有限元课件128页PPT

工程结构设计中的主要构件
梁、柱、杆 板、壳 三维实体
结构设计及工程灾变分析中控制微分方程
1、梁弯曲问题
EJ
d 4w dx4
q
0
2、薄板弯曲问题
D4wq(x,y)
DEh3/12(12)
3、弹性力学三维问题
x
x
yyx zzxFbx0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
z
x
yz
y
z
z
Fbz
加权残值法思想
加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法， 其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的 近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即 存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值 法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵 一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。
0
微分方程解题思路及主要解法
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
数值解法
微分方程的幂级数解法（概述）
例如求一阶微分方程： dy f ( x, y)
满足初始条件 y
dx
x x0 y0
的特解，其中函数
有限差分法思想
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的 方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差 分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限 差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导 数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从 而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该 方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值 解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较 成熟的数值方法。
主要参考书目
有限元分析的概念与应用；罗伯特.库克. 西 安交通大学出版社.
有限单元法原理与应用；朱伯芳. 中国水利 水电出版社.
有限单元法及计算程序；王焕定，吴德伦等. 中国建筑工业出版社.
有限元方法（第5版）第1卷，基本原理； 监凯维奇. 清华大学出版社.
概述
• 重大工程的设计和灾变 • 结构设计及工程灾变分析中的微分方程 • 微分方程的主要解法
f
(x,
y)
是
( y y0 ) 和 ( x x0 ) 的多项式：
f ( x , y ) a 0 0 a 1 0 ( x x 0 ) a 0 1 ( y y 0 ) . . . a l m ( x x 0 ) l ( y y 0 ) m (1)
这时我们可以设所特解可展开为 x x 0 的幂级数
自然原因：包括环境腐蚀、
太阳辐射使结构强度和刚度 降低。
J7机翼前梁后段
重大工程灾变（预防或减少措施）
满足静强度要求 1、强度设计 2、刚度设计 3、稳定性设计
满足动力特性 安全寿命设计 安全寿命/损伤容限设计 耐久性/损伤容限设计 可靠性分析 改善服役环境 加强并提升结构的防护
如有某一应用科学问题中的控制微分方程式及边界条 件分别为：
Fu f 0 v 域内
（1）
m
s (Gu g) 0
边界面
i 1
（2）
为了解这个控制微分方程式，我们假设待定函数的一
个近似解，为试函数 u
加权残值法思想（续）
Hale Waihona Puke Baidu
n
u C j N j j 1
（3）
将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足，
y y 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 . . . a n ( x x 0 ) n . . . (2)
其中 a0,a1,...,an,... 是待定的系数
把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端
的( x x0 )同次幂的系数，就可定出常数 a0,a1,...,an,..., 以这些
无网格方法思想
无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不 需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值 函数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代 替,不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点 之间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成,这大大 节省了分析人员的时间,也相对较容易在分析过程中对节点 进行重新划分。
于是分别出现了内部和边界残差：
RI Fuf 0
m
m
RB (Gug)0
i1
i1
为了消除残差，通常引进内部权函数 W l 和边界权函 数 W B ，将它们分别与 和R I 相乘R B ，列出消除内部残 值方程式及消除边界方程式分别如下：
RlWl dv 0
Vm
S RBWBds 0
i1
Cj(j 1,2,...,n)
重大工程的设计（概述）
11
3
2
44
重大工程的灾变（概述）
Aloha航线上波音747事故
2019年阪神地震
重大工程灾变（原因）
设计原因：设计未满足标准或者安全使用的要求。包括
设计计算错误，结构、选型不合理，材料选用不当等
制造和安装原因：包括材料有缺陷或者错用，制造工
艺不合理，零（部）件缺陷，焊材、焊接缺陷，热处理不 合理，组装错误
有限元法思想
其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为 单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变 形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容 易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的 变形和应力。
边界元法思想
边界元法(Boudary element method)是在有限元法 之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 , 通常又称边界积分方程。该方法应用格林函数公式，通 过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换 成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解 变量与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分 方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的 未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的 被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问 题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算 机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是， 需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。
常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足
初始条件 y xx0 y0 的特解。
微分方程的数值解法
在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方 法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称 为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值， 这类方法通常包括：
有限元方法 边界元方法 加权残值方法 有限差分法 无网格法