线性规划的对偶问习题.doc
第一节 线性规划的对偶问题
2.非对称形式的对偶规划 2.非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 (1)将模型统一为 max， 将模型统一为“ min， (1)将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的 形式，对于其中的等式约束按下面（ ）、（3 形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3） 中的方法处理； 中的方法处理； (2)若原规划的某个约束条件为等式约束 若原规划的某个约束条件为等式约束， (2)若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对 偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负 限制； 限制； (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 制，则 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
12
影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 这样可以用较少的局部努力， 这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效 益。 需要指出，影子价格不是固定不变的， 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条 产品利润等发生变化时， 件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格 发生变化。 发生变化。 影子价格的经济含义是指资源在一定范围内增加 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“ 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定 的范围” 的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价 格给出的数值线性地增加。 格给出的数值线性地增加。
运筹学习题集(第二章)
判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2+x3. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3. y1 + 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x2- x3+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)x1 x2x3x4x5x6 ≥ 0原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2. -2x1 + 3x2≤ 12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤ 0， x2≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
线性规划的对偶问题,DOC
第二章线性规划的对偶问题习题2.1写出下列线性规划问题的对偶问题(1)maxz＝10x1＋x2＋2x3(2)maxz＝2x1＋x2＋3x3＋x4st.x1＋x2＋2x3≤10st.x1＋x2＋x3＋x4≤54x1＋x2＋x3≤202x1－x2＋3x3＝－4x j ≥0（j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1xj≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5考虑线性规划问题maxz＝2x1＋4x2＋3x3st.3x1＋4x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x 1＋3x2＋2x3≤80xj≥0（j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；仅供个人学习参考（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6已知线性规划问题maxz＝10x1＋5x2st.3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8xj≥0（j＝1,2）（1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式；（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；（3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。
仅供个人学习参考仅供个人学习参考2.9某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。
已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸340千克，每箱练习本用白坯纸380千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。
试确定：（1）现有生产条件下获利最大的方案；（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？2.10某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中2.12试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij mi ijnj ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij nj i j ij nj jj 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题key
i i ii第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题1. 判断下述说法是否正确(1) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
(2) 线性规划原问题的对偶问题的对偶是原问题本身。
(3) 原问题的任一可行解对应的目标函数值都不超过其对偶问题的任一可行解对应的目标函数值。
(4) 已知对偶问题的最优解中， y * > 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第i 种资源已完全消 耗殆尽。
(5) 已知对偶问题的最优解中， y * = 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第 i 种资源一定未 完全消耗。
(6) 影子价格就是市场价格。
(7) 若第 i 种资源的影子价格为 y * > 0 ，则在保持原问题中其它条件不变时，在资源最优配置下，当第i 种资源增加10个单位时，最优值将一定增加10 y * .(8) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部大于或等于0，则可以判断该线性规划问题无最优解。
(9) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部小于或等于0，则可以判断该线性规划问题的对偶问题无最优解。
(10)线性规划的原问题和其对偶问题的最优值如果存在，则必然相等。
(11)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅某一非基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(12)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(13)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一非基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(14)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(15)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某种资源的数量变化时，线性规划问题的最优值一定改变。
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
4.线性规划的对偶问题
原问题与对偶问题之间的关系
原问题(LP)的目标函数求May,主约束条件为型， 则称此约束为规范约束，否则称为非规范约束。 同样对偶问题(LD)的目标函数求Min,主约束条件为 型，则称此约束为规范约束，否则称为非规范约 束。 (LP)的每一个约束对应于(LD)的每一个变量。 (LP)的每一个变量对应于(LD)的每一个约束。
生产1个单位的A产品的资源 出售给公司应大于其利润 生产1个单位的B产品的资源 出售给公司应大于其利润
3
线性规划的对偶问题
两个问题的线性规划如下：
Max Z 6 x1 7 x2 7 x1 5 x2 3500 5 x 8 x 4000 1 2 s.t. 2 x1 5 x2 2000 x1 , x2 0
38
原问题与对偶问题之间的关系
原问题(LP)的第i约束条件为型，则对偶问题(LD) 的第i个变量yi 0; 原问题(LP)的第i约束条件为=型，则对偶问题(LD)的 第i个变量yi 无非负限制; 原问题(LP)的第i个变量yi为 0，则对偶问题(LD)的 第i个约束条件为型; 原问题(LP)的第i个变量yi为 0，则对偶问题(LD)的 第i个约束条件为型; 原问题(LP)的第i个变量yi无非负限制，则对偶问题 (LD)的第i个约束条件为=型;
40
写出下列线性规划的对偶问题
对偶问题应有3个 变量；4个约束。
对偶问题的目标函数： 第一个约束对应于第一个变量。 y1+2y2 2
41
Min S 2 x1 3x2 5 x3 x1 x2 x3 x4 5 2 x x 4 1 3 s.t. x2 x3 x4 6 x1 0, x2 0, x3 0
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
运筹学第四章习题答案
即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
s、t
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2－x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6
【免费下载】运筹学 第2章 对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学第二章线性规划的对偶理论复习题
2， 0)T ； （2）由题知原问题的最优解为 x* = (3，
5
由互补松弛定理得：在对偶问题中对应第一，二个约束为紧，第三个约束条件 为松，即，
max z = x1 + x2
s.t.
