函数概念的形成与发展
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
函数的起源,发展及演变
函数的起源，发展与演变。
一．函数定义1．本义一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x 值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y 的取值范围叫做函数的值域。
近代演变义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。
令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。
另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
二．起源早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．三．发展δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．三．演变设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
函数概念的发展历史和应用总结报告
一、概述函数作为数学、计算机科学、工程学等多个学科领域中的重要概念，在其发展历史中扮演着至关重要的角色。
本报告将对函数概念的发展历史进行回顾，并总结其在各个领域中的应用情况，以期为相关领域的研究和教育提供参考。
二、函数概念的发展历史1. 函数的最早概念函数的最早概念可以追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，他将函数理解为图形和数之间的关系。
此后，函数的概念在数学中逐渐得到发展，包括勒让德、傅里叶、魏尔斯特拉斯等数学家的贡献。
2. 函数在工程学中的应用函数在工程学中的应用可以追溯至17世纪，当时牛顿和莱布尼兹分别发现了微积分学科，其中涉及了函数的概念。
自此之后，函数的应用在工程学中不断深入，成为解决工程问题的重要数学工具。
3. 函数在计算机科学中的发展函数在计算机科学中的发展可以追溯至20世纪50年代的代数逻辑理论。
随着计算机的发展，函数成为了编程和算法设计中的基础概念，如递归函数、高阶函数等。
三、函数在各领域中的应用总结1. 数学领域在数学领域中，函数的应用广泛，涉及微积分、数学分析、代数学等多个分支。
函数作为数学建模的基础，被广泛应用于科学研究和工程技术中。
2. 工程学领域在工程学领域中，函数的应用与数学领域紧密相关，包括控制系统、信号处理、电路分析等。
工程师通过函数分析和设计，解决了许多现实世界中的难题。
3. 计算机科学领域在计算机科学领域中，函数的应用涉及编程语言、算法设计、数据结构等多个方面。
函数作为计算机程序中的基本单位，对计算机科学的发展起到了至关重要的作用。
四、结语函数作为一个跨学科的概念，在数学、工程学、计算机科学等多个领域中得到了广泛的应用。
通过回顾函数概念的发展历史及其在各领域中的应用情况，我们可以更好地理解函数的重要性和作用，为今后在相关领域的研究和应用提供借鉴和指导。
希望本报告能对相关领域的研究和教育工作有所助益。
五、函数概念的发展历史和应用案例1. 函数在物理学中的应用在物理学中，函数的概念被广泛运用于描述自然界中的各种规律和现象。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数概念的产生与发展
函数概念的产生与发展函数的概念产生于古希腊的数学领域，随着数学发展逐渐完善和发展。
在古希腊时代，数学主要是以几何学为基础，对于直线、圆、三角形等几何图形的研究较为深入。
然而在研究几何图形的过程中，人们发现需要研究更一般的曲线来解决一些问题。
于是，人们开始研究曲线的性质和方程，这就是函数概念的起源。
最早提出函数概念的是古希腊的柯尼多斯（Conon），他在《席知布拉斯》（Spherics）一书中，使用了“曲面上的曲线”概念，也就是我们现在所称的函数。
在柯尼多斯的研究中，函数是用来描述曲面上点的位置，他通过截面的思想来研究曲线。
然而，他并未对函数的性质和变化进行详细的研究。
在早期的数学研究中，函数的概念并不被广泛使用。
直到16世纪，随着代数学的发展，人们开始更加系统地研究函数。
法国数学家弗朗西斯·维埃特（François Viète）是最早引入函数概念的数学家之一、他在《代数最湮</em>〉》一书中，首次将函数描述为数之间的关系，他将函数视为是一个等式中的未知量，并提出了函数的运算规则。
18世纪的数学家欧拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等人进一步完善了函数的概念和理论。
欧拉在《分析概论》一书中，提出了复变函数的概念，研究了函数的连续性和收敛性等问题。
拉格朗日在《分析学》一书中，提出了拉格朗日乘数法和最优化问题的理论，对函数的极值问题进行了深入研究。
到了19世纪，函数的概念得到了进一步的发展和推广。
高斯（Carl Friedrich Gauss）提出了研究函数性质的代数方法，他在《复数的算术及代数原理》中，提出了函数的代数特征。
柯西（Augustin-Louis Cauchy）在《复变函数论》一书中，研究了复变函数的连续性和可微性，开创了复变函数论的研究方向。
魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）则在极限理论方面做出了巨大贡献，他引入了极限的严格定义和连续函数的定义。
函数的形成与发展文献综述论文
函数的形成与发展文献综述论文标题：函数的形成与发展：文献综述摘要：函数是数学中的重要概念，在数学发展的过程中扮演了关键角色。
本文通过综合分析相关文献，探讨了函数的形成及其发展历程。
首先，从古希腊数学开始，介绍了函数最早的雏形。
接着，分析了函数在数学分析和微积分中的重要地位及其在数学发展中的关键作用。
最后，探讨了现代数学理论中对函数的扩展和应用。
