角的概念与弧度制
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
角与弧度制、三角函数的概念知识点讲解+例题讲解(含解析)
角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。
数学中的角度与弧度
数学中的角度与弧度角度和弧度是数学中用于度量和描述旋转的两个重要概念。
它们在几何学、三角学和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍角度和弧度的概念、定义及其相互转换的关系。
一、角度的概念与定义角度是指两条射线在同一平面内相交而形成的夹角。
它常用于度量物体的旋转程度或者描述空间中的位置关系。
在数学上，角度的度量常以度为单位，记作°。
以一个完整的圆为参照物，我们可以将圆周上的任意一点作为起始点，逆时针旋转到与起始点重合的位置，这样的旋转被定义为一个角度的度量。
一整圈的旋转被定义为360°，即一度是1/360度。
例如，直角等于90°，钝角大于90°，而锐角小于90°。
两条互相垂直的射线之间的夹角是90°，两条平行的射线之间的夹角是0°。
二、弧度的概念与定义弧度是以半径长为单位来度量角度的一种方式。
它被广泛应用于解析几何学、微积分以及物理学等学科中。
在数学上，弧度的单位为弧长与半径之比，记作rad。
在一个圆的周长上，长度等于半径的弧被称为一弧度。
对于单位圆，其周长为2π，因此，一整圈的弧度为2π rad。
我们可以看出，弧度的定义与角度有密切的关联。
三、角度与弧度的转换角度与弧度可以相互转换，使用以下的关系式进行计算：角度 = (弧度× 180°) / π弧度 = (角度× π) / 180°这些关系式可以通过简单的代入替换来实现。
例如，将45°转换为弧度：弧度= (45° × π) / 180° = π / 4 rad同样地，将2π rad转换为角度：角度= (2π rad × 180°) / π = 360°通过这种转换，我们可以在角度制和弧度制之间轻松地进行换算。
四、角度与弧度的应用角度和弧度在几何学、三角学以及物理学等领域中有广泛的应用。
角的概念弧度制
角的概念弧度制角的概念在几何学中是非常重要的，它是两条射线共享一个端点所围成的部分。
角可以用度数制或弧度制来度量，而本文将着重介绍弧度制。
弧度制是一种用弧长比来度量角的方法。
在弧度制中，一个单位角被定义为半径长度等于弧长的角。
具体来说，如果一个圆的半径为r，那么弧长等于r的角就是一个单位角。
而其他角的大小则可以通过比较其对应的弧长与单位角的弧长来度量。
为什么要使用弧度制呢？因为度数制是基于圆的划分，而弧度制则是基于圆的性质。
当我们进行很多数学运算时，使用弧度制更加方便和自然。
另外，使用弧度制也能更好地理解和应用微积分、三角函数等数学工具。
我们来看个例子，假设一个圆的半径为1，那么它的周长就是2π（π是圆周率）。
在度数制中，一个周角是360度，而在弧度制中，一个周角是2π弧度。
从这个例子可以看出，弧度制下的角度与周长之间有一个直观的联系。
弧度制可以与度数制进行转换。
一个周角等于2π弧度，也等于360度。
所以，一个圆的弧长等于半径乘以角度，可以用公式s = rθ表示，其中s是弧长，r是半径，θ是角度。
如果要将角度转换成弧度，可以使用公式radian = degree ×π/180。
弧度制还有一些特点和应用：首先，弧度制下的角度大小没有上限。
在度数制中，一个角的大小最大只能是360度，但在弧度制中，角的大小可以超过这个范围。
比如一个圆的全角就是2π弧度，或者说等于360度。
换句话说，弧度制下的角度是无限的，可以超过360度。
其次，弧度制很适合用来计算弧长和扇形面积。
当我们需要计算一个弧的长度或者一个扇形的面积时，可以直接使用弧度制下的角度来计算，而不需要进行转换。
这是因为弧长等于半径乘以角度，而扇形的面积等于半径平方乘以角度再除以2。
此外，弧度制还可以用来定义三角函数。
在三角函数中，我们常常会遇到正弦、余弦、正切等函数，这些函数的定义都是基于弧度制的角度。
通过将角度转换成弧度，我们可以直接得到三角函数的值。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
1.1任意角的概念与弧度制
角应包括正角、 角应包括正角、负角和零角
为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角， 为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角， 为此使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的正半轴 角的顶点与原点重合， 为此使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的正半轴 重合． 重合． 二、象限角 角的终边(除端点外 在第几象限， 除端点外)在第几象限 角的终边 除端点外 在第几象限，我们就说这个角 是第几象限角． 是第几象限角． 中的30° 图1-9中的 °， 中的 390°，-330°角， ° ° 都是第一象限角； 都是第一象限角； 中的300°， 图1-10中的 中的 ° -60°角，都是第 ° 四象限角； 四象限角；585° ° 角是第三象限角。 角是第三象限角。 终边在坐标轴的角，称为象限界角， 终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角
5 (1){α | 2kπ − < α ≤ 2kπ + π , k ∈ Z} 6 12 3π 3 (2){α | 2kπ − < α < 2kπ + π , k ∈ Z} 4 4 1 π (3){α | kπ + ≤ α ≤ kπ + π , k ∈ Z} 6 2
所以扇形的面积为 所以扇形的面积为 l 1 | n | πR2 1 1 2 S= ⋅ ⋅πR = lR= | α | R2 角度制： = 角度制： S R 2π 2 360 2
