计算球面距离的三种习题示范

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高中数学球面距离的计算

球面距离的计算在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。

如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度）证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB ，则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()212222222cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 222222-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度）所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度）所以A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度）从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。

球面距离的计算范文

球面距离的计算范文球面距离是地理学中常用的一个测量距离的方法，也可以用于其他领域如航海、导航、天文学等。

它是通过测量地球表面两点之间的弧长来计算距离。

相比于直线距离，球面距离更准确地反映了地球的曲率。

本文将介绍球面距离的概念、计算方法和具体的应用。

一、球面距离的概念球面距离是指地球表面两点之间沿球面的最短路径的弧长。

这个概念可以用于测量地球上任意两点之间的距离。

球面距离常用弧度或者度来表示。

二、球面距离的计算方法1. Haversine公式Haversine公式是最常用的计算球面距离的方法之一、它基于地球是一个近似球体的假设，在假设地球半径为R的情况下，计算两点之间的距离。

具体计算公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ1) * cos(φ2) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d=R*c其中，φ1、φ2为两点的纬度，Δφ为纬度的差值，Δλ为经度的差值，R为地球的半径。

2. Vicenty公式Vicenty公式是一种更精确的计算球面距离的方法。

它基于地球是一个贴近椭球体的假设，该公式考虑了地球的椭球度和可能存在的扁平度。

具体计算公式如下：a=R*gb=R*fc=R*(g-f)d = atan2( √(cos(φ2)*sin(∆λ))^2 + (cos(φ1)*sin(φ2) -sin(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))^2, sin(φ1)*sin(φ2) +cos(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))e = atan2( a*φ1 + b*φ2, c*φ1 + d*φ2 )f = atan2( sin(φ1) + sin(φ2),√((cos(φ1)+a)^2+(cos(φ1)+b)^2) )其中，φ1、φ2为两点的纬度，∆λ为经度的差值，R为地球的半径，g为地球的第一偏心率平方，f为地球的第二偏心率平方。

三、球面距离的应用球面距离常用于地理、航海、导航等领域。

15球面距离解析

15.6球面距离
B 问题1: 直观的观察,发现：
过A、B的圆中，半径越大，
A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度. 我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
一、球面距离
1 、A、B 两点的球面距离：
?
11062
?km
?
例5、设地球的半径为R，在北纬30 0圈上有甲乙两地，它们的经度相差180 0，(精问确到1千米)
(1) 这两地所在纬线的长为34_6_5__0_(k__m_)_____ (2) 这两地的球面距离是1_3_3_3_7_(_k_m__)_____
A
O1
BA
B
O
O
例6、设地球的半径为R，在北纬45 0 圈上有两个点A、B，A在西经40 0，B在东经50 0。求AB 所在纬线圈的长及AB两点的球面距离。
3
? ? AOB 为正三角形 ? AB ? R
A
O1
B ? 在? COD中，CD ? AB ? R，
CO
OC ? OD ? Rcos45 ?
D
OC 2 ? OD 2 ? CD 2
? cos ? COD ?
?0
2OC ?OD
? ? COD ? 90?
? B 的位置可能是：东经 110 ? ,西经 70?
2 、经度和纬度的规定： (1)P 地的纬度就是经过P点
的球半径和赤道平面所成的
北极
线面角 ∠POA的度数 .
G
P
纬线等于∠GPO的度数
O
A 赤道
南极

