九年级数学上册第21章《配方法》精品教案(人教版)
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版
21.2.1配方法一、教学目标1、掌握配方法的推导过程，并能够熟练地进行配方.2、用配方法解数字系数的一元二次方程.3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能.二、教学设想结合旧的知识展开，重点讨论配方法解一元二次方程。
教学中，应注意循序渐进地让学生掌握用配方法解数字系数的一元二次方程的做法，并且理解配方是为了配成完全平方的形式，再利用直接开平方的方法将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.三、教材分析本课时的教材在第一课时的基础上，通过对直接开平方的方法的理解，进一步引出用配方法解一元二次方程，然后再引导学生得出的这个方程的具体的解。
以直接开平方法为铺垫，把解一元二次方程转化为用配方法，也是为后面学习其它一元二次方程的解法作好准备。
四、重点难点重难点：使学生掌握配方法，解一元二次方程.把一元二次方程转化为q p x =+2)(.（q ≥0）五、教学方法引导学习法六、教具准备多媒体课件七、教学过程【引入】1．解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2） ()2210x --= 通过复习提问，指出这两个方程都可以转化为以下两个类型： ()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
思考：利用直接开平方法解一元二次方程的特征是什么？形如（1）x 2=b(b 0≥)，(2)（x+a ）2=b (b 0≥)就可利用直接开平方法。
它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式；右边是一个非负数。
且不含一次项。
符合这个特征的方程，就可利用直接开平方法。
2．复习完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2(1)x 2+6x+_____=(x+3)2 (2)x 2+8x+_____=(x+___)2(3)x 2-16x+_____=( )2(4)x 2-5x+______=_________(5)x 2+px+______=_________3．要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽应各为多少？分 析：设场地宽xm ，长（x+6）m ，根据矩形面积为16m 2，列方程，x （x+6）=16即x 2+6x-16=0.【互动】怎样解方程x 2+6x-16=0？引导考虑用直接开方法解一元二次方程.（小组探索）移项: 1662=+x x配方: 916962+=++x x (方程两边同时加上一次项系数一半的平方) 写成完全平方式: 25)3(2=+x采用直开法降次解题: 53±=+x解一元一次方程: 8,221-==x x像上边那样,通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.强调:无论是直接开平方法还是配方法,其本质都是先降次,化成一元一次方程解决问题.例题1：解下列方程：(1) 0182=+-x x ； （2）x x 3122=+； (3) 04632=+-x x .分 析：能否经过适当变形，将它们转化为（x+a ）2=b (b 0≥)的形式，应用直接开方法求解？解（1）原方程化为1422-=⨯-x x （移项） 16116422+-=+⨯-x x （方程两边同时加上16）15)4(2=-x （化为完全平方的形式）由此得： 154±=-x 154;15421-=+=x x（2）原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________, 21;121==x x (3) 原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________,无解.【练习】1．P39页：练习题第1题：填空。
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法（1）》教学设计一. 教材分析《配方法（1）》是人教版数学九年级上册第21.2.2节的内容，主要讲述了配方法的基本概念和应用。
配方法是一种解决二次方程的有效方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，从而简化计算和求解过程。
本节内容主要包括配方法的定义、配方法的步骤以及配方法在解决实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往对这些方法的应用范围和条件把握不清，不能灵活运用。
因此，在教学本节内容时，需要帮助学生巩固已有的知识，并通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握配方法的特点和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解配方法的基本概念和步骤，能够运用配方法解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生运用配方法解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.配方法的基本概念和步骤。
2.配方法在解决实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解配方法的基本概念和步骤，使学生掌握配方法的理论知识。
2.案例分析法：通过实例分析，让学生了解配方法在解决实际问题中的应用。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对配方法的理解和应用。
4.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和数学思维能力。
六. 教学准备1.教材和教辅：准备人教版数学九年级上册教材和相关教辅资料。
2.课件和幻灯片：制作课件和幻灯片，用于课堂讲解和展示。
3.练习题和答案：准备一些配方法的练习题，并准备相应的答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某数加上其倒数的和为2，求这个数。
”让学生尝试解决此问题，引发学生对配方法的思考。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的基本概念和步骤，并举例说明配方法在解决实际问题中的应用。
人教版九年级数学上册：21.2.1配方法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“配方法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
对于难点（2），指导学生如何处理二次项系数不为1的情况，如方程2x^2 + 4x - 1 = 0，需要先将系数化为1，再进行配方。
对于难点（3），通过实际例题，如“一个长方形的长比宽多3厘米，面积为18平方厘米，求长和宽”，引导学生如何构建方程并配方求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《配方法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决一元二次方程的情况？”（如面积计算、速度问题等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索配方法的奥秘。
2.培养学生数学建模和直观想象的核心素养，使学生能够运用配方方法解决实际问题，并培养从具体到抽象的数学思维能力；
3.培养学生运算能力和数据分析的核心素养，通过配方练习，提高学生的运算速度和准确性，培养学生对数据敏感度和分析能力；
4.培养学生团队合作和表达交流的核心素养，让学生在小组讨论和分享中，加深对配方方法的理解，提高数学表达和交流能力。
-配方步骤的应用：在具体操作过程中，学生可能会在系数化为1或加平方项时出错，这是配方的难点。
-配方在实际问题中的应用：如何从实际问题中抽象出一元二次方程，并将其配方求解，是学生需要克服的难点。
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《配方法》教案