通过这些分析，本文旨在为读者提供一个全面了解函数在数学中的演化历程的视角。
关键词：函数、数学分析、微积分、数学发展、演化历程引言：函数是数学中一个基本概念，也是数学的重要工具之一、在数学的发展过程中，函数的概念以及其相关理论和方法的发展，对数学的发展产生了重要的影响。
本文通过综合分析相关文献，致力于理解函数的形成及其发展历程。
一、函数的起源与形成古希腊数学家对函数的最早雏形进行了研究。
例如，柏拉图和亚里士多德提出了“伴随两个变量的两个数量是相等的，那么这两个变量是一致的”这样的观点，为函数的形成奠定了基础。
二、函数在数学分析和微积分中的重要地位17世纪，数学家使用函数的概念来研究曲线和其性质。
以拉格朗日为代表的数学家，通过函数的研究发展了微积分学。
函数的发展使得计算曲线的斜率、曲率等性质成为可能。
三、函数在数学发展中的关键作用函数在数学发展中发挥了关键作用。
例如，伯努利家族的成员通过函数的使用，研究了一系列重要的数学问题。
函数的发展也推动了代数学、图论、拓扑学等多个数学分支的发展。
四、现代数学理论中对函数的扩展和应用随着数学的发展，函数的概念得到了进一步的拓展和应用。
例如，广义函数的引入进一步拓展了函数的概念。
函数在数学分析、数理统计、优化等领域有着广泛的应用。
结论：函数是数学中的重要概念，经过漫长的发展历程，其在数学中的地位和应用不断扩展。
从古希腊数学到现代数学理论，函数的形成与发展，对数学的发展产生了重要的影响。
本文通过综合分析相关文献，对函数的形成与发展进行了综述，旨在为读者提供对函数在数学中的演化历程的全面了解。
函数概念产生和发展的几个阶段
第2卷 第3期山西教育学院学报Vol 2 No 3 1999年9月Journal of ShanXi Educational College Sep1999 函数概念产生和发展的几个阶段王爱兰 雷玲香摘 要:本文通过对函数的研究,介绍了函数产生、发展、成熟的三个阶段关键词:函数 产生 发展自十七世纪近代数学产生以来,函数概念一直处于数学思想的核心位置,它不仅是近代数学的主要研究对象,而且自然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配。
从而使科学之母 数学注入了新鲜血液。
因此,了解函数概念产生与发展的历史,掌握现代数学的思想方法,对于指导我们当前的工作是十分有益的。
一、函数概念的产生阶段进入十七世纪,经过文艺复兴革命的欧洲冲破了中世纪的黑暗的束缚,科学技术得到前所未有的发展。
与以前不同的是,科学技术的发展愈来愈依赖于数学思想和方法。
正如牛顿(英)所说:古代人在自然事物的研究中把力学科学推崇到极端重要的地位,而近代人则排除物体的形式和玄妙的质,努力把自然现象放在数学的控制之下!。
在当时,扩展数学领域,改进数学方法的要求更加迫切。
顺应历史潮流,费尔玛(法)、笛卡尔(法)等人打破传统数学思想,首先用代数方法研究几何问题,由点对应到数形统一,创立了解析几何这门新的数学学科。
尢为重要的是变量进入数学,辩证法进入了数学,数学发生了飞跃。
函数概念正是在这种沃土中发芽生长的。
函数概念的产生经历了一个较长的历史时期。
函数一词是1673年莱布尼茨(德)创造的。
函数的思想最初是在处理不定方程时,引入代数中的。
如果要表达一个量,它是不定的,除非预先给其它的量认一个确定的值,这些数值是数目不定的上述其它的量,在同一问题中可以取得的,那么就用函数一词来表达这种依赖关系。
当时,人们对这种依赖关系的认识还相当模糊。
但感觉到它的作用,后来随着科学技术和生产实践的需要,对各种运动的研究更加深入,进而使函数作为描述变量之间的相互依赖关系的思想,逐渐被更多的人接受和应用。
函数产生的历史背景和发展过程
函数产生的历史背景和发展过程历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．”在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由表示出，其中富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：f（x）= 1（x为有理数），0（x为无理数）．在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数．狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，即ρ（x）＝0，x≠0，∞,x=0．且δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y 的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．。
函数的形成与发展论文500字
函数的形成与发展论文500字
在数学的发展史中,重要数学概念的形成离不开数学的发展,这些概念的形成对数学的发展有推动作用.函数概念是数学概念中的一个非常典型的数学概念.函数概念的形成,从最初的萌芽阶段到最终形成历经了一千多年.纵观数学的发展史,函数概念的每一次升华都是数学发展到一定阶段的产物,并对后面数学的发展作出推动作用.研究函数概念的发展。
最早给出函数概念的明确定义的是,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。
”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。
”
莱布尼茨首次用“function ” 一词表示幂，即。
1673年，他用“ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。
记号是欧拉1743年引进的。
当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。
1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。
