高考数学计数原理知识汇总

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计数原理必备知识点总结

计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。

在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。

1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。

互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。

1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。

条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。

1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。

达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。

二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。

在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。

2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。

在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。

2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。

组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。

2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。

三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。

例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。

3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。

二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。

高二数学计数原理知识点总结归纳

高二数学计数原理知识点总结归纳1. 排列与组合在数学中，排列与组合是计数原理的基本概念。

排列表示对给定的一组元素进行有序的安排，而组合则表示选取给定集合中的若干元素的无序集合。

2. 排列排列是从一个给定的元素集合中选取出一些元素按照一定的顺序进行排列的算法。

根据排列的性质，可以分为两种类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。

2.1 有重复元素的排列设有 n 个元素中，其中有 m1个元素相同，m2个元素相同，...，mk 个元素相同。

则排列数 P 的计算公式为：P = n! / (m1! * m2! * ... * mk!)2.2 无重复元素的排列设有 n 个不同的元素要进行排列，选取其中 r 个元素进行排列的方式，计算排列数的公式为：P = n! / (n - r)!3. 组合组合是从一个给定的元素集合中选取出若干元素的无序集合。

与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

根据组合的性质，可以分为两种类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。

3.1 有重复元素的组合设有 n 个元素中，其中有 m1 个元素相同，m2 个元素相同，...，mk 个元素相同。

则组合数 C 的计算公式为：C = (n + 1)! / (m1! * m2! * ... * mk! * (n - m1 - m2 - ... - mk)!)3.2 无重复元素的组合设有 n 个不同的元素要进行组合，选取其中 r 个元素进行组合的方式，计算组合数的公式为：C = n! / (r! * (n - r)!)4. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了两个数的二次方的展开式中，各个项的系数与指数之间的关系。

二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, r) *a^(n-r) * b^r + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, r) 表示了 n 中取 r 的组合数。

计数原理知识点总结高中

计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。

1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。

加法原理可以用于求解排列组合等问题。

举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。

2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。

举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。

二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。

1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。

2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。

排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。

因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。

三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。

分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。

举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。

按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。

分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。

高中数学知识点总结计数原理

高中数学知识点总结计数原理一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个．二、排列1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒确定一个具体问题是否为排列问题的方法：(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题．(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2．解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．(2)注意对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算．特别提醒当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．3．排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.特别提醒排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.三、组合1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.特别提醒解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．3．组合数的性质性质1：C C m n m n n-=. 性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.四、二项式定理1．二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n na b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})kn k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 2．二项式系数的性质（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即2131C C C C 2n n n n n -++=++=L L . 特别提醒求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k 的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,L）.k n（1）第m项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.。

计数原理-高考数学复习

时，再选2名男生，有 C62 种方法；然后排队长、副队长位置，有A24
种方法.由分步乘法计数原理知，共有 C62 A24 ＝180（种）选法.所以
依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法.
目录
法二不考虑限制条件，共有 A28 C62 种不同的选法，而没有
女生的选法有A26 C42 种，故至少有1名女生的选法有 A28 C62 －
＝70（种）.故选B.
4
4
4 4
目录
解题技法
定序问题的求解方法
n 个不同元素的全排列有种排法， m 个特殊元素的全排列有

种排法.当这 m 个元素顺序确定时，共有
种排法.

提醒对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元
素的全排列.
目录
考向3 分组、分配问题
（−1)!
（−1)!
−1
的阶乘形式，显然是正确的； −1 ＝
＝
，所
[(−1)−(−1)]!
（−)!
·（−1)!
·（−1)!
!
−1
1
以③不正确； ·−1 ＝
＝
＝
＝
[(−1)−(−1)]!
（−)! （−)!

，所以④正确.
目录
1. 分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，特殊元素（位置）优
间接法.
目录
2. 组合问题常见的两类题型
（1）“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取
出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，
再从剩下的元素中去选取；
（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，

第六章计数原理(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第六章计数原理（公式、定理、结论图表）一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.⑵区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n 类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n 个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n 步”；(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；(4)作答。

5、从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m =⋅⋅⋅⋅。

高中数学计数原理知识点总结

高中数学计数原理知识点总结高中数学计数原理知识点总结如下：1. 计数原理：分类加法计数原理：完成一件事情，有n类方式，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法，……，第n类有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1+m2+...+mn种方法。

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……，第n步有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1×m2×...×mn种方法。

2. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

所有排列的个数记作A(n,m)或anm，规定0≤m≤n。

3. 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。

所有组合的个数记作C(n,m)或cnm，规定0≤m≤n。

C(n,m)=n!/(n-m)!C(n,m)=C(n,n-m)C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)4. 二项式定理：(a+b)n的展开式为：二项式系数：C(n,k)=n!/[(n-k)!k!]展开式一共有n+1项各项系数为二项式系数各项次数之和等于(a+b)的次数5. 特殊项的二项式定理：当a=b=1时，(1+1)n=2n的展开式为：当k=0时，项为：1当k=1时，项为：n+1当k=2时，项为：C(n,2)+3C(n,3)/2!当k=3时，项为：C(n,3)+8C(n,4)/3!当k=4时，项为：C(n,4)+15C(n,5)/4!以上是高中数学计数原理知识点总结。

希望对您有帮助。

计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习

计数原理知识梳理一、两个原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．推广：如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1＋m 2＋…＋m n ．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…,做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1×m 2×…×m n ．(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．7.与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．二、排列与组合 1.排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数，即(1)(2)21!nn A n n n n =⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯⨯=．3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排．(2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．(4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个．(7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！．(8)间接法：正难则反、等价转化的方法，比如“至少”或“至多”含有几个元素的题型．三、二项式定理 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝(n ∈N *)，等号右边的式子称为()na b +的二项展开式．(2)通项公式：T k ＋1＝，它表示第项；注意：(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题． 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n ．注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是特指相应的组合数C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关． 3.4.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .5.求二项展开式中特定项(或系数)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 6.求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．7.二项式定理中的字母可取任意数或式，在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.8.二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，注意解出k 后要检验首末两项．。

【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结知识梳理：1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理(1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。

分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。

2. 排列与组合(1)排列(1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321!()!mn n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---∙∙=---+=---∙∙=- (1)(2)(!()!m n A n n n nn n m =--=-(2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!!mn n n n n m n C n m n m n m m ---+==---∙∙-①组合数的两个性质_______ _ ____、。

③区别排列与组合3. 常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略(6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略(8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略(10)构造模型的策略。

4. 二项式定理(1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n(2)通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+(3)二项式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。

高中高考数学计数原理学习知识汇总

计数原理课表要求1、会用两个数原理剖析解决的；2、理解摆列观点，会推摆列数公式并能用；3、理解合观点，会推合数公式并能解决；4、合用摆列合知解决的；5、会用二式定理解决与二睁开式有关的；6、会用二式定理求某的二式系数或睁开式系数，会用法求系数之和。

打破方法1．加基知的复，深刻理解分数原理、分步数原理、摆列合等基本观点，坚固掌握二式定理、二睁开式的通、二式系数的性。

2．加数学方法的掌握和用，特是解决摆列合用性，着重方法的取。

比方：直接法、接法等；几何、涂色、数字、其余等；掌握每种方法使用特色及使用范等。

3．重数学思的，着重数学思想的用，在解程中着重化与化思想的用，将不一样背景的同一个数学模型求解；着重数形合、分思想、整体思想等，使化易。

知识点1、分加法数原理达成一件事，有 n 不一样方案，在第 1 方案中有种不一样的方法，在第2 法中有种不一样的方法，⋯⋯在第n 法中有种不一样的方法。

那么完成件事共有： N= + +⋯⋯ +种不一样的方法。

注意：（1 ）分加法数原理的使用关是分，分必明确准，要求每一种方法必属于某一方法，不一样的随意两种方法是不一样的方法，分中所要求的“不重复” 、“不漏”。

（2）达成一件事的 n 法是相互独立的。

从会合角度看，达成一件事分A、 B 两法， A B= ,A B= I （I 表示全集）。

（3）明确目中所指的“达成一件事”是指什么事，达成件事能够有哪些法，怎才算是达成件事。

2、分步乘法数原理达成一件事，需要 n 个步，做第 1 步有种不一样的方法，做第2步有种不一样的方法，⋯⋯做第n 步有种不一样的方法，那么达成件事共有：N=··⋯⋯·种不一样的方法。

