2020年上海普陀区高三一模数学试卷
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020届上海市普陀区高三上学期质量调研(一模)数学试题(20200612191457)
1,2上有解，则实数a 的取值范围是普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研考生注意：1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选 择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的 条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名、填空题（本大题共有 12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分211 •若抛物线ymx 的焦点坐标为（一,0），则实数m 的值为 .2n 1 n..3 2limR n313. 不等式 1的解集为 .x14. 已知i 为虚数单位，若复数 zmi 是实数，则实数 m 的值为 .1 i5. 设函数f （x ） log a （x 4）（ a 0且a 1），若其反函数的零点为 2，则a ___________ .1 6 26. （1 —）（1 x ）展开式中含x 项的系数为 _____________ （结果用数值表示）.x7. 各项都不为零的等差数列 a n （ n N *）满足a 2 2a *2 3內。
0,数列b n 是等比数列，且a *b 8,则 b 4b 9b 11 _ .2x 28. 设椭圆：-7 y 2 1 a 1 ,直线I 过 的左顶点A 交y 轴于点P ，交 于点Q ，若 AOP 是等腰a uur uuu三角形（O 为坐标原点），且PQ 2QA ，贝U 的长轴长等于 ______________ .9.记a,b,c,d,e, f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，贝Ua b c d e f 为偶数的排列的个数共有2019.122.10.已知函数f x x2+8x 15 ax2bx c a,b, c R是偶函数，若方程ax2 bx c 1在区间2,2上有解，则实数a的取值范围是611.设P 是边长为2、2的正六边形AA 2A 3A 4A 5A 6的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形umu uuur外接圆的一条动弦，则 PM PN 的取值范围为 ______________ .12. 若M 、N 两点分别在函数 y f x 与y g x 的图像上，且关于直线x 1对称，则称My f x 与y g x 的一对“伴点” (M 、N 与N 、M 视为相同的一对)•J2 x x 2已知 f x , --------------------- ， g x x a 1，若 y fx 与 y g x 存在两对"伴点'(4x4x2实数a 的取值范围为二、选择题(本大题共有 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分•13. “ m 1,2 ”是 “ Inm 1 ” 成立的 ....................... ()(A)充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件14. 设集合Ax|x a 1 , B 1, 3,b ，若A? B ，则对应的实数对(a,b)有•••()(A) 1对B 2对C 3对D 4对15. 已知两个不同平面， 和三条不重合的直线 a , b , c ,则下列命题中正确的是……((A)若 a// , I b ，则 a//bB 若a , b 在平面 内，且c a , c b ，则cC 若a , b , c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a , b , c 都相交D 若，分别经过两异面直线 a , b ，且I c ,则c 必与a 或b 相交16. 若直线I : —y1经过第一象限内的点 P(1,1)，则ab 的最大值为……()2b a a ba b(A)7B 4 2,2C 5 2.3D 6 3 2，则、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内6某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路 OA 和道路OB 上，且OA=60米，AOB=60，设 POB .(1)求停车场面积 S 关于 的函数关系式，并指出的取值范围；写出必要的步骤17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥 P ABC 的三条棱PA , AB , AC 两两互相垂直，AB AC2PA 2,点D 在棱AC 上，且uuur UULTAD = AC (0).(1)当=1 时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；(2)当三棱锥D PBC 的体积为-时，求 的值.918.(本题满分14分)本题共有 2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数2X a(1)当a4时，解不等式f x 5 ； (2)若函数x 在区间2,+上是增函数，求实数 a 的取值范围19.(本题满分14分)本题共有 2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分AOB 进行改建•如图所示，平行四边2P2（2）当 为何值时，停车场面积 S 最大，并求出最大值（精确到 0.1平方米）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线 X 2 y 2 :—2 1(a 0,b 0)的焦距为4，直线l : x my 4 ° ( m R )与交」两a b个不同的点D 、E ，且m 0时直线l 与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形（1）求双曲线 的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是 的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线 BD 于点P ，交直线AD 于点Q ， 求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列a n 与b n 满足3 a ，b na n 1a n ， S n 是数列a n 的前n 项和（n N ）.1（1） 设数列 b n 是首项和公比都为 -的等比数列，且数列a n 也是等比数列，求 a 的值；3（2） 设b n 1 b n 2 1，若a 3且a .对n N 恒成立，求a ?的取值范围；S 2 *（3） 设 a 4，b n 2，C n nn （ nN , 2），若存在整数 k ，l ，且 k l 1，使得 C k G成立，求 的所有可能值说明：利用空间向量求解请相应评分即Ox 2，则所求的不等式的解为(0,2).(2)任取2 X 1 X 2，因为函数f(x) 2x 2 x a 在区间2,+ 上单调递增, 所以f(xd f (x 2) 0在2,+ 上恒成立,1 2 3 45 6 2 3 (0,1) 1 22 9 7 r 89 10 :11 12 丁 82亦4321 1 8 36 4屈,8+8血3 2^2,1+2721314 15 16 ADDB117.( 1)当 二一时，AD DC ，取棱AB 的中点E ,连接ED 、EP ，2则ED//BC ，即 PDE 是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， ................. 2分又PA , AB , AC 两两互相垂直，则 PD DE EP 1,即 PDE 是正三角形，则异面直线PD 与BC 所成角的大小为-3(2)因为 所以ABPA , AB , AC 两两互相垂直, 平面PAC ,则 V D PBC V B PDC3 AB S PDC-PA DC 21DC即DCUULT 又AD = 3uur AC0), AC 2 ,18. (1)当a 4时，由2x5 得 2x 4 2 x 5 0,2x, 2则 t 2 5t 4 0,普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准(参考)一、填空题、选择题三、解答题分C则 2X1 2 "a 2X2 +2 X2a 0恒成立, 即 ON 40、3S in (60o) , PN=40、.3si n , ......................... 4 分则停车场面积 S ON PN sin ONP 2400.3 sin sin(60o ),即 S 2400 .,3sin sin(60o )，其中 0o60o . ................... 6 分(2)由(1)得 S 2400、「3sin sin(60。
2020年上海市普陀区高考一模数学试题(附带超详细答案解析)
【解析】
【分析】
直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出 的值．
【详解】
解：由抛物线方程得：焦点坐标 ， ， ，
故题．
6．3
【解析】
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可．
【详解】
解： ．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题．
绝密★启用前
2020年上海市普陀区高考一模数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．“ ”是“ ”成立的 （ ）
4．B
【解析】
【分析】
直线 经过第一象限内的点 ， ，可得 ， ， ． ．令 ， ， 再利用基本不等式计算可得．
【详解】
解：直线 经过第一象限内的点 ， ，
则 ， ， ．
．
令 ，
．
因为 ，当且仅当 即 时取最小值；
即
故选： ．
【点睛】
本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对于选项 ：只有直线 和 为相交直线时，若 ， ，则 ．故错误
对于选项 ：若 ， ， 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与 ， ， 都相交．故错误
对于选项 ：若 ， 分别经过两异面直线 ， ，且 ，则 必与 或 相交，正确．
故选： ．
【点睛】
2020年上海市普陀区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
2020年上海市普陀区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)2020年上海市普陀区高三一模数学试卷（含答案）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.本考试分试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.若抛物线 $y^2=mx$ 的焦点坐标为$(0,0)$，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。
2.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n+1+2n}{n+1}>1$的解集为$\underline{\hspace{2cm}}$。
3.不等式$\underline{\hspace{2cm}}$。
4.已知$i$为虚数单位，若复数$z=\frac{1+i}{1+mi}$是实数，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。
5.设函数$f(x)=\log_a(x+4)$（$a$为正实数且$a\neq1$），若其反函数的零点为2，则$a=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。
