新人教版八年级上14.3.2因式分解(第2课时)平方差公式 课件
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人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
八年级数学14.3.2因式分解—平方差公式优秀课件
〔1〕如果多项式各项含有公因式那么第一步提出公因式； 〔2〕如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公
式法分解因式； 〔3〕分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解
为止； 〔4〕对具体问题选准方法加以解决．
五、真见—能力提升 〔自我表达〕
1.把以下多项式分解因式： (1)9-16x2. (2)16m2-9n2. (3) x2y-4y. (4) 4xy9y3x. 【思路点拨】此题(1)(2)中两项都可以表示成平方的 形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑
3.以下多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2 (5) x2 -9y2 (6) (3m+n)2-(m-2n)2 ． (2)(3)(5)(6)能，(1)(4)不能
注意：平方差公式的结构以及整体换元思想的应用
四、亮见—知识应用 〔小组展示〕
把以下多项式分解因式：
(1)9-16x2.
(2)16m2-9n2. (3) x2y-4y.
9y3x.
解:(1)9-16x2
解: (2)16m2-9n2
=32-(4x)2
=(4m)2-(3n)2
=(3+4x)(3-4x). 解: (3) x2y-4y
= y (x2-4) = y (x+2)(x-2)
=(4m+3n)(4m-3n). 解: (4) 4xy-9y3x
=xy(4-9y2) = xy(2+3y) (2-3y)
(4) 4xy
2.分解因式： (1) -a4+16 (3)(m+2n)2-(m-n)2
解: (1)-a4+16 =(4+a²)(4-a²) =(4+a²)(2+a)(2-a)
式法分解因式； 〔3〕分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解
为止； 〔4〕对具体问题选准方法加以解决．
五、真见—能力提升 〔自我表达〕
1.把以下多项式分解因式： (1)9-16x2. (2)16m2-9n2. (3) x2y-4y. (4) 4xy9y3x. 【思路点拨】此题(1)(2)中两项都可以表示成平方的 形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑
3.以下多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2 (5) x2 -9y2 (6) (3m+n)2-(m-2n)2 ． (2)(3)(5)(6)能，(1)(4)不能
注意：平方差公式的结构以及整体换元思想的应用
四、亮见—知识应用 〔小组展示〕
把以下多项式分解因式：
(1)9-16x2.
(2)16m2-9n2. (3) x2y-4y.
9y3x.
解:(1)9-16x2
解: (2)16m2-9n2
=32-(4x)2
=(4m)2-(3n)2
=(3+4x)(3-4x). 解: (3) x2y-4y
= y (x2-4) = y (x+2)(x-2)
=(4m+3n)(4m-3n). 解: (4) 4xy-9y3x
=xy(4-9y2) = xy(2+3y) (2-3y)
(4) 4xy
2.分解因式： (1) -a4+16 (3)(m+2n)2-(m-n)2
解: (1)-a4+16 =(4+a²)(4-a²) =(4+a²)(2+a)(2-a)
新人教版八年级上册数学14.3.2 平方差公式因式分解公开课课件
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
(6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
下列各式能否用平方差公式分解？如果 能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2 ② x2-y2
=(x+y)(x-y) =y2-x2=(y+x)(y-x)
把下列各式分解因式。
(1)1-a4
(2)-9a2b2+1
分解因式注意事项: 1、各项有公因式先题公因式； 提公因式后看能否用公式法再 分解； 2、没有公因式可以尝试公式法 分解； 3、分解因式必须分解到每一个 多项式不饿不能再分解为止。
(3)x3-4x (4)81x4-y4 (5)xy2-9x (6)18a2-2b2 (7)x5-x
学习目标：
（1）掌握用平方差公式分解因式的方法。
（2）掌握提公因式法、平方差公式法分解因式 的综合运用。 （3）体会整式乘法与分解因式之间的联系。
（4）通过乘法公式:(a+b)(a+b)=a2-b2逆向变形， 进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发 展有条理地思考及语言表达能力。
1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有 什么关系？
把下列各式分解因式。
(1)(x+2y)2-(x-3y)2 (2)(x-y)2-(x+y)2 (3)m2(16x-y)+n2(y-16x) (4)(x+m)2-(x+n)2 (5) x + y 2 - 9m 2
（2）64-b2 ＝( 8 ) 2-b2＝（8+b)(8-b)
⒉判断
① ②
x2 + y 2 = ( x + y)(x - y)
14.3.2 公式法 课件 人教版数学八年级上册
必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公
式进行因式分解.