注意：（1）明确目中所指的“做一件事”是什么事，独用中所的某种方法能否是能达成件事，能否是要几个步才能达成件事。

（2）达成件事需要分红若干个步，只有每个步都达成了，才算达成件事，缺乏哪一步，件事都不行能达成。

高考计数原理知识点总结

高考计数原理知识点总结高考的数学考试中，计数原理是一个非常重要的知识点。

计数原理涉及到对各种情况下的计数方法的掌握和运用。

通过对计数原理的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提升解题能力。

在本文中，将对高考计数原理的相关知识点进行总结。

一、基本计数原理基本计数原理是计数原理的基础，也是其他计数原理的出发点。

基本计数原理指的是：当一个事件可以分解为若干个独立的步骤时，每个步骤的取法总数之乘积就是整个事件的取法总数。

例如，从A、B、C三个城市中选择一个作为旅游目的地，再从目的地城市的旅游景点中选择一个进行游览。

根据基本计数原理，这个问题的解决步骤可以分为两步，首先是选择旅游目的地的步骤，共有3种选择；其次是选择旅游景点的步骤，共有景点数种选择。

据此，整个问题的解决步骤就是3×景点数。

二、排列与组合排列与组合是计数原理中的两个重要概念。

排列指的是从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列的方法；组合则是从一组元素中无序地选取若干个元素进行组合的方法。

1. 排列排列的概念可以通过一个简单的例子来加以说明。

假设有4个小朋友A、B、C、D要站成一排，那么有多少种不同的排列方法呢？根据排列的定义，首先有4种选择选取第一个位置的小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个放在第二个位置，再在剩下的2个小朋友中选择一个放在第三个位置，最后剩下的一个小朋友放在最后一个位置。

据此，整个问题的解决步骤就是4×3×2×1，即4的阶乘。

排列的计算公式可以用数学符号简洁地表示为：A(4,4)=4！。

2. 组合与排列不同，组合不考虑元素的先后顺序。

如果要从A、B、C、D这4个小朋友中选取2个小朋友玩游戏，那么有多少种不同的组合呢？根据组合的定义，首先有4种选择选取第一个小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个作为第二个小朋友。

由于不考虑元素的先后顺序，所以(A,B)和(B,A)被视为同一种情况，即同一个组合。

第六章高考数学计数原理知识总结

第六章计数原理()()1212_...__...._.12.n n n N m m m n N m m m ⎧⎧⇒⎪⎨=+++⎩⎪⎪⎧⎪⇒⎨⎪=⨯⨯⨯⎫⎪⎩⇒⎬⎨⎭⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎩⇒定义：完成一件事有类不同方案分类加法计算原理公式：定义：完成一件事需要个步骤分步乘法计数原理公式：分类加法计算原理与分步乘法计算原理区别：一个分类，一个分步两个计算原理的关系及综合应用综合应用明确是先分类还是先分步；确定分类标准和分步程序排列排列计数原理排列与组合11(1)(2)...(1)______.:______.,:mn mmn n m m m n m m m m n n n n nA n n n n m A C A C C C C C --+⎧⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎩⎧=⎪⎪⎪==+⎨⎪⎪⎪⎩的定义：按一定的顺序排成一列排列数及其公式：排烈应用题：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、整体法组合的定义合成一组组合数及其公式：组合组合数的性质：组合应用题：直接法、间接法、隔板法排列、组合综合应用题先分组后012..""2m n mn n n n n n n n C C C C C C -⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⇒⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩排列二项式定理的内容：二项式定理二项展开式的通项对称性；二项式定理增减性与最大值；杨辉三角形与二项式系数的性质各二项式系数的和；知识点一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”知识点二、排列1.排列：一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列2.排列数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示 3.排列数公式：()()()()!121!mn n A n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-（*,m n N ∈，且m n ≤）知识点三、组合1.组合：一般地，从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2.组合数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示3.组合数公式：()()()()121!!!!mmn nm n n n n n m A n C A m m n m --⋅⋅⋅-+===-（*,m n N ∈，且m n ≤）4.组合数的性质：（1）m n m n n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+知识点四、二项式定理1.二项式定理概念：一般地，对于任意的正整数n ，都有()()01102*nnn n k n k k n nn n n n n a b C a C aC a b C a b C b n N ---+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为()n a b +的二项展开式，()na b +的二项展开式共有1n +项，其中各项的系数{}()0,1,2,,kn C k n ∈⋅⋅⋅叫做二项式系数，k n k k n C a b -称为二项展开式的第1k +项，又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有1n +项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n 3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性：当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的最大值：当n 是偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数1122,n n nnCC-+相等，且同时取得最大值5.二项式系数和：（1）二项展开式中各二项式系数之和为2n；（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于12n -.类型一：两个基本计数原理的实际应用问题例1 在某种信息传输过程中，4个数字组成的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同的排列表示不同的信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有2个对位置上的数字相同的信息个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．15解析:方法1:分有0个时应位置上的数字相同、1个对应位显上的数字相同、2个时应位五上的数字相同讨论：（1）若有0个对应位五上的数字相同．则信息为1001，共有1个．（2）若有1个叶应位丑上的数字相同1101，1011，1000．共有4个．（3）若有2个时应位置上的数字相同，又分为以下情况①若位笠一与二对应相同，则信息为0101； ②若位五一与三时应相同，则信息为0011； ③若位五一与四对应相同，则信忽为0000； ④若位且二与三对应相同，则信息为1111； ⑤若位里二与四时应相同，则信忠为1100；⑥若位置三与四时应相同、则信．息为1010．共有6个．故与信息0110至多有2个对应位置上的数字相同的信息个数为14611.++= 方法2：若有0个对应位置上的数字相同．共有1个；若有1个对应位置上的数字相同。