6.$(1+\frac{1}{x})(1-x)^6$展开式中含$x^2$项的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$（结果用数值表示）。
7.各项都不为零的等比数列$\{a_n\}$（$n\in\mathbb{N}$）满足$a_2-2a_8+3a_{10}=0$，数列$\{b_n\}$是等比数列，且$a_8=b_8$，则$b_4b_9b_{11}=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。
8.设椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>1$），直线$l$过$\Gamma$的左顶点$A$交$y$轴于点$P$，交$\Gamma$于点$Q$，若$\triangle AOP$是等腰三角形（$O$为坐标原点），且$PQ=2QA$，则$\Gamma$的长轴长等于$\underline{\hspace{2cm}}$。
2019-2020学年上海市普陀区高考数学一模试卷
上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ．5．（4分）不等式的解集为 ．6．（4分）函数的值域为 ．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 ．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 ．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 ．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点； 则其中所有真命题的序号为 ．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式； （2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}， 集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}． 故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ． 【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 一 象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限， 故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ． 【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种， 则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个； 故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ． 【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称， 即有f （x ）为奇函数，故①对； 由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限； 按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限， 由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限， 由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点， 函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定 【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件． 故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2， 当且仅当a=b=c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）． 故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称． 又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得 每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000． 当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点， 当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π， 所以：ω=，所以：； （2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π， 解得：C=，△ABC 面积为， 所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程； （2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， 点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2， 联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1， 解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}， 则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列， 可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ， 即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3）， 且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}， 当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}， 当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}， 显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。
2020-2021年上海高三普陀数学一模试卷(答案)
1普陀区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.16考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.若集合{01},{(1)(2)0,R},A xx B x x x x =<≤=−−≤∈∣∣则 A B ⋃=_______;【答案】(]0,2【解析】(]0,1A =,[]1,2B =,则(]0,2A B ⋃=2.函数2(0)y x x =≥的反函数为_______;【答案】())10f x x −=≥【解析】2y x x y =→=→=第一步，())10f x x −∴=≥3.若2παπ<<且1cos ,3α=−则tan α=_______;【答案】【解析】1cos 3α=−代入到22sin cos 1αα+=当中，解得28sin 9α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴=，求得sin tan cos ααα==4.设无穷等比数列{}n a 的各项和为2,若该数列的公比为1,2则3a =_______; 【答案】14【解析】由题意得，11112211112a a a a q ===⇒=−−，23114a a q ∴=⋅= 5.在81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为_______;【答案】28【解析】81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭二项展开式是()88218811rr r r r r r T C x C x x −−+⎛⎫=⋅−=⋅− ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队2令2r =，求得()224438128T C x x =−=6.若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为_______;【答案】2【解析】=∴球的半径为2R =3344=3322V R ππ⎛⎫∴⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球 7.若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心，长半轴为半径，则圆C 的方程为_______;【答案】()22216x y −+=【解析】由题意得，椭圆的右焦点为()2,0F ，半长轴为4a = 圆的方程为()22216x y −+=8.一个袋中装有同样大小质量的10 球，其中2个红色、三个蓝色、5个黑色。
2020年上海市普陀区高考数学一模试卷
6.
(1 +
1 x3
)(1 −
x)6
的展开式中含
x2
项的系数为__________.
7. 各项都不为 0 的等差数列{an}(n ∈ N ∗ ) 满足 a2 − 2a82 + 3a10 = 0 ，数列{bn} 是等比数列，
且 a8 = b8 ，则 b4b9b11 = __________.
8.
设椭圆 Γ :
13．“ m ∈{1,2}” 是“ ln m < 1”的（ ）
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．设集合 A = {x || x − a |= 1}, B = {1,−3,b} ，若 A ⊆ B ，则对应的实数对 (a,b) 有（ ）
A．1 对
B．2 对
；（2）θ
=
π 6
时，Smax
=
600
3；
20.（1） x2 − y2 = 1 ； （2） m ∈ (−∞,− 3) U ( 3,+∞) ； （3）略； 3
21.（1） 1
；
（2）[-8,-1]；
k
（3）
= 3, l
= 2, λ
= −1;
4
k = 4,l = 2, λ = −2
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偶数的排列的个数共有_________.
10. 已知函数 f (x) = (x2 + 8x +15)(ax2 + bx + c)(a, b, c ∈ R) 是偶函数，若方程
ax2 + bx + c = 1在区间[1,2]上有解，则实数 a 的取值范围是_________.
上海市普陀区2020届高考数学一模试卷
