数学模型--投掷标枪之令狐文艳创作

数学建模课程设计报告
令狐文艳
标枪投掷模型
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2014年7月16日
1 绪论
1.1 课题的背景
标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。

而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。

进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。

不考虑阻力，设标枪初速度为ν，出手高度为h，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与ν，h，α的关系式，计算在确定的ν，h下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

1.2 预备知识
上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。

在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

2 计算机工具简介
MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。

本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

3 模型的假设
3.1 模型假设
(1)标枪运行的过程中没有任何阻力；
(2)可以将标枪看作一个质点；
(3)投射角度α与投射初速度ν是两个相互独立的量；
(4)设当地的重力加速度为g，且取值为9.8m/s，并在投掷的任意点都相等；
(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。

(6)不考虑标枪的旋转。

3.2 符号说明
ν：标枪初速度；
v：ν在水平方向上的分量；
x
y v ：ν在竖直方向上的分量；
g ：重力加速度； h ：投射高度；
α：出手角度；
t ：标枪运行的时间；
x ：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；
y ：标枪在竖直方向的位移。

4 模型的建立与求解
一、在确定的ν，h 下计算最佳出手角度α
由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度
ν和出手高度h 一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直
两个方向进行分析，标枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为g 。

所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。

图4.1标枪投掷轨迹图
出手时的速度ν可以分解为：
水平方向：αννcos =x 垂直方向：αννsin =y
则有水平位移和竖直位移分别为：
2cos 1sin 2x t y h t gt νανα=⋅⎧⎪⎨=+⋅-⎪⎩
消去t ，有
h
x x g y +⋅+-
=αα
νtan cos 2222
令方程中的y 为0，有：
21sin 22x g
να
=
22sin 22x g
να
=
-
舍去负根，有：
2sin 22x g
να
=
+取h =1.8m, ν=10m/s ，利用MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。

a = [0:0.01:1.57]
x = (25.*sin(2*a))./19.6 + sqrt(((25.*sin(2*a))./19.6).*((25.*sin(2*a))./19.6) + (360.*(cos(a)).*(cos(a)))./9.8) plot(a, x)
title('标枪投掷距离与出手角度的关系') xlabel('出手角度') ylabel('投掷距离') grid
结果如图4.2所示：
图4.2标枪投掷距离与出手角度的关系图
由图可知，最大值的坐标为（0.40, 6.50）。

二、研究不同的出手速度ν下最佳的出手角度α
当v 和h 一定时，研究v 的变化对出手角度α的影响。

x 便为关于α的函数，即：
22222
sin 2sin 22cos ()(
)22h x g
g g
να
να
να
α=
++
则x 对α求一阶导数为：
1
2
42222
2
22cos 21sin 2cos 22sin 2sin 22cos ()()()22v v h h x g
g g g g να
αααναναα-
⎡⎤'=
+-+⎢⎥⎣⎦
令()0x α'=，有：
44223224222
22
15cos 2(416)cos 2(41516)cos 24cos 240gh gh g h gh gh g h νανναννανα+-+----+=
解得：
2
1=arccos
2gh
gh v
α+ 所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，2
1=arccos 2gh
gh v
α+为最佳出手角度。

将上式代入
22222
sin 2sin 22cos ()(
)22h x g
g g
να
να
να
α=
++
中，得：
2max 2x gh g
ν
ν=
+
Matlab 命令：
1.在给定出手速度v 下要达到最大射程时对应的角度 函数文件：
function f=fun_sv(v)
f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v))/pi*180; 绘出图像：
fplot('fun_sv',[0,100]); xlabel('速度V m/s'); ylabel('角度');
title('v 不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 '); axis([0 50 0 60]); 结果如图4.3所示：
图4.3出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线
5 模型结果
5.1 模型的评价
标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本相符。

但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实际情况中都会有一定的阻力。

此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会随地域的不同而变化。

我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复杂程度，有很多因素没有考虑到。

5.2 模型的推广
本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。

运用该模型的目的就是确定出手角度和最大投掷距离。

此外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯，从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。

结论
标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有显著的作用。

如何能够在比赛中取得更好的成绩，是个困扰很多运动员和教练的问题。

因此，能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。

本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

得到结论是：在h=1.8m, =10m/s时，出手的角度约为0.40（约为23度），投掷距离约为6.5m。

当出手角度为2
1=arccos 2gh
gh v α+时，标枪投得最远。

由图 4.3得，不同
的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。

根据不同运动员的具体情况可从图4.3中确定最佳出手角度。

参考文献
[1] 冯杰, 黄力伟, 王勤, 易成义. 数学建模原理与案例[M]. 北京: 科学出版社,
2007: 222-226.
[2] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型 ( 第三版 ) [M]. 北京: 高等教育出版社,
2003.8: 135-153, 248-262, 358-375.。