高三上学期期末数学试题
山西省部分学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题
山西省部分学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合A =x 3>9，B =x -2≤x ≤4，则A.[-1,0)2.在复平面内，A.第一象限B.(0,5)C.[0,5]{x }{}(UA )⋂B =D.[-2,2]-3i 对应的点位于1+iB.第二象限C.第三象限D.第四象限3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 销售量y （万辆）10.520.63141.451.5由上表可知其线性回归方程为y =bx +0.16，则b 的值是A.0.284.已知sin α- B.0.32C.0.56D.0.64⎛⎝π⎫sin α2，则的值为=⎪1-tan α4⎭4 B.A.-3434C.-32D.32⎛y 2⎫5335. 2x -⎪(x +y )的展开式中，x y 的系数是x ⎭⎝A.5B.15C.20D.256.已知函数f(x)=2cos 的最大值是A.2ωx2+3sinωx-1（ω>0，x∈R），若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω1 6B.34C.1112D.537.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=3AB，则直线PB与直线AC 所成角的余弦值是A.110B.55C.15D.5108.设a=3π2-3sin1，b=，c=-，则2π963B.c>a>bC.a>c>bD.c>b>aA.a>b>c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式成立的是A.a-c>b-aB.a b>d c2C.(a+b)>(a+b)22c d D.c a+b>d a+b10.已知点A(-1,0)，B(1,0)均在圆C:(x-3)+(y-3)=rA.实数r的取值范围是0,13B.AB=2C.直线AB与圆C不可能相切(r>0)外，则下列表述正确的有()D.若圆C上存在唯一点P满足AP⊥BP，则r的值是32-111.已知函数y=f (x+1)是R上的偶函数，对任意x1,x2∈[1,+∞)，且x1≠x2都有f(x1)-f(x2)>0成立，x1-x2⎛2a=f (log28)，b=f loge⎝1⎫ln2⎪，c=f e，则下列说法正确的是4⎭()A.函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减B.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.c<b<aD.函数f(x)在x=1处取到最大值12.已知过抛物线C :y =4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为4，则下列说法正确的是A.弦AB 的中点坐标为13,43C.AB =162()B.直线l 的倾斜角为30°或150°D.AF ⋅BF AB=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f (x )=a e x +x 2-8x 的图象在点0,f (0)处的切线斜率为-5，则a =____________.14.已知向量a ，b 满足a =3b =3，a -b ⊥b ，则sin a ,b =_____________.15.在三棱锥P -ABC 中，PA =BC =25，PB =AC =13，AB =PC =5，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是________________.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1，F 2，它们的离心率分别为e 1，e 2，点P 为它们的一个交点，且()()∠F 1PF 2=2π22，则e 1+e 2的取值范围是________________.3四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{a n}的前n 项和为Sn，且a 1=3，an +1=2S n+3n ∈N （1）求{an}的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =(*).log 3a n 3，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <.a n418.（本小题满分12分）某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为1.已知1名工人每2月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？19.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知点D 在边AC 上（不含端点），AB=BD=CD.（1）证明：bc=a-c；（2）若cos∠ABC=229，c=1，求△ABC的面积.1620.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点.（1）求证：DE∥平面ABC；（2）若DE⊥BC，二面角A-BD-C的大小为π，求直线B1C与平面BCD所成角的大小.3x2y221.（本小题满分12分）已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，A1A2=4，且过a b点 2,⎛⎝6⎫.⎪⎪2⎭（1）求C的方程；（2）若直线l:y=k(x-4)(k≠0)与C交于M，N两点，直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程.22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=a ln x+（1）若函数f(x)的最小值为a，求a的值；21(a∈R).x（2）若存在0<x1<x2，且x1+x2=2，使得f(x1)=f(x2)，求a的取值范围.高三数学参考答案、提示及评分细则1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.D8.B9.BD 10.ABD 11.BC 12.BCD 13.314.22315.29π16.(2,+∞)17.（1）解：当n =1时，a 2=2S 1+3，即a 2=2a 1+3=9；当n ≥2时，由an +1=2S n+3n ∈N (*)，得a n=2Sn -1+3，两式相减得an +1=3a n.又a 2=3a 1，所以an +1=3a nn ∈N ，所以{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列.*()所以a n=3⨯3n -1=3n .（2）证明：由（1）知b n =2log 3a n n=n，a n31⎛1⎫所以T n =1⨯+2⨯ ⎪+3⎝3⎭1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫+n ⋅ ⎪，T n =1⨯ ⎪+2⨯ ⎪+3⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭n 23⎛1⎫+n ⋅ ⎪⎝3⎭n +1，两式相减得T n =231111+2+3+4+33331⎛1⎫1-n⎪1n 12n +333⎭n +n -n +1=⎝-n +1=-，n +1133322⋅31-3所以T n =32n +32n +33->0T <.又，所以.n n n 44⨯34⨯3418.解：（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1112⎛1⎫故该工厂能正常运行的概率为 1-⎪+C 6⨯⨯ 1-⎪+C 6⨯ ⎪⨯ 1-⎪=.2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭32（2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，65241⎛1⎫P (X =34)= ⎪=，⎝2⎭64⎛1⎫⎛1⎫3P (X =46)=C ⨯ ⎪⨯ 1-⎪=，⎝2⎭⎝2⎭325656P (X =58)=1-则X 的分布列为1357-=，643264X344658P1643325764故EX =34⨯1357113+46⨯+58⨯=.6432642（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为6⨯10-3=57万元.因为113<57，所以该厂应再招聘1名维修工人.219.（1）证明：若b =c 时，则点D 与A 点重合，不满足题意，故b ≠c ，因为AB =BD =CD ，所以A =2C ，a 2+b 2-c 2所以sin A =sin 2C =2sin C cos C ，由正弦定理及余弦定理得a =2c ⨯，2ab即a b =a c +b c -c ，所以a 22232(b -c )=c (b 2-c 2)=c (b +c )(b -c )，22因为b ≠c ，所以b -c ≠0，所以a 2=c (b +c )=bc +c 2，所以bc =a -c .（2）解：由b =a +c -2ac cos ∠ABC 及cos ∠ABC =2229922，c =1，得b =a +1-a ，168由（1）知bc =a -c ，所以b =a -1，所以a-133222(2)29=a2+1-a ，8整理得8a -24a +9=0，令2a =t 得：t -12t +9=0，2即(t -3)t +3t -3=0，解得t1=3，t 2=()-3+21-3-21<0（舍去），t 3=，22由b =a -1>0，得a >1，而a =2t 2-3+213=<1舍去，故a =2422所以S△ABC13⎛9⎫157=ac sin ∠ABC =1- ⎪=.241664⎝⎭20.（1）证明：取BC 的中点M ，连结AM ，EM .则DA ∥BB 1，且DA =11BB 1，EM ∥BB 1，且EM =BB 1.22所以DA ∥EM ，且DA =EM ，所以四边形AMED 为平行四边形，所以DE ∥AM .又AM ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .（2）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AB =1，AC =b (b >0)，AA 1=2c (c >0)，则B (1,0,0)，C (0,b ,0)，D (0,0,c )，B 1(1,0,2c )，E ⎛1b ⎫,,c ⎪，⎝22⎭所以DE = ⎛1b ⎫,,0⎪，BC =(-1,b ,0).2⎝2⎭因为DE ⊥BC ，所以DE ⋅BC =0，所以b =1.又BC =(-1,1,0)，BD =(-1,0,c )，设平面BCD 的一个法向量n =(x ,y ,z )，⎧⎧-x +y =0⎪n ⋅BC =0则⎨所以⎨，-x +cz =0⎩⎪⎩n ⋅BD =0令x =1，则y =1，z =1⎫1⎛，所以n = 1,1,⎪；c ⎭c ⎝又平面ABD的一个法向量AC=(0,1,0)，所以cosπ3=n⋅ACn AC，所以1=2111+1+2c，解得c=2，所以n=1,1,2.2()又B1C=-1,1,-2，设直线B1C与平面BCD所成的角为θ，则sinθ=cos n,B1C=()n⋅B1Cn B1C=-1+1-21+1+2⋅1+1+2=1，2所以直线B1C与平面BCD所成角为π.621.（1）解：因为A1A2=4，所以2a=4，解得a=2.因为C过点 2,⎛⎝6⎫，所以⎪⎪2⎭()242⎛6⎫⎪2+⎝2⎭=1，解得b=3.b2x2y2+=1.所以C的方程为43（2）证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以lA1M:y=y1y2x+2l:y=，()A2N(x-2).x1+2x2-2⎧y=k(x-4)⎪2222由⎨x2y2，整理得3+4k x-32k x+64k-12=0=1⎪+3⎩4()则∆=-32k(22)1132k2-4(3+4k)(64k-12)>0，解得-<k<且k≠0，x1+x2=，23+4k222264k 2-12x 1x 2=.23+4k y 1⎧2y 22y 1y =x +2()+⎪x 1+2x -2x 1+22k (x 2-4)(x 1+2)+2k (x 1-4)(x 2-2)2x 1x 2-6x 1-2x 2⎪==由⎨得x =2y y k (x 2-4)(x 1+2)-k (x 1-4)(x 2-2)3x 2-x 1-82⎪y =y 2(x -2)-1x 2-2x 1+2⎪x 2-2⎩64k 2-1232k 22x 1x 2-2(x 1+x 2)-4x 12⨯3+4k 2-2⨯3+4k 2-4x 1===1，232k 3(x 1+x 2)-8-4x13⨯-8-4x 13+4k 2所以点G 在定直线x =1上.22.解：（1）由题意知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，f '(x )=a 1ax -1-2=2.x x x 当a ≤0时，f '(x )<0在(0,+∞)上恒成立，故f (x )在(0,+∞)上单调递减，无最小值.当a >0时，令f '(x )<0，得0<x <11；令f '(x )>0，得x >，aa所以f (x )在 0,⎛⎝1⎫⎛1⎫,+∞上单调递减，在⎪ ⎪上单调递增，a ⎭a⎝⎭1⎛1⎫=a ln +a =a -a ln a .⎪a ⎝a ⎭2所以f (x )min=f 所以a -a ln a =a ，即ln a +a =1.设g (a )=ln a +a ，则g '(a )=所以g (a )为(0,+∞)上的增函数，又g (1)=1，所以a =1.（2）由f (x 1)=f (x 2)，得a ln x1+1+1>0，ax 1111=a ln x 2+，即a ln 2+-=0，x 1x 2x 1x 2x1又x 1+x 2=2，所以a ln x 2x 1+x 2x 1+x 2x x x +-=0，得a ln 2+1-2=0.x 12x 22x 1x 12x 22x1令t =x 2111t (t >1)，则a ln t +-t =0，令h (t )=a ln t +-，x 12t 22t 2故问题可转化为函数h (t )在区间(1,+∞)上有零点.a 11-t2+2at -1h '(t )=-2-=，其中h '(1)=a -1.2t 2t 22t 因为函数y =-t +2at -1的对称轴的方程为t =a ，且当t =1时，y =2(a -1)，2故当a ≤1，则y <0在(1,+∞)上恒成立，所以h '(t )<0在(1,+∞)上恒成立，所以h (t )在(1,+∞)上单调递减，因为h (1)=0，所以h (t )<0，故h (t )在区间(1,+∞)上无零点，不合题意.当a >1，令h '(t )=0，得-t +2at -1=0，∆=4a -4>0，故h '(t )=0有两不等实根t 1和t 2，22设t 1<t 2，且t 1t 2=1，t 1+t 2=2a >0.故0<t 1<1<t 2.易知在(1,t2)上，h '(t )>0，在(t2,+∞)上，h '(t )<0，所以h (t )在(1,t 2)上单调递增，在(t2,+∞)上单调递减，又h (1)=0，故在(1,t 2)上h (t )>h (1)=0，故h (t )在(1,t 2)上无零点；下面证明函数h (t )在减区间(t 2,+∞)上存在零点.1e 2a 1e 2a2=2a +2a -取t =e (a >1)，则h (e )=a ln e +2a -，2e 22e 22a 2a 2a 1111e 2a 2a 2当a >1时，2a <2<，则h (e )<2a +-.222e 2e 21e2a 令m (a )=2a +-，则m '(a )=4a -e 2a ，222令ϕ(a )=4a -e 2a ，当a >1时，ϕ'(a )=4-2e 2a <4-2e 2<0，所以，函数ϕ(a )在(1,+∞)上单调递减，又ϕ(1)=4-e 2<0，所以ϕ(a )<0，即m '(a )<0在(1,+∞)上恒成立.1e 2a 5e 22a 2a <0，<0，所以m (a )=2a +-在(1,+∞)上单调递减，所以h (e )<m (a )<m (1)=-即h e 22222()又h (t2)>0，所以h (t 2)h e ()<0，所以h (t )在减区间(t,+∞)上存在零点.2a 2综上，实数a 的取值范围是(1,+∞).。
2024北京海淀区高三(上)期末数学试题及答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷
