空间解析几何简介课件

证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0，即 0 或
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的行列式计算法
角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示,
S ABC
1 2
AB
AC sin
1 AB AC 2
A
C
1
e1 2
2
1
e2 2 2
e3 2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 14 2
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考: 右图三角形面积
S＝
a b
c ab
2. 性质
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
0
a b axbx ayby azbz
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a b c
ab
为a , b , c 的混合积 .
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
v
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
az bz
ax bx
uur e2
a b c ( a b ) c
ay by
az bz
cx
ax bx
az bz
cy
ax bx
ay by
cz
ax ay az bx by bz
cx cy cz
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
设
a ( ax , ay , az ),
b (bx
,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax
bx
,ay
by
, az
bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
五、向量的模、方向角、投影
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
AMB .
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
设点 M的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r ur uur ur r x e1 y e2 z e3
(x, y,z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ur e3
ur o
e1
uur r
e2
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
四、利用坐标作向量的线性运算
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的内积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
一、两向量的内积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
e1 e2 e3
ax ay az bx by bz
a ax e1 ay e2 az e3 ,
b bx e1 by e2 bz e3 ,
az bz
ax bx
uur e2
(aybz azby ) e1 (azbx axbz ) e2
(axby aybx ) e3
例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量 a,b的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
c
b a
底面积 A a b , 高 h c
故平行六面体体积为
V Ah
( ab)c
a b c
2. 混合积的坐标表示
设 a (ax , ay , az ), b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
ab
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
空间解析几何简介
❖ 向量及其线性运算 ❖ 数量积 向量积 *混合积 ❖ 空间平面及其方程 ❖ 空间直线及其方程 ❖ 二次曲线及其方程 ❖ 二次曲面及其方程
空间解析几何
第一部分 向量 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
[ a b c ] [ b c a ][c a b]
(可用三阶行列式推出)
a
b
c
例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 .
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1A2 , A1A3 , A1A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4
[ A1A2 A1A3 A1A4 ]
A3
x2 x1 y2 y1 z2 z1
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
可见
1a a; 1a a;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a. 因此 a
a a
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
ur
uur
ur
以 e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1)分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 ,
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
AБайду номын сангаас
B M
故
AMB
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
第三节 平面及其方程
一、平面的方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
设在¡ 中3 给定一个平面 ，P 采用线性代数的术语来描述平 面 ，P 是P中的¡ 一3 个集合，则集合
VP {M1 M2 | M1, M2 P} 是 ¡ 中3 的一个二维线性子空间。反之，给了 中¡ 3一个二维 子记则空M间M0 可0，V充V存¡当在3,平面中¡的M3的平0 ，P面V可使见{得M这P0种平v实面|V际P有v上无VV，限;}任,多取。点 定义：
1 6
x3 x1 y3 y1 z3 z1
A1
A2
x4 x1 y4 y1 z4 z1
例7. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5,6),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17)共面 .
B
解: 因
C
[ AB AC AD ]
3 45
D A
1 2 2 0
9 14 16
故 A , B , C , D 四点共面 .
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
axbx ayby azbz 0
a ,b,c 共面
( ab )c 0
ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面
o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
三角不等式
b
a
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a.
规定 :
总之:
a a
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
a
三角形法则:
ab b
a 运算规律 : 交换律 a b b a
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的内积 (点积，数量积) .
b在 a上的投影为
记作
b
Pr ja b
故
同理
,当
ab a
b
0
时,
Pr
ja
b
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
a 0, b 0 则 ab 0
3. 运算律 (1) 交换律
(2) 结合律
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
对两点
与
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O ,