22.2.1 配方法教学目标1．了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．会正确运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是一种重要的数学方法．3．体会由未知向已知转化的思想方法．教学重难点重点是用配方法解一元二次方程；难点是正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式．教学过程导入新课引例：市政府计划两年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积的增长率．如果我们设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；两年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2，由此可得10(1＋x)2＝14.4，你会解这个方程吗？前面我们已经学过有关平方根的内容．当x2＝a(a≥0)时，x叫做a的平方根，根据平方根的含义就可以求出x＝±a.本节课将继续深入研究像x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)这样的一元二次方程的求解方法．推进新课一、新知探究1．形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的解法做一做：请完成引例的求解过程．解：设每年人均住房面积增长率为x，则10(1＋x)2＝14.4.(1＋x)2＝1.44.直接开平方，得1＋x＝±1.2.即1＋x＝1.2，或1＋x＝－1.2.所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2.因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.我们把以上求方程解的方法称为直接开平方法．想一想：具有怎样特征的一元二次方程可以用直接开平方法求解？结论：形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程可利用直接开平方法．它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式，右边是一个非负数，且不含一次项．2．配方法解一元二次方程议一议：怎样解方程x2＋6x－16＝0？能否把它转化为(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，然后用直接开平方法呢？提示：移项：x2＋6x＝16.配方：x2＋6x＋9＝16＋9(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)．写成完全平方式：(x＋3)2＝25.采用直接开平方法降次：x＋3＝±5.解一元一次方程：x1＝2，x2＝－8.像上边那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．强调：无论是直接开平方法还是配方法，其本质都是先降次，化成一元一次方程解决问题．想一想：配方法解一元二次方程的步骤是什么？提示：配方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；(5)求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根．议一议：运用配方法解一元二次方程的关键是什么？提示：运用配方法的关键是在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方．二、应用迁移1．直接开平方法解方程解下列方程：(1)4(2x －1)2－9＝0；(2)9(3x －2)2＝(1－2x )2.分析：(1)方程可化为(2x －1)2＝94，用直接开平方法即可求解． (2)方程可化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2，因而方程转化为3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0两个一元一次方程求解．解：(1)原方程化为(2x －1)2＝94. 开平方得2x －1＝±32， 即2x －1＝32或2x －1＝－32. 所以x 1＝54，x 2＝－14. (2)原方程化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2.所以3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0.所以x 1＝711，x 2＝57. 点拨：形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)型的一元二次方程用直接开平方法解较简单．注意两边开平方时不要漏掉负号的情况．2．配方法解方程用配方法解下列方程：(1)x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x .分析：(2)中方程的二次项系数不是1，需要在方程的两边同除以2.解：(1)移项，得x 2－8x ＝－1.配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42.即(x －4)2＝15.直接开平方，得x －4＝±15.所以x 1＝4＋15，x 2＝4－15. (2)移项，得2x 2－3x ＝－1.二次项系数化为1，得x 2－32x ＝－12. 配方，得x 2－32x ＋(34)2＝－12＋(34)2. 即(x －34)2＝116. 直接开平方，得x －34＝±14. 所以x 1＝1，x 2＝12. 三、巩固提高1．解下列方程：(1)2x2－8＝0；(2)9x2－5＝3；(3)(x＋6)2－9＝0.2．解下列方程：(1)x2＋2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.本课小结本节课应掌握：1．会用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．2．会用配方法解一元二次方程．。
人教版九年级数学上册教案《配方法》人教)
《配方法》方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
【知识与能力目标】理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
【过程与方法目标】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法。
【情感态度价值观目标】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
【教学重点】运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
【教学难点】发现并理解配方的方法。
多媒体课件1、创设情境，引入问题问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生活动：教师展示问题，学生独立思考列出方程并整理得x 2=25。
教师追问：求方程的解与平方根定义之间有什么关系。
师生活动：回顾以前所学的知识引导学生得出降次的方法。
设计意图：类比消元法得出一元二次方程解法——降次。
2、探索配方法问题2方程x ^2+6x +9=2如何求解学生活动：思考并交流得出：的左边是完全平方形式，这个方程可以化成（x +3）2=2，进行降次，得______________，所以方程的根为x 1=___________，x 2＝__________．教师追问：可以总结一般式吗?学生思考，小组讨论并得出解决方法：如果方程能化成的形式，那么可得 教师适当点拨，板书规范几何书写．3、课堂练习师生活动：学生独立思考，完成解题，组内小先生批改，教师巡视、发现问题。
小组汇报完成情况设计意图：熟悉并掌握正确的解题方法。
4、课堂小结左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平)0()(22≥=+=p p n mx p x x mx n =+=()()()()()()()()2222221280; 2953; 3690;43160 5445; 6961 4.x x x x x x x x -=-=+-=--=-+== ； ＋＋方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程。
人教版九年级上册 第21章 21.2配方法 教案
配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m－8m＋17)x＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.。
人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案
2.归纳总结.
（1）配方的规律；
（2）用配方法解一元二次方程的步骤；
（3）思想方法.
教师组织，引导学生解决问题.
通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.
配方检测
巩固落实配方.
（1）例
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.
板书设计
21.2.1用配方法解一元二次方程
主板左侧：
配方：
当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方
例：
解：移项，得
配方，得
开方，得
，或
，或
中间：学生板演
主板右侧：
解一元二次方程的方法：
——特法
（1） 直接开平方法
（2）因式分解法
（3）配方法
学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学分享错误原因.
我的收获
知识和方法.
1.配方；
2.数学思想.
教师引导学生总结.
学生总结.
课堂检测
具体内容
反馈目标
配方法检测，用配方法解一元二次方程.
会用配方法解系数为1的一元二次方程.
作业设计
具体内容
作业目标
学探诊九上第3页.
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
21.2.1用配方法解一元二次方程教案
科目
数学
课题
21.2.1用配方法解一元二次方程
教学目标
知识与技能：理解配方法，能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法：通过课前学习，理解配方法，提炼出配方法的步骤，明晰配方过程中的算理，复习用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程；课上让学生体会要解一般的一元二次方程转化为已经学过的方法，有两条路可以选择，经过分析解一般的一元二次方程用配方法转化为直接开平方法容易一些，就是本节课要学的内容.
