数学建模飞机运输问题

多变量有约束最优化问题

摘要

本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。并以此作为公司对三种货物运输安排方式。

对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。

对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。

问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。

关键词：线性规划、mathematica软件的应用、Lindo的软件应用。

一、提出问题

一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。公司每吨收空运费250美元。除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺的货物。每天要运送的货物数量如下：

（1）求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。

（2）计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。

（3）公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方

英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。在这种情况下，是否值

得改装？有多少架飞机时才值得改装？

二、提出假设

假设1：飞机每天最多只能运输50000立方英尺的货物。假设2：飞机每天最多只能运:100吨货物。

假设3：货物1每天都有30吨要运。

假设4：货物2每天都有40吨要运。

假设5：货物3每天都有50吨要运。

四、符号说明

五、模型的建立与求解

第一部分

5.1问题一的模型的建立。

5．1.1问题一的分析。

结合题意，计算航空公司获得的利润，必须将运输航空公司里的飞机的燃料费用及修理维护费用忽略不计，还有每吨货物的运费始终保持不变。在这种情况下，3种货物总运输吨数不超过100吨，容积不超过50000立方英尺，且3种货物有各自运输上限，建立目标函数和约束条件。

5.1.2问题一模型的建立。

通过对原问题的分析，我们可以建立如下的数学线性规划模型：Max W=250x1+250x2+250x3

550x1+1800x2+400x3<=50000

x1+x2+x3<=100

x1<=30

x2<=40

x3<=50

5.1.3模型的求解

将编写的程序输入到mathematica软件中得到结果

5.1.4结果的分析

由结果可以得到当运输航空公司每天运输x1货物30吨、x2货物7.5吨、

x3货物50，每年得到的利润最大w=21875美元。即当x1为30吨、x2为8吨、x3为50吨的时候，货物体积超出了飞机的运载体积50000立方英尺。所以公司应按照以上的x1为30吨，x2为7.5吨，x3为50吨的运输安排运输货物。

第二部分

5.2问题二的模型的建立

5.2.1问题二的分析与建立

Max W=250x1+250x2+250x3

550x1+1800x2+400x3<=50000

x1+x2+x3<=100

x1<=30

x2<=40

x3<=50求解见附录二。

5.2.2 模型的求解

将应用程序输入到Lindo软件中，得到的部分结果为：

最优解下资源增加1“单位”时“效益”的增量：

飞机运载空间每增加1立方英尺时，利润增加0.138889美元，飞机运载能力的增加对利润不影响，

X1种货物每增运1吨时，利润增加173.611115美元，

X2种货物的增运对利润不影响，

X3种货物每增运1吨时，利润增加194.444443美元。

5.2.3结果的分析

部分输出结果（灵敏度分析）（输入程序见附录2）

最优解不变时目标函数系数允许的变化范围（约束条件不变）：x1的系数变化范围（173.61,250）

x2的系数变化范围（0,818.2）

x3的系数变化范围（55.6,250）

飞机的运输货物体积最多增加222500立方英尺，

x1货物最多每增运18吨

x3货物最多每增运16吨

第三部分

5.3问题三的模型建立与分析