上海市普陀区2020届高考数学一模试卷一、单选题（共4题；共8分）1.“ ”是“ ”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设集合，，若⊆，则对应的实数对有（）A. 对B. 对C. 对D. 对3.已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，在平面内，且，，则C. 若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交D. 若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交4.若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共12分）5.若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.6.________.7.不等式的解集是________8.设是虚数单位，若是实数，则实数________9.设函数（且），若其反函数的零点为，则________.10.展开式中含项的系数为________（结果用数值表示）.11.各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则________.12.设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于________.13.记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.14.已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是________.15.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________.16.若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为________.三、解答题（共5题；共60分）17.如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且( ).（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当三棱锥的体积为时，求的值.18.设函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.20.已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.21.数列与满足，，是数列的前项和（）.（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B二、填空题5.【答案】26.【答案】37.【答案】（0,1）8.【答案】9.【答案】210.【答案】911.【答案】812.【答案】13.【答案】43214.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题17.【答案】（1）解：当时，，取棱的中点，连接、，则，即是异面直线与所成角或其补角，又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，则.则异面直线与所成角的大小为（2）解：因为，，两两互相垂直，平面, 平面,所以平面,则，即, 又（），，则18.【答案】（1）解：当时，由得，令，则，即，即，则所求的不等式的解为（2）解：任取，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，则恒成立，即，，又，则，即对恒成立，又，即，则所求的实数的取值范围为19.【答案】（1）解：由平行四边形得，在中，, , 则，即，即，，则停车场面积，即，其中（2）解：由（1）得，即，则.因为，所以，则时，平方米.故当时，停车场最大面积为平方米.20.【答案】（1）解：当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，解得，，则所求双曲线的方程为（2）解：设，，由，得，则，，且，又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则或，即实数的取值范围（3）解：线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点，直线的斜率为，直线的斜率为，又，则直线的方程为，即，又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，即点的横坐标为，则. 故线段在轴上的射影长为定值21.【答案】（1）解：由条件得，，即，则，，设等比数列的公比为，则，又，则.当，时，，，则满足题意，故所求的的值为.（2）解：当时，，，，，以上个式子相加得，，又，则，即. 由知数列是递增数列，又，要使得对恒成立，则只需，即，则（3）解：由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，则.则，当时，，即时，，则当时，与矛盾.又，即时，.当时，，又，即当，时，，与矛盾. 又，则或，当时，，解得；当时，，解得.综上得的所有可能值为和.。
2020届普陀区高三一模考试(文).doc
2020学年普陀区第一学期高三数学质量抽测试卷（文）一． 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1.函数()22sincos 22x x f x =-的最小正周期是 ． 2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答） 3.函数()2log 11y x =-+的定义域是 ．4.设1e u r 与2e u u r 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ，则当,,A B D 三点共线时，k = ．5.已知各项均为正数的等比数列{}n a中，131,1a a ==则此数列的各项和S = ．6.已知直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 ．8.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为)，则该双曲线的标准方程为 ．9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，则这张纸的最小面积是 2cm ． 10.给出问题：已知ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形．（ii ）设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔= 故ABC ∆是等腰三角形．综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 ．11.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若102020,60,S S ==则3010S S = ． 12.，侧棱长为的正四棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（无论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（ ）A ．arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ）A 、M N ⋃B 、M N ⋂C 、R C M N ⋂D 、R M C N⋂18、对于平面αβγ、、和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是（ ） A 、若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B 、若//,,a b b α≠⊂则//a α； C 、若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+u u u r r r ，函数()26g x x x =--．当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值．20、（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点．（1） 求圆锥体的体积；（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅u u u r u u u r （1） 求()f x 的解析式及定义域；（2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22、（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第32n -项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，试求数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式．23、（本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分10分）设点F 是抛物线2:4L y x =的焦点，111222(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y 是抛物线L 上的n 个不同的点(3,)n n n N ≥∈*（1） 若抛物线L 上三点1P 、2P 、3P 的横坐标之和等于4，求123FP FP FP ++u u u r u u u r u u u r 的值；（2） 当3n ≥时，若12...0n FP FP FP +++=u u u r u u u r u u u r r ，求证：12...2n FPFP FP n +++=u u u r u u u r u u u r ； （3） 若将题设中的抛物线方程24y x =推广为22(0)y px p =>，请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．。
上海市普陀区2020届高三数学质量检测数学试卷(详解版)
普陀区2020届高三数学质量检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分，后6题得5分，否则一律得零分.1,已知集合A={x|x=2k,k∈Z} ，B={x|-2≤x≤2} ，则A∩B= ________2.在复平面内，点A(-2,1) 对应的复数为z ，则|z+1|= ________3.满足sin cos xx =0的实数x 的取值是 ________ 4.已知向量→a ,→b 的夹角为π3， 且||2,||3a b ==，则|32|a b −=________ 5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π ，则其母线与轴的夹角的大小为________6.若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点的距离等于________7．在(2)n x −的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项x 的系数等于________8.已知约束条件54262513,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩,则目标函数2010z x y =+的最大值为________9.设函数()sin()(0)6f x x πωω=+> ,若关于x 的方程()1f x =在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则 ω的最大整数值为________10.设A (,)a r ， B (,)b s 为函数2log y x =图像上两点，其中a>b ．已知直线AB 的斜率为2，且||AB =，则a b ＝________11.设点0为△ABC 的外心，且3A π=，若AO AB AC αβ=+(,)R αβ∈，则αβ+的最大值为________12.若实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则a 、b 、c 是调和的设含有三个元素的集合P 是集合{|2020,}M xx x Z =≤∈‖的子集，当集合P 中的元素a 、b 、c 既是等差的又是调和的时，称集合P 为“好集”则三元子集中“好集"的概率是________二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2020届上海市普陀区高考一模数学试题(解析版)