数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合},142|{},,23|{<<=∈+==x x B N n n x x A 则集合B A 中元素的个数为A.5B.4C.3D.22.已知复数z 满足),,(11R b a bi a i∈+=+则=+b a A.0 B.1C .1- D.23.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为A.35B.75C.155D.3154.,2||,2||==b a 且,)(a b a⊥-则a 与b 的夹角是A.6πB.4πC.3π D.125π5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有()种A .2726A A B .2734A A C .272633A A A D .276634A A A 6.已知函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象的相邻两个零点的距离为,2π,2)0(=f 则=)(x f A.42sin(2π+x B.42sin(2π+x C.44sin(2π+x D.44sin(2π+x 7.已知点Q P N M ,,,在同一个球面上,,5,4,3===MP NP MN 若四面体MNPQ 体积的最大值为10,则这个球的表面积是A .425πB .16625πC .16225πD .4125π8.已知函数,ln 2)(2ax x x e x f ax+--=若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为A.),1(+∞e B.),1(+∞ C.),2(+∞eD.),(+∞e 二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，错选不得分）9.将函数x x f sin )(=的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到)(x g 的图象，则A.函数3(π-x g 是偶函数 B.6π-=x 是函数)(x g 的一个零点C.函数)(x g 在区间]12,125[ππ-上单调递增D.函数)(x g 的图象关于直线12π=x 对称10.若甲组样本数据n x x x ,,,21 （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据a x a x a x n +++3,,3,321 的平均数为4，则下列说法正确的是A.a 的值为2- B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同D.两组样本数据的样本极差不同11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点,,F E 且,22=EF则下列结论中正确的有A.当E 点运动时，AE C A ⊥1总成立B.当E 向1D 运动时，二面角B EF A --逐渐变小C.二面角C AB E --的最小值为︒45D.三棱锥BEF A -的体积为定值12.下列说法正确的有A.若,21<x 则1212-+x x 的最大值是1-B.若z y x ,,是正数，且,2=++z y x 则zy x +++114的最小值是3C.若,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是2D.若实数y x ,满足,0>xy 则yx yy x x 22+++的最大值是224-三、填空题（每题5分，共20分）13.在某项测量中,测得变量).0)(,1(~2>σσξN 若ξ在)2,0(内取值的概率为8.0,则ξ在)2,1(内取值的概率为.14.函数xe xa x f ln )(=在点))1(,1(f P 处的切线与直线032=-+y x 垂直,则=a .15.过直线2:-=x y l 上任意点P 作圆1:22=+y x C 的两条切线,切点分别为,,B A 当切线长最小时,P AB ∆的面积为.16.抛物线)0(22>=p py x 上一点)1)(,3(>m m A 到抛物线准线的距离为,413点A 关于y 轴的对称点为O B ,为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点,E 点F 为内切圆上任意一点，则→→⋅OF OE 的取值范围为________．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）等差数列}{n a 的前n 项和为.32,21,655+==a S a S n (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)记,nn S nb =数列}{1+⋅n n b b 的前n 项和为,n T 求.n T 18.（12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 设).cos 2(sin 3B a A b +=(1)求;B (2)若ABC ∆的面积等于,3求ABC ∆的周长的最小值.19.（12分）某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．注：表中.1ii x u =(1)根据散点图判断：bx a y +=与xdc y +=哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)-x-y-u∑=--812)(i ix x ∑=----81))((i iiy yx x ∑=--812)(i iu u∑=----81))((i i iy y u u15.25 3.630.2692085.5-230.30.7877.049(2)根据(1)的判断结果以及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程；(计算结果精确到0.01)(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)参考公式:经验回归方程x b a y ∧∧∧+=中,.,)())((121-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑x b y a x x y yx x b ni ini ii 20.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面⊥P AD 底面M ABCD ,为P A 的中点，.10==PD P A (1)求证：//PC 平面;BMD (2)求二面角P BD M --的大小．21.（12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为,F 抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点F 作互相垂直的两条直线1l 和,2l 1l 与抛物线C 交于B A ,两点,2l 与抛物线C 交于D C ,两点,N M ,分别为弦CD AB ,的中点,求||||NF MF ⋅的最小值.22.（12分）已知函数).(2ln )(2R a xae x x x f x∈-+=(1)若,0≤a 讨论)(x f 的单调性；(2)若)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点，求实数a 的取值范围.。
2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且AB B =，则x 的所有取值组成的集合为（ ） A ．{}2,0- B ．{}0,2C ．{}2,2-D ．2,0,2【答案】D【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，所以2x A ∈， 若24x =，则2x =或2x =-，经检验均满足题意， 若2x x =，则0x =或1x =，经检验0x =满足题意，1x =与互异性矛盾， 综上x 的所有取值为：2-，0,2， 故选:D.2．已知()1i 3i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．5BC ．2D 【答案】B【分析】由复数的除法运算，化简求复数z 的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数z 满足()1i 3i z +=-，则3i (3i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z ----====-++-，则z == 故选：B ．3．若“12x <<”是“不等式2()1x a -<成立”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．(]1,2C ．[]1,2D ．()1,2【答案】C【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由2()1x a -<得11a x a -<<+，12x <<是不等式2()1x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩， 解得12a ≤≤， 故选：C ．4．在四边形ABCD 中,AB CD ∥,4AB CD =,点E 在线段CB 上,且3CE EB =,设AB a =,AD b =,则AE =（ ）A ．5182a b +B ．5142a b +C ．131164a b + D ．13184a b + 【答案】C【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果. 【详解】解:由题知,AB CD ∥,4AB CD =，画出示意图如下:因为3CE EB =,AB a =,AD b =, 所以AE AB BE =+ 14AB BC =+()14AB BA AD DC =+++ 311444AB AD DC =++ 3114416AB AD AB =++ 131164AB AD =+ 131164a b =+. 故选:C5．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ．6．甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ） A ．12B ．1124C ．712 D ．13【答案】B【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.【详解】设事件A 为 “取出甲袋”,事件B 为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论. 若取出的是甲袋, 则1()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 17(),()212P A P B A ==, 所以 1177()()21224P P A P B A =⋅=⨯=， 若取出的是乙袋, 则2()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 1()2P A =, 1()3P B A =，所以2111()()236P P A P B A =⋅=⨯=，综上所述, 摸出的球是红球的概率为121124P P P =+=. 故选：B.7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ∥，m α∥，则m β∥B ．m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥D ．m α⊥，m n ∥，αβ∥，则n β⊥ 【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于A ，αβ∥，m α∥，则m β∥或m β⊂，A 错误；对于B ，若m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交， 只有加上条件,m n 相交，结论才成立，B 错误； 对于C ，l αβ=，m α⊂，m l ⊥无法得到m β⊥，只有加上条件αβ⊥才能得出结论，C 错误；对于D ，m α⊥，m n ∥，则n α⊥，又因为αβ∥，所以n β⊥，D 正确. 故选:D.8．某钟表的秒针端点A 到表盘中心O 的距离为5cm ，秒针绕点O 匀速旋转，当时间0=t 时，点A 与表盘上标“12”处的点B 重合．在秒针正常旋转过程中，A ，B 两点的距离d （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为（ ） A ．π10sin (0)60d t t =≥ B ．π10cos(0)60d t t =≥ C ．()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩D ．π10cos ,12030120,N 60π10cos ,3012090120,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩【答案】C【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.【详解】由已知函数()d t 的定义域为[)0,∞+，周期为60s ，且()30s t =时，()10cm d =， 对于选项A ，函数π10sin (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，A 错误；对于选项B ，函数π10cos (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，B 错误；对于选项D ，当30t =时，0d =，D 错误； 对于选项C ， ()2ππ25sin10sin 26060d t t t =⨯=⨯｜｜｜｜， 所以函数()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，故选：C.二、多选题9．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X ，Y ）均服从正态分布，()211,X N μσ，()222,YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()220.9545P Z μσμσ-+≈≤≤．A ．()111120.8186P X μσμσ-≤≤+≈B ．对于任意的正数t ，有()()P X t P Y t >≤≤C ．()()12P Y P Y μμ≥<≥D ．()()12P X P X σσ≤<≤ 【答案】ABD【分析】抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】解：对于A ：()11112P X μσμσ-<<+ ()()111111111222P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+⎡⎤⎣⎦1(0.68270.9545)0.81862≈+⨯=，故A 正确； 对于B ：对于任意的正数t ，由图象知()P X t ≤表示的面积始终大于()P Y t ≤表示的面积， 所以()()P X t P Y t ≤>≤，故B 正确，对于C ：由正态分布密度曲线，可知12μμ<，所以21()()P Y P Y μμ≥≥，故C 错误； 对于D ：由正态分布密度曲线，可知12σσ<，所以21()()P X P X σσ≤≤，故D 正确； 故选：ABD ．10．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列关于函数()()2g x f x =的结论中，正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为2πB ．()g x 的单调递增区间为()511,,242242k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最大值为1D ．()g x 在区间[]0,2π上有且仅有7个零点 【答案】BC【分析】根据图像求出函数()f x 的解析式，从而可得三角函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可. 【详解】由题可知1A =，22,,22362T T T=-=∴===πππππω，()sin(2)ϕ∴=+f x x ， ∴sin 063f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππϕ，即222,33k k k ππϕππϕπ+=+⇒=+∈Z ，0ϕπ<<，23πϕ∴=，故2()sin(2)3f x x π=+， ()()2g x f x =，()2sin(4)3g x x π+∴=，()g x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误； ()27242232242242k k k x k x k πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤-+∈Z ，即()511242242k k x k +≤≤+∈Z ππππ，故B 正确； 22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；令()24,364k x k x k +=⇒=-+∈Z ππππ，[]0,2x π∈，∴零点可取值为：当1k =时，12x π=；当2k =时，3x π=；当3k =时，712x π=；当4k =时，56x π=；当5k =时，1312x π=；当6k =时，43x π=；当7k =时，1912x π=；当8k 时，116x π=，符合题意；当9k =时，25212x =>ππ，不符合题意；故()g x 在区间[]0,2π上有且仅有8个零点，故D 错误； 故选：BC.