空间解析几何简介课件
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空间解析几何 PPT
x
空间直角坐标系
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
Ⅰ
o
y
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组 (x, y, z).
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C , O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量.
例1
化简
ar
r b
5(
1
r b
r b
3ar
)
解
ar
r b
5(
1
r b
r2 b
3ar
)
5
2
5
(1
3)ar
(1
5
1
5)
r b
25
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必 是平行四边形.
uuur uuur uuur
OP xi,OQ yj,OR zk
H
k
uuuur uuur uuuur OM ON NM
ioj
uuur uuur uuur
(OP OQ) OR x P
K
M
Q
y
N
xi yj zk
这个式子称为向量
图6-15
uuuur OM 的坐标分解式，
x﹑i y﹑j zk 称为向量
uuur
大学课程《高等数学》PPT课件：6-1 空间解析几何简介
例1 求点 M 2,1, 1 到 y轴的距离.
解 :过点 M 做 y 轴的垂线，其垂足点 P 的坐标
为 0,1,0 ，所以
MP 2 02 112 1 02 5
例2 设动点 M 与两定点 P1 1, 2,1，P2 2,1, 2 等距
离，求动点M 的轨迹.
解 :设动点 M x, y, z ，因为 P1M P2M ，所以
（2）已知方程 F x, y, z 0,研究此方程所表
示的曲面形状.
例3 求球心在点 M0 x0, y0, z0 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M x, y, z 是球面上任一点（见图），
则有 M0M R，由两点间距离 公式得 :
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
本节先简要介绍空间解析几何的有关内容。
第六章
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间曲面及其方程 三、空间曲线及其方程
在空间任意选取一定点 O ,过点 O 做三条互相垂直
的以点 O 为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴
(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的顺序按下
述右手规则确定:以右手握住 z 轴，让右手的四个手
含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，
其他第 II、第 III 、第 IV 卦限在 xOy 平面的上方,按 逆时针方向确定. 第 I 、II 、III 、IV 卦限下面的空间
部分，分别称为第 V、V、V、V 卦限(见图).
设 M 为空间任意点,过该点分别
做垂直于 三坐标轴的平面, 与坐标轴
二次曲面
我们把三元二次方程 F (x, y, z) 0所表示的曲
面称为二次曲面. 而把平面称为一次曲面.
8.1空间解析几何简介
解 由于平面过 X 轴，设所求平面方程为
By + Cz = 0
因平面过点(4, −3, −1)，该点坐标满足上述方程， 该点坐标满足上述方程，
C=故 −3B − C = 0，即 C=-3B
C=将 C=-3B 代入方程 By + Cz = 0
并消去 B，即得所求平面方程为
y − 3z = 0
例 3 求球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球 面的方程． 面的方程．
x 2 + y 2 = R2 是由平行于z轴的直线沿 轴的直线沿xOy平面上的圆 是由平行于 轴的直线沿 平面上的圆
叫作它的准线， 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面 x + y = R 叫作它的准线，圆
2 2 2
柱面上平行于z轴并与 轴相距 轴相距R的直线叫作它的母线. 柱面上平行于 轴并与 z轴相距 的直线叫作它的母线
F(x, y, z) = 0
z
S
x
O
y
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲 面和二次曲面等. 面和二次曲面等. 两个基本问题: 两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 已知方程时, (必要时需作图). 必要时需作图).
2 2 2 2 2
2
化简后即得点 M 的轨迹方程为
x + y − 2z − 3 = 0
这个方程表示空间中的一个平面． 这个方程表示空间中的一个平面．
一般地， 一般地， 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0表示空间
By + Cz = 0
因平面过点(4, −3, −1)，该点坐标满足上述方程， 该点坐标满足上述方程，
C=故 −3B − C = 0，即 C=-3B
C=将 C=-3B 代入方程 By + Cz = 0
并消去 B，即得所求平面方程为
y − 3z = 0
例 3 求球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球 面的方程． 面的方程．
x 2 + y 2 = R2 是由平行于z轴的直线沿 轴的直线沿xOy平面上的圆 是由平行于 轴的直线沿 平面上的圆
叫作它的准线， 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面 x + y = R 叫作它的准线，圆
2 2 2
柱面上平行于z轴并与 轴相距 轴相距R的直线叫作它的母线. 柱面上平行于 轴并与 z轴相距 的直线叫作它的母线
F(x, y, z) = 0
z
S
x
O
y
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲 面和二次曲面等. 面和二次曲面等. 两个基本问题: 两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 已知方程时, (必要时需作图). 必要时需作图).