2020届上海市普陀区高考一模数学试题一、单选题1．“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论． 【详解】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．2．设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对【答案】D【解析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 【详解】解：因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +， 因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，1b =-；当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．3．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交 【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果． 【详解】解：对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题． 4．若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ）A ．76B ．422-C ．53-D ．632-【答案】B 【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b b a b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a=>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a=>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++11312t t=+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅=+12t t =即2t =时取最小值；114221322213t t∴+≤=-+++即()max242g t g ==-⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________. 【答案】2【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m 的值． 【详解】解：由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．6．132lim 31n nn n +→∞+=+________.【答案】3【解析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】解：123()32303lim lim 3131101()3nn nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3． 【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题． 7．不等式11x>的解集是 【答案】(0,1)【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】 依题意110x->，()1010xx x x ->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值. 【详解】 依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.9．设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 【答案】2【解析】根据反函数的性质可得，函数()f x 过(0,2)代入求出即可． 【详解】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2． 【点睛】考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题． 10．631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】求出6(1)x -展开式中的常数项和含2x 项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】 解：6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-g g g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ．故答案为：9． 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题．11．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________. 【答案】8【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得8a ，再由等比数列的通项公式结合88a b =求解4911b b b 的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==， Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________. 【答案】5【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ．由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．根据2PQ QA =uu u r uu r，可得0x ，0y ．代入椭圆Γ方程解得a ，即可得出． 【详解】解：如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．Q 2PQ QA =uu u r uu r，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得5a =． ∴Γ的长轴长25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________. 【答案】432【解析】若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，即()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有66A 种，进而可得所求．【详解】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=，故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a ，b ，c 的关系，然后结合二次函数的性质可求a 的范围．【详解】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b aca ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=，[]1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．15．设P 是边长为2123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案】646,8+82⎡-⎣【解析】关键把PM PN u u u u r u u u rg 转化为含定值的形式，取MN 的中点，再由Q 的轨迹，可求得PQ uuu r的最大值与最小值，进而可求得取值范围．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A 的边长为22，所以半径为22，设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为()22||2222OQ =-=，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||22max PQ =，||62min PQ =，24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g 的最大值为882+642-所以PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为642,882⎡-+⎣．故答案为：642,882⎡-+⎣【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．16．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()()())222442x x f x x x ⎧--<=⎨--≥⎪⎩，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案】(3221+22-，【解析】求出()f x 关于直线1x =的对称图象所对应的函数解析式()h x ，画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数a 的取值范围．【详解】解：设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入22(2)()4(4)(2)x x f x x x ⎧--<⎪=⎨--⎪⎩…，得2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„．作出函数2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得322a =-322a =+（舍)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得122a =+122a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为(3221+22-，故答案为：(3222-，【点睛】本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．三、解答题17．如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值. 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）作//DE CB ，交AB 于E ，连结PE ，则异面直线PD 与BC 所成角为PDE ∠，由此能求出当12λ=时，异面直线PD 与BC 所成角的大小． （2）由13D PBC P DBC DBC V V S h --∆==⨯⨯，能求出结果．【详解】 解：（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则2PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC , 则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取122x x ≤<．所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立，则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，参变分离即可求解.【详解】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x x f x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增， 所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞. 