多目标决策讲义课件ppt
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多目标决策方法讲义PPT92页
详细信息如下
图3
对应于第二优先等级，将 ＝0作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解 ＝0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END
图4
LINGO运算后输出为（参见图5）：
图5
对应于第三优先等级，将 ＝0， 作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解是 ， ，最优值为7。具体LINGO程序及输出信息如下（参见图6） ：
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d +×d - =0成立。
第二部分 多目标决策的数学模型及其非劣解
一、多目标决策的数学模型
（一）任何多目标决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标决策问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：
图3
对应于第二优先等级，将 ＝0作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解 ＝0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END
图4
LINGO运算后输出为（参见图5）：
图5
对应于第三优先等级，将 ＝0， 作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解是 ， ，最优值为7。具体LINGO程序及输出信息如下（参见图6） ：
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d +×d - =0成立。
第二部分 多目标决策的数学模型及其非劣解
一、多目标决策的数学模型
（一）任何多目标决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标决策问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：
多目标决策方法讲义(PPT 140页)
计算各元素的总权重
权重 层次B
层次A
B1
A1
A2 …… Am
a1
a2 …… am
b11
b12
…… b1m
B2
M
Bn
b21
b22
M
M
M
bn1
bn2
…… b2m
M
…… bnm
B 层次元素组合权重
m
b1 = aib1i i=1 m
b2 = aib2i i=1
M
m
bn = aibni i=1
评价层次总排序计算结果的一致性
特尔菲法是美国兰德公司于1964年首先用 于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方 法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用 特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。
思路：特尔菲法是请一批有经验的专家(老手) 对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计 平均方法估算出各目标的权数。
步骤:
1．把较为详尽的背景资料发送给选定的n位专家，
第十章 多目标决策
第一节 特尔菲（Delphi）法 第二节 层次分析法（AHP）
(Analytics Hierarchy Process) 第三节 数据包络分析法（DEA) 第四节 多准则评估的区间评估方法
（Interval Analysis)
多目标决策例子
干部评估：德才兼备 教师晋升：教学数量与质量；科研成果 购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等 球员选择：技术，体能，经验，心理 找对象：容貌，学历，气质，家庭状况
Dij = wij - M (w j ) 3．进一步分析 M (w j ) 是否合理，特别让估计值偏差△ij 较大
4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出
第五章多目标决策课件
15
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
运筹学第十章多目标决策 ppt课件
min
ck x
LP(xˆ) : s.t.
k 1
ck x ck xˆ
(k 1,L , p)
Ax b
x0
结论：
若 ˆx为 LP 的最优解，则必为有效解
若 ˆx不是 LP 的最优解，而是 y，则 y 即是有效解
例 已知一个多目标决策问题（Max问题）
max z 1=x 1 -x 2 +x 3
p
d1 =
k=1
1
fk
f
* k
r
)r
fk
f
* k
d2 =
p
(fk
f
* k
)2
k=1
d =
m ax{
1 k p
fk
f
* k
}
fk 关于
f
* k
的正偏差
dk
=fk 0,
fk*,
fk fk* >0 其余
fk 关于
f
* k
的负偏差
dk
=fk* 0,
fk,
fk fk* 0 其余
由定义知
i)
d
理 想 点 ： f* (0 , 4 2 1 0 , 2 4 0 )
( x 1 x 2 x 3 2 0 8 , 1 5 x 1 1 4 x 2 1 2 x 3 , 3 x 1 )
m in
s .t. 8 0 x1 0 125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 1 5 x1 1 4 x2 1 2 x3 4 2 1 0 3 x1 2 4 0 x1, x2 , x3, 0