新高考数学计数原理知识点

新高考数学计数原理知识点一、排列组合的基本概念与应用在数学计数原理中，排列组合是一种常见的方法。

排列就是从一组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法，而组合则是从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。

排列组合的应用广泛，比如在概率统计、组合数学、密码学等领域。

1.1 排列排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法。

在排列中，元素的顺序是重要的，即不同的排列顺序可能会得到不同的结果。

排列可以分为两类：有重复元素的排列和无重复元素的排列。

有重复元素的排列：设有n个元素，其中有k个元素重复，要求按照一定顺序选取m（m≤n）个元素进行排列。

这种排列的总数可以用公式P(n;k1,k2,…,km)表示，其中ki表示第i个元素的个数。

无重复元素的排列：设有n个元素，要求按照一定顺序选取m（m≤n）个元素进行排列。

这种排列的总数可以用公式P(n,m)表示，即n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。

1.2 组合组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。

与排列不同，组合中元素的顺序是不重要的，即不同的组合顺序不会得到不同的结果。

设有n个元素，要求从中选择m（m≤n）个元素进行组合的方法数可以用公式C(n,m)表示，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)。

二、排列组合的实际问题在实际生活中，排列组合有广泛的应用。

以下是一些常见的排列组合问题。

2.1 生日问题假设有n个人，问至少两人生日相同的概率是多少？这是一个典型的排列组合问题。

根据排列组合的知识，可以得出结论：当n大于23时，至少两人生日相同的概率超过50%。

2.2 田径比赛问题某田径比赛共有n名选手，设男选手和女选手的人数分别为m和n-m。

要求男选手和女选手的名次分开排列，且男选手和女选手的排列顺序分别与原来的顺序相同。

这是一个典型的排列组合问题。

2.3 电话号码问题假设某人有10个号码，每个号码有7位数字，其中第一位数字不能为0或1。

高考计数原理知识点

高考计数原理知识点计数原理作为高考数学中的一个重要知识点，无论在高考试卷中还是在日常生活中都具有广泛的应用。

本文将介绍高考计数原理的相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

一、基本定义计数原理是数学中研究计算数量的方法和技巧的一门学科，主要研究集合中元素的数量问题。

在高考中，常用的计数原理包括排列、组合、多重集合和分配原理等。

二、排列1. 定义排列是从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

在高考中，常用的排列公式是Amn = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。

2. 排列的性质a. 排列中元素的顺序不同，即使选取的元素相同，排列的结果也是不同的。

b. 当选取的元素个数等于元素的总数时，排列的结果即为全排列。

c. 当选取的元素个数小于元素的总数时，排列的结果即为部分排列。

三、组合1. 定义组合是从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。

在高考中，常用的组合公式是Cmn = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。

2. 组合的性质a. 组合中元素的顺序不同，选取的元素相同，组合的结果是相同的。

b. 当选取的元素个数等于元素的总数时，组合的结果即为全组合。

c. 当选取的元素个数小于元素的总数时，组合的结果即为部分组合。

四、多重集合1. 定义多重集合是指集合中元素可以出现多次的情况。

在高考中，常用的多重集合问题可以使用组合公式进行求解。

2. 多重集合的性质a. 多重集合中元素可以出现多次，且顺序不重要。

b. 多重集合的排列问题可以转化为组合问题进行求解。

五、分配原理1. 定义分配原理是计数原理中的一个重要概念，它用于解决将若干物品分配给若干人的问题。

在高考中，常用的分配原理可以用于解决分配座位、奖项等相关问题。

2. 分配原理的性质a. 如果有m个物品需要分配给n个人，且物品和人之间没有特殊的要求，那么每个人至少分得一个物品的方案数为n^m。

高三计数原理知识点

高三计数原理知识点一、基本概念计数原理是概率论的一个基本分支，主要研究计数问题。

在概率论和组合数学中，计数原理用于确定某个事件发生的可能性，并通过计算不同情况的组合、排列或选择的方式来解决问题。

下面将介绍一些高三计数原理的基本知识点。

二、排列与组合1. 排列在计数原理中，排列是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，按照一定的顺序进行排列。