上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。
1775年欧拉又给出一个新的函数定义：
如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。
这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。
函数概念的形成与演变
康托尔
从康托尔(Cantor， 从康托尔(Cantor，德， (Cantor 1845－1918)创立的集合论 1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后， 在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen (Veblen， 维布伦(Veblen，美，1880 1960)用 集合” 对应” －1960)用“集合”和“对应”的 概念给出了近代函数定义， 概念给出了近代函数定义， 通过集合概念， 通过集合概念，把函数的对 应关系、 应关系、定义域及值域进一 步具体化了，且打破了“ 步具体化了，且打破了“变 量是数”的极限， 量是数”的极限，变量可以 是数， 是数，也可以是其它对象 向量、 （点、线、面、体、向量、 矩阵等）。 矩阵等）。
在公元十六世纪之前， 公元十六世纪之前， 数学上占统治地位的是常量 数学，其特点是用孤立、 数学，其特点是用孤立、静 止的观点去研究事物。 止的观点去研究事物。具体 的函数在数学中比比皆是， 的函数在数学中比比皆是， 但没有一般的函数概念。 但没有一般的函数概念。
法國於1996年發行，紀念笛卡爾四百週年誕辰
函数概念的定义经过三百多年的 锤炼、变革， 锤炼、变革，形成了函数的现代定义 形式， 形式，但这并不意味着函数概念发展 的历史终结， 世纪 年代， 世纪40年代 的历史终结，20世纪 年代，物理学 研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ 研究的需要发现了一种叫做 － 函数，它只在一点处不为零， 函数，它只在一点处不为零，而它在 全直线上的积分却等于1， 全直线上的积分却等于 ，这在原来的 函数和积分的定义下是不可思议的， 函数和积分的定义下是不可思议的， 但由于广义函数概念的引入，把函数、 但由于广义函数概念的引入，把函数、 测度及以上所述的Dirac－δ函数等概 测度及以上所述的 － 函数等概 念统一了起来。因此， 念统一了起来。因此，随着以数学为 基础的其他学科的发展， 基础的其他学科的发展，函数的概念 还会继续扩展。 还会继续扩展。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念发展是数学领域的一项重要成果，也是数学发展历史中的一个重要组成部分。
函数最早的概念可以追溯到古希腊的数学家阿基米德和欧几里得。
然而，对函数概念的系统阐述和确立要追溯到17世纪以后，而且对函数的深入研究和应用更是要追溯到19世纪以后。
函数的概念发展历程不仅反映了数学知识的深化和发展，同时也与数学在科学研究和工程技术中的应用密切相关。
1.古希腊的初步探索在古代希腊，数学家已经开始讨论和研究数学对象之间的关系。
阿基米德和欧几里得都研究了相对的数值关系。
而欧几里得就探讨了比例关系的平均比例。
这些早期的研究工作，奠定了函数概念发展的基础。
2.笛卡尔坐标系的建立近代函数概念的确立和发展，与笛卡尔坐标系的建立密不可分。
笛卡尔在17世纪提出了笛卡尔坐标系，引入了坐标系和代数表达法，使得函数可以通过方程和坐标来表示。
3.函数概念的确立17世纪，莱布尼兹和牛顿等数学家在微积分的研究中提出了函数的概念。
他们认为，函数是一种数学对象，是一种数值之间的对应关系。
这一概念的确立，标志着函数作为数学对象的独立性和重要性得到了认可。
4.函数的深入研究在函数的概念确立之后，数学家们开始深入研究函数的性质、性质和变化规律。
在19世纪，勒贝格和黎曼等数学家提出了积分和微分的理论，为函数的深入研究提供了有力的工具。
5.函数在科学和工程中的应用随着函数的研究深入和发展，函数的应用范围也得到了扩展。
在物理学、工程技术和金融领域，函数成为了研究和描述现实世界的重要工具。
总之，函数概念的发展是数学发展史上的一大里程碑，它标志着数学在研究方法和工具上的重大进步，也有力地推动了数学在科学和工程中的应用。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
函数的概念发展历程可以追溯到古代。
以下是函数概念的主要里程碑和发展历程：
1. 古代：在古希腊，数学家们开始研究几何，并将曲线与方程联系起来。
亚历山大的方程书（约公元前200年）中包含了解决二次方程的方法，这可以被视为函数概念的早期形式。
2. 牛顿和莱布尼茨：17世纪末，牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，为函数概念的发展做出了重要的贡献。
他们引入了导数和积分的概念，并将函数与曲线的斜率和面积联系起来。
3. 18世纪：欧拉、拉格朗日、柯西和傅立叶等数学家对函数概念进行了深入的研究和推广。
他们对函数的连续性、可微性、极限等性质进行了研究，进一步拓展了函数概念的范围。
4. 19世纪：从19世纪开始，函数的定义逐渐得到了严格化。
魏尔斯特拉斯提出了ε-δ定义，以解决函数连续性的问题。
庞加莱提出了函数的互相映射的概念，并研究了函数的多值性。
5. 20世纪：20世纪，函数概念得到了更深入的发展和应用。
例如，黎曼几何中的度量空间和函数空间，拓扑学中的连通性和紧致性，以及泛函分析中的函数空间等。
总的来说，函数概念的发展历程经历了漫长而丰富的探索和发现，从最早的曲线与方程的联系，到微积分的引入，再到函数的严格定义和广泛应用，函数已成为现代数学和其他科学领域中最重要的概念之一。
关于函数的产生及发展的报告
关于函数的产生及发展的报告一、函数概念的纵向发展过程1、早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