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 【答案】（1）24003sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o （2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【详解】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o , 则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o， 即3)ON θ=-o ，=403PN θ，则停车场面积sin 3sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ， 即24003sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o .（2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-o ， 即23600sin cos 12003=1800sin 2600326003S θθθθθ=-+- 则1200330)3S θ=+-o 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 120031600360031039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．20．已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=（2）1515(3,(3)-U （3）证明见解析【解析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证． 【详解】解：（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得3a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即223503m m -<-，则1533m <<-或1533m <<，即实数m 的取值范围1515(3,(3)-U . （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点3,0)B ， 又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P ，直线BD 003x -，直线AD 003x + ，又BD PQ ⊥， 则直线PQ 的方程为0000332y x x y x -+-=，即2000003322x x y y x y --=++， 又直线AD 的方程为03)3y x x =++，联立方程2000000033223)3x x y y x y y y x x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩， 消去y 化简整理，得222000003(3)3)223x y x x x x -++=++，又220013x y =-， 代入消去20y ，得20002(3)1(3)(3)(3)33x x x x x -+=，即02(3)1(3)33x x x +-+=，则0234x x +=， 即点Q 的横坐标为0234x +， 则00323324p q x x x x ++-==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 【点睛】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21．数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）. （1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121nn n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n nS C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案】（1）14（2）281a -≤≤- （3）1-和2-【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果． （2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果． （3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果． 【详解】解：（1） 由条件得1()3nn b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14. （2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ，又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. 【点睛】本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020届上海市普陀区高考一模数学试题(解析版)
2020届上海市普陀区高考一模数学试题一、单选题1．“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论． 【详解】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．2．设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对【答案】D【解析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 【详解】解：因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +， 因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．3．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交 【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果． 【详解】解：对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题． 4．若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ）A ．76B ．4-C ．5-D ．6-【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b b a b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a=>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a=>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++11312t t=+++．因为12333t t ++≥=+12t t =即t =时取最小值；1141213t t∴+≤=-++即()max 4g t g ==-⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________. 【答案】2【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m 的值． 【详解】解：由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．6．132lim 31n nn n +→∞+=+________.【答案】3【解析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】解：123()32303lim lim 3131101()3nn nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3． 【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题． 7．不等式11x>的解集是 【答案】(0,1)【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】 依题意110x->，()1010xx x x ->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值. 【详解】 依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.9．设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 【答案】2【解析】根据反函数的性质可得，函数()f x 过(0,2)代入求出即可． 【详解】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2． 【点睛】考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题． 10．631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】求出6(1)x -展开式中的常数项和含2x 项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】 解：6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-g g g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ．故答案为：9． 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题．11．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________. 【答案】8【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得8a ，再由等比数列的通项公式结合88a b =求解4911b b b 的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==， Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ．由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．根据2PQ QA =uu u r uu r，可得0x ，0y ．代入椭圆Γ方程解得a ，即可得出． 【详解】解：如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．Q 2PQ QA =uu u r uu r，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得5a =． ∴Γ的长轴长25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________. 【答案】432【解析】若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，即()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有66A 种，进而可得所求．【详解】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=，故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a ，b ，c 的关系，然后结合二次函数的性质可求a 的范围．【详解】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b aca ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=，[]1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．15．