复变函数课件第3章1复变函数的积分.

x
ire i 2π n 1 i ( n 1) 0 r e

11
• 例 I1 C z 2dz, C1是从z 0到z 2 i的直线段 1 • 解： y
x 直线段满足方程：y ，因此令 2 x 2t , y t , 0 t 1
O x
I1 z dz (2t it )2 (2 i)dt
2 C1 0
1
t (2 i) 3
C C
其中，dS
dx dy
2
2
9
复积分的计算
设C : z z (t ) x(t ) iy(t ) ( t )是一条光 滑曲线， z ( )是C的起点, z ( )是C的终点， 则

C
f ( z )dz {u[ x(t ), y (t )] x(t ) v[ x(t ), y (t )] y(t )}dt i {v[ x(t ), y (t )] x(t ) u[ x(t ), y (t )] y(t )}dt
f ( z) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C (u iv)(dx idy) C udx ivdx iudy vdy C udx vdy i C vdx udy.
7
复积分的基本性质
(1)
(2)
(3)
C f ( z)dz C f ( z)dz;
k 1 n n
k 1
i [v( k ,k )xk u ( k ,k )yk ]
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
6
公式 C f ( z )dz C udx vdy 从形式上可以看成是
i
C vdx udy
4i
i sin )d
0.
13
例 求
1 C ( z z0 )n1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半径的正向圆周,
y
n 为整数.
z
解 积分路径的参数方程为
z z0 re
i
(0 2π),
dz
o
0 z

r
C

1 ( z z0 )
n 1
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 则 C f ( z )dz C f ( z ) ds ML.
估值定理
(6) 积分的模不大于被积表达式模的积分

C
f ( z )dz f ( z ) dz f ( z ) dS
2
• 复数域中定积分的定义
– 设 f(z) 是简单曲线C的连续函数 z 0 – 简单有向曲线C以 z起点，以 为终点，并被 z0 , z1, z2 ,, zn1, zn z 分成n个弧段，分点为： k zk 1上的任意一点 , zk – 是弧 – 表示弧段长度的最大值 k – 若不论对C的分法和对 的取法，
解 直线方程为 x 3t ,
0 t 1, y 4t ,
在 C 上, z (3 4i)t , dz (3 4i)dt ,
C zdz
(3 4i ) . 2
1 2 ( 3 4 i ) t d t 0 2
2 1 (3 4i) 0 tdt
n
4
复积分存在条件
定理一
若函数w f z u x, y iv x, y 在光滑曲线C上连续， 则f z 沿曲线C的积分存在，且
f z dz
C
C
udx vdy i vdx udy
C C C
5
说明
f ( k )zk [u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
3
3 1
0
2 11 i 3 3
12
例 计算 C z dz, 其中 C 为 : 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π),
i
dz 2ie d
C z dz
2π i 2 2 ie d 0
2π (cos 0
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( 因为 z 2 )
第三章 复变函数的积分
• 复变函数的积分 • 柯西定理与柯西公式
1
3.1 复变函数的积分
• 复变函数积分的概念
– 有向线段
• 若曲线C是开口弧段，若规定它的端点A为起点，B 为中点，则沿曲线C从A到B的方向为曲线C的正向， 而由B到A的方向称为C的负向，并把负向曲线记为 C-； • 若C是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正向， 顺时针方向为负向； • 若C是复平面上某一个复连域的边界曲线，则C的正 向应按如下规定：当人沿曲线C行走时，区域总保 持在人的左侧，因此外部边界的部分取逆时针方向， 而内部边界曲线取顺时针方向为正向。
且
趋于零时，和式
n
f k zk zk 1 k 1 极限存在且唯一
3
• 该极限就被称为函数 f ( z ) 沿有向曲线C从 z0 到 z 的积分，记做： f ( z )dz
C
• 该积分就是极限和：

C
f ( z )dz lim f k zk
0
k 1
C-:曲线C的反方向曲线
C kf ( z)dz k C f ( z)dz;
(k为常数)
C [ f ( z) g ( z)]dz C f ( z)dz C g ( z)dz;
8
(4) 设 C1的终点是 C2的起点， C C1 C2 , 则
C f ( z )dz C1 f ( z )dz C2 f ( z )dz
{u[ x(t ), y (t )] iv[ x(t ), y (t )]}{ x(t ) iy(t )}dt


f [ z (t )] z(t )dt.
C f ( z)dz
f [ z (t )] z(t )dt.
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例
计算 C zdz, C : 从原点到点 3 4i 的直线段.