2、十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3、十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。
函数概念的提出与发展演变
函数概念的提出与发展演变函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT 等领域发挥着举足轻重的作用；在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。
学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景函数（function）这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.而在16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题；哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。
牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。
函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。
如牛顿在1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示；纳皮尔在1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。
1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式；直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。
17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。
在1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”,而牛顿在微积分的研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。
函数概念的起源、演变与发展
对过 去科 学概 念 的确 立认 识 ，应 当采 用历 时 的方 法 ，按 照历 史 实 际 存在 的境 遇 和 观 点 ，来 研 究 过 去 的科 学＿３］．从历 史 上看 ，函数 概 念 的产 生有 以下 三个 来 源．
２．１ 科 学 的 数 学 化 ，为 函 数 概 念 刻 画 奠 定 了 基 础 ． 物 理 学 的 定 量 研 究 与 描 述 ，兴 起 了 科 学 的 数 学 化 ，为 函 数 概 念 刻 画 奠 定 了 基 础 ．自文 艺 复 兴 以 来 ，科 学研 究 以认识 和解 释 自然 现象 和规 律 为宗 旨 ，人们 在 思 索 ：既然 地 球 不 是 宇宙 中心 ，它 本 身 又有 自转 和 公转 ，那 么下 降 的物体 为什 么 不发 生偏 移 而还 要垂 直 下 落 到地 球 上 ？还 有 ，斜 抛 物 体 的射程 、高度 及 轨 迹是 什 么？科 学 家 的兴趣 也集 中在能 够解 释这 些 规律 的公 式 上．伽 利 略 等 一 大批 科 学 家 对 运 动 和一 些 几何 内容 作 了定量 研 究 ，得 出 了一 些规 律 性 的变 量之 间关 系 ，但都 是 文字关 系 描述 ，如 “从静 止状 态 开始 的以定 常加 速度 下 降的物 体 ，其经 过 的距 离 与所用 的时 间的平 方成 正 比”，“两 个等 体积 圆柱体 的侧 面积 之 比 等 于 它 们 高 度 之 比 的 平 方 根 ”，这 标 志 科 学 数 学 化 的开 始 ．他 虽 然 没 有 采 用 字 母 和 运 算 符 号 的 表 示 ， 但 已 经 明 确 出 量 与 量 之 间 的 关 系 ，为 函 数 概 念 的 内 涵 确 定 奠 定 了基 础 ． ２．２ 代 数 符 号 化 为 函 数 概 念 奠 定 了 重 要 的 形 式 基 础 ． 从 丢 番 图 到 韦 达 ，代 数 学 逐 步 走 出 了 文 字 叙 述 式 表 述 ，已 经 广 为 接 受 用 阿 拉 伯 数 字 和 字 母 进 行 运
关于函数的形成与发展的数学小论文
关于函数的形成与发展的数学小论文函数是数学中一个重要的概念，它在不同国家的数学思想中有着丰富的发展历程。
本论文将从函数概念的形成、函数与方程的关系以及函数的进一步发展等方面进行介绍和分析。
一、函数概念的形成函数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
当时古希腊数学家用被称为底数的量和被称为脚数的量来描述两者的关系。
然而，由于古希腊数学的几何本质，这种关系主要是通过图形来表示的。
在十七世纪，随着代数学的发展，函数的概念得到了一定的推广和改进。
约翰·沃利斯被认为是函数概念的奠基人之一，他定义了一种通过代数表达式表示的函数。
而克里斯蒂安·荷伯特也提出了函数的图像和论域的概念。
二、函数与方程的关系函数与方程的关系在十七世纪的代数学中得到了深入的研究。
鲁内斯对函数与方程进行了明确的区分，提出了函数可以包含方程的多个解的概念。
同时，拉格朗日也对函数与方程的关系进行了进一步的研究，他将函数看作是方程的延伸。
三、函数的进一步发展在十九世纪，函数的研究进入了一个新的阶段。
卡尔·魏尔斯特拉斯提出了连续函数和可微函数的概念。
他强调了函数的连续性和光滑性，并引入了极限的思想。
这一思想为后来的微积分的发展奠定了基础。
在现代数学中，函数的发展更是展现出了丰富多样的形式和应用。
函数的理论在数学的各个领域得到了广泛的应用，如数学分析、微积分、概率统计等。
同时，函数的研究也在计算机科学和物理学等领域得到了应用。
总结函数作为数学中一个重要的概念，经历了漫长的历史发展过程。
