多面体欧拉定理

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
正多面体
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数
(V) 4 8 6 20 12
面数
(F) 4 6 8 12 20
棱数
(E) 6 12 12 30 30
发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式： V+F-E=2
欧拉定理：
简单多面体的顶点数、面数及棱数 有关系式：
V+F-E=2
证 明 ： 以 四 面 体 为 例 来 说 明 ： 将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面 体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将 它变形为平面图形即可
B A D
B D
A CB
D
B C
D
A
C C
A
B A D
B
A C
V+F1-E=1源自文库
一、复习 1、多面体的概念：
由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面 体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多 面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的 对角线．
2、凸多面体：
把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平 面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．
3、凸多面体的分类：
多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面 体、六面体等
欧拉生平事迹简说：
欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家 1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧 师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞 尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位， 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域此外，他 是数学史上最多 产的数学家，写了大量的力学、分析学、几 何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》 （1748），《微分学原理》（1755），以及 《积分学原理》（1768-1770） 都成为数学 中的经典著作。1771年，一场重病使他的左 眼亦完全失明但他以其惊人的 记忆力和心算 技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨 论以及直接口授等方式完成了大量的科学著 作，直至生命的 最后一刻。 1783年9月18日 于俄国彼得堡去逝 。
二、讲解新课：
1、简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用 橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不 破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面 经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
推广：
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多 面体都是
简单多面体
简单多面体是否就是凸多面体？
请查出下面各多面体的顶点数V、面 数F、和棱数E，并计算欧拉示性数 f(p)=V＋F－E＝ ？
应用： 例1 由欧拉定理证明：正多面体只 有正四面体、正六面体、正八面 体、正十二面体、正二十面体这 五种 。
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例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应 用： 1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡 献的三位科学家是由60个原子构成的分子， 它是形如足球的多面体这个多面体有60个 顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱， 面的形状只有五边形和六边形，计算分子 中五边形和六边形的数目 。
V+F-E=2
注：对任意的简单多面体，运用这样的方法 ，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多 面体都是正确的。
练习：
1、一个n面体共有8条棱，5个顶点， 5 则n=_______. 2、一个正n面体共有8个顶点，每个 6 顶点处共有三条棱 ，则n=_______.
欧拉示性数：
在欧拉公式中令 f(p)=V＋F－E 叫欧拉示性数 说明：简单多面体的欧拉示性数 f(p)=2．