九年级数学上册第21章《配方法(1)》名师教案(人教版)
21.2.1 配方法解一元二次方程 第一课时一、教学目标（一）学习目标1.理解配方法的意义；2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；3.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.（二）学习重点运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（三）学习难点发现并理解配方的方法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务直接开平方法解一元二次方程：若()20x m m =≥，则x=.方程162=x 的解是x= ±4 .方程122=+）（x 的解是x= -1或-3 .2.预习自测（1）用直接开平方法解方程：9x 2=1【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】【答案】13x =± （2）用直接开平方法解方程：(x-2)2=2【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】【答案】2x =±（3）方程2443x x -+= 能用直接开平方法解吗？【知识点】配方，直接开平方法解方程.【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】原方程可化为：2(2)3x -=【答案】能（4） 方程2692x x ++= 能用直接开平方法解吗？【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】原方程可化为：2(3)2x +=【答案】能(二)课堂设计1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式：2ax bx c=0(a 0)++≠，（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.（3）一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.2.问题探究●活动① 以旧引新问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2， 场地的长和宽应各是多少？（1）如何设未知数？怎样列方程？设场地的宽为xm,长为(x+6)m,所列方程为x(x+6)=16,整理后为x 2+6x-16=0（2）所列方程与我们上节课学习的方程x 2+6x+9=2有何联系与区别?学生答：二次项和一次项都相同.【设计意图】问题（1）选择以解决问题为本课开端，有利于激发学生探究的欲望.问题（2）通过对比，学生很容易发现两个方程的联系与区别，进而引发联想，促使学生继续探究.●活动②大胆猜想，探究新知1.方程x 2+6x+9=2的等号左边是一个完全平方式，可用直接开平方法解.2.方程x 2+6x-16=0的等号左边不是一个完全平方式，但其二次项和一次项和方程x 2+6x+9=2相应部分完全相同.（3）你能由方程x 2+6x+9=2的解法联想到怎样解方程x 2+6x-16=0吗？学生答：能老师问：解方程x 2+6x-16=0，你有什么新发现？如何处理？学生分组解答，单纯的利用方程两边各加上一次项系数一半的平方，不能达到左边是完全平方式的目的.学生继续讨论，发表见解.学生答：()22221261606166925325358,2x x x x x x x x x x +-=+=++=+=+=±=-=【设计意图】问题（3）学生联想、总结、尝试，在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.经历由实际问题转化为方程的过程，通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想的重要意义.●活动③ 集思广益，归纳方法先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为()2+=x m n （n ≥0）的形式，最后方程两边同时开平方求出方程的解.【设计意图】归纳配方法解方程的步骤，让学生掌握配方法解方程的要领.探究二 利用配方法解一元二次方程.●活动① 配方法的练习例1．填空()()()()2222(1)12(2)4x x x x ++=-+=【知识点】 配方法 【解题过程】 ()()22222212(1)12624(2)422x x x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.【答案】（1）36,6x +（2）4,2x -【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.练习.()()()()2222(1)11(2)7x x x x ++=-+= 【知识点】 配方法【解题过程】 2222221111(1)112277(2)722x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）12111,42x +（2）497,42x -【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.例2．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2【知识点】 配方法【解题过程】()()2224242,404,2x x p x p x q q p p q -+=-+-=+∴-=-=∴==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，分别让对应系数相等，列出方程组求解.【答案】 B练习．若()228x x x p q +=++，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=16B ．p=4，q=-16C ．p=-4，q=16D ．p=-4，q=-16【知识点】 配方法【解题过程】()()22284164,16x x x x p qp q +=+-=++∴==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，分别让对应系数相等，列出方程组.【答案】B【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.●活动2 利用配方法解一元二次方程例3 .解方程：2220x x --=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222222131311x x x x x x x -=-+=-=-==【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】1x =±【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.练习.用配方法解方程2860x x ++=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222868161041044x x x x x x x +=-++=+=+==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】4x =-±【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.例4.用配方法解一元二次方程：210x bx +-=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】2222221122424222x bx b b x bx b b x b x b x +=⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=±-=【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】2b x -±=【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.练习.用配方法解一元二次方程：2420x bx --=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()2222224244422222422x bx b b x bx x b b x b x b -=⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+-==±【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】2x b =【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了一次项系数字母的方程，让学生用类比的方法解决问题. ●活动3 综合应用例5. 已知实数,x y 满足222450x y x y ++-+=，求,x y 的值.【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()()2222222450(21)(44)012010,201,2x y x y x x y y x y x y x y ++-+=+++-+=++-=+=-==-=【思路点拨】先用配方法将方程化成()()22x m y n a +++=的形式，再利用非负数性质求解.【答案】1,2x y =-=【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题. 练习. 已知实数,x y 满足222568x y x y ++=-，求,x y 的值.【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()2222222568(69)(816)03(4)030,403,4x y x yx x y y x y x y x y ++=--++++=-++=-=+===-【思路点拨】先用配方法将方程化成()()22x m y n a +++=的形式，再利用非负数性质求解.【答案】3,4x y ==-【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.3. 课堂总结知识梳理1.直接开平方法解一元二次方程：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.2.配方法解一元二次方程：在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法.重难点归纳1.直接开方法解一元二次方程时，（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）a x =2，当a<0时，方程无解；（3）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （4）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±=.2.配方法解一元二次方程时注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数.（三）课后作业基础型 自主突破1．方程x 2－256＝0的根是( )A ．16B ．－16C ．16或－16D ．14或－14【知识点】直接开方法解一元二次方程【解题过程】因为x 2－256＝0，所以x 2＝256.故x 1＝16，x 2＝－16【思路点拨】若()20x m m =≥，则x m =± 【答案】C 2．用直接开平方法解方程(x －3)2＝8，得方程的根为( )A ．x ＝3＋23B ．x 1＝3＋22，x 2＝3－22C ．x ＝3－22D ．x 1＝3＋23，x 2＝3－23【知识点】直接开方法解一元二次方程【解题过程】因为(x －3)2＝8，所以x －3＝22±.