线性代数应用案例解析PPT演示文稿
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这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展 影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的 思想时较少涉及线性代数，但在谈及数学文化的结构 说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见﹝1﹞）。的 确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响 不如一元多项式求根（Galois理论）和群。但这并不意 味围绕行列式、矩阵这两个概念，提炼不出数学的思 想、方法及外延的文化。事实上，即使按上面所说，
， 简化的记法常常是深奥理论的源泉（Laplace对行列式
、 矩阵的评述）。随着线性代数的进一步发展，行列式 已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础 上发展起来的K 理论是处理非交换对象的一系统方法11
关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到 Vandermonde, Laplace(1771—1773)对行列式理论作出连 贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数 发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接 导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线 线性方程组最有效的Gauss消元法出现的比行列式方法 晚得多，与Gauss消元变换对应的初等矩阵（初等变换
6
作用。 特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如[2]，
减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的 思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一 条新路。
随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识 及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学 数学教学中，应将数学文化教育与数学专业教育结合 起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学
们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变
换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达
方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式
，
9
尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群 的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。 然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是 数学器具的一部分。
3
什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。 但法国的E.波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在 说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理， 是从不同的角度看数学得出的结论。
在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学 、 科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对 数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文 献[1]。 既然人们对“文化”、“数学”的 定义与认识不统 一，当然对数学文化的理解更是 “仁者见仁、智者见 智”，但这并不影响我们今天将数学文化 作为大学生 素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们
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这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具 都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工 具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展， 使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制 系统和计算的数学[4] 。今天，计算数学中的一切方法 无例外地都以线性代数为基础（Γ.N.MapЧУK），这必 将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此
开设数学文化专门课程和在数学教学中加强数学文化 教育是数学文化教育的两个方面。前者，宏观特性强一 些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自 然科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，微 观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想 方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上 相辅相成，都不可欠缺。
把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探4
讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意
义的工作）。 事实上， 我们遇到的许多概念都没有十分精确的定
义，即使是数学概念。比如，点是数学（几何学）中
最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的 ：
点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的 严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可
本文档相关内容参见 视频 10-12
浅议线性代数中的 数学文化
游宏
2
引言
提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因 为数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很 难说清这一概念的确切定义。
首先，文化的定义就不下二百种，比较流行的看法 是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应 包含物资财富），但数学是什么？尽管在座的都是数 学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学 的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定 义是矛盾的。比如， 英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说
概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想 、
方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益 处பைடு நூலகம்在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应7
用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天 老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程 中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授 内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师 的自身素质和教学热情都将有较高的要求。
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为什么要谈线性代数中的数学文化
现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思
想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数
（行列式、矩阵）为例，这可能是受到M。Kline的
“古今数学思想”的影响[3]，在“古今数学思想”卷
三中Kline有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言
上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它
以理解点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学 ，
乃至数学。 虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识 ，
但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共5
艺术、数学美学及数学的社会效应等。 近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学
文化的书籍、论文纷纷 问世。大多数数学文化的书籍 都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到 的 数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特点 是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文 化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐 美就举黄金分割，0.618的例子；对称美举二项式 定理或“群”，等等 。也有些文章和书籍以数学故事， 名人轶事感染读者。无疑，这些 著作在普及与推广数 学文化，使更多的人认识数学 ，启蒙中学生和大学生 的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的
， 简化的记法常常是深奥理论的源泉（Laplace对行列式
、 矩阵的评述）。随着线性代数的进一步发展，行列式 已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础 上发展起来的K 理论是处理非交换对象的一系统方法11
关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到 Vandermonde, Laplace(1771—1773)对行列式理论作出连 贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数 发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接 导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线 线性方程组最有效的Gauss消元法出现的比行列式方法 晚得多，与Gauss消元变换对应的初等矩阵（初等变换
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作用。 特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如[2]，
减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的 思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一 条新路。
随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识 及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学 数学教学中，应将数学文化教育与数学专业教育结合 起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学
们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变
换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达
方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式
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尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群 的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。 然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是 数学器具的一部分。
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什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。 但法国的E.波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在 说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理， 是从不同的角度看数学得出的结论。
在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学 、 科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对 数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文 献[1]。 既然人们对“文化”、“数学”的 定义与认识不统 一，当然对数学文化的理解更是 “仁者见仁、智者见 智”，但这并不影响我们今天将数学文化 作为大学生 素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们
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这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具 都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工 具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展， 使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制 系统和计算的数学[4] 。今天，计算数学中的一切方法 无例外地都以线性代数为基础（Γ.N.MapЧУK），这必 将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此
开设数学文化专门课程和在数学教学中加强数学文化 教育是数学文化教育的两个方面。前者，宏观特性强一 些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自 然科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，微 观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想 方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上 相辅相成，都不可欠缺。
把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探4
讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意
义的工作）。 事实上， 我们遇到的许多概念都没有十分精确的定
义，即使是数学概念。比如，点是数学（几何学）中
最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的 ：
点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的 严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可
本文档相关内容参见 视频 10-12
浅议线性代数中的 数学文化
游宏
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引言
提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因 为数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很 难说清这一概念的确切定义。
首先，文化的定义就不下二百种，比较流行的看法 是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应 包含物资财富），但数学是什么？尽管在座的都是数 学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学 的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定 义是矛盾的。比如， 英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说
概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想 、
方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益 处பைடு நூலகம்在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应7
用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天 老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程 中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授 内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师 的自身素质和教学热情都将有较高的要求。
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为什么要谈线性代数中的数学文化
现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思
想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数
（行列式、矩阵）为例，这可能是受到M。Kline的
“古今数学思想”的影响[3]，在“古今数学思想”卷
三中Kline有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言
上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它
以理解点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学 ，
乃至数学。 虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识 ，
但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共5
艺术、数学美学及数学的社会效应等。 近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学
文化的书籍、论文纷纷 问世。大多数数学文化的书籍 都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到 的 数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特点 是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文 化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐 美就举黄金分割，0.618的例子；对称美举二项式 定理或“群”，等等 。也有些文章和书籍以数学故事， 名人轶事感染读者。无疑，这些 著作在普及与推广数 学文化，使更多的人认识数学 ，启蒙中学生和大学生 的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的