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，12n n S S n +=+，则下列结论正确的是（ ） A ．1n n a S +>B ．{}1n a +是等比数列C ．2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列D ．2n n S a ≥【答案】AC【分析】由已知得出1n n a S n +=+，可判断A 选项的正误；利用等比数列的定义可判断B 选项的正误；利用数列的单调性可判断C 选项的正误；利用作差法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由12n n S S n +=+得1n n a S n +=+，故1n n a S +>，A 正确； 对于B 选项，将12n n S S n +=+，()1212n n S S n n -=+-≥两式相减得121n n a a +=+， 即()1121n n a a ++=+()2n ≥，又令1n =，得21111213212S S a a a =+⇒+=+⇒=，()21121a a +≠+，所以{}1n a +从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n ≥时，()221212n n n a a -+=+=，即21n n a =-，所以，2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，故B 选项错误；对于C 选项，因为2,121,2n nn a n =⎧=⎨-≥⎩.当1n =时，12S =， 当2n ≥时，()()()()2312122222112112n n n n S n n n +-=++++--=--=---.所以，12,121,2n n n S n n +=⎧=⎨--≥⎩，令1,1122,22n n n n n S c n n =⎧⎪==⎨+-≥⎪⎩，则2n ≥时，1111211222022222n n n n n n n n n n n n c c ++++++++⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1n n c c +>，而2154c c =>，所以数列{}n c 单调递增，C 选项正确； 对于D 选项，当2n ≥时，()112212211n n n n S a n n ++-=----=-≤-，112S a <显然成立，故2n n S a <恒成立，D 选项错误.故选：AC.12．设点A ，1F ，2F 的坐标分别为()1,1-，()1,0-，()1,0，动点P 满足124PF PF +=，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．25PA PF +<C ．11PA PF +>D ．有且仅有3个点P ，使得2PAF △的面积为32【答案】ACD【分析】A 选项，由题易得点P 的轨迹方程为22143x y +=； B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，可取等号； C选项，1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=；D 选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =椭圆方程为22143x y +=， 故A 选项正确；对于B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，当点P 为F 1A 的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B 选项错误；对于C 选项，124PA PF PA PF +=+-，因为22|||||AF |PA PF -≤，所以222||||||AF PA PF AF -≤-≤，所以1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=>当点P 为AF 2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，1PA PF +取最小值4，故C 选项正确； 对于D 选项，设使得1PAF 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF 1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=， 联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=， 则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF 的面积为32，故D 选项正确；故选：ACD三、填空题13．已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________. 【答案】221916x y -= 【解析】圆的半径就是c ，再由点(3,4)在渐近线上可得34ba=，这样可求得,a b ，得双曲线方程． 【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝bax 上，因此有222543a b ba ⎧+=⎪⎨=⨯⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩所以此双曲线的方程为221916x y -=． 故答案为：221916x y -=． 【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路．本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上．联立后可解得,a b 得双曲线方程．14．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积2πS Rh =）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为_________米．（参考数值410.52π-≈）【答案】130【分析】由()222250R h R -+=，结合2πS Rh =求解.【详解】由题意得：()222250R h R -+=，则222250Rh h =+，则222ππ250π250000Rh h =+=，所以222250000250π42501πh π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以425012500.52130πh =-⨯=， 故答案为：130.15．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种 【答案】420【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计数原理计算即可.【详解】先从7个人中选2人调整到前排有27C 种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由25A 种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有2275C A 420⋅=种方法.故答案为：42016．已知函数()()e ,02e 1,0xx k kx x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩（e为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x f x -=-有且仅有四个不同的解，则实数k 的取值范围是_________． 【答案】()2e,∞+【分析】设()()()F x f x f x =+-，由题可得当0x >时，()F x 有两个零点，进而可得2e 2x x kx k =-有两个正数解，令()()2e 0x g x x x =>，考查直线2y kx k =-与曲线()()2e 0xg x x x =>相切时k 的值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】令()()()F x f x f x =+-，可得()()()()F x f x f x F x -=-+=， 所以函数()F x 为偶函数，因为()010f =>，则()()0200F f =>，所以，当0x >时，函数()F x 有两个零点，且当0x >时，0x -<，可得()()1e e e 22x xx k k F x x kx x kx =+--+=-+， 令()0F x =，可得22e x kx k x -=，令()2e x g x x =，其中0x >，则()()21e 0xg x x '=+>，故函数()g x 在()0,∞+上为增函数，下面考查直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切的情形：设直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切于点()(),t g t ，其中0t >， 函数()g x 的图象在x t =处的切线斜率为()21e tt +，故曲线()y g x =在点()(),t g t 的切线的方程为()()2e 21e t ty t t x t -=+-，即()221e 2e t ty t x t =+-，由题意可得()2221e 2e 0t tk t k t t ⎧=+⎪-=-⎨⎪>⎩，解得1t =，2e k =，结合图形可知，当2e k >时，直线2y kx k =-与曲线()y g x =在()0,∞+上的图象有两个交点， 即此时函数()F x 在()0,∞+上有两个零点， 因此，实数k 的取值范围是()2e,∞+. 故答案为：()2e,∞+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 3sin 3cos b a C c A -=． (1)求C ；(2)若3c =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，且2CD =．求ABC 的面积． 【答案】(1)π3【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意得π6ACD BCD∠=∠=，由ABC ACD BCDS S S=+△△△()2a b=+，再由余弦定理得到29()3a b ab=+-，即可求出ab，最后根据面积公式计算可得.【详解】（1）解：sin cosa C A-=，sin sin cosB AC C A-=，()sin sin cosA C A C C A+-=，cos sin sin sin cosA C A C A C C A-，cos sin sinA C A C=，又()0,πA∈，所以sin0A>，sinC C=，则sintancosCCC==又()0,πC∈，所以π3C=.（2）解：由题意，得π6ACD BCD∠=∠=，又ABC ACD BCDS S S=+△△△，所以1π1π1πsin2sin2sin232626ab b a=⨯+⨯，()2a b=+，由余弦定理得22π92cos3a b ab=+-，即29()3a b ab=+-，于是293ab=-⎝⎭，解得6ab=或2ab=-（舍），所以1sin2ABCS ab C==．18．设公差不为0的等差数列{}n a的前n项和为n S，若39S=，且2a，5a，14a成等比数列．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求满足条件()*231111013111,22023nn nS S S⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N的正整数n的最大值．【答案】(1)()*21na n n=-∈N(2)674【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠，然后根据题意列方程组可求出1,a d ，从而可求出通项公式；（2）由（1）得2n S n =，则()()21111n n n S n -+-=，从而可求出23111111n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再解不等式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠， 因为39S =，且2a ，5a ，14a 成等比数列，所以125214339a d a a a +=⎧⎨=⎩，12222111138161413a d a a d d a a d d +=⎧⎨++=++⎩，即11320a d d a +=⎧⎨-=⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =-∈N ．（2）由（1）知21n a n =-，易得()21212n n n S n +-==，则()()22221111111n n n n S n n n -+--=-==，所以222222*********111123n n S S S n⎛⎫⎛⎫⎛⎫------=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()2221113241232n n n n n-+⨯⨯+=⨯⨯⨯=，因为()*231111013111,22023n n n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ， 所以1101322023n n +≥， 解得20233n ≤， 所以正整数n 的最大值为674．19．如图1，在平面六边形ADCFBE 中，四边形ABCD ABE 和BCF △均为正三角形，分别以AC ，BC ，AB 为折痕把ADC BCF ABE ，，折起，使点D ，F ，E 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P ABC -．(1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若点M 是棱P A 上的一点，当直线BM 与平面P AC 所成的角最大时，求二面角M BC A --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 311【分析】（1）根据题意证明OB ⊥平面P AC ，即可得结果；（2）根据题意可知直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，利用正切值分析可得当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，建系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接,PO OB ， ∵,PA PC AB AC ==，O 为AC 的中点， ∴,PO AC BO AC ⊥⊥，又∵1,2PO OB PB ===222PO OB PB +=， ∴PO OB ⊥， ,,POAC O PO AC =⊂平面P AC ，则OB ⊥平面P AC ，OB ⊂平面ABC ，故平面P AC ⊥平面ABC .（2）连接OM ，由（1）可知：OB ⊥平面P AC ，则直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，即1tan BO BMO OM OM∠==， 当BMO ∠取到最大时，则OM 取到最小，即OM PA ⊥，且OA OP =， 故当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()110,,,0,1,0,1,0,022M C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，∵()311,1,0,0,,22CB CM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有031022n CB x y n CM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1,3y z =-=，即()1,1,3n =-， 由题意可得：平面ABC 的法向量为()0,0,1m =， ∵3311cos ,1111n m n m n m⋅===， 由图可得二面角M BC A --为锐角， 故二面角M BC A --的余弦值为31111.20．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持 不支持 合计 中型企业 60 20 80 小型企业 180 140 320 合计 240160400(1)依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关； (2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X 为所发奖励的总金额（单位：万元），求X 的分布列和均值．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．