p
min wk fk (x) k 1
多目标决策分析教材(PPT 46页)
2,4,6,8 为以上两判断之间的中间状态
倒数 j 因素与 i 因素相比的重要程度
称为正互反矩阵
特点：
aij>0 aij= 1/aji aii=1
例如：
1 3 1/ 2 A 1/ 3 1 1/ 7
2 7 1
2、层次单排序
求判断矩阵A的最大特征值 max 及其特征向量W，即
AW= maxW
将W归一化后得 W=[w1，w2，……，wn]即为各指标的排序权值。
D4
0.138
D5
0.046
C2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
C3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094
0
总排序结果
0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
AHP案例分析
案例1 运用AHP方法选择世界杯上场队员案例
本案例运用AHP方法，对中国男子足球 队在世界杯比赛中应该首发出场的中后 卫人选进行决策；
D4:张恩华
1 1 3 1
D5:徐云龙
3 2 5 2 1
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范
D2:杜
D3:李
D4:张
D5:徐
C2:心理 D1:范志毅
D1:范志毅
1
D2:杜威
D3:李伟峰 D4:张恩华 D5:徐云龙
D2:杜威
5 1
W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066) λmax=5.018 C.I.=0.012 C.R.=0.011<0.1 一致性检验通过
矩阵C2-D， C3-D 各为四阶（略）:
目标层A 准则层C
多目标决策层次分析法讲义(PPT 47页)
3. A的各行成r比 an例 Ak， 1 则
4. A的最大特征根λ（ n,值 其） 余 n1-个 为
特征根均 0。 等于
5. A的任一列(行)都是对应于特征根 n的特征向量。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
n
大特征根 n的归一化特征向量 w 1 ,w 2, ,w n且
wi 1
B层的层次总排序为： B1 : a1b11 a2b12 amb1m
i 即 B层第 个因素对
总目标的权值为：
B2 : a1b21 a2b22 amb2m
m
a j b ij
j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
B1 B2 Bn
A 1,A 2, ,A m
1
即， aikakjaij i,j1 ,2, ,n
但在例2的成对比较矩阵中，a237,a212,a134
a23a21a13
在正互反矩阵 A中，若
aikak,则j称aij为一致阵。 A
一致阵的性质：
1. aija 1 ji,aii1,i,j1,2, ,n
2. AT也是一致阵
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定 性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以 随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发 展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学 工具之一。
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型
买钢笔
4. A的最大特征根λ（ n,值 其） 余 n1-个 为
特征根均 0。 等于
5. A的任一列(行)都是对应于特征根 n的特征向量。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
n
大特征根 n的归一化特征向量 w 1 ,w 2, ,w n且
wi 1
B层的层次总排序为： B1 : a1b11 a2b12 amb1m
i 即 B层第 个因素对
总目标的权值为：
B2 : a1b21 a2b22 amb2m
m
a j b ij
j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
B1 B2 Bn
A 1,A 2, ,A m
1
即， aikakjaij i,j1 ,2, ,n
但在例2的成对比较矩阵中，a237,a212,a134
a23a21a13
在正互反矩阵 A中，若
aikak,则j称aij为一致阵。 A
一致阵的性质：
1. aija 1 ji,aii1,i,j1,2, ,n
2. AT也是一致阵
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定 性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以 随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发 展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学 工具之一。
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型
买钢笔
多目标规划与决策概述(PPT 121页)
0.3x1 0.6x2 310 x1, x2 0
节约用水指标 50万方
2008.2.29
(2) 线性加权法
当m个目标都要求最小(或最大)时，可以 根据它们的重要程度分别给以相应的大小不同 的非负权重，这样就构成新的单一目标函数：
