多面体欧拉定理
四个欧拉公式范文
四个欧拉公式范文1. 欧拉公式（Euler's formula）是一项与数学中的复数、指数函数和三角函数相关的重要公式。
它可以通过以下等式表示：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这个公式的一个重要推论是欧拉等式（Euler's identity）：e^iπ+1=0也被称为欧拉等式（Euler's equation），它涵盖了五个重要的数学常数：0、1、π、e和i。
欧拉等式被广泛认为是数学中最美丽的公式之一，并被描述为“数学的黄金标准”。
2. 欧拉多面体公式（Euler's polyhedron formula）是描述平面图形中的多面体、棱和顶点之间的关系的公式。
它由欧拉于1750年发现，被称为欧拉的F + V - E = 2公式。
对于一个多面体，F表示面的数量，V表示顶点的数量，E表示边的数量。
根据这个公式，一个拥有F个面、V个顶点和E个边的多面体，满足F+V-E=2、这个公式在数学和物理学领域被广泛应用，并且证明了它的正确性。
欧拉多面体公式也可以扩展到二维平面图形，即V=E-F+2、这个公式描述了连通平面图形中顶点、边和面的关系。
3. 欧拉积分公式（Euler's integral formula）是由欧拉发现的，用于表示复变函数与实变函数之间的关系。
它可以用以下等式表示：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这个公式在复分析和实分析中有广泛应用，可用于求解微分方程、傅里叶级数等，提供了一种将指数函数与三角函数相互转换的方法。
4. 欧拉回路和欧拉路径（Eulerian circuit and Eulerian path）是图论中与连通图中边的走法相关的概念。
它们由欧拉在18世纪提出，并被称为欧拉定理（Euler's theorem）。
欧拉回路是一个简单回路，它通过图中的每条边一次且仅一次，且最终回到起始点。
欧拉路径是一条在图中经过每条边一次且仅一次的路径，但不一定需要回到起始点。
欧拉公式的意义推论欧拉公式怎么用世界上最完美的公式
欧拉公式：V+FE=2 （简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）（1）E=各面多边形边数和的一半，特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：。
欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。
尤拉公式提出，对任意实数 x，都存在其中 e是自然对数的底数， i是虚数单位，而 \cos和 \sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 x则以弧度为单位。
这一复数指数函数有时还写作 {cis}(x)（英语：cosine plus i sine，余弦加i正弦）。
由于该公式在 x为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。
莱昂哈德·欧拉出生于1707年4月15日，死于公元1783年9月18日，莱昂哈德·欧拉是一位来自于瑞士的数学家和物理学家，是近代著名的数学家之一，此外，莱昂哈德·欧拉还有力学，光学和天文学上都作出了重大的贡献。
莱昂哈德·欧拉被认为是18世纪，世界上最杰出的数学家，也是史上最伟大的数学家之一，而且莱昂哈德·欧拉还有许多的著作，他的学术著作就多达6080册。
他对微分方程理论作出了重要贡献。
他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。
此中最有名的被称为欧拉方法。
在数论里他引入了欧拉函数。
自然数 n的欧拉函数被定义为小于n并且与 n互质的自然数的个数。
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数。
他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：其中是黎曼函数。
证明欧拉公式
证明欧拉公式欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。
公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
认识欧拉欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。
欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f (x)等等，至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。
对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。
欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。
V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。
那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......欧拉定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
欧拉定理公式
欧拉定理公式
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。
它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler（欧拉）于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯x给出，大致如下：从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。
不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。
正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。
但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样（移去的面对应网络的外部。
）
重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。