它最早在古希腊时期被提出，并在十七世纪得到了进一步的推广和改进。
函数与方程的关系也在十七世纪被明确，并在十九世纪得到了更深入的研究。
函数的发展进一步推动了数学的发展，在现代数学中得到了广泛的应用。
1. Boyer, C. B. (1991). A history of mathematics (2nd ed.). New York: Wiley.2. Edwards, C. H. (2003). The historical development of the calculus. New York: Springer.。
函数概念的产生与发展
函数概念的产生与发展函数的产生发展介绍如下：1、在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。
纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关。
正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化。
2、最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。
最初莱布尼茨用函数一词表示幂，如x，x2，x3都叫函数。
以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
3、1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。
意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。
贝努利所强调的是函数要用公式来表示。
4、1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
5、1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
6、1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化。
函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。
函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。
7、1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数。
函数概念产生和发展的几个阶段
第2卷 第3期山西教育学院学报Vol 2 No 3 1999年9月Journal of ShanXi Educational College Sep1999 函数概念产生和发展的几个阶段王爱兰 雷玲香摘 要:本文通过对函数的研究,介绍了函数产生、发展、成熟的三个阶段关键词:函数 产生 发展自十七世纪近代数学产生以来,函数概念一直处于数学思想的核心位置,它不仅是近代数学的主要研究对象,而且自然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配。
从而使科学之母 数学注入了新鲜血液。
因此,了解函数概念产生与发展的历史,掌握现代数学的思想方法,对于指导我们当前的工作是十分有益的。
一、函数概念的产生阶段进入十七世纪,经过文艺复兴革命的欧洲冲破了中世纪的黑暗的束缚,科学技术得到前所未有的发展。
与以前不同的是,科学技术的发展愈来愈依赖于数学思想和方法。
正如牛顿(英)所说:古代人在自然事物的研究中把力学科学推崇到极端重要的地位,而近代人则排除物体的形式和玄妙的质,努力把自然现象放在数学的控制之下!。
在当时,扩展数学领域,改进数学方法的要求更加迫切。
顺应历史潮流,费尔玛(法)、笛卡尔(法)等人打破传统数学思想,首先用代数方法研究几何问题,由点对应到数形统一,创立了解析几何这门新的数学学科。
尢为重要的是变量进入数学,辩证法进入了数学,数学发生了飞跃。
函数概念正是在这种沃土中发芽生长的。
函数概念的产生经历了一个较长的历史时期。
函数一词是1673年莱布尼茨(德)创造的。
函数的思想最初是在处理不定方程时,引入代数中的。
如果要表达一个量,它是不定的,除非预先给其它的量认一个确定的值,这些数值是数目不定的上述其它的量,在同一问题中可以取得的,那么就用函数一词来表达这种依赖关系。
当时,人们对这种依赖关系的认识还相当模糊。
但感觉到它的作用,后来随着科学技术和生产实践的需要,对各种运动的研究更加深入,进而使函数作为描述变量之间的相互依赖关系的思想,逐渐被更多的人接受和应用。
函数概念的形成与发展-人教B版必修一教案
函数概念的形成与发展-人教B版必修一教案一、引言函数是高中数学中最重要的概念之一，学好函数对于高中数学的学习至关重要。
那么，函数概念是如何形成和发展的呢？在本文档中，我们将探讨函数概念的形成与发展。
二、概念的形成在数学史上，函数的概念是在17世纪初期逐渐形成并且不断完善的。
1637年，笛卡尔并未使用函数的概念，但他在《几何学》一书中引入了坐标系，将几何问题转化为代数问题，为后来的函数研究提供了基础。
在此基础上，韦达在1659年提出了函数的初步概念，认为函数是一种由一个自变量映射到另一个因变量的规律。
1707年，勒让德正式提出了函数的全面定义，这一定义至今仍广泛应用。
三、概念的发展在18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对函数的性质和应用进行了深入研究。
19世纪初期，高斯致力于函数论的研究，开辟了函数论研究的新领域。
20世纪初期，希尔伯特等数学家在函数论研究的基础上，提出了函数空间、演算理论等新的研究方向。
此外，函数作为一种数学模型，在其他学科中也得到了广泛应用，如物理、经济学、工程学等。
四、函数概念的应用函数的概念是高中数学的重点和难点之一，也是后续学习数学的基础。
函数概念的应用十分广泛，涉及到函数的性质、函数的图像、复合函数、反函数等内容。
在实际生活中，函数概念也应用广泛，如制作数学模型、分析各种问题、预测未来发展趋势等。
