二次函数求最值之高级求法 (1)

二次函数求最值之高级求法

问题阐述：

对于二次函数2

y ax bx c =++(0a ≠)，我们都知道当0a >时，有最小值2

44ac b a -；当0a <时，有最大值2

44ac b a

-。但是，我们真的在求最值过程中很少用这个公式直接计算，因为这里计算量比较大。

因此，大多数人在求解最值过程中用的最多的方法便是配方法求最值，这也是普遍能够接受的方法。那有没有更快的方法来求解二次函数的最值呢？答案是肯定的，今天，我们用一种高级一点的方法来快速求解二次函数的最值。

首先，我们来看一个基本的不等式()2

0a b -≥恒成立，因此得到222a b ab +≥，两边加上一个2ab ，得到()24a b ab +≥，即2

2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当a b =时，这里就取到等号。 求二次函数的最值问题时，我们要保证a b +是一个定值，然后就可以利用刚刚证明的一个基本不等式2

2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

来求二次函数的最大值或最小值。 【求最大值】

例1：求二次函数246y x x =-++的最大值。

解：原式化为，()46y x x =-+，

因为()44x x +-=是一个定值， 所以原式()2

4646102x x y +-⎛⎫≤+=+= ⎪⎝⎭

32解：原式化为，71623y x x ⎛⎫=-+

⎪⎝⎭，到此，我们发现现在不能用基本不等式求出最大值，因为x 与7123

x -的和并不是定值，因此我们陷入了困境。实际上我们可以换一个角度思考，既然要出现和为定值，那么我们就只需要配出一个和为定值的形式即可。 因此，原式可以这样变形：17136323y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

， 这里就有1717=3232

x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭为定值了， 那么我们就可以利用基本不等式求解二次函数的最大值了， 所以原式2

171492433233636=21616x x y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≤+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭

【求最小值】

例3：求二次函数246y x x =++的最小值。

解：原式化为，()46y x x =++，因为()442x x x ++=+并不是一个定值，那么我们就不能够直接运用基本不等式求最值，那么我们就得从例2的求解方法中采用的配凑思想，因为()44x x -++=是定值.

因此原式()()46y x x =--++， 由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，两边添一个负号， 不等号改变方向，即2

2a b ab +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭

。 所以原式()2464622x x y -++⎛⎫≥-+=-+= ⎪⎝⎭

32

解：阅读了前面三个例题的做法，改变变号和配凑法结合，因此我们很容易变形得到

7117163623323y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⨯-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 显然1717=3232

x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭是定值。 所以原式 21714951323363621616x x y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥-+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭

.

通过以上4个例题我们不难发现，用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

求解二次函数的最值真的是又快又准而且又狠！