几个需要注意的问题： 几个需要注意的问题： 1. 在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度）， 在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度）， 只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用； 只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用； 2. 用弧度制表示终边相同的角 2kπ + α ( k ∈ Z) 时，是π的 偶数倍， 的整数倍； 偶数倍，而不是π 的整数倍； 3. 1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角 大小， 所对的圆心角（或该弧） 大小，而1 °是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大 小； 4. 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 不管是以“弧度”还是以“ 一个与半径的大小无关的定值； 一个与半径的大小无关的定值； 5. 用弧度单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不 用弧度单位表示角的大小时， 弧度” 理解为sin（ 弧度）；一般弧度表示时 弧度）；一般弧度表示时， 写，如sin2理解为 （2弧度）；一般弧度表示时，常写 理解为 成多少π 的形式； 但以度为单位，不能省略； 的形式； 但以度为单位，不能省略；
角的概念与弧度制及任意角的三角函数
积化和差公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2， cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2， sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2， cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2。
VS
和差化积公式
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]， sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]， cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]， cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。
02
弧度制及其运算
弧度制的定义与性质
弧度制的定义
弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段 弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1。
弧度制的性质
在弧度制下，角的度量单位是弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。长度等于半径 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
角的概念与弧度制及 任意角的三角函数
目录
• 角的概念与分类 • 弧度制及其运算 • 任意角的三角函数 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的诱导公式与和差公式 • 三角函数的应用举例
01
角的概念与分类
角的定义及表示方法
角的定义
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这个共享的端点称为角的顶 点，两条射线称为角的边。
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x -y)/2)，sinxsiny=2cos((x+y)/2)sin((xy)/2)， cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos( (x-y)/2)，cosx-cosy=2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)。
角的度量与弧度制知识点总结
角的度量与弧度制知识点总结角是我们日常生活和数学中常见的几何概念之一。
在几何中，我们经常要研究角的度量以及如何在坐标系中表示和计算角。
本文将总结角的度量方法以及弧度制的概念和计算方法。
一、角的度量方法角的度量是指用某种单位来表示角的大小。
角的度量有两种常用方法：度度量和弧度度量。
1. 度度量：度是角度的单位，符号为°。
一个完整的圆周被等分为360个部分，每部分就是1°。
例如，直角角度为90°，钝角度量为180°。
2. 弧度度量：弧度是角度的另一种单位，符号为rad。
一个完整的圆周的长度为2π，所以一个完整的圆周对应的角是360°或2π rad。
当我们用弧度来度量一个角时，我们是以角所对应的弧长与半径相等来定义的。
例如，直角的弧度度量是π/2 rad，钝角的弧度度量是π rad。
实践中，我们常常需要在度度量和弧度度量之间进行转化。
两者之间的转化关系是：1° = π/180 rad，即180° = π rad。
二、角在坐标系中的表示和计算在坐标系中，我们用线段来表示角。
假设有两条线段OA和OB，它们的交点为O，我们通常以O为顶点来表示角AOB。
1. 角的顶点：角的顶点是线段OA和OB的交点O。
2. 角的始边：角的始边是OA这条线段。
3. 角的终边：角的终边是OB这条线段。
4. 角的度数：角的度数是用度度量角的大小。
度数是指以O为中心，以线段OA为半径的圆周上的一点P，以P为顶点的角为角AOB的度数。
5. 角的弧度数：角的弧度数是用弧度度量角的大小。
弧度数是指以O为中心，以线段OA为半径的圆周上的一点P，以P为顶点的角为角AOB的弧度数。
在坐标系中，我们可以通过计算角的顶点与坐标轴之间的关系来求解角的度数或弧度数。
根据象限的不同，我们可以使用不同的公式来计算角的大小。
总结：角的度量是几何中重要的概念之一，我们可以用度度量或弧度度量来表示角的大小。
1角的概念和弧度制
或 k 1
代回得 675 或 315 （2）因为 M x | x ( 2 k 1) 45 , k Z 表示的是终边落在四个象限 的平分线上的角的集合；而集合 N x | x ( k 1) 45 , k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N 【点评与感悟】与 角终边相同的角（连同角 在内）， 可以表示为 k 3 6 0 , k Z .