故x 1＝3＋22，x 2＝3－22.【思路点拨】()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=. 【答案】B3．以下的配方运算中，不正确的是( )A ．x 2＋8x ＋9＝0，化为(x ＋4)2＝25B ．2t 2－7t －4＝0，化为2781=416t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．x 2－2x －99＝0，化为(x －1)2＝100 D ．3x 2－4x －2＝0，化为2210=39x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得(x ＋4)2＝7.【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】A4．若将方程x 2－6x －5＝0化成(x ＋m)2＝n 的形式，则m ，n 的值分别是( )A ．3和5B ．－3和5C ．－3和14D ．3和14【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】将x 2－6x －5＝0配方，得(x －3)2＝14，对应(x ＋m)2＝n ，可得出m ＝－3，n ＝14.【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】C5．当x ＝__________时，代数式x 2－8x-12的值是－4.【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】由题意的方程x 2－8x －12＝-4，将x 2－8x －12＝-4配方，得(x －4)2＝24，对应426x -=±，可得出426x =±.【思路点拨】根据题意列出方程，将方程左边化成完全平方的形式再解.【答案】426±6．用配方法解方程x 2－6x －12＝0.【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】将x 2－6x －12＝0配方，得(x －3)2＝21，对应321x -=±，可得出321x =±【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】321x =±能力型 师生共研7．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A ．24B ．24或85C ．48D ．85【知识点】配方法解一元二次方程，三角形面积【解题过程】解方程x 2－16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6.根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8,10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24； 当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为25，此时三角形的面积为1825=85 2⨯⨯.【思路点拨】先利用配方法求出方程的解，然后利用勾股定理判断三角形的形状，最后求出三角形的面积.【答案】B8．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为()A．±12 B．－11或－12 C．13 D．13或－11【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】因为4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，即k－1＝±12所以k＝13或k＝－11.【思路点拨】根据完全平方展开式中一次项是首尾乘积的两倍.【答案】D探究型多维突破9．当x取任意值时，代数式x2－4x＋9的最小值为()A．0 B．9 C．5 D．4【知识点】配方法【解题过程】x2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5. 因为(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值为5，即x2－4x＋9的最小值为5.【思路点拨】将二次三项式配方.【答案】C10．在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2－b，按照这个规则，(x＋3)※25的结果刚好为0，则x的值为__________．【知识点】新运算、配方法解一元二次方程【解题过程】由规则可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8【思路点拨】根据规则列出方程，用配方法解这个方程.【答案】x1＝2，x2＝－8自助餐1.不论,x y 为何实数，式子22429x y y x +-++的值（ ）A.可能为负数B.总不小于9C.总不小于4D.大于4【知识点】配方法的应用【解题过程】原式=()()2222429124+-++=++-+x y y x x y()()222210,204294+≥-≥+-++≥Q x y x y y x【思路点拨】将代数配方.【答案】C2.若方程240x x k ++=有一个根是2，求k 的值及方程的另一个根.【知识点】一元二次方程的根、配方法解一元二次方程.【解题过程】将2x =代入得480,12,k k ++=∴=-即原方程为224120,(2)16x x x +-=+= 1224,2,6x x x ∴+=±∴==-，即方程的另一个根是6x =-【思路点拨】将方程的根代回原方程求出待定系数k ，再用配方法解一元二次方程.【答案】12,6k x =-=-3．若(x 2＋y 2－5)2＝4，则x 2＋y 2＝__________.【知识点】直接开方法解一元二次方程【数学思想】整体思想【解题过程】由题意可知x 2＋y 2－5＝，即x 2＋y 2＝5±2，所以x 2＋y 2＝7或x 2＋y 2＝3.【思路点拨】将22x y +当成一个整体，然后用直接开方法解方程.【答案】7或34．用配方法解方程(x －1)2－2(x －1)＋12＝0. 【知识点】换元法、配方法解一元二次方程【解题过程】解：设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－2y ＋12＝0.解得12y =±.因此x －1＝12±，即22x =±.故x 1＝2＋2，x 2＝2－2. 【思路点拨】将1x -当成一个整体，然后用配方法解方程.【答案】x 1＝2，x 2＝2 5．解方程4x 2－6x －3＝0.解：4x 2－6x －3＝0，配方，得4x 2－6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3＝0， 即4x 2－6x ＋9＝12.故(2x －3)2＝12.即132x ，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】解：错在没有把二次项系数化为1. 正解：原式可化为23324x x -=， 配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=4x -，得134x +=，234x -=. 【思路点拨】用配方法解方程，当二次项系数不为1时，要先将其化为1 ，再将方程左边化成完全平方的形式.【答案】134x +=134x =6.实数,x y 满足2222210,x xy y x -+++=求x y +的值.【知识点】利用配方法解多元方程【解题过程】()()()()222222222210,221010010112x xy y x x xy y x x x y x x y x x y x y -+++=-++++=-++=-=⎧∴⎨+=⎩=-⎧∴⎨=-⎩∴+=-【思路点拨】将方程左边配方成完全平方的和的形式，方程右边为0，然后让每一个完全平方都为0，再求出未知数的值.【答案】-2。
人教版数学九年级上册教案21.2.1《配方法》
人教版数学九年级上册教案21.2.1《配方法》一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第21章第2节的内容，本节课主要让学生掌握配方法的原理和步骤，并能够运用配方法解决一些实际问题。
教材通过引入“完全平方公式”的概念，引导学生探索如何将一个二次多项式转化为完全平方形式，从而引出配方法。
学生在学习过程中，需要理解并掌握配方法的基本步骤，以及如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法、完全平方公式等知识，对于二次多项式的基本概念和性质有一定的了解。
但学生在运用配方法解决实际问题时，可能会遇到一些困难，如判断多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与课堂活动，提高学生运用配方法解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法将一个二次多项式转化为完全平方形式。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习活动，培养学生探索问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 教学重难点1.重点：配方法的原理和步骤。
2.难点：如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。
五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
3.案例教学：教师通过举例子，让学生理解并掌握配方法的运用。
六. 教学准备1.准备相关教案和教学资料。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个实际问题，引导学生思考如何解决。
例如：已知一个二次多项式 f(x) = x^2 - 6x + 9，请问如何将其转化为完全平方形式？2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾二次方程的解法和完全平方公式，然后引导学生探索如何将 f(x) = x^2 - 6x + 9 转化为完全平方形式。
初中数学人教版九年级上册：配方法 教案
21.2.1配方法教学目标（一）教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.（二）能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤.（三）情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力.教学重点用配方法求解一元二次方程.教学难点理解配方法.教学方法讲练结合法.教学过程我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.平方根的意义：如果x 2=a ，那么x=±a.完全平方式：式子a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=(a±b)2用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.探究：一桶油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设一个盒子的棱长为xdm ，则它的外表面面积为＿＿＿＿，10个这种盒子的外表面面积的和为＿＿＿＿，由此你可得到方程为＿＿＿＿，你能求出它的解吗？解：26x ，2106x ，21061500x ，整理得225x ，根据平方根的意义，得5x ，可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm ，故5x dm .【归纳结论】一般地，对于方程2x p ，（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根1x，2x 师：（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根120x x ；（3）当p<0时，因为对任意实数x ，都有20x ，所以方程（Ⅰ）无实数根。
