大学物理课后题答案

习 题 四

4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力

9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。

[解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知

2022121mv mv A -=

其中⎰⎰-==L L dx x

Fdx A 00)9

8000400(

9

40004002

L L -

= 而00=v ， 所以有：

22

300002.05.09

4000400⨯⨯=-L L

化简可得： m

45.00

813604002==+-L L L

即枪筒长度为。

4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为()

12

1220-=

-πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1)

另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2)

法向 R v m N 2

= (3)

联立上述三式解得 R

v a 2

t μ-=

又 s

v

v t s s v t v a d d d d d d d d t ===

所以 R

v s v v 2

d d μ

-= 即 s R

v v

d d μ-=

两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得

0ln ln v s R

v +-

=μ

即 s R

e v v μ

-=0

由动能定理 2

022

121mv mv W -=

，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 ()

12

1212122020220-=-=--πμ

πμ

e mv mv e mv W R R

4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知

T

t

F F π2sin

0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。

[解]由冲量的定义⎰=1

2

d t t

t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即

⎰=

1

2

d t t

t F I

(1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ⎰=

=T

t F I 01d ⎰-=T

T

T t T F t T t F 0

00]2cos [2d 2sin

πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 π

πππ0000

0022

2

2]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T

T T

=-===

⎰⎰

(3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -=

当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0==

又由动能定理，力F 所作的功

m F T m F mT mv mv mv A 22022

22022

20222212121ππ===-=

(4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点

作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一

周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。

4-4 如图所示，将质量为 m 的球，以速率1v 射入最初静止于光滑平面上的质量为M 的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?

[解] 设地球和弹簧枪的共同速度为2v ，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有

()21v M m mv += (1)

把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量

()2

2

212

121v M m mv W +-=

(2) 联立以上两式得 ()()

21

222

12121v M m m M m mv W ++-= 212212121v M m m mv +-= ()M m mMv M m m mv +=

⎪⎭

⎫

⎝

⎛+-=21212121

4-5 角动量为L ，质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。

[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以v r ⊥，由()v r L m ⨯=知，

rmv L = rm

L

v =

所以卫星的动能 m

r L rm L m mv E 222

2

k 212121=

⎪⎭⎫ ⎝⎛== 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：