角的概念和弧度制
• 一. 角的概念
• 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形，叫做角。按逆时针方向旋转所 形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一 条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始 位置称为始边，终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶 点。
k （2）设集合 M x | x 180 45 , k Z 2
，
k N x | x 180 45 , k Z 4
，那么两集合的关系是什么？
【思路分析】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出 所有与 角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出 相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情 况展开讨论。
≤α≤
}=[
5 6
6
， 6
]。 6
5
6.终边相同的角：与 角终边相同的角的集合（连同角 在内），可以记为{ ｜ k 360 , k Z }
7.几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置 X轴正半轴 Y轴正半轴 X轴负半轴 Y轴负半轴 角的集合
12角的概念的推广和弧度制
角的概念的推广和弧度制、任意角的三角函数【基础知识】1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180rad,1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°.(4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线[难点正本疑点清源]1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tan α＝yx 有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .3． 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．【基础应用】填表: 度0°45° 60°180°210 225 240 360°弧度6π2π23πSin cos tan题型一 角的有关问题例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．题型二三角函数的定义例2（1）已知角α的终边经过点P(x，－2) (x≠0)，且cos α＝36x，求sin α＋1tan α的值．（2）已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．题型三三角函数线、三角函数值的符号例3(1)若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)cos(sin 2θ)的符号；(2)已知cos α≤－12，求角α的集合．(3)y＝sin x－32的定义域为________．题型四扇形的弧长、面积公式的应用例4已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面基础训练 一、选择题1． 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α等于( )A.55B.255C ．－55D ．－2552． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<03． 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．84． 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2. 其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A.3πB.32πC.3D.26、在半径为10 cm 的圆中，34π的圆心角所对弧长为A.340πB.320π C.3200πD.3400π7、圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是A.2π cm 2B.23π cm 2 C.πcm 2D.3π cm 2二、填空题8． 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 9． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________．10．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________________________．三、解答题11． 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．12．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .作 业1．把 化成的形式是（ ）A ．B ．C ．D ．2．1 920°转化为弧度数为( )A.163 B.323 C.16π3 D.32π33．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 radB.32 radC.23 π D.32π 4．终边在坐标轴上的角的集合是( )A ．{α|α＝2kπ，k ∈Z} B.{}α| α＝kπ，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝kπ＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝12kπ，k ∈Z二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列四个角：1,60°，π3，－π6的大小为________．二、填空题6．设集合：, ，，则集合A、B、C的关系是。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
