滤波器的设计

第11章滤波器设计

11.1 滤波器的设计基础

11.1.1 分贝

在介绍滤波器前，有必要介绍一下分贝的相关知识。

首先，两个功率值可以通过下面的公式（11.1.1）进行比较。比值的单位是贝尔（Bel），是电信领域用来表示功率讯号的增益和衰减的单位。

（11.1.1）

1个贝尔的增益是电路中放大后与放大前的功率比值。为了提供一个可以表示小范围的信号功率变化的单位，特别定义

（11.1.2）因而使用分贝来表示两个功率的比值，应为

（11.1.3）如果，则此环节没有作增益或者衰减，dB＝0。如果，则此环节应作了增益，dB>0，分贝值为正。如果，则此环节应作了衰减，dB<0，分贝值为负。

有一个非常典型的分贝值，往往在扬声器中使用这个功率点。如果两个功率仅是增加1倍的话，也就是，则用分贝表示为

简单来说，当增加了 3 分贝，就等于增加 1 倍的功率。人们对于声音强度的反应也是呈现对数形式的，所以在音响制作上，一般都要求做到输出功率增加3 分贝。换句话说，1分贝仅仅勉强可检测到，2分贝则可辨别，当增加3分贝后才能迅速地感觉到声音音量的增大。如果输入功率为，则提高3分贝的话，输出功率应为，如果需要再提高3分贝的话，则输出功率应达到。

同样，也可以使用分贝来表示电压增益。对于纯电阻，功率可以表示为

，

代入式（11.1.3）可得

当时，电压增益可用下式表示为：

（11.1.4）

式中用下标v表示为电压增益，与功率增益区分开来。

例11.1.1已知某系统电路的输入信号为，输出电压为，请用分贝表示电压增益的大小。

解

如果直接计算电压增益，则有。

从上面的例题可以看出，用分贝（或说对数方式）计算电压增益可以大大增加其变化的范围，这也是这种表示方法在工程上得到广泛应用的原因之一；另外一个显著的特点就是计算多级放大电路的总增益时，可将乘法化为加法进行运算。这是由对数的性质决定的。

在后续的课程中，分贝的应用非常普遍。比如在数字信号处理课程以及相关的通信领域都涉及分贝。在电子电路和自动控制系统的分析、设计中幅频特性曲线的纵坐标和横坐标常常采用对数标尺，这种采用对数坐标的曲线图称为波特图。在滤波器的设计中需要学会使用波特图分析信号变化。

11.1.2 滤波器的定义与分类

对于特定频率具有选择性的网络就称为滤波器，该网络可以由无源器件（比如R、L、C）和有源器件（晶体管、运算放大器等）构成。在通信系统中，滤波器用来通过包含所需信息的频率信号，同时阻止其它频率的信号通过。在立体声系统中，滤波器用来隔离某些特定的频带，可以通过声音输出设备（比如功放、扬声器）增大或减小重音成分。滤波器也可以用来滤除任何不需要的频率信号，通常我们称为噪音，这是由于元件的非线性特性或受到周围环境的干扰信号引起的。一般来说，滤波器可以分为两类：（1）无源滤波器――电路由R、L、C串联或并联构成；

（2）有源滤波器――由有源器件，比如晶体管、运放，结合R、L、C无源器件构成电路网络。

自60年代以来，集成运算放大器获得了迅速的发展。由集成运算放大器和R、C组成的有源滤波电路，具有不用电感、体积小、重量轻等特点。此外，由于集成运算放大器的开环增益和输入阻抗均很高，输出阻抗又低，构成有源滤波电路后还具有一定的电压放大和缓冲作用。不过，因受运算放大器带宽的限制，这类滤波器目前还仅多应用于低频范围。根据频率范围可将其分为低通、高通、带通与带阻等四种滤波器。由第8章，我们已经知道，若系统激励象函数为，网络函数为，则网络响应的象函数为

（11.1.5）

在正弦稳态下，令，于是得

（11.1.6）

就是滤波器网络的幅频特性，为滤波器网络的相频特性。工程上，幅频特性函数通常还取对数的形式

（11.1.7）

称为滤波器网络的增益特性函数，单位为dB，有时也取它的负值，即

（11.1.8）称为滤波器网络的损耗特性函数，单位也是分贝（dB）。根据的大小，可以得到以下几种具有不同幅频特性的滤波器：

（1）低通滤波器：当时，；当时，（其中，为一个足够大的量，为一个小量），则称为低通滤波器。

（2）高通滤波器：当时，；当时，，（其中），则称为高通滤波器。

（3）带通滤波器：当时，；当，（其中）时，，，则称为带通滤波器。

（4）带阻滤波器：当时，；当，，，则称为带阻滤波器。

上面四种滤波器的衰减特性如图11.1.1所示。

（a）（b）

（c）（d）

图11.1.1

为了方便分析研究滤波器的相位特性，有时还取网络的相频特性函数对角频率的微分，即

（11.1.9）

称之为滤波网络的延时特性函数或群延时特性，它的量纲为时间。

11.1.3 频率和阻抗的归一化

滤波器在电子设备中的应用极其广泛，不同的设备对滤波器的要求相差很大，有的要求工作频率高，有的要求工作频率低，负载阻抗也不一样，因此构成滤波器的各元件值的大小就有可能有相当大的差异。为了简化计算，通常先将频率和阻抗（即元件R、L、C的数值）归一化后再进行综合设计，待设计完毕再将计算所得的滤波器的各参数还原成实际数值。

归一化的频率等于角频率除以截止频率，即

是无量纲的量，对应于截止频率时，。

归一化的阻抗等于原阻抗除以基准电阻，即

（11.1.10）

通过把负载电阻选取为基准电阻，这样各元件的归一化值如下：

（1）电阻R的归一化值

（11.1.11）

显然，当电路的（输出）电阻等于负载电阻，归一化值。

（2）电感L的归一化值

因为，一定频率下，电感L的阻抗为，所以归一化值为

为设计所需要的截止频率，为上述的归一化频率，归一化电感为

（11.1.12）

（3）电容C的归一化值为

一定频率下，电容的阻抗为

则归一化后的阻抗为

归一化电容为

（11.1.13）在最后实现网络的具体结构时还必须将归一化值还原成实际元件值，从上面归一化的过程不难看出这些实际元件的值为

（11.1.14）