2015高考数学专题十四：数形结合思想教师版含高考试题.docx

2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题

2015 高考数学专题十四：数形结合思想

（教师版含 13 、 14 年高考题）

数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，

数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数

形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定

图形间的位置关系．

1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化

(1)集合的运算及韦恩图；

(2)函数及其图象；

(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；

(4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线；

(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；

(6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数

的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用．

热点一利用数形结合思想讨论方程的根

例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x)

有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ()

11

A．(0 ， )B．( ，1)

22

C． (1,2) D ．(2 ，＋∞)

答案B

解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示，

当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率

1

k 的范围为 (1

为，故 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根时，，1) ．

22

思维升华用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复

杂方程 )的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式

看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函

数 ) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的

个数．

x 2＋bx ＋c，x ≤0 ，

训练 1（1）设函数 f (x )＝若 f (－4)＝f (0)， f (－2)＝

2 ， x>0 ，

－ 2，则关于 x 的方程 f (x ) ＝x 的解的个数为 ()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案C

解析由 f( －4) ＝f(0) ， f( －2) ＝－ 2 ，

x 2＋4 x ＋2 ，x ≤0 ，

解得 b ＝4 ， c＝ 2，∴f (x) ＝

2 ， x>0.

x 2＋4x ＋ 2 ，x ≤0 ，

作出函数 f (x ) ＝与y ＝ x的图象，如图，

2 ， x >0

由图知交点个数有 3 个，故选 C.

（2 ）若定义在R上的函数 f (x )满足 f ( x＋2)＝f (x )，且x∈ [－1,1]时，

lg x ，x >0 ，

0，x ＝0 ，

f (x) ＝1 －x 2，函数 g(x )＝则函数h (x)＝f (x )－

g (x)在区间1

－，x<0 ，

x

[ －5,5] 内零点的个数是 ()

A ．5B． 7

C．8D．10

[ 解析 ]依题意得，函数f (x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数 y ＝f (x)与函数 y＝ g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[ －5,5] 时，它们的图象的公共点共有8 个，即函数 h(x )＝ f(x) －g (x) 在区间 [ － 5,5] 内的零点的个数是8.

[答案] C

热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围

例

2(1)已知奇函数 f x的定义域是x x ≠，x∈

R}

，且在

(0

，＋∞上单调递( ){ |0)

增，若 f(1)＝0 ，则满足 x ·f(x)<0的 x 的取值范围是．

1

(2)若不等式 | x －2 a| ≥ x ＋a－1 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是．

2

答案

(1)( －1,0) ∪ (0,1)

1

(2) －∞，

2

解析 (1) 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知

x ·f x )<0

的 x 的

( 取值范围是 (－ 1,0) ∪(0,1) ． (2)

1 1

作出 y ＝| x －2a| 和 y ＝ x ＋a － 1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－ 2a ，故 a ≤ .

2 2

思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象， 根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．

训练 2

(1) 设 A ＝{( x ，y )| x 2 ＋ (y －1) 2 ＝1} ，B ＝{( x ，y )| x ＋y ＋m ≥0} ，则使

A? B 成立的实数 m 的取值范围是 ．

(2) 若不等式

9 －x 2

≤k (x ＋2) － 2 的解集为区间 [ a ， b ] ，且 b － a ＝ 2 ，则 k

＝ ________.

答案

(1)[ 2－1，＋∞) (2) 2

解析

(1)

集合 A 是一个圆 x 2 ＋( y － 1) 2

＝1 上的点的集合， 集合 B 是一个不等 式 x ＋y ＋m ≥0 表示的平面区域内的点的集合，

要使 A? B ，则应使圆被平面区域所包含 ( 如图 ) ，即直线 x ＋ y ＋ m ＝0 应与圆相