− x1 + x2 + x3 ≤ 2 − 2 x1 + x2 − x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0
有可行解，但无最优解.
⎛0⎞ ⎟ 证明： x = ⎜ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
是线性问题的可行解，即该问题存在可行解；
又∵其对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ st. -y１ − 2 y２ ≥ 1
x1 + x 2 − x3 ≤ 2 x1 − x 2 + x3 = 1 2 x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x3无约束
的最大值不超过 1. 证明：该线性问题的对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ + 2 y３ st. y１ + y２ + 2 y３ ≥ 1 y１ − y２ + y３ ≤ 2 -y１ + y２ + y３ = 1 y１ ≥ 0，y２ 自由，y３ ≤ 0
7、考虑下列原始线性规划
max z = 2 x1 + x2 + 3x3
s.t.
x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 12
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
写出下列线性规划问题的对偶问题(10分)
命题人： 教研室主任： 第1页一、写出下列线性规划问题的对偶问题（10分）二、求解下列线性规划问题（15分）三、分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A 、B 、C 、D 、E 五项任务，每个人完成各项任务的时间如下表所示。
由于任务数多于人数，故考虑任务E 必须完成，其它4项中可任选3项完成，试确定最优分配方案，使完成任务的总时间为最少。
（15分）四、某河流中有几个岛屿，如下图所示。
从两岸至各岛屿及各岛屿之间的桥梁编号如下图所示，在一次敌对的军事演习中，问至少应炸断几座及哪几座桥梁，才能完全切断两岸的交通联系（15分）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz 32121321321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=++≤++≥++++=无约束321321321321321x 0,x ,0x 53x 4x x 33x x 2x24x 3x x 4x 2x 2x minz )1(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≥=∑∑∑∑====n),1,j m;,1,(i 0x )n ,1,j (b x m),1,(i a x x c minz )2(ij m1i jij n1j iij m 1i n1j ijij命题人： 教研室主任： 第2页五、试根据下表所提供的条件，绘制出网络计划图（10分）六、甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350万吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A —400万吨，B —450万吨。
有煤矿至各城市的单位运价如下表所示: 单位：万元/万吨。
由于需大于求，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0～30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试写出该运输问题的数学模型并用表上作业法求其初始解（15分）七、某一警卫部门，共有8支巡逻队，负责3个要害部位，A 、B 、C 的警卫巡逻。
对每个部位可分别派2～4支巡逻队，并且派出的巡逻队数不同，各部位预期在一段时间内可能的损失有差别，具体数字见下表，问该警卫部门应往各部位分别派多少支巡逻队，使总的预期损失为最小？试建立动态规划模型并求解。
线性规划问题的对偶问题
该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1
3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = 2x1 + 3x2 - 5x3
s.t. x1+ x2 - x3 5
2x1
+ x3 = 4
x1 x 2
0
y1
min 12
16
15
y
2
y3
2 2
4 0
0 5
y1 y2 y3
2 3
y1
y
2
0
y3
线性规划的对偶关系：
（I） Max z = C x
s.t. Ax b
s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1 4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为：
min s = 120 y1 + 50 y2
目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：
线性规划对偶问题
MaxZ 2 x1 3 x 2 3 x3 x1 x 2 x3 3 s.t. x1 4 x 2 7 x3 9 x , x , x 0 1 2 3
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料 的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
5
11
2、非对称形式的对偶关系： （1） 原问题
max Z c j x j
j 1 n
对偶问题
min W bi xi
i 1 m
aij x j bi i 1,2, , m s.t. j 1 x 0 j 1,2, , n j
n
m aij yi c j j 1, 2, , n s.t. i 1 y 符号不限， i 1, 2, , m i
17
(4) 对于极小化问题的具有非负限制的变量(极大化问题的具 有非正限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为“≤” 型不等式；对于极小化问题的具有非正限制的变量(极大化问 题的具有非负限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为 “≥”型不等式；对于原问题中无正负限制的变量，在其对偶 问题中，相应的约束为等式。
“上、下”交换，“左、右”换位， 不等式变号，“极大”变“极小”
(4) 对称性: 对偶问题的对偶是原问题.
