度。
2. 偏置向量（Bias Vector）：偏置向量是线性层的参数之一，用于对输出结果进行偏移。
偏置向量的大小与线性层的输出维度相同。
3. 线性变换（Linear Transformation）：线性层的主要功能是进行线性变换，将输入数据和权重进行相乘并加上偏置向量，得到输出结果。
4. 激活函数（Activation Function）：线性层的输出结果通常还会经过一个激活函数进行非线性变换。
常用的激活函数包括ReLU、sigmoid、tanh等。
线性层在神经网络中通常用于将输入数据进行维度变换或特征提取，常与其他层结构如激活函数层、池化层、卷积层等组合使用，构建深度神经网络模型。
线性变换的秩
线性变换的秩1 线性变换的定义线性变换（Linear Transformation）又称线性映射，是指任意向量空间V对另一向量空间U的一一对应的变换。
由这一线性变换定义的空间U和V之间的映射，应满足向量空间V中的任意向量可以由一组V中的有限向量线性组合来表示，而这种映射的规定，每一个有限向量组合结果，都将其映射到与之对应的一个向量。
这里是将V中一点转换为U中一点。
简单来说，就是任何由一组基础向量直接决定的变换。
2 线性变换的秩线性变换的秩（Rank of a Linear Transformation）是指将线性变换映射的步骤，其描述的是空间V到空间U的转换的大小，即从被映射空间V到目标空间U的这一线性变换所产生的结果有多少维。
并且可以通过基向量来求解线性变换的秩，即把被映射空间V中所有基向量变换成目标空间U中所有基向量，这些基向量形成的张量（矩阵）秩。
3 线性变换的秩的求解线性变换的秩是关于某个矩阵的最大非零特征值的和，这里特征值表达的含义就是空间V转换到空间U的程度，也就是维度的大小，也就是列的组合的数量。
那么如何计算矩阵的秩呢？最简单的计算秩的方法就是高斯消元法。
4 高斯消除法求解线性变换的秩高斯消除法是根据一定的计算步骤，应用非零元把被映射空间V 中所有基向量变换成目标空间U中所有基向量的方法，并从矩阵的对角线开始，从左至右，经过一定的步骤，消除非零元素，从而得到矩阵的秩。
其具体的步骤是首先将所有非零元的索引（下标）从左至右记录下来，然后开始将非零元设为1，就是把大元变为小元，然后将其它元全部消除，最后计算出矩阵的秩，即左至右共有几个元，也就是矩阵的秩。
5 线性变换的秩的应用线性变换的秩不仅仅用在数学中，在计算机科学、计算机图形学里，也都会用到线性变换的秩，比如在计算机图形学中用它来表达一个物体在3维空间的变换；而在计算机科学里，可以用它来计算机程序中要执行的步骤或语句的数量。
线性变换定义
线性变换定义
线性变换也叫线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间v到另一个向量空间w 的映射且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性
空间v到其自身的线性映射。
关于线性变换和特征值的理解
线性变换数学定义在通常的高等代数学书中都可以找出。
a(a+b)=aa+ab,aka=kaa。
其
中a，b就是v中的线性空间。
这个定义就是说把空间中的元素（特定地想为三维空间的
向量）经过一个转换，而这种转换就是具备线性的特性的。
那么这种转换的从一个元素转
型至另外一个元素的对应关系，我们可以用前面的一个矩阵去则表示，称作线性变换矩阵。
在三维空间中，我们有一个球心在原点（xoyz和x’oy’z’的坐标系具有不为零的
三个欧拉角）的球面，球面上的每一个点当然都有一个空间矢量，我们让这个球开始沿着x’oy’z’的三个主轴方向变化，假设x’，z’方向膨胀，y’方向收缩，那么我们可以
想见，只有这三个方向的位置矢量是沿着原来的方向变化着的，其它的位置矢量在新的位
置都会和原来的位置矢量有一个夹角。
容易直观的理解，这样的变换是线性变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
線性變換 （Linear Transformations ） 前言：在本單元中，我們將研究兩個向量空間之間的一些特殊函數，這些函數保持了「線性」的關係，俗稱為線性函數（Linear Mapping ）或線性變換（Linear Transformations ）。
其實在高中數學中我們已經熟悉一些平面的線性變換，諸如鏡射（Reflections ）、旋轉（Rotations ）、伸縮（Expansions and Compressions ）、與投影（Projections ）。
再正式定義何謂線性變換之前，我們先複習這三種由幾何所導出的三種變換： 鏡射將平面上任何一個點p 變換到以直線L 為對稱軸之對稱點，則稱此變換為平面的一鏡射變換。
例一、 以x 軸為對稱軸之鏡射是將點P （x ﹐y ）變換為P´（x ﹐y ）。
如果用函數來表示則此變換f 則為()()y x y x f R R f -=→,,,:22；如果用矩陣乘法來表示，則此變換又可表為⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x f 1001:，此處的點P （x ﹐y ）以⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 表之。
