含绝对值函数的最值问题

专题三: 含绝对值函数的最值问题

1. 已知函数2()2||f x x x a =--

(0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、

不等式()()12f x f x -≥化为()2

212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论:

①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立

②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立

由①知102

a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或

11626222

a -<∴-≤≤Q

2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值.

【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、

(2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、

当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增,

当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭

⎪⎪⎫－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在⎣⎢⎢⎡⎭

⎪⎪⎫－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120

1

02

g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需

所以,当x ＝12 时,函数f (x )＋g (x )的最小值为74

;函数无最大值.

5、已知函数2

()2f x x x x a =+-,其中a R ∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立,求a 的取值范围.

6、设函数b a x x x f +-=||)(, ,a b R ∈(1)若11,4a b ==-,求函数()f x 的零点; (2)若函数)(x f 在]1,0[上存在零点,求实数b 的取值范围.

解

:(Ⅰ)分类讨论解得:112,22

x x +==、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4分 (Ⅱ)函数)(x f 在]1,0[上存在零点,即||x x a b -=-,[0,1]x ∈上有解,

令()||g x x x a =-,只需

{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈、

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分

当0a ≤时,2()()g x x x a x ax =-=-,在]1,0[递增,

所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、7分 当1a ≥时,2()()g x x a x x ax =-=-+,对称轴2

a x = 又当2a ≥ ()g x 在]1,0[递增,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a

b -≤≤

当12a << ()g x 在[0,]2a 递增,[,1]2

a 递减,且所以2()[0,]4a g x ∈,即204a

b -≤≤ 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、10分

当01a <<时,22 [0,]()() [,1]

x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知,()g x 在[0,]2a

递增,[,]2

a a 递减,[,1]a 递减,所以min ()0f x =, 2max (){(),(1)}{,1}4

a f x f a f a ==-, 当021)a <≤,max ()(1)1f x f a ==-,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a

b -≤≤ 当21)1a <<,2max ()()4a f x f a ==,所以2()[0,]4a g x ∈,即204

a b -≤≤ 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、14分 综上所述:

当1)a ≤时,10a b -≤≤

当1)2a <<,2

04

a b -≤≤ 当

2a ≥,10a b -≤≤、

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、15 分

7、已知函数()()243f x x a x a =+-+-.

(I)若()f x 在区间[]0,1上不单调,求a 的取值范围;

(II)若对于任意的(0,4)a ∈,存在[]00,2x ∈,使得()0f x t ≥,求t 的取值范围.

解:401242

a a -<-

<⇒<<……5分 (II) 解法:()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ ……9分 Q 011x -≤,{}03max 1,3x a a a +-≤-- ……………13分

且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到,故

()max 1,24||3,02

a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩ 故()max ||1f x ≥,所以1t ≤……15分 、

8、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.

(Ⅰ)若当x ∈R 时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;

(Ⅱ)求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值.

解:(1)不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立,即2(1)|1|x a x --≥(*)对x ∈R 恒成立,

①当1x =时,(*)显然成立,此时a ∈R ;

②当1x ≠时,(*)可变形为21|1|

x a x -≤-,令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时,()2x ϕ>,当1x <时,()2x ϕ>-,所以()2x ϕ>-,故此时2a -≤、 综合①②,得所求实数a 的取值范围就是2a -≤、

(2)因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩

≤≥…10分 ①当1,22

a a >>即时,结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减,在[1,2]上递增, 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,经比较,此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +、 ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,1]--,[,1]2

a -上递减, 在[1,]2

a --,[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,2

()124a a h a -=++,