设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案】6⎡-⎣【解析】关键把PM PN u u u u r u u u rg 转化为含定值的形式，取MN 的中点，再由Q 的轨迹，可求得PQ uuu r的最大值与最小值，进而可求得取值范围．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A 的边长为22，所以半径为22，设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为()22||2222OQ =-=，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||22max PQ =，||62min PQ =，24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g 的最大值为882+642-所以PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为642,882⎡-+⎣． 故答案为：642,882⎡-+⎣【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．16．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()()())222442x x f x x x ⎧--<=⎨--≥⎪⎩，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案】(3221+22-，【解析】求出()f x 关于直线1x =的对称图象所对应的函数解析式()h x ，画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数a 的取值范围．【详解】解：设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入22(2)()4(4)(2)x x f x x x ⎧--<⎪=⎨--⎪⎩…，得2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„．作出函数2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得322a =-322a =+（舍)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得122a =+122a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为(3221+22-，故答案为：(3222-，【点睛】本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．三、解答题17．如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值. 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）作//DE CB ，交AB 于E ，连结PE ，则异面直线PD 与BC 所成角为PDE ∠，由此能求出当12λ=时，异面直线PD 与BC 所成角的大小． （2）由13D PBC P DBC DBC V V S h --∆==⨯⨯，能求出结果．【详解】 解：（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则2PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC ,则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取122x x ≤<．所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立，则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，参变分离即可求解.【详解】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x xf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增， 所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞. 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 【答案】（1）24003sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o （2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【详解】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o , 则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o， 即3)ON θ=-o ，=403PN θ，则停车场面积sin 3sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ，即sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o .（2）由（1）得1sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=-o ，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-则30)S θ=+-o 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．20．已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=（2）((33-U （3）证明见解析【解析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证． 【详解】解：（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， 即223503m m -<-，则m <<m <<，即实数m的取值范围((33-U . （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点00(,)22x y P ， 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥， 则直线PQ的方程为002y y x -=，即20000322x y y x y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -+=，则x =， 即点Q则4p q x x -==. 故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 【点睛】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21．数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）. （1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121nn n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n nS C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案】（1）14（2）281a -≤≤- （3）1-和2-【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果． （2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果． （3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果． 【详解】解：（1） 由条件得1()3nn b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-， 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14.（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ，又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. 【点睛】本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题
2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题【题干序号】1若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】2【解析】由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2．【题干序号】2132lim 31n n n n +→∞+=+________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】3【解析】解：123()32303lim lim 3131101()3n n nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3．【题干序号】3 不等式11x>的解集是【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】(0,1) 【解析】依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【题干序号】4 设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a =【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】12【解析】依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==.【题干序号】5设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】2【解析】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2．【题干序号】6631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】9 【解析】6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r rr r r T C x C x +=-=-gg g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ． 故答案为：9．【题干序号】7各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】8【解析】各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==，Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==．故答案为：8．【题干序号】8设椭圆Γ：()22211x y a a+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题【答案】【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ． Q 2PQ QA =uu u r uu r ，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得a =∴Γ的长轴长=．