初中数学 什么是角的弧度制和弧度
初中数学什么是角的弧度制和弧度角的弧度制是一种用于度量角度的单位制，它在初中数学中是一个重要的概念。
在本篇文章中，我们将详细介绍角的弧度制的概念、性质和应用。
一、角的弧度制的概念：角的弧度制是一种用弧长与半径的比值来度量角度的方法。
在弧度制下，一个圆周的长度等于2π弧度，即360度=2π弧度。
弧度制是一种更精确和自然的角度度量方式，特别适用于三角函数和微积分的计算。
在弧度制中，我们用符号"rad"来表示弧度，例如，一个直角的角度为90度，相应的弧度为π/2 rad。
一个圆周的角度为360度，相应的弧度为2π rad。
二、角的弧度制的性质：1. 弧度和角度的转换：角度和弧度是可以相互转换的。
我们可以使用以下公式将角度转换为弧度：弧度= (π/180) × 角度例如，将一个角度为45度的角转换为弧度，计算方法为：弧度= (π/180) × 45 = π/4 rad。
同样地，我们可以使用以下公式将弧度转换为角度：角度= (180/π) × 弧度例如，将一个弧度为π/3 rad的角转换为角度，计算方法为：角度= (180/π) × (π/3) = 60度。
2. 弧度的加减性质：弧度具有加减性质，即两个角的弧度相加或相减得到的结果仍然是一个角的弧度。
3. 弧度的相等性质：两个角的弧度相等时，它们是相等角。
相等角具有相同的旋转程度和方向。
4. 弧度的互补性质：两个角的弧度之和为π/2 rad时，它们是互补角。
互补角的弧度相加等于直角的弧度。
5. 弧度的补充性质：两个角的弧度之和为π rad时，它们是补角。
补角的弧度相加等于半圆的弧度。
三、角的弧度制的应用：角的弧度制在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三角函数计算：在三角学中，我们使用弧度单位来计算三角函数的值。
例如，正弦、余弦和正切函数的定义涉及到角的弧度制。
2. 弧长和扇形面积计算：在几何学中，我们使用弧度单位来计算弧长和扇形的面积。
角度化为弧度制公式
角度化为弧度制公式
摘要：
一、角度与弧度的概念
1.角度的定义
2.弧度的定义
二、角度与弧度之间的转换公式
1.将角度转换为弧度
2.将弧度转换为角度
三、角度化为弧度制公式的应用
1.在数学中的应用
2.在物理中的应用
3.在工程中的应用
正文：
在数学中，角度和弧度是两种常用的度量角的方法。
角度制是以度为单位进行度量的，而弧度制则是以弧长与半径之比为单位进行度量的。
这两种度量方法在不同的领域有着不同的应用，因此掌握它们之间的转换公式是非常重要的。
1.角度与弧度的概念
角度制是一种以度为单位度量角的方法，一个圆周分为360 度。
弧度制则是以弧长与半径之比为单位度量角的方法，一个圆周分为2π弧度。
2.角度与弧度之间的转换公式
(1) 将角度转换为弧度：弧度= 角度× π/180
(2) 将弧度转换为角度：角度= 弧度× 180/π
3.角度化为弧度制公式的应用
(1) 在数学中，角度化为弧度制公式被广泛应用于三角函数、向量计算等领域。
例如，正弦函数和余弦函数的公式中都涉及到角度与弧度的转换。
(2) 在物理中，角度化为弧度制公式也被广泛应用于力学、光学、电磁学等领域。
例如，在电磁学中，正弦交流电和余弦交流电的公式中都涉及到角度与弧度的转换。
(3) 在工程中，角度化为弧度制公式同样具有重要的应用价值。
例如，在计算机图形学中，角度化为弧度制公式被用于计算旋转矩阵、平移矩阵等。
2角度概念与弧度制
三角比一、 任意角的概念（1）角：一条射线绕着它的端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形．正角：射线按逆时针方向旋转形成的角． 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角．零角：射线没有旋转（始边与终边重合）形成的角．（2）象限角：顶点在原点，始边在x 轴的正半轴，终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．（3）终边相同的角：与角α终边相同的角的集合},360{Z k k ∈+︒⋅=αββ． 例1 判别下列各角分别是第几象限角．（1）200-︒； （2）2000︒； （3）1060︒．练习5.1.1A 组1、1005-︒是第____________象限的角，397︒是第____________象限角．2、设α是第二象限的角，将α的终边逆时针旋转︒90，再顺时针旋转︒180所得的角是第____________象限角．3、与︒620终边相同的角是（ ）A ．710-︒B ．640-︒C ．620-︒D ．460-︒ 4、设}{为锐角θθ=A ，}{为第一象限角θθ=B ，}90{的角为小于︒=θθC ，}90{的正角为小于︒=θθD ，则（ ）A ．AB = B ．BC = C ．A C =D ．D A = 5、已知︒=1690α，（1）把α写成))360,0[,(360的形式︒︒∈∈+︒⋅ββZ k k ； （2）求θ，使θ与α终边重合，且)720,1440(︒-︒-∈θ．B 组1、与950︒终边相同的角的集合是__________________，它是第____________象限角，其中最小正角是____________，最大负角是____________．2、若α是锐角，则)(180Z k k ∈-︒⋅α是第____________象限角．3、下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限的角必是锐角B ．终边相同的角必相等C ．相等的角终边相同D ．不相等的角其终边位置不相等 4、集合},451802{Z k k x x M ∈︒+︒⋅==，},451804{Z k kx x N ∈︒+︒⋅==，那么两个集合的关系是什么？