【答案】(1)推断犯错误的概率不大于0.005． (2)分布列见解析，270【分析】(1)提出零假设，计算2χ，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设； (2)求随机变量X 的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可. 【详解】（1）零假设为0H ：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关 根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.35780320240160χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，{}27.8790.005P χ>=．根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3． 所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X 的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912C C 1180C 220P X ===，()1839912C C 27220C 220P X ===，()2739912C C 10827260C 22055P X ====，()3639912C C 8421300C 22055P X ====，故X 的分布列为X 的均值为()12727211802202603002702202205555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知抛物线2:4C x y =，点M 为直线1y =-上的动点（点M 的横坐标不为0），过点M 作C 的两条切线，切点分别为,A B ． (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以点()0,4N 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形AMBN 的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）根据题意结合导数分别求点,A B 处的切线，分析可得直线AB 的方程为220tx y -+=，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求得四边形AMBN 的面积()2142S t ⎫=+，再根据由NE AB ⊥求得22t =，代入即可.【详解】（1）设()(),10M t t -≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为24x y =，则2x y '=， 所以11|2x x x y ='=，则切线MA 的斜率为12x ， 故11112y x x t +=-，整理得11220tx y -+=， 同理可得22220tx y -+=， 故直线AB 的方程为220tx y -+=， 所以直线AB 过定点()0,1.（2）由（1）知直线AB 的方程为12ty x =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2124t y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2240x tx --=， 于是122x x t +=，124x x =-，2Δ4160t =+>，则()21212222ty y x x t +=++=+，故2124AB x t =-==+．设1d ，2d 分别为点M ，N 到直线AB的距离，则1d ==2d ==，四边形AMBN 的面积()()21211422S AB d d t ⎫=+=+，()* 设E 为线段AB 的中点，则22,2t E t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由NE AB ⊥，得22612t t t -⨯=-，解得22t =， 将22t =代入()*式解得S =AMBN的面积为S = 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用12S =×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．22．已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点． 【答案】（1）2a ≤；（2）证明见解析.【解析】（1）由()cos x f x e a x '=-+，根据条件即cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，设()cos x h x e x =+，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，分(],πx ∈-∞-和()π,0x ∈-分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cos x f x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立.令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin xh x e x '=-当0x >时，e 1x >，所以()sin 0xh x e x '=->恒成立.所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12xe ax g xf x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点． 所以下面证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10xf x e x ≥++->．无零点．②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()()','sin 0xu x f x u x e x ==->，∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<，∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=． 当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减； 当()0,0x x ∈时，0fx，()f x 在()0,0x 上递增．所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点． 故函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，以及由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，属于难题.。
2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}2|4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{}|2x x ≥-C ．{|1}x x >D ．{}2|x x ≤【答案】B【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤， 而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i12iz +=-，则z =（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】D【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====--+，故i z =-. 故选：D3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,03,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可.【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现， 则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C4．已知函数()22x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （ ）A ．()6ln21-B ．()4ln21-C ．()2ln21-D ．0【答案】B【分析】求出()2f '后可求a 的值.【详解】()2ln 22xf x x '=-，故()24ln 24f '=-，故图象在点()()22f ,处的切线的斜率为4ln 24-， 所以()14ln 241a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭即4ln 24a =-，故选：B5．在梯形ABCD 中，1,3AB DC BE EC ==，且AE xAB y AD =+，则x y +=（ ）A ．16B ．12C ．52D ．72【答案】C【分析】由向量在几何图形中位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用,AB AD 表示出AE ，进而求x y +.【详解】由AE AB BE AD DE =+=+，故2AE AB BE AD DE =+++，又BE CE =-，则3DE DC CE DC BE AB BE =+=-=-， 所以24AE AB AD =+，即122AE AB AD =+， 由AE xAB y AD =+，故152,,22x y x y ==+=.故选：C6．已知数列{}n a 的前n 项和1(0,1)nn S q q q =->≠.则“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】应用,n n a S 求{}n a 通项公式，结合等比数列定义确定{}n a 的性质，再由等比数列性质及充分、必要性定义判断推出关系即可.【详解】由题设111a S q ==-，且112(1),n n n n a S S q q n --==-≥-，显然11a q =-满足上式，则11n n a a q -=，即{}n a 是首项为1q -，公比为q 的等比数列，当01q <<时，10q ->，则{}n a 为递减数列； 当1q >时，10q -<，则{}n a 为递减数列.若{}n a 为递减数列，则1001q q ->⎧⎨<<⎩或101q q -<⎧⎨>⎩，即01q <<或1q >，所以“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A7．已知圆22:430C x y y +-+=，点()7,12M ，直线:l y x =.点P 是圆C 上的动点，点Q 是l 上的动点，则PQ QM +的最小值为（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】找到M 关于:l y x =的对称点(12,7)M '，由||PQ QM PM '+≥且min ||||1PM CM ''=-，即可求最小值.【详解】由题设22:(2)1C x y +-=，即是圆心为(0,2)C ，半径为1的圆， 又227(122)1491+-=>，在圆外同时不在直线:l y x =上，如下图示：若M '为M 关于:l y x =的对称点，则(12,7)M '，则||PQ QM PQ QM PM ''+=+≥，而min ||||1PM CM ''=-，所以||112PQ QM CM '+≥-=，仅当,,,C P Q M '共线且P 在,C Q 之间时等号成立， 故PQ QM +的最小值为12. 故选：B8．设0.16e ,ln 5a b c === ）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A【分析】根据b c -、a c -的形式分别构造1()2ln f x x x x=+-、e ()x g x =，注意给定定义域范围，利用导数研究单调性，进而判断定义域上函数值符号，即可判断大小关系.【详解】由6ln 5b c -=+1()2ln f x x x x =+-，且1x >，所以22211()1(1)0f x x x x'=--=--<，即()f x 在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0f x f <=在(1,)+∞上恒成立，故21ln x x x+<在(1,)+∞上恒成立，有b c <，由0.1e a c -=e ()x g x =，且102x <<， 所以()exg x '=1(0,)2上递增，则()(0)0g x g ''>=，即()g x 在1(0,)2上递增，所以0()(0)e 10g x g -==>在1(0,)2上恒成立，故e x >1(0,)2上恒成立，有a c >.综上，b<c<a . 故选：A二、多选题9．设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A ．若,a b a c ⊥⊥，则//b c B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ D ．若//a b ，//a α，则//b α 【答案】BC【分析】由线面、线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A ：,a b a c ⊥⊥，则,b c 可能异面、相交或平行，错误； B ：,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行知：//a b ，正确；C ：若,αβ不平行，则,αβ必相交，令d αβ⋂=，假设,a a αβ⊥⊥垂足分别是,A B ，在d 上找一点C ，连接,AC BC ， 故AC α⊂，BC β⊂，则,a AC a BC ⊥⊥，故90CAB CBA ∠=∠=︒， 在△ABC 中内角和大于180︒，显然矛盾，故//αβ，正确；D ：//a b ，//a α，则//b α或b α⊂，错误. 故选：BC10．已知函数()cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[],ππ-上有4个零点C ．()f x 2D ．()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC【分析】根据偶函数的定义可判断A 的正误，求出函数在[]0,π上的零点和最值后后可判断BC 的正误，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()()cos sin f x x x f x -=-+-=，故()f x 为偶函数， 故A 正确.当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，令()0f x =，则cos sin 00πx x x +=⎧⎨≤≤⎩，解得3π4x =，故()f x 在[],ππ-上有2个零点，故B 错误. 又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3π444x <+<且sin y t =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.当0x ≥时，()cos sin f x x x =+；当0x <时，()()cos sin cos sin f x x x x x =-+=+；故()cos sin f x x x =+，而()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+++=+， 故()f x 是周期函数且周期为2π.而当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，故()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时ππ5π444x ≤+≤，故πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故()1f x -≤()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭由()f x 为偶函数可得()f x 在[],ππ-由()f x 的周期性可得()f x 在R 故选：AC.11．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，则（ ）A ．直线l 过定点()3,2B ．当点F 到直线l 的距离最大时，1m =-C ．动点N 的轨迹为椭圆D ．MF MN +的最小值为3 【答案】ABD【分析】根据题意求出直线l 的定点即可判断选项A ；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B ；根据垂直即可判断选项C ；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.