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法(2)》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法（2）》教学设计一. 教材分析《配方法（2）》是人教版数学九年级上册第21章第二节的内容，这一节主要介绍了配方法的进一步应用。
通过前面的学习，学生已经掌握了配方法的基本概念和步骤，本节内容则进一步引导学生运用配方法解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于配方法的基本概念和步骤有一定的了解。
但是，学生在运用配方法解决实际问题时，可能会遇到一些困难，如不知道如何选择合适的配方法，或者在计算过程中出现错误。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行指导和纠正。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法的进一步应用，能够灵活运用配方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生运用配方法解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 教学重难点1.重点：配方法的进一步应用。
2.难点：如何选择合适的配方法，以及在计算过程中避免错误。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的例子，让学生了解配方法的应用。
2.讨论法：引导学生分组讨论，共同解决问题。
3.练习法：让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示配方法的应用实例。
2.练习题：准备一些配方法的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，让学生思考如何运用配方法解决。
例如，一个长方形的长是10cm，宽是8cm，求这个长方形的对角线长度。
2.呈现（10分钟）教师展示课件，呈现几个配方法的实例，让学生观察和思考。
同时，教师引导学生回顾配方法的基本步骤，巩固所学知识。
3.操练（10分钟）教师让学生分组进行讨论，每组选择一个实例，尝试运用配方法解决问题。
教师在旁边进行指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生的解题过程，进行讲解和分析，指出其中的优点和不足。
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《配方法解一元二次方程》教案
《配方法解一元二次方程》教案2教学设计说明：在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，故本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入直接开平方法和配方法．教学设计将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上．通过例题规范用配方法解一元二次方程的过程，帮助学生充分掌握用配方法解一元二次方程的技巧，同时通过几个实际应用问题，让学生体会到了方程在实际问题中的应用，感受到了数学的实际价值，培养了学生分析问题，解决问题的能力．（1）教材分析从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础．初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本节教材中都有比较多的体现、应用和提升．我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义．通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法．解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次思想．本节课由简到难的展开学习，逐步认识配方法的基本原理并掌握其具体方法与步骤．（2）学情分析学生的知识技能基础：学生已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式．在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义．学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标1．理解一元二次方程“降次”的转化数学思想，会利用直接开平方法对形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程进行求解，并能应用它解决一些具体问题．2．理解配方的基本步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．在对一元二次方程进行配方及变形过程，让学生进一步体会转化的思想方法，能利用方程解决简单的实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力．教学重点、难点1．重点：运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，领会降次──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．关键是讲清配方法的解题步骤：①先将已知方程化为一般形式，再将左边的二次项系数化成1的形式，并把常数项移到方程的右边．②要在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式．③当方程右边的常数是非负数时，用直接开平方法求解．这里第二步是关键也是难点．2．难点：配方要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备．关键：通过根据平方根的意义解形如x 2= p （p ≥0）的知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程及发现不同方程的转化方式，把常数项移到方程右边后，方程两边同时加上的常数是一次项系数一半的平方．利用实际问题，初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识．通过对例题的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成一般形式，同时通过例2、例4明白：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍． 课时设计两课时．教学策略本节课主要通过以旧引新，由平方根与相关活动问题为切入点，引导学生理解将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程，以求得方程的根，揭示解一元二次方程的基本思想——降次和解一元二次方程的方法（直接开平方法）．进而由特殊方程过渡到一般方程的解法上来（配方法），告诉我们如何对一个一元二次方程进行配方，并最终达到求得方程的根的目的．教学过程一 复习与回顾问题1：判断下列各题的对错，并说明理由．（1）如果一个数的平方等于a ，那么它的平方根为±a ；（2）正数的平方根有两个，0的平方根为0；（3）任何数的平方根有两个；问题2：填空（1）x 2-8x +______=（x -______）2；（2）9x 2+12x +_____=（3x +_____）2；（3）x 2+px +_____=（x +______）2．〖答案〗问题1．（1）错，当a 为负数时，在实数范围内无意义．（2）对 （3）错，负数没有平方根． 问题2．（1）16 4 （2）4 2 （3）42p 2p 【设计意图】通过两个问题的复习，让学生进一步理解平方根的概念和完全平方式．学生易于接受，为学生的进一步学习打好基础与铺垫，二 新课探究问题3：方程x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x =±3，如果x 换元为2t +1，即（2t +1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？归纳发现：解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x 转化为应用直接开平方法解形如（mx +n ）2=p （p ≥0），那么mx +n =，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解【设计意图】探究这个方程的解法上，让学生从特殊方程x 2= p （p≥0）的解法进而转化到一般形如（mx+n ）2=p （p≥0）一元二次方程的解法，归纳出直接开平方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程．例1：解方程：（1） （x +2）2=9； （2）3（x -1）2-6=0； （3）x 2+6x+9=2解： （1） x 1= 1，x 2=-5 （2）121,1x x =．（3）由已知，得：（x +3）2=2直接开平方，得：x +3=即x x所以，方程的两根x 1x 2 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14．4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．一年后人均住房面积就应该是10+10x =10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x =10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14．4（1+x ）2=1．44直接开平方，得1+x =±1．2即1+x =1．2，1+x =-1．2所以，方程的两根是x 1=0．2=20%，x 2=-2．2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2．2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．【设计意图】进一步理解能利用直接开平方法解一元二次方程的方程特征和基本步骤，获得更多的数学经验，并将所学知识应用于实际生活，体现数学的应用性．三 拓展探究问题4：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx +n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x =或mx +n =（p ≥0）． 如：4x 2+16x +16=（2x +4）2 ，你能把4x 2+16x =-7化成（2x +4）2=9吗？问题5：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽各是多少？ 设宽为x m ，则长为（x +6）m ，根据题意得x （x +6）＝16，化简转化为：x 2+6x -16=0移项→x 2+6x =16 两边加（62）2使左边配成x 2+2bx +b 2的形式 → x 2+6x +32=16+9 左边写成平方形式 → （x +3）2=25降次→x +3=±5 即 x +3=5或x +3=-5解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根，但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，长为8m ．