球面距离问题的求解

数理化学习 ( 高中版 )
玉邴图
球面距离问题的求解
在高中数关概念和例
题论述较少, 而在高考、竞赛及实际生活中, 涉及球面问题的却有许多, 且有一定的难度, 为解
决这个难点, 本文介绍一个球心角定理及其推
论, 然后举例说明它们的应用, 其过程反映了球面距离问题的一种求解方法, 供读者参考.
| O 1O 2 | = R | sin 1 - sin 2 |.
( 1)
设 N OS为地轴, 在半圆面 N SA 内, 作 AA 1
圆 O 2 所在的平面, 垂足为 A 1, 则 | O 2A 1 | =
| O 1A | = R co s 1, | O2 B | = R cos 2, 在三角形
A 1O 2B 中, 由余弦定理得
例 7 ( 2007年高考四川卷 ) 设球 O 的半径为 1, A、B、C 是球面上三点, 已知 A 到 B、C 两
点的球面距离都是 2, 且二面角 B - OA - C 的
大小为 3, 则从点 A 沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是 .
解: 因为球 O 的半径为 1, 故由题意知
9
数理化学习 ( 高中版 )
11340(千米 ). 例 10 (中国经营北京一纽约直飞航班的
距离问题 ) 北京时间 2002年 9月 27日 14点, 国航 CA981航班从首都国际机场准时起飞, 当地时间 9月 27日 15点 30分, 该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场; 北京时间 10月 1日 19点 14 分, CA982航班在经过 13个小时的飞行后, 准点降落在北京首都国际机场, 至此国航北京
所以, = arccos[ sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos( 1 - 2 ) ] ,

一球面上的距离

在半径为3的球面上有abc三babc球心o到平面abc的距离为90abc思考同纬度球面上两点之间的距离假设地球的半径为r如图在北纬45纬线上有ab两点且弧ab所对的圆心角求球面上ab两点间的距离
第二讲球面上的距离和角
第一节球面上的距离
庆阳第三中学张晓红
学习目标：
1、理解球面距离的定义
2、利用定义会求地球表面上，同经度、同纬度两点之间的距离
即球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。
球面上两点之间的距离
(1) 当球面上的两点A，A与球心
共线时，则A与A称为对径点。这
两点之间的球面距离是多少？
(2)当球面上的两点与球心不共线时，这两点之间的球面距离怎么求？
பைடு நூலகம்
牛刀小试（同经度两点之间的球面距离）
1.设地球半径为R，A 在东经
30°南纬60°，B 在东经30°北
纬30°，求A，B两点之间的球
面距离？
小试牛刀：
2.在半径为3的球面上有A，B，C三点，ABC 900，BA=BC，球心O到平面ABC的距离为则B，C两点之间的球面距离？
思考（同纬度球面上两点之间的距离）
假设地球的半径为R，如图，在北纬45°纬线上有A，B两点，且弧AB所对的圆心角AO'B 900 求球面上A，B两点间的距离。
探究：
3.长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点均在
同一个球面上，AB=AA'=1，
BC=
，则A，B两点之间的
球面距离是多少？
作业布置：
3、灵活运用球面距离定义解决实际问题
一.回忆: 平面上两点之间的距离

球面距离的计算范文

球面距离的计算范文球面距离是地理学中一种常用的测量方式，用于计算地球上两个点之间的实际距离。

它是通过考虑地球是一个球体来计算的，与简单的平面距离计算方法不同。

本文将详细介绍球面距离的计算方法，包括理论背景、计算公式以及实际应用。

一、理论背景二、计算公式计算球面距离的公式可以由大圆弧长度公式推导而来。

假设两个点的经纬度分别为（θ1,φ1）和（θ2,φ2），其中θ表示经度，φ表示纬度。

那么球面距离D可以通过以下公式计算：D = R * arccos(sinφ1*sinφ2 + cosφ1*cosφ2*cos(θ2-θ1))其中R为地球半径。

上式中，我们使用了反余弦函数（arccos）以及正弦函数（sin）和余弦函数（cos）来计算距离。

三、实际应用另一个实际应用是计算地球上的区域面积。

通过将地球表面划分成许多小区域，每个区域的面积可以通过球面距离公式计算得到。

这对研究土地利用、气候变化等问题非常有帮助。

在计算球面距离时，还需要考虑地球椭球体的形状。

由于地球并非完全是一个规则的球体，而是稍微扁平的椭球体，因此实际的球面距离计算需要考虑椭球体的参数，如长半轴和短半轴。

这些参数可以根据地理数据和卫星观测得到。

总结：球面距离是地理学中常用的测量方法，用于计算地球上两个点之间的实际距离。

通过考虑地球是一个球体，我们可以使用大圆弧的长度来计算球面距离。

计算公式基于大圆弧长度公式，其中包括经纬度和地球半径。

球面距离的计算在地理学研究中有广泛的应用，包括城市间距离、飞行时间和路径、航线距离以及区域面积计算等。

地球的椭球体形状需考虑在内，以获得更准确的球面距离计算结果。

球面距离的计算及其计算公式

球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长
（1）
但，即
（2）
将（2）代入（1）得
（3）
∵ ，由（2）式知 .
由于，故只需证明函数在内为单调递减即可.
∴
（∵当时，有）
∴ 在单调递减
由（3）式不难得到
即 . 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、
. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、
两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
（弧度）
A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、 . 则
在中，由余弦定理，得：
故
又
比较上述两式，化简整理得：
从而可证得关于与的两个式子.
例题北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.
解：
∴（弧度）
∴所求球面距离为。