【详解】直线:320l mx y m --+=可化为(3)(2)0m x y ---=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()3,2，故选项A 正确；由题意可知：(1,0)F ，则点F 到直线l 的距离d == 当0m =时，2d =；当0m ≠时，222324(21)24(1)111m m m m d m m m m-+-+===-+++， 因为1(,2][2,)m m+∈-∞-+∞，所以当1m =-时，d 取最大值222>，也即点F 到直线l 的距离最大时，1m =-，故选项B 正确；因为过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，直线l 过定点(3,2)P ，则FN NP ⊥，所以点N 在以PF （PF 的长度为定值）为直径的圆上，也即动点N 的轨迹为圆，故选项C 错误； 过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ，连接PF ，取PF 的中点E ，则E 的坐标为(2,1)，2EP =，因为FN l ⊥，则点N 在以PF 为直径的圆上，其方程为22(2)(1)2x y -+-=，又由MF MD =，得MF MN MD MN +=+，如图所示：MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -+-=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线=1x -垂直并交于点D ，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M '，则D N ''即为MD MN +的最小值，即min ()32MD MN D N ED EN ''''+==-=故选项D 正确， 故选：ABD .12．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列.在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N .则下列结论正确的是（ ） A ．87a = B ．819S =C ．2023a 是偶数D ．()32224n n n S S a n --=++≥【答案】BCD【分析】根据递推关系依次写出前8项，再求8S ，判断A 、B ；根据已知判断数列{}n a 中奇偶数出现的规律，找出其周期，即可判断C ；根据递推关系，应用累加法得到2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，两边都加上前3项即可判断D.【详解】由题设4212,a a a =+=5322a a a =+=，6433a a a =+=，7544a a a =+=，8655a a a =+=，A 错误；由上分析，12388...19a a S a a ++=++=，B 正确；由()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N 知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而20237289=⨯，故2023a 是偶数，C 正确；由421a a a =+，532a a a =+，643a a a =+，…，23n n n a a a --=+，且4n ≥， 所以2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，又123...nn S a a a a =++++，故()1233223322...22n n n n n S a a a a a a a S a ----=+++++++=++，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________. 【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-， 则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++， 故答案为：25-14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若55678915,35S a a a a a =++++=，则14S =__________. 【答案】105【分析】利用等差数列前n 项和公式、等差中项的性质求得33a =、77a =，进而确定公差以及通项公式，最后求14S 即可. 【详解】由题设15355()521522a a a S +⨯===，则33a =， 567897535a a a a a a ++==++，则77a =，若公差为d ，则7314a a d -==，故3(3)n a a n d n =+-=， 故1141414()7151052a a S ⨯+==⨯=.故答案为：10515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，若122cos 3F PF ∠=，则该双曲线的离心率是__________.【分析】根据双曲线的定义求出1PF ，2PF ，再在12PF F △中利用余弦定理得到2246c a =，即可得解.【详解】解：因为213PF PF =，122PF PF a -=，故13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理得到122224923cos c a a a a F PF ∠=+-⨯⨯，化简整理得到2246c a =，即2c =， 所以离心率62c e a.故答案为：16．三棱锥-P ABC 中，2π,,,3PA PB CA CB ACB PC CA ∠===⊥，若2CA CP +=，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积的最小值为__________. 【答案】16π5【分析】先确定三棱锥-P ABC 的球心在底面外接圆圆心作底面垂线上，与线段PC 中垂线的交点上，底面外接圆半径用CA 的长来表示，求出外接球半径也用CA 的长来表示，然后球最值即可. 【详解】如图所示，因为,,PA PB CA CB PC PC === 所以PCA PCB ≅所以PCA PCB ∠≅∠，又因为PC CA ⊥ 所以PC CB ⊥ 又因为CA CB C ⋂= ,CA CB ⊂平面CAB所以PC ⊥平面ABC ，设H 为ABC 的外心，过H 作平面ABC 的垂线，过P 作CH 的平行线，两线交于点D ，取DH 的中点O ，连接OC ，则O 为三棱锥-P ABC外接球的球心； 设,2,CA x PC x AB ==-=设三棱锥-P ABC 的外接球半径为R ，外接圆半径为r ， 则222πsin3ABr x ==， 所以222222552441244555x R x x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为16π5.故答案为：16π5四、解答题17．如图所示，,,A B C 为脚两侧共线的三点，现计划沿直线AC 开通穿山隧道，在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===，在地面测得5AD =千米，1BE =千米，()1033BC =-千米.求隧道DE 的长度.【答案】(43+千米【分析】在PBC 中，由正弦定理可得求出PC 的长，在R t PAC 中求出AC 的长. 【详解】解：由在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===得： 30,15,135,60,90C BPC PBC PAC APC ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=在PBC 中，由正弦定理可得：sin sin BC PCBPC PBC=∠∠即：(1033sin15sin135PC ︒︒=解得：3PC =在R t PAC 中，由sin PCPAC AC∠= 得：sin PCAC PAC=∠即：203403AC =所以DE AC AD BE BC =---即：(40511034DE =---=+所以隧道DE的长度约为(4+千米.18．数列{}n a 是正项等比数列，已知12a =且324,3,a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2122log ,n nn n n n nb b b ac b b +-==+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)2n n a = (2)(2)1n n n n S +=+【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出{}n a 的通项公式； （2）由（1）、题设可得1111n c n n =+-+，应用裂项相消法求n S . 【详解】（1）由题设2346a a a =+，令{}n a 公比为0q >，则12n n a q -=，所以231222q q q +=，即26(3)(2)0q q q q +-=+-=，则2q ，故2n n a =.（2）由（1）知：2log n n b a n ==，则2222(1)111111(1)1n n n n n c n n n n n n n n +-++===+=+-++++，所以1111111(2)...(1...)1223111n n n n c c n n n S n n n +=++=+-+-++-=+-=+++. 19．已知函数()sin f x x x mx =+.(1)若函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 在()0,2π内有两个极值点,αβ，讨论αβ+的值. 【答案】(1)m 1≥ (2)2π3αβ+=或8π3【分析】（1）由题设π()2sin()3f x x mx =-+，可得π()2cos()3f x x m '=-+，根据()0f x '≥在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求范围即可；（2）将问题转化为π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，数形结合法判断,αβ的对称轴，即可得结果.【详解】（1）由π()sin 3cos 2sin()3f x x x mx x mx =-+=-+，所以π()2cos()3f x x m '=-+，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π[,]363x -∈-，故()[1,2]f x m m '∈-+，又()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即10m -≥，所以m 1≥.（2）由()0,2πx ∈，令π()2cos()03f x x m '=-+=，则π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，而π()2cos(),3g x x y m =--=图象如下，由图知：要使(),g x y m =有两个交点，则交点横坐标关于π3x =或4π3x =对称， 所以2π3αβ+=或8π3. 20．如图所示，在高为2的三棱锥-P ABC 中（ABC 为底面），,2AB BC AB ⊥=，22,PA PC D==为AC 的中点.若三棱锥-P ABC 的体积为43.(1)证明：平面ABC ⊥平面PBD ； (2)求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 63【分析】（1）由棱锥体积公式求得2BC =，根据等腰三角形的性质有BD AC ⊥、PD AC ⊥，利用线面、面面垂直的判定证结论；（2）由（1）P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，进而可得DH BD =，讨论H 与B 在AC 两侧、H 与B 重合两种情况，并构建空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）由题设11243633P ABC ABCV Sh AB BC h BC -=⋅⋅=⋅⋅⋅==且-P ABC 的高2h =，故2BC =， 由2AB =且D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，又22PA PC ==，则PD AC ⊥， 由BD PD D =，,BD PD ⊂面PBD ，故AC ⊥面PBD ， 又AC ⊂面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBD ；（2）由（1）知：P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，且2222AC AB C P B PA C =+===， 所以362PD PA ==，则222DH PD h =-=，即DH BD =， 当H 与B 在AC 两侧，则D 为AC 、BH 的中点，且AB BC ⊥，故ABCH 为正方形且PH ⊥面ABCH ， 构建以H 为原点，,,HA HC HP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C P ，故(2,0,2),(0,2,2),(2,0,0)AP CP CB =-=-=， 令(,,)m x y z =为面PBC 的一个法向量，则22020CP m y z CB m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，(0,1,1)m =满足；令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n b c AP n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时26cos ||3||||23m n m n θ⋅===⨯；当H 与B 重合，且AB BC ⊥，又PH ⊥面ABCH ，,AB BC ⊂面ABCH ， 所以,PH AB PH BC ⊥⊥，构建以H 为原点，,,BC BA BP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A C P ，故(0,2,2),(2,0,2)AP CP =-=-， 易知：(0,1,0)m =为面PBC 的一个法向量，令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n a c AP n b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时13cos ||3||||3m n m n θ⋅===；综上，二面角A PC B --的余弦值为63或33. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21//l l 且2l 与椭圆C 交于,A B 两点. （i ）求直线1l 的方程； （ii ）求PAB 面积的最大值. 【答案】(1)22:14x C y +=(2)（i ）13240l x y -+=；（ii 33【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得2241a b ⎧=⎨=⎩，即可得椭圆方程；（2）（i）切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立椭圆方程并整理，结合Δ0=求参数k ，即可得直线方程； （ii ）令直线:AB y m +，联立椭圆方程，注意0∆>求参数m 范围，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求||AB 、P 到直线AB 的距离，进而得到PAB 面积关于m 的函数，利用导数求最大值即可.【详解】（1）由题设223114c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎨=⎩，故22:14x C y +=；（2）（i）由题设，切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立2214x y +=，整理得：222(41)41)1230k x k x k +++++-=，所以2222161)4(41)(123)0k k k ∆=+-++-=，即222241)(41)(123)k k k +=++-，整理为2243(20k k -+==，所以k11:2l y x -=，则1240l y -+=；（ii ）由（i ），令直线:AB y m +，联立22:14x C y +=，整理得：2210x m +-=，且22234(1)40m m m ∆=--=->，即22m -<<，所以2,1A B A B x x x x m +==-，则||AB = 又P到:AB y m +的距离d ==，所以1||2PABSAB d =⋅= 令2(0,4)t m =-∈，且33(2)(2)(4)y m m t t =-+=-，则24(3)y t t '=-， 当03t <<时，0'>y ，即y 递增；当34t <<时，0'<y ，即y 递减； 所以max 3|27(43)27t y y ===⨯-=，故PAB面积的最大值为PABS=22．