归纳发现：像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为（x +p ）2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p q ＜0，方程无实根．【设计意图】学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．以解决问题为立足点和出发点，有益于培养学生的应用意识，通过对比，发现问题，设置矛盾冲突，可以激发学生的探究欲．例3：用配方法解下列方程：（1）2820x x -+= （2）22490x x +-=解：（1）移项，得282x x -=-配方 2228424x x -+=-+ 2(4)14x -=由此可得 4x -=124,4x x ==．（2） 移项，得2249x x +=二次项系数化为1，得2922x x += 配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2x +=∴12x +=±∴121,122x x =-=-- 运用配方法解一元二次方程，先移项把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时除以二次项的系数，把二次项的系数化为“1” 的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()ax b m +=的形式，再用直接开平方的方法求解．配方的关键是在二次项系数为1的形式下，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．【设计意图】在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．例4．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x +24=0（x -7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．【设计意图】本例题有一定的思维度，让学生学会运用所学的知识解决新的问题，具有一定的挑战．鼓励学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，培养学生发现问题的意识与独立思考判断能力．四 归纳小结用你的语言描述一下配方法解一元二次方程的基本步骤和需注意的问题？本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．【设计意图】教师引导学生对配方法的完整回顾，学生可以在回忆和思考中加深对配方知识的理解，加强记忆和应用能力．五 课后作业1．若x 2-4x +p =（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）A ．p =4，q =2B ．p =4，q =-2C ．p =-4，q =2D ．p =-4，q =-22．方程3x 2－27=0的根为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根3．配方法解方程2x 2-43x -2=0应把它先变形为（ ） A ．（x -13）2=89 B ．（x -23）2=0 C ．（x -13）2=89 D ．（x -13）2=109 4．若8x 2-16=0，则x 的值是_________5．如果方程2（x -3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________6．解方程（1）（2x -1）2=5；（2）x 2+8x +16=20；（3）9y 2-18y -4=0（4）x 27．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．8．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3．31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？课后作业答案1．B 2．C 3．D 4 5．9或-36．（1）215,21521+-=+=x x（2）124,4x x ==-（3）y 2-2y -49=0，y 2-2y =49，（y -1）2=139，y -1=±3，y 1=3+1，y 2=1-3（4）x 2=-3 （x 2=0，x 1=x 2 7．解得x 1=3，x 2=1，∴三角形周长为9（∵x 2=1，∴不能构成三角形）8．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3．31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x +12）2=2．56，即（x +32）2=2．56 x +32=±1．6，即x +32=1．6，x +32=-1．6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3．1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．六 板书设计七教学反思学生在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，所以本节课从这两个方面入手学习探究直接开平方法与配方法，利用简单的实际问题逐步引入配方法．教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上．通过前两个例题规范用配方法解一元二次方程的过程，帮助学生充分掌握用配方法解一元二次方程的技巧，通过拓展应用例题，让学生体会到了方程在实际问题中的应用，感受到了数学的实际价值．培养了学生分析问题，解决问题的能力．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．本节课两次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性．。
人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1《配方法的灵活应用》教学设计
3.通过解题过程中的交流与分享，培养学生的团队协作精神，提高学生的沟通能力。
一、导入新课
1.引导学生回顾一元二次方程的一般形式，复习求解一元二次方程的方法。
2.提问：我们之前学过的一元二次方程求解方法有哪些？它们之间有什么联系和区别？
1.总结本节课的教学效果，分析学生在学习过程中的优点和不足。
2.针对学生的反馈，调整教学方法，为下一节课的教学做好准备。
二、学情分析
在教授人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1《配方法的灵活应用》这一节时，考虑到学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。他们已经学习了解一元二次方程的一些基本方法，如因式分解法、公式法等，为本节课的配方法学习打下了基础。然而，学生在灵活运用配方法解题方面可能还存在以下问题：
5.家长参与作业：请家长协助学生一起完成一道与配方法相关的实际问题，并鼓励学生向家长分享所学知识，增强学生的自信心和沟通能力。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要注重解题过程的规范性和书写整洁性，养成良好的学习习惯。
2.小组讨论时，每位成员都要积极参与，充分发挥团队协作精神，共同解决问题。
3.家长参与作业时，要关注学生的思考过程，引导他们运用配方法解决实际问题。
在课堂小结环节，让学生回顾本节课所学内容，总结配方法的步骤和关键点。教师进行点评，强调解题过程中的注意事项。
5.课后作业，拓展提升
布置一定数量的课后作业，包括配方法求解一元二次方程的题目和实际问题。同时，鼓励学生进行拓展学习，探索配方法在其他数学问题中的应用。
6.教学评价与反思
总之，在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂活动，培养他们的数学思维和解决问题的能力。同时，注重课后评价与反思，不断提高教学质量，为学生的全面发展奠定基础。
初中数学人教版九年级上册 第21章：21.2.1配方法(教案)
是 1 的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
情感、态度、价值观：1.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．
2. 感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
3.温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.
教学重点：用配方法解一元二次方程
教学难点：用配方法解二次项系Fra bibliotek不是 1 的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系 数，将方程化为二次项系数是 1 的类型.
教学方法：讲练法，引导法，合作学习法。
教学准备：多媒体课件
课时安排：1 课时
一、 复习引入
教学 过程
二次备课
【教师活动】
教师展示多媒体课件,引导学生. 导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0）或 （mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是 1， 一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方 程. 【学生活动】
○1 .把常数项移到方程右边得：
x2 6x -4
○2 .（如果二次项的系数不为零时方程两边同除以二次项系数，化二次 项系数为 1）；
○3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
x2 6x 9 -4 9
○4 .原方程变形为（x+m）2=n 的形式得 （x+3）2=5 ○5 降次得
x+3= 5 得 x+3= 5 或 x+3=- 5
D．（ 1 x-a）2=a
2
2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 （x+n）2=p
的形式，那么就有：
（1） 当 p>0 时，方程有两个不等的实数根
1 =-n+ p ， 2 =-n- p
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法(2)》教案
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法（2）》教案一. 教材分析《配方法（2）》是人教版数学九年级上册第21章第二节的一部分，主要介绍了配方法的进一步应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握配方法的步骤和技巧，并能运用配方法解决实际问题。
本节课的内容与生活实际紧密相连，有助于培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了配方法的基本概念和步骤，但部分学生在运用配方法解决实际问题时，仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生巩固已学知识，提高学生运用配方法解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握配方法的步骤和技巧，能够运用配方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.配方法的步骤和技巧。
2.运用配方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现配方法的步骤和技巧，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示配方法的过程和实例。