5.1.2 弧度制（1）弧度制：1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小． 弧度制与角度制的换算关系：017453.01801≈=︒π弧度；1弧度︒=)180(π．（2）扇形的弧长和面积公式：若扇形圆心角的弧度数为α，半径为r ，则弧长r l α=，面积lr r S 21212==α．（3）象限角的表示：第一象限角的集合：Z k k k ∈+),22,2(πππ；第二象限角的集合：Z k k k ∈++),2,22(ππππ；第三象限角的集合：Z k k k ∈++),232,2(ππππ；第四象限角的集合：Zk k k ∈++),22,232(ππππ或Z k k k ∈-),2,22(πππ．（4）终边在各坐标轴上的角的表示：终边在x 轴正半轴：)(2Z k k ∈π； 终边在x 轴负半轴：)(2Z k k ∈+ππ； 终边在x 轴：)(Z k k ∈π； 终边在y 轴正半轴：)(22Z k k ∈+ππ； 终边在y 轴负半轴：)(232Z k k ∈+ππ或)(22Z k k ∈-ππ；终边在y 轴：)(2Z k k ∈+ππ；终边在坐标轴：)(2Z k k∈π．（5）与α终边相同的角：)(2Z k k ∈+απ 例1 弧度，角度互换：（1）将︒1000换算成弧度； （2）将3-换算成角度（精确到0.01度）．注意：①用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字． ②常见特殊角的角度数与弧度数对照表： 角度数 ︒0 ︒45 ︒90︒150 ︒180︒360 弧度数6π3π32ππ23π例2 如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合． （1）终边在射线OA 上； （2）终边在直线AB 上．例3 写出终边落在图①和图②中阴影部分包括（边界）内的角的集合．图① 图②例4 设角α是第三象限角，试判断角α2、2α所在象限．例5、设一个扇形的周长是16，其面积是12，求它的圆心角的大小．练习5.1.2A 组1、将下列各角的角度数化成弧度数（保留π）（1）=︒30____________弧度； （2）=︒75____________弧度； 将下列各角的弧度数化成角度数（精确到0.1度）（3）5π弧度=____________度； （4）12π弧度=____________度． 2、直径为20cm 的轮子，每秒钟旋转45弧度，轮周上一点经过3秒钟所转过的弧长等于____________cm ．3、终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合为__________________，第一象限的角平分线上的角的集合为__________________．4、下列命题中正确的是（ ）A ．终边相等的角是相等的角B ．终边在第二象限的角是钝角C ．若角α的终边在第一象限，则2α的终边也一定在第一象限 D ．终边在坐标轴上的所有角可表示为π2k5、若α是第一象限角，则2α是（ ）A ．第一象限B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 6、用弧度制写出终边落在图中阴影部分的角的集合．7、如图，射线OA 、OB 与x 轴的夹角为6π，4π，求 （1）终边在直线OA 上的角的集合；（2）终边在AOB ∠内（不包括边界）的角的集合．B 组1、将下列各角的角度数化成弧度数（保留π）（1）=︒225____________弧度； （2）=︒-315____________弧度； 将下列各角的弧度数化成角度数（精确到0.1度） （3）37π-弧度=____________度； （4）8弧度≈____________度． 2、若2弧度的圆心角所对的弦长是2cm ，则这个圆心角所对的弧长是____________．3、若角α终边与角β终边关于x 轴对称，则α与β的关系是____________．4、终边在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴的夹角平分线上的角α的集合是（ ）A ．3{2,}4k k Z ααππ=+∈B ．3{,}4k k Z ααππ=+∈C ．{2,}4k k Z πααπ=-∈ D ．{,}4k k Z πααπ=-∈5、角α和β满足关系：)(2Z k k ∈-+=βππα，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．以上答案都不对6、设α是第二象限角，求3α是第几象限角．7、已知集合},4242{Z k k x k x A ∈+<<-=ππππ，}40{π<<=y y B ，求B A ．8、已知扇形的周长为20cm ，求圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大，并求最大面积．。
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1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
练习 3、 （1） 弧长为 3π， 圆心角为 135° 的扇形半径为________， 面积为________． （2）如图，一扇形的半径为 r，扇形的周长为 4， ①将扇形的面积 S 表示成半径 r 的函数， 并求函数的定义域； ②问圆心角α 为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？
2．弧度的定义和公式 (1)定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，弧度记作 rad. (2)换算关系与相关公式： 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|＝ (弧长用 l 表示) r
180 π ①1° ＝ rad；②1 rad＝ ° 180 π