m
U(X)i fi(X)mionrm ( ax)
i1
2008.2.29
6.1 多目标规划的模型与概念 opF(tx)(f1(x)f,2(x) ,,fp(x)T)
gi(x)bi,i1,2, ,m 1、一般没有最优解，扩展解的概念。 2、有效解、若有效解、满意解
2008.2.29
f2
5 4
3 2
1
f1
2008.2.29
(1)有效解 设X*∈R,如果不存在X ∈R, 使
2008.2.29
实例2：
某城市附近有三个地表水库（A、B、C）的 水可以利用。A距城市最近，是主要的供水水源； B距城市的距离介于A、C之间。水库C的库容是 水库B的两倍。
这三个水库除供水外还被用来养鱼、控制 洪水和发电。
有三种水库调度管理方案：（1）进行日调 节；（2）进行月调节；（3）不进行调节。不 同方式下效益不一样。
1971年Saaty为美国国防部研究“应急计划”， 1972年为美国科学基金会研究电力在工业部门 分配问题。
1973年为苏丹政府研究苏丹运输问题。
2008.2.29
6.3.1 层次分析法的基本步骤
1、建立递阶层次结构； 2、构造判断矩阵； 3、求此矩阵的最大特征根及相对应的特
征向量； 4、确定权重； 5、并进行一致性检验。
2008.2.29
Delphi法的几个原则
1)对DelPhi方法作出充分说明：在发出调查表的 同时，应向专家说明DelPhi法的目的和任务。
节约用水指标 50万方
2008.2.29
(2) 线性加权法
当m个目标都要求最小(或最大)时，可以 根据它们的重要程度分别给以相应的大小不同 的非负权重，这样就构成新的单一目标函数：
m
U(X)i fi(X)mionrm ( ax)
i1
2008.2.29
6.1 多目标规划的模型与概念 opF(tx)(f1(x)f,2(x) ,,fp(x)T)
gi(x)bi,i1,2, ,m 1、一般没有最优解，扩展解的概念。 2、有效解、若有效解、满意解
2008.2.29
f2
5 4
3 2
1
f1
2008.2.29
(1)有效解 设X*∈R,如果不存在X ∈R, 使
2008.2.29
实例2：
某城市附近有三个地表水库（A、B、C）的 水可以利用。A距城市最近，是主要的供水水源； B距城市的距离介于A、C之间。水库C的库容是 水库B的两倍。
这三个水库除供水外还被用来养鱼、控制 洪水和发电。
有三种水库调度管理方案：（1）进行日调 节；（2）进行月调节；（3）不进行调节。不 同方式下效益不一样。
1971年Saaty为美国国防部研究“应急计划”， 1972年为美国科学基金会研究电力在工业部门 分配问题。
1973年为苏丹政府研究苏丹运输问题。
2008.2.29
6.3.1 层次分析法的基本步骤
1、建立递阶层次结构； 2、构造判断矩阵； 3、求此矩阵的最大特征根及相对应的特
征向量； 4、确定权重； 5、并进行一致性检验。
2008.2.29
Delphi法的几个原则
1)对DelPhi方法作出充分说明：在发出调查表的 同时，应向专家说明DelPhi法的目的和任务。
《多目标决策》PPT课件
(1） 低造价（每平方米造价不低于500元,不高于700元）
(2） 抗震性能（抗震能力不低于里氏5级,不高于7级）；
(3） 建造时间（越快越好）
(4） 结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等 设计合理）
(5） 造型美观（评价越高越好）。
2021/3/8这三个方案的具体评价如表13.1所示。
2
第13章 多目标决策 表13.1
有一个,当然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一
个202,1这/3/8就有待于决策者选择。
8
第13章 多目标决策
对于m个目标,一般用m个目标函数f1(x), f2(x), …, fm(x)刻画,其中x表示方案,而x的约束就是备选方案范围。
最优解：设最优解为x*,
fi(x*)≥fi(x) 2）
i=1, 2, …, n （13.1）
max z=4x1+3.2x2
2x1+4x2≤12(设备台时约束)
3x1+3x2≤12(原料约束)
s.t. x1-1.5x2=0(目标约束)
2x1+4x2≥11(目标约束)
2021/3/8
结构、造型等则为定性指标。
所谓目标间的矛盾性, 是指如果选择一种方案以改进某 一目标的值,可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造 型、抗震性能的提高,可能会使房屋建造成本提高。
2021/3/8
4
第13章 多目标决策
2．
一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和 决策准则三个基本因素。目标体系是指由决策者选择方案 所考虑的目标组及其结构。
2021/3/8
10
第13章 多目标决策
13.2
13.2.1
多目标决策分析ppt课件
一个分层结构复杂的目标准则体系（图6.１）．
海滩港址
←总体目标
这
经济
技术
环境
社会
就
是 直
目接
标
效 益
间 接 效
航
海
道
滩
建
运城交
筑
行市通
关关
资 源
环 境
政 策
பைடு நூலகம்
军←
事准
益
系系
则
准 则投
投利
海
国
国
现稳
深稳
保
码围
防船
货
铁
内
能
征
淡
三
风
国
层
军
体
资 额
资税 回总
运 收
际 贸
内 贸
状定 性
度定 性
持 稳
头堰
波舶 堤航
(k 1,2,...,K)
s.t
n j1
ai
j
x
j
bi
xj 0
(i 1,2,...,m) ( j 1,2,...,n)
为了求解多目标线性规划，需要解决两个问题:
第一，如何将多目标规划转化为单目标规划求解；
第二，K个目标函数对于决策者来说，有主次轻重之分，
如何表示多目标的主次顺序．
精选PPT课件
总目标
目
目
目
标
标
标
1
2
3
……
目目 标标