故答案为：【题干序号】9记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】432【解析】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”， ()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=， 故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432．【题干序号】10已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， []1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题干序号】11设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】6⎡-⎣【解析】设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A的边长为所以半径为设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为||2OQ ==，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||2max PQ=，||2min PQ =， 24PM PN PQ =-u u u u r u u u rg 的最大值为8+6-所以PM PN u u u u r u u urg的取值范围为6⎡-+⎣．故答案为：6⎡-+⎣【题干序号】12若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g xx a =++，若2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】(3- 【解析】设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入2)()2)x f x x ⎧<⎪=…，得0)()0)x h x x ⎧>⎪=„．作出函数0)()0)x h x x ⎧>⎪=„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=，由圆心(2,0)-到直线的距离为22=，解得3a =-3a =+)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=，由圆心(2,0)-到直线的距离为22=，解得1a =+1a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为(3-故答案为：(3-【题干序号】13“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】A【解析】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ．【题干序号】14设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】D【解析】因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +，因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，1b =-；当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ．【题干序号】15已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】D【解析】对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误．对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确．2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题故选：D ．【题干序号】16 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ） A ．76B．4-C．5-D．6-【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】B【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121b b a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t t t t ++=++21231t t t =+++11312t t=+++．因为12333t t ++≥=+12t t =即t =时取最小值；1141213t t∴+≤=-++即()max 42g t g ==-⎝⎭故选：B ．【题干序号】17如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC ,则11112233239D PBC B PDC PDCV V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【题干序号】18设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x xf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.【题干序号】19某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o（2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米 【解析】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o ,则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o ，即)ON θ=-o ，PN θ，则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ，即sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o . （2）由（1）得1sin(60)(sin )22S θθθθθ=-=-o ，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-则30)S θ=+-o . 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米.【题干序号】20已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）2213x y -=（2）(U（3）证明见解析【解析】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， 即223503m m -<-，则m <<m <<，即实数m的取值范围()(33-U .（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ，又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥， 则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题11 / 12试卷第11页，总12页200000322x x y y x y y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=， 又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=+，即02(1(33x x x +-+=+，则024x x +=， 即点Q的横坐标为024x +，则4p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【题干序号】21数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围； （3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）14（2）281a -≤≤-（3）1-和2- 【解析】解：（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-， 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.试卷第12页，总12页 当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14. （2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-， 以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， 又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210n n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列， 又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. （3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+， 则223222n n n n S n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-.。
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2020年上海普陀区高三一模数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）
1.若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为 ．
2. ．
3.不等式的解集为 ．
4.已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为 ．
5.设函数（若且），若其反函数的零点为，则 ．
6.展开式中含项的系数为 （结果用数值表示）．
7.各项都不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且
，则 ．
8.设椭圆，直线过的左顶点交轴于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于 ．
9.记，，，，，为，，，，，的做任意一个排列，则为偶数的排列个数有 ．
10.已知函数是偶函数，若方程在区
间上有解，则实数的取值范围是 ．
11.设是长为的正六边形的边上任意一点，长度为的段是该正六边形外接
圆的一动弦，的取值范围为 ．
12.若、两点分别在函数与的像上，且关于直线对称，称，是
与的一对"伴点"(、与、视为相同的一对)，
已知，，若与存在两对"伴点"，则
实数的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13.“”是“”成立的（ ）．
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
14.设集合，，若，则对应的实数对 有（ ）．
A.对
B.对
C.对
D.对
15.已知两个不同平面、和三条不重合的直线，，，下列命题中正确的是（ ）．
A.若，，则
B.若，在平面内，且，，则
C.若，，是两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交
D.若、分别经过两异面直线，，且，则必与或相交
16.直线
经过第一象限内的点
，则的最大值为（ ）．
A.B.
C.
D.
三、解答题（本大题共5题，共76分）
（1
）（2）17.如图所示的三棱锥
的三条棱
、、两两互相垂直，
点
在棱
上，且
．
当
时，求异面直线
与所成角的大小．
当三棱锥
的体积为
时，求
的值．
（1）（2）18.