已知函数()e ln xf x ax x x =--，若()1f x ≥恒成立，(1)求实数a 的取值范围；(2)当0x >时，证明：1e 12sin x x x x >-+.【答案】(1)1a ≥ (2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围；（2）由（1）知e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，应用分析法，将问题化为证1ln 2sin x x x x++>恒成立，讨论1x ≥、01x <<，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设()e ln 1x f x ax x x =--≥在(0,)+∞上恒成立， 所以ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()e xx x g x x ++=，则2(1)(ln )()e xx x x g x x ++'=-， 令()ln h x x x =+，则1()10h x x'=+>在(0,)+∞上恒成立， 所以()h x 在(0,)+∞上递增，显然111()ln 0222h =+=，(1)10h =>，故01(,1)2x ∃∈使0()0h x =，则0(0,)x 上()0h x <，0(,)x +∞上()0h x >， 所以0(0,)x 上()0g x '>，()g x 递增；0(,)x +∞上()0g x '<，()g x 递减；又00ln x x =-，即00xx e -=，则000max 00ln 1()()1e x x x g x g x x ++===，综上，1a ≥.（2）由（1）知：e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，所以e ln 1x x x x ≥++且,()0x ∈+∞，要使1e 12sin xx x x >-+恒成立，只需证1ln 2sin x x x x +>-恒成立，只需证1ln 2sin x x x x ++>恒成立，当1x ≥时，若1y x x =+，则2110y x'=-≥，即y 递增，又ln y x =也递增， 所以1ln y x x x=++在[1,)+∞上递增，故1|22sin x y y x =≥=>恒成立， 当01x <<时，令sin y x x =-且(0,1)x ∈，则1cos 0y x '=->，即y 递增，故0|0x y y =>=， 所以sin x x >在(0,1)上恒成立，故11ln 2sin ln x x x x x x x++->-+，令1()ln k x x x x =-+，则22213()1124()10x k x x x x -+'=--=-<， 所以()k x 在(0,1)上递减，故()(1)0k x k >=，即11ln 2sin ln 0x x x x x x x++->-+>， 综上，1ln 2sin x x x x++>在,()0x ∈+∞上恒成立， 所以，0x >时1e 12sin xx x x >-+得证.【点睛】关键点点睛：第一问转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，第二问化为证明1ln 2sin x x x x++>恒成立，再构造函数并利用导数研究单调性即可.。
浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，311B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.(]1,3 C.[]1,1- D.[)1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】由2230x x --≤可得：()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤，由311x ≤-可得3101x -≤-，即3101x x -+≤-，即()()1401x x x ⎧--≥⎨≠⎩，解得：1x <或4x ≥，故[]1,3A =-，()[),14,B ∞∞=-⋃+，所以A B = [)1,1-.故选：D .2.已知复数z 满足i z z =-（i 为虚数单位），且z =，则2z =（）A.2iB.2i-C.D.【答案】B 【解析】【分析】设i z a b =+，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则i z a b =-，因为i z z =-，则()()i i i i 0a b a b a b a b a b +=--⨯⇒+++=⇒=-，又z =，则222a b +=，解得1,1a b ==-或1,1a b =-=，所以1i z =-或1i z =-+，所以()221i 2i z =-=-或()221i 2i z =-+=-，故选：B.3.已知随机变量1X ，2X 分别满足二项分布111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“12n n >”是“()()12D X D X >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出()()12,D X D X ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1112221121121,1339339D X n n D X n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12n n >，则()()12D X D X >，若()()12D X D X >，则12n n >.所以“12n n >”是“()()12D X D X >”的充要条件.故选：C .4.若102x <<，则1112x x+-的最小值是（）A.3+B.6C. D.9【答案】A 【解析】【分析】由2(12)1x x +-=，得到1111[2(12)]()1212x x x x x x+=+-+--，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为102x <<，可得120x ->，且2(12)1x x +-=，则1111122[2(12)]()3121212x x x x x x x x x x -+=+-+=++---33≥+=+，当且仅当12212x x x x -=-时，即22x =时，等号成立，所以1112x x+-的最小值是3+.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 20.3≈）（）A.3小时 B.4小时C.5小时D.6小时【答案】C 【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x⋅=，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x ⋅=，两边同时取对数得，lg 2lg10000423x⋅==，所以42392306.7lg 20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要306.7560≈小时.故选：C .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin cos 0xf x xf x '+>，则（）A.ππ36f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B.ππ63f f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C.ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.ππ63f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，求导得到其单调性，从而得到ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后得到答案.【详解】令()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，故()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'恒成立，故()()cos f x F x x=在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππππ6363ππ163cos cos6322f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭<⇒⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则n a =（）A.12n - B.122n - C.122n + D.()21142nn -+-【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系，归纳出数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，进而可得数列{}n a 的通项公式.【详解】因为1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则112n n n a b a +++=，又211n n n a a b +++=+，则22n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，由111a b ==可得2112a a b =+=，则数列{}n a 的各项为1,2,2,4,4,8,8, ，其中奇数项的通项公式为1122122n n n a a --=⋅=，偶数项的通项公式为122222n n n a a -=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式为()21142nn n a -+-=.故选：D8.已知四面体ABCD ，ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，二面角D AB C --的大小为2π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A.40πB.52πC.72πD.84π【答案】B 【解析】【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用OD OC r ==以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图，取AB 中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，则由三线合一可知,AB CE AB DE ⊥⊥，所以二面角D AB C --的平面角为2π3CED ∠=，取三角形ABC 的外心1O ，设外接球的球心为O ，则1OO ⊥平面ABC ，且OA OB OC OD r ====，其中r 为四面体ABCD 外接球的半径，过点D 作DG 垂直平面ABC ，垂足为点G ，由对称性可知点G 必定落在1O E 的延长线上面，由几何关系，设DF x =，而由正弦定理边角互换得112sin 60AB C O =⨯=进而1162O E CE CO =-=⨯-，由勾股定理得DE ==从而()πcos πcos 3EG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，()π3sin πsin 32DG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，所以132OO FG x ==-，12OF O G ==，所以由OD OC r ==得，2222231222r x r x ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得5,2x r ==，所以四面体ABCD 的外接球的表面积为24π52πr =.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角D AB C --的大小为2π3，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量)a =，(),3b x =- ，则下列命题正确的是（）A.若a b∥，则x =- B.若a b ⊥，则x =C.若a b +=，则0x = D.若5π,6a b =，则x =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若a b∥，则13x ⨯=-，解得x =-，故正确；B .若a b ⊥()130+⨯-=，解得x =C.若a b +=，0x =或x =-D.若5π,6a b =，则5πcos ,cos 62a b ===- ，解得x =故选：ABD 10.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，O 为11AC 的中点，P 为线段1AB 上的动点，则下列命题正确的是（）A.{}1,,OA BD AB可作为一组空间向量的基底B.{},,OA OD AB可作为一组空间向量的基底C.直线//OP 平面1C BDD.向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，找到11BD B D =，容易判断{}111,,OA B D AB 共面，从而做出判断即可；选项B ，先找到含有两个向量,OA OD 的平面OAD ，判断AB与平面OAD 的关系即可；选项C ，证明平面11//AB D 平面1C BD 即可；选项D ，证明OC 垂直平面11AB D 即可.【详解】如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，对于选项A ，11BD B D =，三个向量{}111,,OA B D AB 都在平面11AB D ，即三个向量{}111,,OA B D AB 共面，则{}1,,OA BD AB也共面，{}1,,OA BD AB不可作为一组空间向量的基底，选项A 错误；对于选项B ，两个向量,OA OD都在平面OAD ，显然直线AB 与平面OAD 是相交关系，AB不与平面OAD 平行，故三个向量{},,OA OD AB不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B 正确；对于选项C ，由于11//BD B D ，11//AB DC ，易得11//B D 平面1C BD ，1//AB 平面1C BD ，从而有平面11//AB D 平面1C BD ，且OP ⊂平面11AB D ，所以直线//OP 平面1C BD ，选项C 正确；对于选项D ，取{}1,,AB AD AA作为一组空间向量的基底，1111()2OC OC C C AB AD AA =+=+- ，111()2B D BD AD AB ==- ，1111()2OA OA A A AB AD AA =+=-+-，其中22111111()()42OC B D AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅-⋅ ，因为底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，得22AD AB = ，11AA AB AA AD ⋅=⋅，所以110OC B D ⋅= ，即11OC B D ⊥，11OC B D ⊥，其中2211[()]2OC OA AA AB AD ⋅=-+ ，显然22134AA AB = ，2222222111π3[()](2)(2cos )24434AB AD AB AD AB AD AB AB AB AB +=++⋅=++= ，所以0OC OA ⋅=，即OC OA ⊥ ，OC OA ⊥，因为11OC B D ⊥，OC OA ⊥，且11B D ⊂平面11AB D ，OA ⊂平面11AB D ，11B D OA O ⋂=，所以OC ⊥平面11AB D ，所以向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP，选项D 正确；故选：BCD.11.已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B.将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C.函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D.函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A ，B ；由()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可判断C ；由()7π12g x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭可判断D .