高考数学第一轮复习24函数的奇偶性与周期性跟踪测试

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝( )

A．－b＋4 B．－b＋2

C．b－4 D．b＋2

解析：∵函数f(x)，g(x)均为奇函数，

∴f(a)＋f(－a)＝0，g(a)＋g(－a)＝0，

∴F(a)＋F(－a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＋3f(－a)＋5g(－a)＋2＝4，

∴F(－a)＝4－F(a)＝4－b.

答案：A

2．函数y＝lg(

2

1＋x

－1)的图象关于( )

A．x轴成轴对称图形

B．y轴成轴对称图形C．直线y＝x成轴对称图形D．原点成中心对称图形

解析：函数y＝f(x)＝lg(2

1＋x －1)＝lg

1－x

1＋x

∴函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)

又∵f(－x)＝lg 1＋x 1－x

＝－lg 1－x

1＋x

＝－f(x)

∴y＝lg(

2

1＋x

－1)为奇函数．

∴其图象关于原点成中心对称图形．

答案：D

3．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是

( ) A．增函数且最小值是－5

B．增函数且最大值是－5

C．减函数且最大值是－5

D．减函数且最小值是－5

解析：奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性，因此函数在区间[－7，－3]上单调递增，最小值是f (－7)＝－f (7)＝－5.

答案：A

4．设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是

( )

A ．{x |－33}

B ．{x |x <－3或0

C ．{x |x <－3或x >3}

D ．{x |－3

⎪⎧

x <0f

x >0

或⎩⎪⎨

⎪⎧

x >0，f

x <0

，

而f (－3)＝0，f (3)＝0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x <0

f x >f －3

或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x >0

f x

，

因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数， 所以函数在(－∞，0)内也是增函数， 故得－3

5．(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4

)的所有x 之和为( )

A ．－9

2

B ．－72

C ．－8

D ．8

解析：∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4

) ∴f (|2x |)＝f (|

x ＋1

x ＋4

|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1

x ＋4

|， 即2x ＝

x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1

x ＋4

整理得2x 2

＋7x －1＝0或2x 2

＋9x ＋1＝0

设方程2x 2

＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2

＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.

则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 2)＝－72＋(－9

2)＝－8.

答案：C

6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为( )

A．2 B．0

C．－2 D．±2

解析：由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，

又g(x)为R上的奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)．

∴f(－x－1)＝－f(x－1)，

即f(x－1)＝－f(－x－1)．

用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)，

又f(x)是R上的偶函数，

∴f(x)＝－f(x＋2)．

∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.

∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.

答案：A

二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)

7．设函数f(x)＝x＋1x＋a

x

为奇函数，则a＝________.

解析：由题意知，f(1)＋f(－1)＝0，

即2(1＋a)＋0＝0，∴a＝－1.

答案：－1

8．(2011·银川模拟)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当

0

________．

解析：当0

9．(2010·重庆高考)已知函数f(x)满足：f(1)＝1

4

，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，

y∈R)，则f(2 010)＝________.

解析：依题意得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，

f(0)＝2f(1)＝1 2；

f(n＋1)＋f(n－1)＝4f(n)f(1)＝f(n)，所以f(n＋1)＝f(n)－f(n－1)，