设函数．当时，．
若函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围．
（1）19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，平行
四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点
和点
分别在道路
和道路
上，且
米，
，设
．
求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围．
【答案】
解析:
∵抛物线的焦点坐标为，
∵抛物线的焦点为，
∴，，
故答案为：．
解析:
．
（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）．
（1）
（2）
（3）
20.已知双曲线的焦距为，直线与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．求双曲线的方程．
若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值．
（1）
（2）
（3）
21.数列与满足，，是数列的前项和．
设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值．
设，若且，对恒成立，求的取值范围．
设，，，若存在整数，，且，使得
成立，求的所有可能值．
1.
2.
3.
解析:
由，得，
即，解得．
故答案为．
4.
解析:
∵，因为为实数，则，，
故实数的值为．
5.
解析:
∵的零点为，
∴过点，
那，
∴．
6.
解析:
的展开式通项为，
∴项为，
∴含项的系数为．
7.
解析:
∵数列为等差数列，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，即．
∵数列为等比数列，
∴．
故答案为：．
8.
解析:
如图，由题意知，由是等腰三角形可得，不妨设，
设，则，，
∵，
∴
解得，即，
将点坐标代入椭圆方程得，解得．
9.
解析:
若为偶数，则，，中至少有一个偶数，
若，，中没有一个偶数，则，一奇一偶，，一奇一偶，，一奇一偶，则有种方式 ，
若，，，，，自由排列，则有种方式，
则为偶数的排列有种．
故答案为：．
10.
解析:
令，
，
为偶函数，
∴，
即即，
∴，
∴时，，
若
在
有解，则
，∴
．
解析:取中点，
∴
，
，
，
∴，
即
．
解析:
与
关于直线
对称，．
与
存在两对“伴点”，
与
存在两个不同的交点．若圆与直线
相切，
有，解得 或
（舍）．同理，若圆与直线
相切，
有 ，解得
（舍）或．
11.，
12.，
综上，实数的取值范围为．
解析:若，则
，即
，
∵，∴“”是“
”的充分非必要条件，故选．解析:
，
若，则，则，即为；
若，则，则
，即
为
；
若，则，则，即为；若，则，则
，即
为，
则实数
共有对．
A 13.D 14.
（1）故选：．解析:
∵直线经过点，∴，
即
，
，
当且仅当，即
时，
取得最大值
．
故选：．解析:
方法一：
如图所示，取值中点，连接
、
，
∵，
∴是
的中位线，
∴
，∴异面直线与
所成角即为，
∵，
，两两相互垂直，∴
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ 为等边三角形，
∴
，即异面直线
与
所成角即为
．
D 15.B 16.（1）．（2）．
17.
（2）（1）方法二：∵
，
，
两两互相垂直，
∴可建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
，
，，
∴，
，
∴
，
∴异面直线
与
所成角即为
．
∵
，
∴，
∴，
又∵，∴，即，
∵，∴，
即
．解析:∵函数
（1）．（2）．18.
（2）（1），
当时，，由
，则
，
，，
，
解得，故当
时，
，解集为
．由
，
．
∵函数在上是增函数，
∴解集为．①当时，恒成立；
②当时，
；
令，
由函数在
上为递增函数，
则，即，解得，
所以
．
综上所述，的取值范围为
．解析:
由平行四边形
得，在
中，
，，
则，
即，
即
，，
（1）；
．
（2），最大值
平方米．
19.
（2）（1）（2）（3）则停车场面积，
即
，其中
．
由
得
，即，
则，
因为，所以，
则时，
平方米，
故当
时，停车场最大面积为平方米．
解析:当
直线
与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则
，
解得
，，则所求双曲线的方程为
．
设
，
，由，得
，
则
，
，且
，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则
，即
，
即，即，
则，
即，则
或
，
即实数
的取值范围．
线段
在轴上的射影长是
．设
，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点
，
直线的斜率为，直线
的斜率为
，又，
则直线的方程为
，
即
，
（1）．
（2）
或
．
（3）证明见解析．．
20.
（1）（2）（3）又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得
，
即，则
，
即点的横坐标为
，
则
．故线段
在轴上的射影长为定值．
解析:
由条件得
，
，即
，
则，
，
设等比数列的公比为，
则，又，则，当，
时，
，
，
则
满足题意，
故所求的的值
．
当
时，
，
，
，
，
以上个式子相加得，
，
又，
则，
即，由知数列
是递增数列，
又，要使得
对
恒成立，
则只需，即
，
则
．
由条件得数列
是以为首项， 为公差的等差数列，
（1）．
（2）．
（3），，
；
，
，
．
21.
则，，
则，
则，
当时，，即时，，
则当时，与矛盾，
又，即时，，
当时，，
又，
即当，时，，
与矛盾，
又，则或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上得的所有可能值为和．。