m-1 m
图6.2
适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置 。
精选PPT课件
8
二、目标准则体系的结构
2．序列型多层次目标准则体系
第十十一讲多目标决策30页PPT
H H (a)m 1 i mH a (a ix )
（5-1）
图4-2 序列型多层次目标准则体系
第二节 多维效用并合方法
二、多维效用并合规则
在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。
（一）距离规则
二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同 时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平
（四）乘法规则
乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只 要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。
面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。 设二维效用函数 W W (u1,u2)，
W ( u 1 ,u 2 ) 1 d 2 1 1 2 [1 ( u 1 ) 2 ( 1 u 2 ) 2 ] 公式(5-2)可以推广到多维情形，
（5-2）
W (u 1,u2, ,un)11 n i n 1(1ui)2
在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量 单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案 之间具有可比性的数量关系。
多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定— 个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这 样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度 是综合评价可行方案的依据。
多目标规划方法讲义(PPT42张)
max Z ( X )
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
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10
第二节 化多目标为单目标的方法
例：某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所
需的设备台时、原料消耗定额及其限制量、单位产品利润等如下表 所示。在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一， 计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同 产品的需要，产品A的产量必须为产品B的产量的1.5倍；第三，为
用函数来描述目标fj(x)与功效系数dj之间的关系，称之为功效 函数，表达式为dj=Fj(x)
17
第二节 化多目标为单目标的方法
不同类型的目标应选用不同类型的功效函数
Fj(x)Biblioteka Fj(x)Fj(x)
13
第二节 化多目标为单目标的方法
3．平方和加权法
基本思想：为所有目标 fj(x), j=1,2, … ,N 确定一个预期达 到的目标值fj*，使作出的决策与这些目标值越接近越好。
构造评价函数
N
U( x)
wj[
f j ( x)
f
* j
]2
j 1
要求U(x)最小。其中权系数wj反映了各个偏差的重要性。
向量优化问题（Vector optimization problems，简称VOP）
6
第一节 多目标决策问题
二、多目标决策问题解的概念
最优解 设x*∈X，如果对任意的x∈X ，均有f(x)≤ f(x*),
即对一切的j=1, 2, …, N，均有fj(x)≤ fj(x*)，则称x*为多目 标决策问题（Vp）的最优解。
7
第一节 多目标决策问题
二、多目标决策问题解的概念
f2
非劣解
C
E D
B
f2
A
A
f1
F
G
Y
E
D
B
选好解
C
f1
8
第一节 多目标决策问题
三、多目标决策方法的分类 1.优化之前给出偏好 2.优化之后给出偏好 3.优化之中逐步给出偏好
9
第二节 化多目标为单目标的方法
1．数学规划法
设有N个目标f1(x), f2(x), … , fN(x) ，从中选择一个最重 要的目标fk(x) ，使它满足最大或最小，而其它目标只要 满足一定规格要求即可。从而构成了一个以重要目标fk(x) 为单目标，以其余目标为约束的一个数学规划问题。
目标(objective)是关于被研究问题的某种决策者所希望达到的 状态的陈述，它表示决策者的愿望或决策者所希望达到的、 努力的方向。
属性(attribute)是指方案所固有的特征、品质或性能参数，它 是对基本目标达到程度的直接度量。对于每一种属性应该能够 使用一定的方法来测量其水平的高低，即属性是可测得量，它 反映了特定目标（该属性所联系的目标）被达到的程度。
3
3. 多目标决策问题的分类
多属性决策问题（有限方案的多目标决策问题）
多目标决策问题（无限方案的多目标决策问题） 多准则决策问题
区别： 1. 前者的决策空间是离散的，后者是连续的； 2. 前者的选择余地是有限的、已知的，后者是无穷的、未
知的。
4
4. 基本术语
准则(criteria)是对决策事物或现象有效性的某种度量，是事 物或现象评价的基础。它在实际问题中有两种基本表现形式 ，即目标和属性。
14
第二节 化多目标为单目标的方法
4．理想点法
设有N个目标f1(x), f2(x), … , fN(x) ，每个目标单独优化后