2 2 2 2 2
2
化简后即得点 M 的轨迹方程为
x + y − 2z − 3 = 0
这个方程表示空间中的一个平面． 这个方程表示空间中的一个平面．
一般地， 一般地， 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0表示空间
空间解析几何简介
四、空间曲线
空间曲线C可看作空间两曲面的交线 空间曲线 可看作空间两曲面的交线. 可看作空间两曲面的交线
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
空间曲线的一般方程 特点： 特点：曲线上的点都满足 方程， 方程，满足方程的点都在 曲线上， 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 不能同时满足两个方程
交线为椭圆. 交线为椭圆
五、常见曲面
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
2 2
2
( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 4)2 , =
化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.
2 2 的图形是怎样的？ 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？
解
根据题意有 z ≥ −1
去截图形得圆： 用平面 z = c 去截图形得圆：
z
S1 S2
o
x
C
y
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
空间解析几何课件
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
作业 P300 3 , 5, 13, 14,
15, 18, 19
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
41k.设, 求m向量3 ia54j m
8k 3
, n
n
p
2i
在
x
4
j
7k
,
p
5i
轴上的投影及在
y
j
轴上的分向量.
解: 因
故在 x 轴上的投影为 a x 13 在 y 轴上的分向量为 ay j 7 j
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2abcos
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4. 数量积的坐标表示
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
第七章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节
第七章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
《高数空间解析几何》PPT课件
类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
空间解析几何简介-资料
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
a
b
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
ba
a bab
a bab
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作 a.
规定 : 0时，a与 a同， 向 a a ;
总之: 运算律
:
结 分合 配00律 律时 时,,a (( a a a与 )0 a ) a a . 反 ( ， a 向 a ) a a a a 1 1 可a a ;见 a ;a ;
(ab)a b
若a0,则有单位a向 量a1 a. 因此 a aa
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
co srx
x x2 y2 z2
z
r
o y
x
co srx
x x2 y2 z2
cos
y r
y x2 y2 z2
z
r
o y
x
cos
z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质: c2 o s c2 o s c2 o s 1 向量 r的 r 单rr位 :(向 c 量 ,o c o s,cso ) s
ur o Ae 1
u e
ur
2
r M B y
此x e u 式r 1 ,称y e u u 为r 2 ,z 向e u r 3 量称 r为 的向 坐量 标r r分沿解三式个坐, 标轴方向x的分向量N.
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
a
b
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
ba
a bab
a bab
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作 a.
规定 : 0时，a与 a同， 向 a a ;
总之: 运算律
:
结 分合 配00律 律时 时,,a (( a a a与 )0 a ) a a . 反 ( ， a 向 a ) a a a a 1 1 可a a ;见 a ;a ;
(ab)a b
若a0,则有单位a向 量a1 a. 因此 a aa
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
co srx
x x2 y2 z2
z
r
o y
x
co srx
x x2 y2 z2
cos
y r
y x2 y2 z2
z
r
o y
x
cos
z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质: c2 o s c2 o s c2 o s 1 向量 r的 r 单rr位 :(向 c 量 ,o c o s,cso ) s
ur o Ae 1
u e
ur
2
r M B y
此x e u 式r 1 ,称y e u u 为r 2 ,z 向e u r 3 量称 r为 的向 坐量 标r r分沿解三式个坐, 标轴方向x的分向量N.
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何精ppt课件
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即 :0 0 , z:b0 b0 b,
2 , 上升的高度 h2b称螺距
部 点.
高等数学(下册)
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 x面 o 的 投 y影 M (x ,y ,0 )
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
高等数学(下册)
z
C
1
.
x2 y2 1
. .
o
x
y
高等数学(下册)
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z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的内积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
一、两向量的内积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
0
a b axbx ayby azbz
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面
o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
可见
1a a; 1a a;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a. 因此 a
a a
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示,
S ABC
1 2
AB
AC sin
1 AB AC 2
A
C
1
e1 2
2
1
e2 2 2
e3 2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 14 2
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
第三节 平面及其方程
一、平面的方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
设在¡ 中3 给定一个平面 ，P 采用线性代数的术语来描述平 面 ，P 是P中的¡ 一3 个集合，则集合
VP {M1 M2 | M1, M2 P} 是 ¡ 中3 的一个二维线性子空间。反之，给了 中¡ 3一个二维 子记则空M间M0 可0，V充V存¡当在3,平面中¡的M3的平0 ，P面V可使见{得M这P0种平v实面|V际P有v上无VV，限;}任,多取。点 定义：
az bz
ax bx
uur e2
a b c ( a b ) c
ay by
az bz
cx
ax bx
az bz
cy
ax bx
ay by
cz
ax ay az bx by bz
cx cy cz
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
1 6
x3 x1 y3 y1 z3 z1
A1
A2
x4 x1 y4 y1 z4 z1
例7. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5,6),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17)共面 .