【详解】因为()ππππsin 2cos 2cos 23236g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到ππcos 2cos 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B 错误；由A 选项可知，()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =与()π12y g x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象关于直线π24x =对称，故C 正确；若函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称，则在()y f x =上取点()11,A x y 关于7π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点117π,12A x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在()y g x =上，所以11cos 2y x =，所以1117π7ππ7ππsin 2sin 21212363g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113πsin 2cos 22x x y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD .12.（多选）已知数据1234567x x x x x x x <<<<<<，若去掉4x 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记1x ，2x ，3x ，4x 的平均数与方差为1x ，21s ，记4x ，5x ，6x ，7x 的平均数与方差为2x ，22s ，则（）A.1242x x x +>B.1242x x x +<C.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤->---⎢⎥⎣⎦∑∑D.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤-<---⎢⎥⎣⎦∑∑【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB ，根据方差公式作差后变形，利用1242x x x +>，即可判断CD.【详解】因为123567123456767x x x x x x x x x x x x x +++++++++++>，所以12356746x x x x x x x +++++>，所以()()1234456748x x x x x x x x x +++++++>，所以1242x x x +>，故A 正确，B 错误；2222222222212346412724123455674444 x x x x x x x x x x x x x s x s x x ⎡⎤+++++++++⎛⎫-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤+++⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2222222212356217144x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()2222221235621217144x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎣+⎦()()()222222123564271184x x x x x x x x x ⎡⎤>++-++-⎣+⎦()()4722441414k k k k x x x x ==⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∑∑，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线y =的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】y =的斜率为0，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan 0α=，解得0α=，故倾斜角为0故答案为：014.已知二项式()12nx +的展开式中含2x 的项的系数为84，则n =___________.【答案】7【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式()12nx +中含2x 的项为：223C (2)n T x =，该项的系数为22(1)2C 42(1)2n n n n n -=⨯=-，由于该项的系数为84，得方程2(1)84n n -=，即2420n n --=，解得7n =或6-（舍去），故答案为：7.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，108CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，则塔高AB 为___________米.（结果保留整数，参考数据：cos800174︒≈.）【答案】310【解析】【分析】设AB h =米，进而可得tan80h BC =︒，在BCD △中由正弦定理求出BC ，求解即可得出答案.【详解】设AB h =米，因为在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，所以80BCA ∠=︒，在ABC 中，tan 80AB hBC BC=︒=，所以tan80h BC =︒，在BCD △中，因为70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以180703080CBD ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin 30CD BC CBD =∠︒，所以1081sin 802BC=︒，则1108542sin 80sin 80BC ⨯==︒︒，所以545454tan 80tan 80310sin 80cos800.174h BC =︒=⋅︒=≈≈︒︒米.故答案为：310.16.已知点P 是双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>与圆222213x y a c +=+在第一象限的公共点，若点P 关于双曲线C 其中一条渐近线的对称点恰好在y 轴负半轴上，则双曲线C 的离心率e =___________.【答案】62【解析】【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P 的坐标，再求得其对称点Q 的坐标，再由1PQ b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，化简即可得到,a b 的关系，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】联立22222222113x y a b x y a c ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取0,0x y >>，解得2333x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,33P a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点P 关于双曲线C 的渐近线by x a=-的对称点为Q ，则Q 恰好在y 轴负半轴上，且OQ OP ==0,Q ⎛ ⎝，由点P 与点Q 关于渐近线b y x a =-对称，所以直线PQ 的斜率为a b，233a b =，即3233b a b =，化简可得222a b =，所以2c e a ====.故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4a =，8b =，角C 为锐角，已知ABC 的面积为.（1）求c ；（2）若CD 为AB 上的中线，求BDC ∠的余弦值.【答案】（1）c =（2）34.【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，对其两边同时平方可求出CD = ，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由ABC 的面积为可得：1sin 2ab C =因为4a =，8b =，解得：得sin 4C =，由角C 为锐角得3cos 4C =，故2222cos 32c a b ab C =+-=，解得c =【小问2详解】因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()22212cos 4CD CA CB CA CB ACB =++⋅，()2212cos 4b a b a ACB =++⋅1364162483244⎛⎫=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得：CD =.故22222222243cos 2422242BD DC a BDC BD DC +-+-∠===⋅⋅⋅.18.已知n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（1）求n a ；（2）求数列{}2n S 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）11410233n n +++-.【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得3212132S S S a a a ⋅=+，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求得12a =，即可求出答案；（2）由（1）得2n S n n =+，则242n nnS =+，再由等比数列的前n 项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a ⋅=+，因为n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，则111122362124a a a a ++⋅=+++，解得12a =.故()2212n a n n =+-=.【小问2详解】由（1）得()122n n n a a S n n +==+，故242n n nS =+，故数列{}2n S 的前n 项和为()()114142124102141233n nn n ++--=+=+---.19.已知直三棱柱111ABC A B C -，1122AB AC AA ===，AB AC ⊥，D ，E 分别为线段1CC ，1BB 上的点，1CD =.（1）证明：平面BDA ⊥平面1ECA ；（2）若点1B 到平面1ECA 的距离为47，求直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1121.【解析】【分析】（1）建系，分别求出平面BDA 和平面1ECA 的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；（2）设出E 点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E 坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，AB AC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，所以以A 为原点，AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,0,0B ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()0,2,1D ，则()2,2,1BD =- ，()2,0,0AB = ，()10,2,4A C =-，设BE t =，则()2,0,E t ，()2,2,EC t =--设平面BDA 和平面1ECA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则11111122020n BD x y z n AB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y =，则()10,1,2n =- ；22222122220240n EC x y mz n A C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21z =，则24,2,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因为120n n ⋅=，所以平面BDA ⊥平面1ECA .【小问2详解】设点()2,0,E t ，由()10,2,4A C =- ，()12,0,4A E t =- 得平面1ECA 的法向量()4,4,2n t =-，由()112,0,0A B =得点1B 到平面1ECA 的距离1147A B n d n⋅===，解得83t =，由()2,2,1BD =- ，4,4,23n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得，直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值为11cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅ .20.已知点1F ，2F 为椭圆C ：2212x y +=的左，右焦点，椭圆C 上的点P ，Q 满足12//F P F Q ，且P ，Q在x 轴上方，直线1FQ ，2F P 交于点G .已知直线1PF 的斜率为()0k k >.（1）当1k =时，求12PF QF +的值；（2）记1PFG ，2QF G △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1（2）2.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质可得1211PF QF PF Q F =+'+，再利用弦长公式求解即可；（2）利用已知条件将12S S -表示出来，在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线1PF 与椭圆的另一个交点为Q '，由椭圆的对称性得Q ，Q '关于原点对称.设点()11,P x y ，()22,Q x y '.因为C ：2212x y +=中222,1,1a b c ====，所以()11,0F ，所以当1k =时，直线1PF 的方程为：1y x =+，联立直线1y x =+与椭圆22220x y +-=的方程得2340x x +=，所以12124,03x x x x +=-=，所以1243x x -==，所以12111212PF QF PF Q F x x +=+=-=-='【小问2详解】由题可设直线1PF 的方程为：1yx k=-，联立直线1y x k =-与椭圆22220x y +-=得：2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以122221122ky y k k k+==++，1212121212F F P F F Q F F P F F Q S S S S S S '-=-=- ，()()1211221212111222122222F F y F F y y y y y kk=⋅-⋅-=⨯+=+=≤+，所以当12k k =即2k =时等号成立，12S S -取到最大值2.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y 的一元二次方程的形式,得到韦达定理；②表示出12S S -的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据0.05α=的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A 为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B 为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求()P B A .参考公式与数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关（2）47105【解析】【分析】（1）计算2χ的值，与临界值比较得出结论；（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为0H ：元宵节的降水与中秋节的降水无关.