的最优值为
f
* j
opt
f j ( x),
j
1, 2,
, N; 则F* = (f1*, f2*, … ,
xX
fN*)T是一个理想点。
基本思想：定义一个范数，在这个范数意义下找一个点尽
充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于11个单位。
产品
资源
A
设备台时
2
原料
3
单位利润
4
B
资源限制
4
12
3
12
3.2
11
第二节 化多目标为单目标的方法
解：设x1为产品A的产量，x2为产品B的产量，则以利润最大
作为目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下
：
max z 4x1 3.2x2
管理决策分析
裴凤 peifeng@
合肥工业大学管理学院
1
第三章 多目标决策
主要内容：
第一节 多目标决策问题 第二节 化多目标为单目标的方法 第三节 目标分层法 第四节 目的规划法 第五节 逐步法
2
1. 什么是多目标决策？
干部选拔、大学生择业、购物
2. 多目标决策问题的特点
➢ 目标多于一个 ➢ 目标之间的不可公度性 ➢ 目标之间的矛盾性
注：在运用线性加权和法时，所有的目标都必须具有相同的 量纲。如果量纲不同，则需要统一量纲或做无量纲化处理。 在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些 目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成 效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函 数值并进行比较，以决定方案取舍。
5
第一节 多目标决策问题
一、多目标决策问题的一般形式
目标函数
（Vp）
Max f(x)=( f1(x), f2(x), … , fN(x) )
gi(x)≤0，i=1, 2, … , m
约束条件
f1(x), f2(x), … , fN(x)为目标函数 gi(x)≤0，i=1, 2, … , m为约束条件 x为决策变量
2 x1 4 x2 12
s.t
.
3x1x11.35xx22
12 0
2 x1 4 x2 11
x1 , x2 0
12
第二节 化多目标为单目标的方法
2．线性加权和法
当目标函数 f1(x), f2(x), … , fN(x)都要求最小（或最大）时， 可构造新的目标函数
N
U ( x) w j f j ( x) j 1
j s 1
j 1
16
第二节 化多目标为单目标的方法
6．功效系数法（几何平均法）
适用情形：有的目标要求越大越好，有的要求越小越好，有 的要求适中为好。
f1(x) f2(x)
… fN(x)
功效系数 d1 d2 dj∈[0,1]，j = 1, 2, … , N
… 当目标达到最满意值时，取dj =1； dN 当目标达到最差值时，取dj =0。
量接近理想点。
N
p 1/ p
min
f
* j
f j ( x)
j1
15
第二节 化多目标为单目标的方法
5．费用——效益分析法
f1(x), f2(x), … , fs(x), fs+1(x), … , fN(x)
费用型目标 效益型目标
N
s
maxU ( x) f j ( x) f j ( x)
第二节 化多目标为单目标的方法
例：某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所
需的设备台时、原料消耗定额及其限制量、单位产品利润等如下表 所示。在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一， 计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同 产品的需要，产品A的产量必须为产品B的产量的1.5倍；第三，为
用函数来描述目标fj(x)与功效系数dj之间的关系，称之为功效 函数，表达式为dj=Fj(x)
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第二节 化多目标为单目标的方法
不同类型的目标应选用不同类型的功效函数
Fj(x)Biblioteka Fj(x)Fj(x)
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第二节 化多目标为单目标的方法
3．平方和加权法
基本思想：为所有目标 fj(x), j=1,2, … ,N 确定一个预期达 到的目标值fj*，使作出的决策与这些目标值越接近越好。
构造评价函数
N
U( x)
wj[
f j ( x)
f
* j
]2
j 1
要求U(x)最小。其中权系数wj反映了各个偏差的重要性。
向量优化问题（Vector optimization problems，简称VOP）
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第一节 多目标决策问题
二、多目标决策问题解的概念
最优解 设x*∈X，如果对任意的x∈X ，均有f(x)≤ f(x*),
即对一切的j=1, 2, …, N，均有fj(x)≤ fj(x*)，则称x*为多目 标决策问题（Vp）的最优解。
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第一节 多目标决策问题
二、多目标决策问题解的概念
f2
非劣解
C
E D
B
f2
A
A
f1
F
G
Y
E
D
B
选好解
C
f1
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第一节 多目标决策问题
三、多目标决策方法的分类 1.优化之前给出偏好 2.优化之后给出偏好 3.优化之中逐步给出偏好