B
解: 因
C
[ AB AC AD ]
3 45
D A
1 2 2 0
9 14 16
故 A , B , C , D 四点共面 .
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0，即 0 或
a∥ b
(1) a b b aபைடு நூலகம்
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的行列式计算法
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的内积 (点积，数量积) .
b在 a上的投影为
记作
b
Pr ja b
故
同理
,当
ab a
b
0
时,
Pr
ja
b
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
a 0, b 0 则 ab 0
3. 运算律 (1) 交换律
(2) 结合律
设
a ( ax , ay , az ),
b (bx
,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax
bx
,ay
by
, az
bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
五、向量的模、方向角、投影
几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
c
b a
底面积 A a b , 高 h c
故平行六面体体积为
V Ah
( ab)c
a b c
2. 混合积的坐标表示
设 a (ax , ay , az ), b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
ab
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
a
三角形法则:
ab b
a 运算规律 : 交换律 a b b a
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考: 右图三角形面积
S＝
a b
c ab
2. 性质
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
空间解析几何简介
❖ 向量及其线性运算 ❖ 数量积 向量积 *混合积 ❖ 空间平面及其方程 ❖ 空间直线及其方程 ❖ 二次曲线及其方程 ❖ 二次曲面及其方程
空间解析几何
第一部分 向量 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
三角不等式
b
a
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a.
规定 :
总之:
a a
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
A
B M
故
AMB
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
v
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a b c
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的内积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
一、两向量的内积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
0
a b axbx ayby azbz
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面
o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
可见
1a a; 1a a;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a. 因此 a
a a
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示,
S ABC
1 2
AB
AC sin
1 AB AC 2
A
C
1
e1 2
2
1
e2 2 2
e3 2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 14 2
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
第三节 平面及其方程
一、平面的方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
设在¡ 中3 给定一个平面 ，P 采用线性代数的术语来描述平 面 ，P 是P中的¡ 一3 个集合，则集合
VP {M1 M2 | M1, M2 P} 是 ¡ 中3 的一个二维线性子空间。反之，给了 中¡ 3一个二维 子记则空M间M0 可0，V充V存¡当在3,平面中¡的M3的平0 ，P面V可使见{得M这P0种平v实面|V际P有v上无VV，限;}任,多取。点 定义：
az bz
ax bx
uur e2
a b c ( a b ) c
ay by
az bz
cx
ax bx
az bz
cy
ax bx
ay by
cz
ax ay az bx by bz
cx cy cz
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
1 6
x3 x1 y3 y1 z3 z1
A1
A2
x4 x1 y4 y1 z4 z1
例7. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5,6),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17)共面 .
B
解: 因
C
[ AB AC AD ]
3 45
D A
1 2 2 0
9 14 16
故 A , B , C , D 四点共面 .
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0，即 0 或
a∥ b
(1) a b b aபைடு நூலகம்
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的行列式计算法
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的内积 (点积，数量积) .
b在 a上的投影为
记作
b
Pr ja b
故
同理
,当
ab a
b
0
时,
Pr
ja
b
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
a 0, b 0 则 ab 0
3. 运算律 (1) 交换律
(2) 结合律
设
a ( ax , ay , az ),
b (bx
,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax
bx
,ay
by
, az
bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
五、向量的模、方向角、投影
几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
c
b a
底面积 A a b , 高 h c
故平行六面体体积为
V Ah
( ab)c
a b c
2. 混合积的坐标表示
设 a (ax , ay , az ), b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
ab
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
a
三角形法则:
ab b
a 运算规律 : 交换律 a b b a
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考: 右图三角形面积
S＝
a b
c ab
2. 性质
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
空间解析几何简介
❖ 向量及其线性运算 ❖ 数量积 向量积 *混合积 ❖ 空间平面及其方程 ❖ 空间直线及其方程 ❖ 二次曲线及其方程 ❖ 二次曲面及其方程
空间解析几何
第一部分 向量 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
三角不等式
b
a
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a.
规定 :
总之:
a a
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
A
B M
故
AMB
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
v
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a b c