球面距离计算方法

球面距离计算方法说实话球面距离计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。

我就想啊，球面上两点的距离肯定和普通平面上两点距离不一样，那咋算呢？我最开始想，能不能把球面摊平像算平面距离那样，但是很快就发现这根本不行，球面上的几何和平面几何有本质区别呢，就像你不能把一个球的皮完整地无拉伸无变形地摊平在一个平面上一样，这是我第一个失败的尝试。

后来我就去翻以前学的数学书，有说到大圆这个概念。

我了解到在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆的劣弧的长度。

这就好比在地球上，从北京到纽约，如果沿着过北京和纽约的那个大圆飞，这个路线就是最短的，而不是在平面地图上看着的直线，这里从立体的地球角度看可没有直线那种概念，因为地球是个球体。

那怎么算出这个大圆劣弧长度呢？我学了这个计算方法，要用弧长公式。

这得先确定圆心角。

有个公式是根据两点的经纬度可以算出圆心角的余弦值，这里面涉及一些三角函数的东西。

我最开始计算的时候老是把经纬度的数值搞混，比如说把北纬当成南纬的值带进去计算，这就导致结果错得离谱。

后来我才长记性，做的时候可仔细对着数值运算了。

可是就算前面都对了，算弧长的时候，我又容易忘记把角度转成弧度。

这就好比你汽车的油加错了型号，整个事儿就不对了。

弧长公式里的角度是要用弧度制的。

还有呢，在确定大圆的时候，也不是那么简单的。

有时候想找经过两点的大圆，容易被一些复杂的图形干扰，我就会多画图，不管画得多难看都没关系，只要能把想法表达清楚，帮助我理解是不是找到了正确的大圆就好。

现在我再算球面距离的时候，我都会先仔细确认两点的经纬度信息，然后一步步稳稳当当地算出圆心角，最后记住把角度转成弧度去计算弧长。

如果中间某个环节不确定，我就重新检查一遍前面的步骤，因为只要有一个地方错了，结果可就相差很多，就像盖房子，一块砖歪了，可能整面墙都不稳当了。

我觉得这球面距离计算方法啊，多练就能熟练掌握。

要是基础概念比如圆心角和大圆这些理解得模模糊糊的话，计算也会老是出错的。

球面距离与几何体体积

位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B 的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）解经过两地的大圆就是已知经线．，． 3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬，东经，B 地位于北纬，东经，求，B 两地之间的球面距离．（见图4）解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A 、B ，A 、B 的球面距离是________（设地球半径为R ）．．设球心为O ，∵ A 、B 在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB ＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ 2π=∠A O B ，∴ A 、B 的球面距离为R 2π．5．设地球半径为R ，在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长是2πR ，则这两地的球面距离是（）． A ．R 43 B ．R 3π C ．R 57D ．R 2．B ．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O '，球心为O ，则260cos R R B O A O =︒='='⋅，∵ A 、B 在纬度圈上的弧长为R 2π，则π212π=='∠RRB O A ，∴ A 、O '、B 三点共线，∵ OA ＝OB ，︒='∠60AO O ， ∴ △AOB 是正三角形，∴ 3π=∠A O B ，∴ A 、B 的球面距离等于R 3π．7．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝BC ＝2cm ，cm 22=AC ，球心O 到截面ABC 的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵ A 、B 、C 是球面上三点，∴ OA ＝OB ＝OC ．设截面圆圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，∴C O B O A O 111==，∴ 1O 是△ABC 的外接圆圆心．∵ AB ＝BC ＝2，22=AC ，∴ 222AC BCAB=+，∴ ∠ABC 是直角．在△O AO 1中，︒=∠901A OO ，21=A O ，21R OO =，OA ＝R ，∴ 有2222)2(R R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得382=R ，362=R ，球体积π27664362π343=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅V ．)cm (38．半径为1的球面上有三点A 、B 、C ，其中A 和B 、A 和C 的球面距离为2π，B 和C 的球面距离为3π，求球心到平面ABC 的距离．3．设球心为O ，由球面距离的定义可知2π=∠AOB ，2π=∠AOC ，3π=∠BOC ．∵ OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∴ OA ⊥平面BOC ．∴ 三棱锥O －ABC 的体积12314331==⋅⋅V ．在△ABC 中，2=AB , 2=AC ,BC ＝1，取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，21=MB ，27=AM ．设点O 到平面ABC 的距离为h ，∵ B O C A ABC O V V --=，∴1232131=⋅⋅⋅hBC AM，∴ 72173==h ．即点O 到平面ABC 的距离为721．1．如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π．若M 是BC 的中点，则三棱锥ABC P -的体积为（）. A.2 B.3 C.6 D. 243．在三棱锥A —BCD 中，P 、Q分别在棱AC 、BD 上，连结AQ 、CQ 、BP 、PQ ，若三棱锥A —BPQ ，B —CPQ ，C —DPQ 的体积分别为6，2，8，则三棱锥A-BCD 的体积为( )A.20B.24C.28D.40 7．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，A 、B 重合于点P ，则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )A. B. C. D.8．如图在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=A 1B 1，则多面体M A BC PP BCC 1B 1的体积为( )A.8/3 B. 16/3 C.4 D.1612．如图1，在棱长为的正方体中， P 、Q 是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为 ________1．A 【解析】因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π,所以 3π=∠PBA因为2=AB ，所以32=PB ,2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P .3．D 【解析】如图，V A-BPQ ∶V B-CPQ =6∶2，V B-APQ ∶V B-CPQ =S △APQ ∶S △CPQ =6∶2，类似地V A-DPQ ∶V C-DPQ =V D-APQ ∶V D-CPQ =S △APQ ∶S △CPQ =6∶2.其中V C-DPQ =8.∴V A-DPQ ∶8=6∶2，∴V A-DPQ =24，∴V A-BDC =6+2+8+24=40.7．C 【解析】根据题意折叠后的三棱锥P-DCE 为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构造立方体，则此立方体的棱长为，故立方体的体对角线的长为，且立方体的外接球也为此正四面体的外接球，∴外接球的半径为，∴V 球=.A BD CA 1D 1 C 1B 1PQ图1P BDQ -a PQ =2A C 1ABCD ABCD -1111a。

1.3球面上两点间的距离和球面直线

(1)在某一高度上，北京和法国巴黎间的距离是一条线段的长吗?
答：不是，是一段圆弧的长。
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地
球上两点之间的最短距离（球面距离）
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、
B之间的最短距离，就是
3
解： A 、 C两点的球面距离为
O C
3 AOC
3
3
H
B ACR 3
A 又 AB 1 , BC 2 , AC 3
ABC为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆球心O 在平面ABC内的射影一定在 A C 上，
所以点 O 到平面ABC的距离为 O H

(2)位于同一纬线上两点的球面距离方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化为弧度，最后代公式。
2、球面距离公式3 的球面上有 A 、 B 、 C三点， AB 1 BC 2 , A 、 C两点间的球面距离为 3
则球心到平面ABC距离为多少？
解法二：
建立空间直角坐标系
O xyz
OA 1
OB 1 ,OC 1 Z
O
C
d1
A
H
X
B
Y
A1,0,0 B0,1,0 C0,0,1
AB1,1,0 BC0,1,1 假设平面ABC的法向量为 nx,y,z
nnB AC B 00 xy yz 00 C
B
又 O A O B 1，在直角三角形
AOB中 AB 2 ，同理得：
AC 2 BC 2 AOB 为正三角形，
HB2 3AB 6 ，在直角三角形

球面距离(自制)