2.练习题：准备一些配方法的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入课题，如：“小明家有一个长方形菜地，长为8米，宽为6米，他想将菜地改为正方形，请问如何改动？”引发学生的思考，激发学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示配方法的过程，引导学生发现配方法的步骤和技巧。
步骤1：将原式写成完全平方的形式。
步骤2：根据需要，将完全平方形式展开或变形。
步骤3：将展开或变形的式子应用到实际问题中。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用配方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程 教案
配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？问题2重在引出用配方法解一元二次方程。
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
配方法第1课时直接开平方法1.了解降次将一元二次方程转化为一元一次方程.2.能用直接开平方法解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程.【重点难点】会用直接开平方法解一元二次方程.【新课导入】1.你能求出方程x2=16中的未知数吗?2.把方程(x-1)2=9中的x-1看作一个整体,你能转化为两个一元一次方程吗? 【课堂探究】一、用直接开平方法解形如x2=p的一元二次方程1.一元二次方程2x2-6=0的解为x1=,x2=-.2.解方程4x2=9.解:由4x2=9,得x2=,两边直接开平方,得x=±,所以原方程的解为:x1=,x2=-.二、用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程3.解方程2(x+3)2-4=0.解:x1=-3+,x2=-3-.4. 解方程(2x+1)2=(x-1)2.解:两边直接开平方,得到2x+1=±(x-1),即2x+1=x-1或2x+1=-(x-1), 解得x1=-2,x2=0.1.只有二次项和常数项的方程x2=p(p≥0),方程两根为x=±.2.方程左边是完全平方式,右边是常数的方程(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)方程可转化为两个一元一次方程mx+n=±p,解得x1=,x2=.1.方程x2-4=0的根是(C)(A)x=2 (B)x=-2(C)x1=2,x2=-2 (D)x=42.(2013某某)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)(A)x-6=-4 (B)x-6=4(C)x+6=4 (D)x+6=-43.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(B)(A)14 (B)12(C)12或14 (D)以上都不对4.关于x的一元二次方程(x-k)2+k=0,当k>0时的解为(D)(A)k+ (B)k-(C)k±(D)无实数解5.解方程:2y2=8.解:两边同除以2,得y2=4,所以y1=2,y2=-2.6.解方程:4(3x-2)2-32=0.解:移项,得4(3x-2)2=32,方程两边同除以4,得(3x-2)2=8.两边直接开平方,得3x-2=±2,所以3x-2=2或3x-2=-2.因此,原方程的解是:x1=,x2=.第2课时配方法1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程. 【重点难点】配方法解一元二次方程.【新课导入】1.将x2+6x配成完全平方式且原整式不变(x+3)2-9.2.你能将方程x2-2x-5=0的左边配成完全平方式吗?【课堂探究】一、多项式的配方1.填空: x2-8x+16=(x-4)2.2.应用配方法把关于x的二次三项式x2-4x+6变形,然后证明:无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.解:x2-4x+6=x2-4x+4-4+6=(x-2)2+2,无论x取任何实数值,(x-1)2≥0,则(x-1)2+2>0.所以无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.二、配方法解一元二次方程3.解方程x2-2x-1=0.解:移项,得x2-2x=1,配方,得(x-1)2=2,两边开平方,得x-1=±,所以x1=1+,x2=1-.4.用配方法解方程4x2-12x-1=0.解:二次项系数化为1,得x2-3x-=0,移项,得x2-3x=,配方,得x2-3x+-2=+-2,得到x-2=,则x-=±,∴x1=+,x2=-.小结:配方法解一元二次方程的关键一步是:配方,即方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.1.配方法:通过配成完全平方式来解一元二次2.配方法解一元二次方程的步骤方程的方法. (1)移项:方程右边只有常数项,(2)化1:二次项系数化为1,(3)配方:方程化为(x+m)2=n形式,(4)开方:n≥0时,方程两边直接开方,n<0时,无解,(5)求解:解两个一元一次方程得原方程解.1.(2013某某)用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为(D)(A)(x+1)2=0 (B)(x-1)2=0(C)(x+1)2=2 (D)(x-1)2=22.用配方法解方程x2-x-1=0应该先变形为(C)(A)x-2= (B)x-2=-(C)x-2= (D)x-2=03.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为(B)(A)12 (B)15(C)12或15 (D)不能确定4.解方程:x(x+4)=21.解:原方程即x2+4x=21,配方,得(x+2)2=25,两边开平方,得x+2=±5,所以x1=-7,x2=3.5.解方程:-2x2+2x+1=0.解:化二次项系数为1,得x2-x-=0,移项,配方, 得x2-x+=+即x-2=,两边开平方, 得x-=±,所以x1=,x2=.。
2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案 配方法(第1课时)
21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法一、教学目标【知识与技能】1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度与价值观】在成功解决实际问题过程中,体验成功的快乐,增强数学学习的信心和乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时四、教学重难点【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2）一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根..a(a≥0)的平方根记作:.x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知,x=.2. 求出下列各式中x的值,并说说你的理由.（出示课件3）⑴x2=9；⑵x2=5.解:⑴x=±3 ；⑵x=.思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢？（二）探索新知探究直接开平方法一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5）教师问:设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为6x2dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2,由此你可得到方程为10×6x2=1500,你能求出它的解吗？学生思考后,共同解答如下:.解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2dm2,可列出方程:10×6x2=1500,由此可得x2=25.开平方得x=±5,即x 1=5,x 2=－5.因棱长不能是负值,所以正方体的棱长为5dm ．教师问:解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.（出示课件6）(1) x 2=4；(2) x 2=0；(3) x 2+1=0.学生回答:⑴根据平方根的意义,得x 1=2, x 2=-2.⑵根据平方根的意义,得x 1=x 2=0.⑶根据平方根的意义,得x 2=-1,因为负数没有平方根,所以原方程无解.教师归纳:（出示课件7）一般地,对于可化为方程 x 2 = p, (I)(1)当p>0 时,根据平方根的意义,方程(I)有两个不等的实数根1x =,2x =；(2)当p=0时,方程(I)有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0；(3)当p<0时,因为任何实数x,都有x 2≥0 ,所以方程(I)无实数根.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例1 利用直接开平方法解下列方程:（出示课件8）(1) x 2=6；(2) x 2－900=0.师生共同讨论解答如下:解:(1)直接开平方,得x =12，∴==x x（2）移项,得x 2=900.直接开平方,得x=±30,∴x 1=30, x 2=－30.出示课件9:解下列方程: (1) 2280;x -=(2)2953.x -=学生自主思考并解答.解:(1)移项,得228.=x系数化为1,得2 4.=x∴=x即122,2;==-x x（2）移项,得298.=x系数化为1,得28.9=x12,∴==-x x教师问:对照前面方法,你认为怎样解方程（x+3）2=5①？（出示课件10）学生自主讨论后回答:解:把x+3看做一个整体,两边开平方得3x +=33.x x ∴+=+=，或③于是,方程（x+3）2=5的两个根为1233x x ∴=-+=--或教师总结:由方程①得到②,实质是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.例2 解下列方程:（1）（x＋1）2= 2；（出示课件11）教师分析:本题中只要将（x＋1）看成是一个整体,就可以运用直接开平方法求解.师生共同解答如下:解:（1）∵x+1是2的平方根,∴x+1=即x12=-1-（2）（x－1）2－4 = 0；（出示课件12）教师分析:本题先将-4移到方程的右边,再同第1小题一样地解.师生共同解答如下:解:（2）移项,得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根,∴x-1=±2.即x1=3,x2=-1.(3) 12（3－2x）2－3 = 0.（出示课件13）教师分析:本题先将－3移到方程的右边,再两边都除以12,再同第1小题一样地去解,然后两边都除以-2即可.师生共同解答如下:解:（3）移项,得12（3-2x）2=3,两边都除以12,得（3-2x）²=0.25.∵3-2x 是0.25的平方根,∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5,∴ x 1=54 x 2=74.出示课件14,学生自主思考并解答.例3 解下列方程:（出示课件15）（1）2445x x -+=； （2）29614x x ＋＋=. 师生共同解答如下:解:（1）()225,x -=2x ∴-=22x x -=-=方程的两根为12=+x22x =-（2）()2314,x +=312,x ∴+=±312312,x x ， +=+=-方程的两根为113，=x 2 1.x =-出示课件16,学生自主思考并解答.（三）课堂练习（出示课件17-21）1. 