9
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2 s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 x1 0, x2 0, x3无约束
19
第二节
线性规划问题的对偶问题
1 2
2 2
12
4
0
0 5
x x
1 2
16 15
x1
x
2
0
y1
min 12
16
15y2
y3
2
2
4 0
0 5
y y y
1 2 3
2
3
y1
y
2
0
y 3
2021/8/17
13
线性规划的对偶关系：
（I） Max z = C x
s.t. Ax b
16h
5h
15h
3
问该企业因安排生产两种产品各多少件，使总的 利润收入为最大？
2021/8/17
10
数学模型
max Z=2x1+3x2
s.t. 2x1+2x2 12
4x1
16
5x2 15
x1,x2 0
现某机械厂为扩大生产租借常山机器厂 拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备？
-3x1-6x2-4x3≥15 5x2+3x3=30
x1≤0,x2取值无约束,x3≥0
2021/8/17
27
Max w=24y1+15y2+30y3 s.t. -4y1-3y2 ≥7
2y1-6y2+5y3=4 -6y1-4y2+3y3≤-3 y1≤0,y2≥0,y3无约束
2021/8/17
28
例2-8：写出下列线性规划问题的对 偶问题
50小时。问该厂如何组织生产才能使每
月的销售收入最大？
2021/8/17
2
数学模型
max g= 50x1 + 30x2
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第二章线性规划的对偶问题第二章线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4
st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤5
4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3 ＝－4
x j ≥0 （j＝1,2,3）x1 －x3＋x4≥1
x1，x3≥0，x2，x4 无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5
x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束x1≤0，x2≥0，x3 无约束
2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b ，X≥0。
分别说明发生下列情况时，
其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r 个约束条件上；
（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；
（4）模型中全部x1用3 x' 代换。
1
2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4
st. x1＋2x2 ＋x4≥3
3x1＋x2＋x3＋x4≥6
x3 ＋x4＝2
x1 ＋x3 ≥2
x j≥0（j＝1,2,3,4）
(1) 写出其对偶问题；
(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对
偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4对偶变量
st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1
2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2
x j≥0（j＝1,2,3,4）
*=4；y2* =1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最
其对偶问题的最优解y1
优解。
４７
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3
st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60
2x1＋x2＋2x3≤40
x1＋3x2＋2x3≤80
x j≥0 （j＝1,2,3）
（1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；
（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2
st. 3x1＋4x2≤9
5x1＋2x2≤8
x j≥0（j＝1,2）
用单纯形法求得最终表如下表所示：
x1 x2 x3 x4 b
x2 0 1
5
14
—
3
14
3
2
x1 1 0 —1
7
2
7
1
j=c j-Z j 0 0 —
试用灵敏度分析的方法分别判断：
5
14
—
25
14
（1）目标函数系数c1 或c2 分别在什么范围内变动，上述最优解不变；
（2）约束条件右端项b1，b2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；
（3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化；
（4）约束条件右端项由
9
8
11
变为
19
时上述最优解的变化。
2.7线性规划问题如下：max z ＝—5x1＋5x2＋13x3
st. —x1＋x2＋3x3≤20 ①
12x1＋4x2＋10x3≤90 ②
x j ≥0 （j ＝1,2,3 ）
先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；
４８
（2）约束条件②的右端常数由90变为70；
（3）目标函数中x3 的系数由13变为8；
（4）x1 的系数列向量由（—1，12）T变为（0，5）T；（5）增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50；
（6）将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。
2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下：
c j 基变量50 40 10 60
x1 x2 x3 x4
S
a c 0 1 1
2
1 6
b d 1 0
1
4
2 4
j =c j-Z j 0 0 e f g
（1）给出a，b，c，d，e，f，g 的值或表达式；
（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+ a，b+ b 分别代替a 和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求a，
b满足的范围。
2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100 人，每月白坯纸供应量为30000 千克。
已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30 捆，或日记本30 打，或练习本30 箱。
已知原材料消耗
10
3 为：每捆原稿纸用白坯纸千克，每打日记本用白坯纸
40
3
千克，每箱练习本用白
80
坯纸
3
千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2 元，生产一打日记本获利3 元，生
产一箱练习本获利1 元。
试确定：
（1）现有生产条件下获利最大的方案；
（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40 元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？
2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。
产品原料甲乙可用量（千克）原料成本（元/千克）
A 2 4 160 1.0
B 3 2 180 2.0
销售价（元）13 16
（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
４９
第二章线性规划的对偶问题
（2）原料A、B 的影子价格各为多少。
（3）现有新产品丙，每件消耗 3 千克原料 A 和 4 千克原料B，问该产品的销
售价格至少为多少时才值得投产。
（4）工厂可在市场上买到原料A。
工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在
保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？
2.11 某厂生产A、B 两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如
下表：
单位产品 A B 可用量（千克）
原料（千克） 1 2 200
工时（小时） 2 1 300
利润（万元） 4 3
（1）请构造一数学模型使该厂总利润最大，并求解。
（2）如果原料和工时的限制分别为300 公斤和900 小时，又如何安排生产？
（3）如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A，B 产品的单位产品分别需要水 4 吨和 2 吨，水的总用量限制在400 吨以内，又应如何安排生产？
复习思考题
2.12 试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
2.13 根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以
及检验数之间的对应关系。
2.14 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价
格的意义。
2.15 试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。
2.16 将a ij，b，c 的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题
的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。
2.17 判断下列说法是否正确
(a) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
(b) 对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当
对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d) 若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5 个
单位时，相应的目标函数值将增大5k；
(e) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素
全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(f) 若线性规划问题中的bi ，c, 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出
５０
第二章线性规划的对偶问题
现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(g)在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j为非基变量，则在原来问题中，无
论改变它在目标函数中的系数c j或在各约束中的相应系数a ij，反映到最终单纯形表
中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。
５１。