排列的计算公式为：nPr = n! / (n - r)!其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

2. 组合组合是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，不考虑顺序。

组合的计算公式为：nCr = n! / (r! * (n - r)!)其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

三、二项式定理二项式定理是计数原理中的重要定理，它描述了将两个项相加的n次幂展开的形式。

二项式定理可以用来计算排列和组合中的项数。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个对象中选择r个对象的组合数。

四、鸽笼原理鸽笼原理是指将n+1只鸽子放入n个笼子中，那么至少会有一个笼子中有两只或两只以上的鸽子。

这个原理在计数问题中经常被使用，特别是在解决抽屉原理问题时。

鸽笼原理可以简单地表述为：当物体数量超过容器数量时，必定会出现至少一个容器内包含多个物体。

五、应用举例1. 出题排列组合问题小明手中有10个不同的球，他将其中5个排成一排。

请问共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有10P5 = 10! / (10 - 5)! = 30240 种排列方式。

2. 场次排列问题某足球比赛有8个球队参加，其中有4个比赛场次。

请问共有多少种比赛场次的安排方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有8P4 = 8! / (8 - 4)! = 1680 种比赛场次的安排方式。

高中数学选修计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，N=m 1×3.,用4.个不同（1（2一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用mn C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 用于计算，或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且用于证明。

（3）组合数的性质：①m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ②m n C 1+＝m n C +1-m nC . ③ n C C n n n ==-11 ④1=nn C6.二项式定理及其特例：（1*--n n n n n nr r r 110（27.8（1,即m n C （2当n 当n 9.各二项式系数和：（1）=+++n 210n n n n C C C C n 2，（2）15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．10.各项系数之和：（采用赋值法）例：求()932y x -的各项系数之和解：()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-令1,1==y x，则有()()13232992109-=-=++++=-a a a a y x ，故各项系数和为-1第二章概率知识点：1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

高考数学复习专题14 计数原理(解析版)

专题14计数原理考纲解读三年高考分析1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合的运用和二项式定理是考查的重点，解题时常用到二项式展开式的通项公式，排列数和组合数的计算，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1．【2019年新课标3理科04】（1+2x2）（1+x ）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C ．20 D ．24 【解答】解：（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为：1212．故选：A．2．【2018年新课标3理科05】（x2）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．80 【解答】解：由二项式定理得（x2）5的展开式的通项为：T r+1（x2）5﹣r（）r，由10﹣3r＝4，解得r＝2，∴（x2）5的展开式中x4的系数为40．故选：C．3．【2017年新课标1理科06】（1）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1）（1+x）6展开式中：若（1）＝（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r＝2时，可得展开式中x2的系数为．可知r＝4时，可得展开式中x2的系数为．（1）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15＝30．故选：C．4．【2017年新课标2理科06】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：636种．故选：D．5．【2017年新课标3理科04】（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r+1（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）r x5﹣r y r．令5﹣r＝2，r＝3，解得r＝3．令5﹣r＝3，r＝2，解得r＝2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数＝22×（﹣1）32340．故选：C．6．【2019年天津理科10】（2x）8的展开式中的常数项为．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：T r+1（2x）8﹣r•28﹣r•（）r•x8﹣r•（）r•（﹣1）r28﹣4r•x8﹣4r．∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，T r+1为常数项．此时T2+1•（﹣1）228﹣4×2＝28．故答案为：28．7．【2019年浙江13】在二项式（x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【解答】解：二项式的展开式的通项为．由r＝0，得常数项是；当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．8．【2018年江苏06】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52＝10种，其中全是女生的有C32＝3种，故选中的2人都是女同学的概率P0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P0.3，故答案为：0.39．【2018年新课标1理科15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：1610．【2018年浙江14】二项式（）8的展开式的常数项是．【解答】解：由．令0，得r＝2．∴二项式（）8的展开式的常数项是．故答案为：7．11．【2018年浙江16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．12．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1•x r，令r＝2，得展开式中x2的系数为21．故答案为：21．13．【2018年天津理科10】在（x）5的展开式中，x2的系数为．【解答】解：（x）5的二项展开式的通项为．由，得r＝2．∴x2的系数为．故答案为：．14．【2017年浙江13】已知多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4＝，a5＝．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4＝3×4+1×4＝16；a5＝1×4＝4．故答案为：16；4．15．【2017年浙江16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21＝40种，这4人选2人作为队长和副队有A42＝12种，故有40×12＝480种，第二类，先选2女2男，有C62C22＝15种，这4人选2人作为队长和副队有A42＝12种，故有15×12＝180种，根据分类计数原理共有480+180＝660种，故答案为：66016．【2017年上海02】若排列数6×5×4，则m＝．【解答】解：∵排列数6×5×4，∴由排列数公式得，∴m＝3．故答案为：m＝3．17．【2017年天津理科14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54＝120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41＝40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44＝24种顺序，则有40×24＝960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960＝1080个；故答案为：1080．18．【2019年江苏24】设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C，a3＝C，a4＝C，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法由于a ，b ∈N *，可得a ＝C 3C 9C 1+30+45＝76，b ＝C 3C 9C 44，可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32；方法（1）5＝CC （）+C （）2+C（）3+C（）4+C（）5＝CCC（）2﹣C（）3+C （）4﹣C（）5，由于a ，b ∈N *，可得（1）5＝a ﹣b，可得a 2﹣3b 2＝（1）5•（1）5＝（1﹣3）5＝﹣32．1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】若二项式61nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C 【解析】二项式61nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的第1r +项为：33(45)6221()(1)()(1)n r r n r r r r r r n n T C x x C x ---+=⋅-⋅=⋅-⋅，由题意可知含有常数项，所以只需450n r -=，对照选项当10n =时，8r =，故本题选C. 2．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（） A ．20 B ．15C ．10D ．5【答案】D 【解析】由题意知的展开式的各项系数和为32，即，解得，则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D 。

