高三上学期期末数学试题

高三上学期期末数学试题（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60 分）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上.

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2.命题“存在x 0∈R,

≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,

＞0

B ．存在x 0∈R,

≥0

C ．对任意的x ∈R,2x

≤0 D ．对任意的x ∈R,2x

＞0

3.设集合A 和B 都是自然数集合，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2

n

＋n ，则在映射f 下，象20的原象是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 4．函数y ＝ln cos x (－π2

2

)的图象是(

)

5.与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2

的切线方程是( )

A ．2x －y ＋3＝0

B ．2x －y －3＝0

C ．2x －y ＋1＝0

D ．2x －y －1＝0

6.函数y ＝sin 2x 的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x ＝π

6

对称，则

φ的最小值为( ) A.512π B.116π C.11

12π D ．以上都不对 7.若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别

为

d 1和d 2，则d 2d 1等于( )A.23 B.32 C.34 D.4

3

8.阅读如右图的程序框图，则输出的S ＝( ) A ．14 B ．20 C ．30 D ．55

9.已知|a |＝2，|b |＝4，向量a 与b 的夹角为60°，当(a ＋3b )⊥(ka

－b )时，实数k 的值是( )A.14 B.34 C.134 D.13

2

10.已知高为3的直棱柱ABC-A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形

(如图所示)，则三棱锥B ′－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36 D.34

11. 设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y

＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y

的最大值为(

A ．2

B.3

2 C ．1 D.12

12.设f (x )、g (x )分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞)

B ．(－3,0)∪(0,3)

C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(0,3)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上.

13. 若复数a+(b-2)i 3

是实数，其中i 为虚数单位，a 、b 为实数，则二项式(x －x

b )6

的展开式中常数项是________

14.曲线y ＝x 2

与直线y ＝x ，x ＝0所围成的图形的面积为________

15.双曲线x 29－y 2

16

＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距

离为________．

16.函数f (x )＝3sin(2x －π

3)的图象为C ，

①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )在区间(－π12，5π

12

)内是增函数；

③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π

3

个单位长度可以得到图象C .

以上三个论断中，正确论断的序号是________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为

23

π

． （Ⅰ）求ω的值．

（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移

2

π

个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．

18. （本小题满分12分）

如图所示，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4, E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，F 是AB 的中点.以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使面DAE ⊥面ABCE .

（Ⅰ）求证：OF ∥面BDE ；（Ⅱ）求证：AD ⊥面BDE ；（Ⅲ）求三棱锥D -BCE 的体积.

19．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =

2

1

1

n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分12分）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （I ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望。

21. 已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是x 轴上方椭圆E

上的一点，且211F F PF ⊥, 132PF

=, 25

2

PF =． (Ⅰ) 求椭圆E 的方程和P 点的坐标；

（Ⅱ）判断以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系； 22.已知函数f (x )＝4x 2

－7

2－x ，x ∈[0,1]

(1)求f (x )的单调区间和值域；

(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3

－3a 2

x －2a ，x ∈[0,1]，若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．