例二、 以y 軸為對稱軸之鏡射則為()()y x y x g R R g ,,,:22-=→或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x g 1001:。
例三、 以直線x y =為對稱軸之鏡射為()()x y y x h R R h ,,,:22=→或⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡x y y x y x h 0110:。
在鏡射的變換下，任何圖形的形狀大小都不會改變，例如一個圓經過鏡射後仍然是一個圓，大小不變，祇是圓心的位置改變而已。
旋轉將平面上任何一個點p 繞著原點旋轉一個定角θ，變換到另一點p´，則此變換稱為平面的一旋轉變換。
如果將原來的點p 座標設為（x ﹐y ），旋轉一個角θ以設的點p´座標設為（x´﹐y´），則新舊座標的關係如下：將p （x ﹐y ）變換到p´（x´﹐y´）好比是p 點不動而將座標軸旋轉 θ-角一樣，因此)cos()sin()sin()cos(θθθθ-+--='-+-='y x y y x x }（此為座標軸旋轉 θ-角之公式）或θθθθcos sin sin cos y x y y x x +='-='或⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x θθθθcos sin sin cos 如果用到函數h 來表示則22:R R h →，)cos sin ,sin cos (),(θθθθy x y x y x h +-=在這樣的旋轉變換下，所有幾何圖形也都不會變形，祇是位置改變而已。
〔註〕 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A 為以x 軸為對稱軸之鏡射，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001B 為以y 軸為對稱軸之鏡射，則⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππcos sin sin cos 1001AB 為一旋轉。
例四、設f 為將平面上任何一點p 繞原點旋轉 30的旋轉變換，則⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x y x f 232121232321212330cos 30sin 30sin 30cos 在此變換f 下，觀察直線43:=+y x L 變換後的另一條直線L´的方程式：取43:=+y x L 上的兩點()1,3與()4,0，則()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113131323212123f ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡32240404023212123f 因此L´過()3,1及()32,2-兩點故L´的方程式為()21233232+---=-x y 即43=+y x 。
(見圖七之第一圖)另外，我們再觀察在此變換下，圓0322:22=--+y x y x C 變換成另一個圓C´的方程式：圓C 的方程式可改寫為()()43122=-+-y x ，故圓心為()3,1，半徑為2，而旋轉後的圓形狀不變，半徑仍為2，但圓心()3,1將變為()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2031313123212123f ，即()2,0。
因此新的圓C’方程式為()4222=-+y x由公式 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x θθθθcos sin sin cos '' 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''cos sin sin cos y x y x θθθθ 即θθsin 'cos 'y x x +=θθcos 'sin 'y x y +-=例五、設圓錐曲線288251425:22=+-y xy x C 經旋轉 45-後變換成另一個曲線C´，求C´之方程式： 因為θ= 45-，故()()()''45sin '45cos '21y x y x x -=-+-=()()()''45cos '45sin '21y x y x y +=-+--=因此新方程式C´為()[]()[]()[]()[]288''25''''14''252212121221=+++---y x y x y x y x或288'32'1822=+y x或19'16'22=+y x 為一橢圓， 故原曲線C 為一橢圓 (見圖七之第二圖)。