一元二次方程x 2﹣9=0的解是______________．2.下列解方程的过程中,正确的是（ ）A. x 2=-2,解方程,得x=B. (x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)= ±3, x 1=14,x 2=74D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-43. 填空:(1)方程x 2=0.25的根是______________ .(2)方程2x 2=18的根是______________.(3)方程(2x-1)2=9的根是______________ .4.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程,你认为他解的对吗?如果有错,指出具体位置并帮他改正.解:21150,3⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y 2115,3⎛⎫+= ⎪⎝⎭y ① 113+=y ② 113=-+y ③1.y =-④5.解方程22(2)(25)x x -=+参考答案:1.x 1=3,x 2=﹣3解析:∵x 2﹣9=0,∴x 2=9,解得:x 1=3,x 2=﹣3．故答案为:x 1=3,x 2=﹣3.2.D3.⑴x 1=0.5,x 2=-0.5 ⑵x 1＝3,x 2＝-3 ⑶x 1＝2,x 2＝－14.解:不对,从②开始错,应改为113y +=123, 3.y y =-=--5.解:()()22225,x x -=+2(25),x x ∴-=±+ 225,22 5.∴-=+-=--x x x x方程的两根为17,=-x 2 1.=-x（四）课堂小结(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（21.2.1）第2课时的相关内容。
初中数学人教九年级上册第二十一章 一元二次方程解一元二次方程之配方法教学设计
复习、探究、怎样配方、总结配方法的步骤、拓展加深练习、作业。
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
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计
教
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教
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教师活动（包含问题设计、提问、教学环节、时间预设、例题、练习题等）
学生活动（预设教学过程中学生可能的所有活动比如合作讨论、练习检测、展示交流、实验实践等）
设计意图
一、复习：课程引入
1.利用直接开平方法解下列方程
课堂小结
一、解一元二次方程的基本思路
二次方程一次方程
把原方程变为(x+n)2=P的形式(其中n、p是数）。
当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。
二、配方法的步骤：（当二次项系数不为1时）
•1、化方程为一般形式；
•2、化二次项系数为1；
•3、移项：常数项移到方程的右边；
•4、配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
复习，让学生熟悉直接开方法，为配方法打下基础。
培养逻辑推理能力，开始了解配方法的步骤。
学生这一步容易出错，让学生明白用完全平方公式对一元二次方程进行配方是重点。
体会：配方这一步的重要性
小试牛刀练习。
学生对配方这一步进行巩固，进一步熟悉这一步。
1、让学生进一步明了配方及这一步在配方法的重要性。
2、进一步熟悉配方法的步骤
注意
配方时, 等式两边同时加上一次项系数一半的方.
目的：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
解方程: =- 6x+21
九年级数学上册第21章《配方法(第2课时)》教学案(人教版)
21.2 解一元二次方程21.2.1配方法（第2课时）【学习目标】1、能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。
2、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
【学习过程】一、温故知新：1、填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
(1) x 2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x 2+8x+ =(x+ )2(3) x 2-12x+ =(x- )2 (4) x 2-25x + =(x- )2(5)a 2+2ab+ =(a+ )2 (6)a 2-2ab+ =(a- )22、用直接开平方法解方程：x 2+6x+9=2二、自主学习：自学课本P 6---P 9思考下列问题：1、仔细观察教材探究2，所列出的方程x 2+6x+4=0利用直接开平方法能解吗？2、怎样解方程x 2+6x+4=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。
）3、讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？5、配方的关键是什么？交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。
利用a 2±2ab+b 2=(a±b)2。
注意9=（26）2，而6是方程一次项系数。
所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平方式。
．．．．6、自学课本P7例1思考下列问题：（1）看例题中的配方是不是两边加上一次项系数一半的平方？（2）方程（2）、（3）的二次项系数与方程（1）的二次项系数有什么区别？为了便于配方应怎样处理？（3）方程（3）为什么没有实数解？（4）请你总结一下用配方法解一元二次方程的一般步骤？交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
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21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
教学目标：
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．
【过程与方法】
1．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程．
2．通过把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的过程解一元二次方程．
【情感态度与价值观】
通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的形式．
教学过程：
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min 阅读】
阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．
【3 min 反馈】
1．一般地，对于方程x 2＝p ：
(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝__.
(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__0__；
(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43
.
(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6.
3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；
(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12
__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.
4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：
(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝
；
(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __；
(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】用配方法解下列关于x 的方程：
(1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？
【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8.
二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.
配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5.
由此可得x －1＝±5，
∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.
(2)移项，得2x 2＋3x ＝2.
二次项系数化为1，得x 2＋32
x ＝1. 配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516
. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12
，x 2＝－2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B )
A ．p ＝4，q ＝2
B ．p ＝4，q ＝－2
C ．p ＝－4，q ＝2
D ．p ＝－4，q ＝－2
2．用直接开平方法或配方法解下列方程：
(1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5；
(3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0；
(5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4.
(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.
(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
(3)x 1＝－1，x 2＝13
. (4)x 1＝16，x 2＝－16
. (5)x 1＝92，x 2＝－92
. (6)x 1＝1，x 2＝－3.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．
【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？
【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，
即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，
∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.
∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136
. 【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移项→二化简→三配方→四开方
练习设计：
请完成本课时对应练习！。