()222200199041502003400.3 3.84169131601406913160140χ⨯⨯-⨯⨯==≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯，因为20.05x χ<，所以没有充分证据推断0H 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为()220014060C P A ⨯=，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为()220019904150C P AB ⨯+⨯=，故()()()47105P AB P B A P A ==.22.定义满足()()00f x f x '=的实数0x 为函数()y f x =的然点.已知()()ln e xf x x a -=+.（1）证明：对于a ∀∈R ，函数()y f x =必有然点；（2）设0x 为函数()y f x =的然点，判断函数()()()0g x f x f x =-的零点个数并证明.【答案】（1）证明见解析（2）2个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.【小问1详解】()1ln e x f x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由()()f x f x '=得1ln 02x a x -+=.令()1ln 2h x x a x=-+，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 至多一个零点，又因为()1e02e aah --=-<，()2222221e 2102e a ah a a a a ++=++->++>，所以()220e ,ea ax -+∃∈使()00h x =，故对于a ∀∈R ，函数()y f x =有唯一然点0x .【小问2详解】由（I ）得001ln 2a x x =-，()1ln e xg x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭令()1ln G x x a x =--，因为()G x 在()0,∞+上单调递减，且()00102G x x =>，()2222221e 210eaa G a a a a ++=---<---<，故()220,e at x +∃∈使()0G t =，()g x 在(]0,t 上单调递增，在[),t +∞上单调递减.因为()00g x =，故()()00g t g x >=，将001ln 2a x x =-代入，得()00001e ln ln e 22x x g x x x x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()002000020010c 211ln 1e 2211e e e 22e x x x x x x g x x x --+-⎛⎫+++⎪-⎛⎫⎝⎭++=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭()000020011e 221e 12e e 2x x x x x x -⎛⎫++ ⎪- ⎪<-⎛⎫ ⎪⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()0000000e 2e 21e 02e e 222(e 2)x x x x x x x -⎛⎫+ ⎪- ⎪=-< ⎪⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()g x 有2个零点.【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.。
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----， 所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-， 则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值． 【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-， 则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ， 故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（ ） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（ ） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >， 即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->， 从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足． 故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（ ） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-， 因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==， 所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，， 所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-， 我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点， 令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点； 当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -， 所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-， 故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______． 【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-． 因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=． 故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+， 故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数， 取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========， 故前8项和为：1491625364964204+++++++=， 故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解； （2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=， 则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明， （2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =， 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ， 则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--， 整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符； 当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1． 故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围． 【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意． 综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=． 由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ， 故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=， 设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-， 从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩， 解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
山东省泰安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题及答案
试卷类型：A高三年级考试 数学试题2023.01一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()12i i 1i a b +=-，其中,R a b ∈，则1i a b ++=（ ）A 13B 5C ．5D 102．设集合{}24A x x x =<≥或，{}1B x a x a =≤≤+，若()RA B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤或4a > B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >3．“sin 0θ>”是“θ为第一或第二象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4S ，2S ，3S 成等差数列，23418a a a ++=-，则5a =（ ）A ．96-B ．48-C ．48D ．965．已知函数()2sin 4cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（ ）A ．55 B ．55 C ．55-D ．255-6．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ） A ．14B ．24C ．12D ．227．已知抛物线C ：24yx =的焦点为F ，过点()5,0P 的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记ABO △与AFO △的面积分别为1S 和2S ，则123S S +的最小值为（ ） A ．82B ．202C ．242D ．3228．设15a =，11ln 9b =，1sin 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a<<D ．c a b <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三上学期期末数学试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60 分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.命题“存在x 0∈R,
≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,
＞0
B ．存在x 0∈R,
≥0
C ．对任意的x ∈R,2x
≤0 D ．对任意的x ∈R,2x
＞0
3.设集合A 和B 都是自然数集合，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2
n
＋n ，则在映射f 下，象20的原象是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 4．函数y ＝ln cos x (－π2<x <π
2
)的图象是(
)
5.与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2
的切线方程是( )
A ．2x －y ＋3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x －y －1＝0
6.函数y ＝sin 2x 的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x ＝π
6
对称，则
φ的最小值为( ) A.512π B.116π C.11
12π D ．以上都不对 7.若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别
为
d 1和d 2，则d 2d 1等于( )A.23 B.32 C.34 D.4
3
8.阅读如右图的程序框图，则输出的S ＝( ) A ．14 B ．20 C ．30 D ．55
9.已知|a |＝2，|b |＝4，向量a 与b 的夹角为60°，当(a ＋3b )⊥(ka
－b )时，实数k 的值是( )A.14 B.34 C.134 D.13
2
10.已知高为3的直棱柱ABC-A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形
(如图所示)，则三棱锥B ′－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36 D.34
11. 设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y
＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y
的最大值为(
A ．2
B.3
2 C ．1 D.12
12.设f (x )、g (x )分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞)
B ．(－3,0)∪(0,3)
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(0,3)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上.
13. 若复数a+(b-2)i 3
是实数，其中i 为虚数单位，a 、b 为实数，则二项式(x －x
b )6
的展开式中常数项是________
14.曲线y ＝x 2
与直线y ＝x ，x ＝0所围成的图形的面积为________
15.双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距
离为________．
16.函数f (x )＝3sin(2x －π
3)的图象为C ，
①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )在区间(－π12，5π
12
)内是增函数；
③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C .
以上三个论断中，正确论断的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π
． （Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移
2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．
18. （本小题满分12分）
如图所示，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4, E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，F 是AB 的中点.以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使面DAE ⊥面ABCE .
（Ⅰ）求证：OF ∥面BDE ；（Ⅱ）求证：AD ⊥面BDE ；（Ⅲ）求三棱锥D -BCE 的体积.
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分12分）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （I ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望。
21. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是x 轴上方椭圆E
上的一点，且211F F PF ⊥, 132PF
=, 25
2
PF =． (Ⅰ) 求椭圆E 的方程和P 点的坐标；
（Ⅱ）判断以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系； 22.已知函数f (x )＝4x 2
－7
2－x ，x ∈[0,1]
(1)求f (x )的单调区间和值域；
(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3
－3a 2
x －2a ，x ∈[0,1]，若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．。