【新高考数学压轴题】导数与数列综合问题(主讲人：刘蒋巍)

导数与数列综合问题主讲人：刘蒋巍一．函数与导数1.单选题1.设函数()()21ln 11fx x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3.对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是().A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭答案：B4.若函数()()224xf x x mx e =-+在区间[]2,3上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）．A ．2017,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2017,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．205,3⎡⎤⎢⎣⎦D ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B2.多选题1.把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有A ．()y f x =的图象不经过第三象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点答案：ACD解析： 0, 0() 0, 0 0, 0x y y f x x y x y >>⎪==><⎨<>，函数()y f x =的图象不经过第三象限，A 正确；()f x 在R 上单调递减，故B 错误；()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C 正确；假设函数()()g x f x x =+存在零点，则1x x x x --=，得0＝1不成立，故假设不成立，函数()()g x f x x =+不存在零点，故D 正确．故选ACD ．2.已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是().A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211x x e>>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+答案：CD3.已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记M ＝221212()()x x y y -+-，则A ．M 的最小值为165B ．当M 最小时，2145x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，2125x =答案：AB解析：由，得，的最小值可转化为函数图象上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由得，因为与直线22ln 260x y +--=平行的直线斜率为，所以，解得，则切点坐标为，所以到直线22ln 260x y +--=上的距离455d ==，即函数上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离最小值为5，所以的最小值为165，又过且与22ln 260x y +--=垂直的直线为，即，联立22ln 2602ln 240x y x y +--=⎧⎨-+-=⎩，解得，即当最小时，145x =．故选：AB ．3.填空题1.已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈,若1n n A A φ-= 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是_________；(Ⅱ)给出下列函数：①1=y x ；②21=+y x ；③cos()22π=+y x ，其中具有性质“ϕ”的函数的序号是_________．(本题第一空2分，第二空3分)2.若不等式(ax 2＋bx ＋1)e x ≤1对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是▲．答案：(－∞，－1]3.已知函数22, (), xx af x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，①若a ＝1，则不等式()1f x ≤的解集为；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是．答案：①（－∞，0]②（－∞，2）∪（4，＋∞）解析：①当时，，则令()1f x ≤，即有21x≤或21x ≤，解得x ≤0或∅，故()1f x ≤的解集为（－∞，0]；②由函数只有一个零点时，时，或，当时，，此时只有一个零点；当时，有2个零点；同理当时，，只有一个零点当a ＞4时，有2个零点，故可得a 的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．4.解答题1.已知定义域为R 的()22-=+xx b f x a函数是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意∈t R ，不等式()()22220-+-<f t t f t k 恒成立，求k 的范围．2.(12分)已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[1,2]-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2(1),(0)mf x x m m >--≥；(3)设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，求M 的最小值解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2，所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；……2分（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞ ，当2m >时，不等式的解集为()2(,1,m-∞+∞ ，……7分（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……9分因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤，……10分而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以，此时可得1516M ≥，所以M 的最小值为1516.……12分3.已知函数f (x )＝kx －x ln x ，k ∈R ．（1）当k ＝2时，求函数f (x )的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，f (x )≤k 恒成立，求k 的取值范围；（3）设n ∈N *，求证：ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤n (n －1)4．解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f′(x )＝1－ln x ，由f′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．………2分（2）f (x )＝kx －x ln x ，故f′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ，因此f′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立．……………………………4分当k ＜1时，令f′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f′(x )＜0，f (x )单调递减；于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)．……………………………7分（3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12．……………………………………10分所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4．…………………12分4.(12分)已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，.(1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a =时，证明3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈成立解：（1）的定义域为；……1分223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x --=--+=.当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-.1，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；2时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；3时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.……5分综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.……6分（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.……8分又24326'()x x h x x--+=，设，则在x ∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，……10分所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=，即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立……12分5.已知函数2()2ln f x x x x =-，2()(ln )ag x x x x=+-，其中a ∈R ，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论函数()f x 的单调性；（3）求实数0x 和a 的值；（3）证明211ln(21)241nk n k =>+-(N n *∈)．解：（1）函数f (x )的定义域为（0，＋∞），且f '(x )＝2x －2ln x －2，令h (x )＝f '(x )，则有h '(x )＝2（x －1）x ，由h '(x )＝0可得x ＝1，如下表：x （0，1）1（1，＋∞）h '(x )－0＋h (x )↘极小值↗所以h (x )≥h (1)＝0，即f '(x )≥0，f (x )在（0，＋∞）上单调递增（2）函数g (x )的定义域为（0，＋∞），且g '(x )＝1－a x 2－2ln xx由已知，得g '(x 0)＝0，即x 02－2x 0ln x 0－a ＝0①由g (x 0)＝2可得x 02－x 0（ln x 0）2－2x 0＋a ＝0②联立①②消去a 可得2x 0－（ln x 0）2－2ln x 0－2＝0③令t (x )＝2x －（ln x ）2－2ln x －2，则t '(x )＝2－2ln x x －2x ＝2（x －ln x －1）x由①知x －ln x －1≥0，故t '(x )≥0，所以t (x )在（0，＋∞）上单调递增t (1)＝0，所以方程③有唯一解x 0＝1，代入①，可得a ＝1.（3）由（1）知f (x )＝x 2－2x ln x 在（0，＋∞）上单调递增，故当x ∈（1，＋∞），f (x )＞f (1)＝1，所以g '(x )＝1－a x 2－2ln x x ＝f (x )－1x 2＞0，可得g (x )在（1，＋∞）上单调递增。