五、教学实践（一）教材分析当前，人教B版高中数学必修一中对函数的教学有着详细的安排。
在此基础上，教师可以采用多种教学手段和方法，提高学生的学习效果。
（二）教学方法教学中，教师可以采用讲解、演示、互动等多种教学方法，以帮助学生形成深刻的函数概念。
同时，可以采用问题引导、情境模拟等教学手段，让学生更好地理解函数的应用。
（三）教学评价在教学中，教师可以采用课堂讨论、课堂测试等方式进行教学评价，及时发现学生的掌握情况，并对学生有针对性地提出建议。
六、总结函数概念是高中数学中最重要的概念之一。
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函数概念的形成与发展
北京教育学院宣武分院 彭 林
北京师范大学数学系 张 宇
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用.
(一)
马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.
自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.
(二)
早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.
1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,
后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x 和常量按任何方式构成
的量叫“x 的函数”,表示为y x .
当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c 而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.
18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与
欧拉先后引出了“任意的函数”的说法.在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.
(三)
函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和W ·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.
后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.”
在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以2
π为周期函数,在[-π,π]区间内,可以由α0
2+Σx k =1(αk
cos kx +b k sin kx )数学走廊
中学数学教学参考2003年第11期
61
=α
2
+(α1cos x+b1sin x)+…
表示出,其中
α
k =
1
π
π
-π
f(x)cos kx dx Θ,
b k=
1
π
π
-π
f(x)sin kx dx Θ.
富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.
通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.
1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.
1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是:“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”
根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数):
f(x)=1 (x为有理数),
0 (x为无理数).
,如果x由0逐渐增大地取值,则
f(x)忽0忽1.在无论怎样小的区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)仍是一个函数.
狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.
(四)
生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数———δ-函数,
即 ρ(x)=
0,x≠0,
∞,x=0.
且
+∞
-∞
ρ(x)dx=1
Θ.
δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P(0)=
压力
接触面
=
1
=∞.
其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即
P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即
+∞
-∞
ρ(x)dx=1
Θ.
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系.
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”.
设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}.
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为x Ry.若(x,y) R,则称x与y无关系.
现设f是X与Y的关系,即f<X×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了.
从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.
62 数学走廊
中学数学教学参考
2003年第11期。