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先
提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
感悟新知
知2－练
例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是
___±__2_4____.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
感悟新知
知识点 1 用平方差公式分解因式
知1－讲
1. 平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
a，b可以是单项式，也可以是多项式
感悟新知
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
感悟新知
知2－讲
2. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方. 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
感悟新知
3. 公式法分解因式
知2－讲
如果把乘法公式的等号两边交换位置，就可以得到
用于分解因式的公式，用这些公式把某些具有特殊形式
的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例 3 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
知2－练
(3)116a2－12ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运 用完全平方公式分解因式.
人教版八年级上册14.3.2公式法因式分解(平方差公式)课件
所以(2n+1)2-25能被4整除.
a(22)原- b式2＝=((3ma +＋b3n)－( am-＋bn))(3m＋(33n)＋m－9nx) y3-36x3y=__9_x_y_(y_+_2_x_)_(_y_-2_x_)___;
(2)a2－4b2－a－2b.
解题技巧：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
因式分解 整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
认真阅读课本第116和117页的内容，完成下列问题（. 限时5分钟）
1.思考多项式 a2－b2 的项和符号有什么特点？你能将它分解因式吗？
2.由乘法公式 (a+b)(a-b)=
.
反过来得 a2－b2=
. ( 平方差公式 )
即两个数的
，等于这两个数的和与这两个数的差的 ．
3. 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n. ∵n为整数， ∴8n能被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
“两项、异号、平方形式”
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．aHale Waihona Puke ＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
3.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ D ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
八年级数学上册14.3.2.1平方差公式教学课件(新版)新人教版
14．3 因式分解(yīn shì fēn jiě)
14．3.2 公式(gōngshì)法(2课时)
第1课时(kèshí) 平方差公式
第一页，共11页。
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用(yìngyòng)平方差公式分解因式．
第二页，共11页。
重点 应用平方差公式(gōngshì)分解因式． 难点 灵活应用平方差公式(gōngshì)和提公因式法分解因式， 并理解因式分解的要求．
第六页，共11页。
例2 分解因式： (1)x4－y4；(2)a3b－ab. 分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第 2次分解； (2)现在不具备平方差的特征，引导继续(jìxù)观察特点，发现 有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解． 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式 法和应用公式法的综合应用．
第十一页，共11页。
第八页，共11页。Fra bibliotek三、课堂小结 1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式 的多项式应具有怎样的特征． 2．谈谈多项式因式分解的思考(sīkǎo)方向和分解的步骤． 3．谈谈多项式分解的注意点． 四、布置作业 1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题． 2．备选题： (1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确 答案． ①m2＋n2＝(m＋n)2； ②m2－n2＝(m－n)2.
第九页，共11页。
(2)分解因式： ①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2； ③(y2－4)2－6(y2－6)＋9. (3)用简便方法计算： ①1617×1567； ②1 9992－3 998×1 998＋19982； ③2992＋599.
第十页，共11页。
14．3.2 公式(gōngshì)法(2课时)
第1课时(kèshí) 平方差公式
第一页，共11页。
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用(yìngyòng)平方差公式分解因式．
第二页，共11页。
重点 应用平方差公式(gōngshì)分解因式． 难点 灵活应用平方差公式(gōngshì)和提公因式法分解因式， 并理解因式分解的要求．
第六页，共11页。
例2 分解因式： (1)x4－y4；(2)a3b－ab. 分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第 2次分解； (2)现在不具备平方差的特征，引导继续(jìxù)观察特点，发现 有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解． 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式 法和应用公式法的综合应用．
第十一页，共11页。
第八页，共11页。Fra bibliotek三、课堂小结 1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式 的多项式应具有怎样的特征． 2．谈谈多项式因式分解的思考(sīkǎo)方向和分解的步骤． 3．谈谈多项式分解的注意点． 四、布置作业 1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题． 2．备选题： (1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确 答案． ①m2＋n2＝(m＋n)2； ②m2－n2＝(m－n)2.
第九页，共11页。
(2)分解因式： ①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2； ③(y2－4)2－6(y2－6)＋9. (3)用简便方法计算： ①1617×1567； ②1 9992－3 998×1 998＋19982； ③2992＋599.
第十页，共11页。
人教版八年级数学上册14.2.2平方差公式课件(新版)新人教版
a
a
C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
b 灿若寒星 图1
b 图2
综合拓展
计算20042-2003×2005
灿若寒星
P156第1题
灿若寒星
灿若寒星
(a+b)(a-b)=a2-b2
解:(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b)
=(3x)2-22
=(2a+b)(2a-b)
=9x2-4.