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第二节 化多目标为单目标的方法
1．数学规划法
设有N个目标f1(x), f2(x), … , fN(x) ，从中选择一个最重 要的目标fk(x) ，使它满足最大或最小，而其它目标只要 满足一定规格要求即可。从而构成了一个以重要目标fk(x) 为单目标，以其余目标为约束的一个数学规划问题。
目标(objective)是关于被研究问题的某种决策者所希望达到的 状态的陈述，它表示决策者的愿望或决策者所希望达到的、 努力的方向。
属性(attribute)是指方案所固有的特征、品质或性能参数，它 是对基本目标达到程度的直接度量。对于每一种属性应该能够 使用一定的方法来测量其水平的高低，即属性是可测得量，它 反映了特定目标（该属性所联系的目标）被达到的程度。
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3. 多目标决策问题的分类
多属性决策问题（有限方案的多目标决策问题）
多目标决策问题（无限方案的多目标决策问题） 多准则决策问题
区别： 1. 前者的决策空间是离散的，后者是连续的； 2. 前者的选择余地是有限的、已知的，后者是无穷的、未
知的。
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4. 基本术语
准则(criteria)是对决策事物或现象有效性的某种度量，是事 物或现象评价的基础。它在实际问题中有两种基本表现形式 ，即目标和属性。
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第二节 化多目标为单目标的方法
4．理想点法
设有N个目标f1(x), f2(x), … , fN(x) ，每个目标单独优化后
的最优值为
f
* j
opt
f j ( x),
j
1, 2,
, N; 则F* = (f1*, f2*, … ,
xX
fN*)T是一个理想点。
基本思想：定义一个范数，在这个范数意义下找一个点尽
充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于11个单位。
产品
资源
A
设备台时
2
原料
3
单位利润
4
B
资源限制
4
12
3
12
3.2
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第二节 化多目标为单目标的方法
解：设x1为产品A的产量，x2为产品B的产量，则以利润最大
作为目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下
：
max z 4x1 3.2x2
管理决策分析
裴凤 peifeng@
合肥工业大学管理学院
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第三章 多目标决策
主要内容：
第一节 多目标决策问题 第二节 化多目标为单目标的方法 第三节 目标分层法 第四节 目的规划法 第五节 逐步法
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1. 什么是多目标决策？
干部选拔、大学生择业、购物
2. 多目标决策问题的特点
➢ 目标多于一个 ➢ 目标之间的不可公度性 ➢ 目标之间的矛盾性
注：在运用线性加权和法时，所有的目标都必须具有相同的 量纲。如果量纲不同，则需要统一量纲或做无量纲化处理。 在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些 目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成 效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函 数值并进行比较，以决定方案取舍。
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第一节 多目标决策问题
一、多目标决策问题的一般形式
目标函数
（Vp）
Max f(x)=( f1(x), f2(x), … , fN(x) )
gi(x)≤0，i=1, 2, … , m
约束条件
f1(x), f2(x), … , fN(x)为目标函数 gi(x)≤0，i=1, 2, … , m为约束条件 x为决策变量
2 x1 4 x2 12
s.t
.
3x1x11.35xx22
12 0
2 x1 4 x2 11
x1 , x2 0
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第二节 化多目标为单目标的方法
2．线性加权和法
当目标函数 f1(x), f2(x), … , fN(x)都要求最小（或最大）时， 可构造新的目标函数
N
U ( x) w j f j ( x) j 1
j s 1
j 1
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第二节 化多目标为单目标的方法
6．功效系数法（几何平均法）
适用情形：有的目标要求越大越好，有的要求越小越好，有 的要求适中为好。
f1(x) f2(x)
… fN(x)
功效系数 d1 d2 dj∈[0,1]，j = 1, 2, … , N
… 当目标达到最满意值时，取dj =1； dN 当目标达到最差值时，取dj =0。
量接近理想点。
N
p 1/ p
min
f
* j
f j ( x)
j1
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第二节 化多目标为单目标的方法
5．费用——效益分析法
f1(x), f2(x), … , fs(x), fs+1(x), … , fN(x)
费用型目标 效益型目标
N
s
maxU ( x) f j ( x) f j ( x)