(1,3)(3,1)圖七伸縮若將平面上任何一點p（x﹐y）變換成p´（ax﹐by），此處a、b 為兩正數，則此變換為一伸縮，如果用函數k來表示此變換則⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡yxbayxk:例六、221:RRk→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡yxyxyxk2121此變換將任何一點p（x﹐y）轉換成p´（2x﹐y），橫座標放大兩倍但縱座標保持不變，這種變換又稱為伸展（Expansion）。
這種變換會將任何圖形沿x軸方向（即橫的方向）放大兩倍，如圖八所示將左邊的一個正方形區域擴大變換成右邊的一個長方形區域。
例七、222:RRk→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211yxyxyx此變換將任何一點（x﹐y）轉換成（x﹐2y），這次橫座標不變，但縱座標卻縮小一半，這種變換又稱為壓縮（Compression）。
這種變換會將任何圖形沿y軸方向（即縱的方向）壓縮為原來的21，如圖九所示，將左邊的正方形區域壓縮成右邊的長方形區域。
推移若將平面上任何一個點p （x ﹐y ）變換成p´（x+ay ﹐y ），此處a 為一個常數，則此變換稱為一個推移變換，例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡x y x y x y x 1011即為一推移。
這一個變換會將一個長方形區域向右推移成一個平行四邊型區域。
投影若將平面上任何一點p （x ﹐y ）投影到一直線L ，則稱此變換為一個投影。
例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡00001x y x y x 即為投到x 軸上的投影。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x 01000則為投到y軸上的投影。
註：如果投到直線mxyL=:上的投影，則此投影可用下式表之：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++→⎥⎦⎤⎢⎣⎡yxmmmmmyx222111下面的題目是92年學年大學指定考試數學甲組的考題：A和B是兩個二階方陣，方陣中的每一個位置的元素都是實數。
就二階方陣所對應的平面變換來說：A在平面上的作用是對直線03:=+xyL的鏡射，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11AB。
請選出正確的選項。
（1）BAAB=（2）0BA=+（3）B所對應的平面變換是旋轉（4）-A是B的（乘法）反矩陣。
解：A為鏡射，故AA1=-，而IAB-=，即IAB=-或()IBA=-。
因此BA1-=-或BA-=，所以0BA=+。
而()()IAAAABA11-=-=-=--，故BAAB=。
而()()()IIABBA=--=-=-，因此AB1-=-。
由()A I A B -=-=，可知B 是鏡射A 與旋轉-I（⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-cos πsin πsin πcos π1001I ）的合成，B 本身並不是旋轉。
因此答為（1）、（2）、（4）。
線性轉換 定義1.設V 與W 為佈於體F 的兩向量空間，W V :f →為一從V 映至W 的函數，若f 滿足下列條件：（1） 對於V 的任意兩個向量1V 、2V恆有()()()2121V f V f V V f+=+（2） 對於任意c εF ，VεV 恆有()()V cf V c f=則f 稱為從V 映至W 的一個線性變換。
具體而言，一個線性變換就是具有保持向量空間的兩個基本運算之性質的函數，這兩個基本運算就是向量加法與純量乘積（scalar multiplication ）。
註1.上述定義中的兩個條件（1）、（2）也可以化簡為單一條件如下：對於任意c εF ，1V 、2VεV ，恆有()()()2121V cf V f V c V f +=+註2.本單元中所討論的向量空間均佈於實數體，因此定義中的體F 即為R 。
例八、判斷22:R R f →，),(),(y x y x f -=是否為一線性變換。
（1）設),(111y x V = ，),(222y x V =則()()())(,,2121212121y y x x y y x x f V V f +-+=++=+),(2121y y x x --+=而()),(),(),(2121221121y y x x y x y x V V f --+=-+=+因此()()()2121V f V f V V f+=+（2）設),(y x V =，c εR則()()()()()V c y x c cy cx cy cx f V c f=-=-==,,,由（1）、（2），因此f 為一從2R 映至2R 的線性變換，事實上，這個變換f 即為前言中例一所提的對x 軸的鏡射。