=(2a)2-b2
=4a2-b2
灿若寒星
(3)(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2.
例2计算: (1)102×98; (2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).
灿若寒星
讨论
你能根据图15.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1中的面积说 明平方差公式吗?
a b
S1
S2
a 图15.2-1
灿若寒星
b b
例1运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);(2)(b+2a)(2a-b);(3)(x+2y)(-x-2y).
分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
也可以是代数式．
灿若寒星
开放训练应用拓展
下列各式能否用平方差公式进行计算？
⑴ (7ab 3b)(7ab 3b) (能) ⑵ (8 a)(a 8) (不能) ⑶ ( 2a 3b)( 2a 3b) (能) ⑷ ( x 3)( x 3) (不能) ⑸ (3 m)(m 3) (能)
新人教版八年级上册初中数学 14.3.2 公式法(第2课时) 优质课件
第九页，共三十二页。
探究新知
说一说
下列(xiàliè)各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4;
是
(2)1+4a²;
不是 只有(zhǐyǒu)
两项；
(3)4b2+4b–1;
(4)a2+ab+b2; 不是
不是
4b(²5与)x–21的+x符+号0.不25统.一；(bù shi)
ab不是a与b的积的2倍.
a2 ± 2ab +b =(a ± b)²
2
首2 ±2×首× +尾2 (首±尾)2 尾
两个(liǎnɡ ɡè)数的平 方和加上(或减去)这两个 数的积的2倍，等于这两 个数的和(或差)的平方.
第八页，共三十二页。
探究新知
试一试 对照(duìzhào) a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( x)²+2·( )x·( )+2( )²2=( x +)²2 2.m²–6m+9=( m)²– 2·( ) m·( )+3( )²3=( m)²– 3 3.a²+4ab+4b²=( a)²+2·( )a·( 2b)+( )2²=b( a +)2²b
法公式可以用来分解因式呢？
第二页，共三十二页。
探究新知
知识点
用完全平方公式分解因式
1.因式分解(yīn
回
shì把fēn一jiě个)：多项式转化(zhuǎnhuà)为几个整式的积的形式.
顾
旧
2.我们(wǒ men)已经学过哪些因式分解的方
知
法？提公因式法
探究新知
说一说
下列(xiàliè)各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4;
是
(2)1+4a²;
不是 只有(zhǐyǒu)
两项；
(3)4b2+4b–1;
(4)a2+ab+b2; 不是
不是
4b(²5与)x–21的+x符+号0.不25统.一；(bù shi)
ab不是a与b的积的2倍.
a2 ± 2ab +b =(a ± b)²
2
首2 ±2×首× +尾2 (首±尾)2 尾
两个(liǎnɡ ɡè)数的平 方和加上(或减去)这两个 数的积的2倍，等于这两 个数的和(或差)的平方.
第八页，共三十二页。
探究新知
试一试 对照(duìzhào) a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( x)²+2·( )x·( )+2( )²2=( x +)²2 2.m²–6m+9=( m)²– 2·( ) m·( )+3( )²3=( m)²– 3 3.a²+4ab+4b²=( a)²+2·( )a·( 2b)+( )2²=b( a +)2²b
法公式可以用来分解因式呢？
第二页，共三十二页。
探究新知
知识点
用完全平方公式分解因式
1.因式分解(yīn
回
shì把fēn一jiě个)：多项式转化(zhuǎnhuà)为几个整式的积的形式.
顾
旧
2.我们(wǒ men)已经学过哪些因式分解的方
知
法？提公因式法
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观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项 的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数 的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式， “平方差”是得分解因式的多项式
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样
就可以利用平方差公式进行因式分解
了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再分 必解 须因 进式 行,
进一步分解.
到每一个 多项式都
解:(1) x4-y4
(2) a3b-
不能再分 解为止.
= (x2+y2)(x2-y2)
=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
练习： 1题，2题
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提 出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可 以继续分解， 则需要进一步分解因式．直到每 个多项式因式都不能分解为止．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这 两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式．
[例1]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)2
2
（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式 中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方 差中的b，这说明公式中的a与b•可以表示一个数， 也可以表示一个单项式，甚至是多项式.
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？
3、要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有 公因式， 不能用提公因式法分解因式，但我们还 可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以 用平方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因 式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件， 就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的 方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方 差公式分解因式
新人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.3因式分解
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
1、多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用， 也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有 公因式，如果没有公因式， 就不能使用提公因式 法对该多项式进行因式分解．