高考数学计数原理

回扣8 计数原理1．分类计数原理完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种方法(也称加法原理)． 2．分步计数原理完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种方法(也称乘法原理)． 3．排列(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，叫做从叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A m n 表示．表示． (3)排列数公式：A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，A n n ＝n ·(n －1)·1)·((n －2)·…·2·2·11＝n ！排列数公式写成阶乘的形式为A mn ＝n ！(n －m )！，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．个元素的一个组合．(2)组合数的定义：组合数的定义：从从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，个元素的所有不同组合的个数，叫做从叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C m n 表示．表示．(3)组合数的计算公式：C mn ＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n . 5．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C nn b n (n ∈N *)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C rn (r ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．式中的C rn a n －r b r 叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝C rn an －r b r.6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn ＝C n －mn .(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项112n T -＋的二项式系数最大．的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112n T -＋和112n T +＋的二项式系数相等且最大．的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．关于两个计数原理应用的注意事项．关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．事．(2)混合问题一般是先分类再分步．混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．正难则反，等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意：．对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．有关，恒为正．(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系．的取值范围及它们之间的大小关系． (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b .1．用1,2,3三个数字组成一个四位数，三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，规定这三个数必须全部使用，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．个．答案 18解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1îïïíïì2îïíïì 1îíì233îíì123îïíïì1îíì 232îíì 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个．2．某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为________．答案 3,5解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男、女生人数分别为3、5.3．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有________种．种．答案 150解析先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法有25×6＝150(种)．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种．种．答案 420解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方案，若选出的3位教师是2男1女，则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方案，所以共有180＋240＝420(种)不同的选派方案．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x)r＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.6．(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于________．答案 1解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种．种．答案 720解析 A 47－A 45＝720(种)．8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为________．答案 420解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方案有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方案有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种)方案．9．若èçæø÷öx ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________. 答案 12解析 T r ＋1＝C r 8x8－rèçæø÷öa 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12.10．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为________．答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个)．11．一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种．种．答案 36 解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求把6个空位分为1,1,2,2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6(种)，所以不同的坐法共有6×6＝36(种)．12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．种．答案 24解析先把甲、先把甲、乙捆绑在一起有乙捆绑在一起有A 22种情况，种情况，然后对甲、然后对甲、乙整体和戊进行排列，乙整体和戊进行排列，有有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种)．13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．种．答案 24解析依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种)，所以实验的编排方法共有24种．14．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，组成数字不重复的六位数，满足满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．答案 288解析解析从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A 23＝6(种)，先排3个奇数，有A 33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A 24＝12(种)．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种)．若1排在两端，1的排法有A 12A 22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A 23＝6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288.。