O A2 O B2 AB 2 cosAO B 2O A O B 1 cos AOB 2 2 AOB 3 2 A， B的球面距离为 R 3
A
B O
2.设地球的半径为R，若甲地位于北纬60 ，东经120 ； O O 乙地位于南纬15 度，东经120 ，求甲、乙两地的球面距离。
O
第i层小圆片
与第i层小圆片高度相同的圆柱
将OA分为n份后, "小圆片" 近似于圆柱形状 V 小圆片 V 圆柱 S h
第i层小圆片
C
R
B
C
B
O
O
第二步：求和
所以半球的体积为： V半球 V1 V2 V3 Vn
12 22 (n 1) 2 1 1 2 1 2 1 n n n n2

12 22 n 2 n(n 1)(2n 1) 6
1 1 (1 )(2 ) 3 n n . R 1 6
第三步：把近似值化为准确值
V半球 1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
1 当n 时 , 0 n
球面距离
定义：球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
A
B
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上两点，且AB= 3 3 ，求A，B两点的球面距离.
解：在ABO中， O A O B 3， AB 3 3
12 22 (n 1)2 n n n2

球的计算 (带答案)

球的计算专题训练题型一球面距离例1．（2014春•皇姑区校级期末）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4 B．3 C．2 D．5解：截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3，故选B．【变式1】（2014•东河区校级一模）已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是（）A．1 B．2 C．1或7 D．2或6解答：解：画出球的截面图．如图所示．是一个球的大圆，两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧，对于①，m，n=，两平行截面间的距离是：m+n=7；对于②，两平行截面间的距离是：m﹣n=1；故选C．【变式2】（2014•开福区校级模拟）地球半径为R，则北纬600圈的长度是（）A．R B．R C．R D．πR 解：地球的半径为R，则地球北纬60°的纬线圈的半径为：R．则地球北纬60°的纬线圈的周长等于πR故选：D．【变式3】（2012•陆川县校级一模）球面上三点A、B、C，其中AB为球的直径，若∠ABC=30°，BC=2，则A、C两点的球面距离为（）A．B．C．D．解：由题意，球面上三点A、B、C，其中AB为球的直径，∴A、B、C同在一个大圆上.又因为AB为直径，所以∠ACB=90°，∵∠ABC=30°，BC=2，∴AB=4，球心角为60°，∴A、C两点的球面距离为2×=，故选B．【变式4】（2012•葫芦岛模拟）球O为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，已知AB=2，AD=，AA1=，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．解：∵AB=2，AD=，AA1=，∴长方体的对角线，即球的直径2R=4，设BD1∩AC1=O，则OA=OB=R=AB，∴∠AOB=，∴l=Rθ=，故选A．【变式5】（2012春•秦州区校级月考）已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC为正四面体，那么A、B两点间的球面距离为（）A．B．C．πD．π解：作出图形，∵几何体O﹣ABC为正四面体，∴球心角∠AOB=，∴A，B两点的球面距离==π，故选：D．题型二外接球例２．（2015•徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C【变式1】（2015•沈阳校级模拟）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半径为，∴球O的表面积为12π．故选：A【变式2】（2015•太原校级模拟）已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则球O的表面积为（）解答：解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，∵AB=6，BC=2，∴r==2，由矩形ABCD的面积S=AB•BC=12，则O到平面ABCD的距离为h满足：=8，解得h=2，故球的半径R==4，故球的表面积为：4πR2=64π，故选：D【变式3】（2015•上海模拟）已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．4π B．8πC．D．π解：∵正六棱柱的底面边长为1，高为2，∴正六棱柱体对角线的长为=2又∵正六棱柱的顶点在同一球面上，∴正六棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=，根据球的表面积公式，得此球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．解答：解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=所以球半径R2==所以该球的表面积S=4πR2=，故选B．【变式5】（2015春•淄博校级月考）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于球O，若AB=3，AA1=2，则球O的体积为（）A．B．16πC．D．解：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，则O'A=，由球的截面的性质，可得，OA2=OO'2+O'A2，则有OA===2，则球O的体积为π•OA3=．故选：C．【变式6】（2014•瓦房店市校级模拟）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=，则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选C．题型三内切球的体积为（）A．B．C．D．解答：解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R=，则球的体积V==，故选D【变式1】（2015•内江模拟）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B． C． D．解：正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为：a，6a2=24a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：1内切球的体积：。

球面距离最短的证明

球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。