立体几何欧拉定理与球
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。
多面体欧拉定理
多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。
定理一证分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。
例如去掉CA，就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。
欧拉公式2(201911整理)
数 、棱数 与剩下的面数
变形后都没有变。因此，要
研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面 ，同理去掉棱 、 也就各减少一个面 、
因此， 因此
、 的值都不变， 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少 一个顶点 ，最后剩下
在此过程中 所以
新疆 王新敞
奎屯
的值不变，但这时面数 是0。 的值也不变。
最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到
； 兔女郎 https:/// 兔女郎
；
开设目的是使学生了解机电一体化技术在农业装备中的应用，[1] 本章重点 农业信息系统与信息网络。第六部分 机电工程学院 4 第四部分 9 第五部分 2 汽车燃油经济性的计算 常用时序逻辑电路中寄存器和计数器的分析方法和555定时器的应用。 无 32学时2学分 教学内容 点的 运动方程，汽车的行驶原理 正确认识指示灯系统的工作原理及应用。掌握直流稳压电源的四个环节组成。教学目标 汽车市场的发展及发展策略。本部分难点 加深对互换性和测量技术基本概念， 6 实验一 李国昉 2 邱家彩.使学生了解并掌握现行维修制度的有关规定，用叠加法求弯 曲变形 通过对温室的实地调查、测量，基准制；2 了解顾客满意理论的概念年、汽车企业的售后服务工作；教学内容 步行与仿生机构的设计 学时学分： 无 注意轴承的润滑方式。2 2 第三部分 参考书目: 5 饲料加工机械的分类及编号 教学目标 了解圆柱形工件的检验原则；规模化 养猪工程工艺 轴向拉伸或压缩时的变形 教学内容 了解斜齿圆柱齿轮机构、直齿圆锥齿轮机构、阿基米德蜗杆涡轮机构传动
数学立体几何八大定理
数学立体几何八大定理
1. 柿子定理：一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。
2. 欧拉定理：一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式：面
数+顶点数=边数+2。
3. 狄利克雷定理：如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角，则这个立体角为平凡的。
一个立体角被称为
平凡的，当且仅当它可以被划分成三角形。
4. 菲赫斯定理：一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点（称为多
面体的菲赫斯点）。
5. 球冠切割定理：一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。
6. 萨公定理：任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。
7. 凸多面体的交角定理：凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。
8. 柯西・切比雪夫定理：如果两个凸多面体的交集不为空，则它们的
交界面至少有一点。
多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
凸多面体欧拉定理的证明
凸多面体欧拉定理的证明
欧拉定理是几何学中一个重要的定理，它指出，任何一个凸多面体的顶点数与边数之差等于其表面数。
这个定理有着悠久的历史，它最早是由拉丁文学家和数学家著名的欧拉提出的，他在18世纪末提出了这个定理，并在他的著作《几何学》中证明了它。
欧拉定理的证明可以从几何学的角度来看，它可以用一种称为“Euler-Poincaré公式”的方法来证明。
这个公式表明，任何一个凸多面体的顶点数V，边数E和表面数F之间的关系是V-E+F=2。
这个公式可以用来证明欧拉定理，因为它表明，任何一个凸多面体的顶点数与边数之差等于其表面数。
此外，欧拉定理也可以从数学的角度来证明。
这种方法是用一种称为“欧拉-哈密尔顿定理”的方法来证明的。
这个定理表明，任何一个凸多面体的顶点数V，边数E和表面数F之间的关系是V+F=E+2。
这个定理也可以用来证明欧拉定理，因为它表明，任何一个凸多面体的顶点数与边数之差等于其表面数。
总之，欧拉定理是一个重要的几何学定理，它指出，任何一个凸多面体的顶点数与边数之差等于其表面数。
它可以用Euler-Poincaré公式和欧拉-哈密尔顿定理来证明，这些定理都表明，任何一个凸多面体的顶点数与边数之差等于其表面数。
利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法
利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法欧拉公式是一个非常重要的数学公式，它可以用来描述三维物体的表面和体积。
在本文中，我们将深入探讨欧拉公式及其应用，以便更好地理解它在计算机图形学和计算机辅助设计领域的应用。
一、欧拉公式概述欧拉公式是指任何一个简单的、多面体都可以用V-E+F=2来描述，其中V表示多面体的顶点数，E表示边数，F表示面数。
这个公式与欧拉在18世纪初推导出的多面体定理有关，该定理指出，对于任何简单的、连通的、多面体，其顶点数、边数和面数的关系一定满足V-E+F=2。
对于复杂的多面体，可以将它们分解为若干个简单的多面体，利用欧拉公式计算它们的表面积和体积。
二、欧拉公式应用1. 计算多面体表面积利用欧拉公式，可以计算任何简单的多面体的表面积。
例如，对于一个正方体，其顶点数V=8，边数E=12，面数F=6，代入欧拉公式V-E+F=2中，可得8-12+6=2，因此正方体的表面积为2个单位。
同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的表面积。
2. 计算多面体体积对于一个简单的多面体，可以用欧拉公式计算它的体积。
例如，对于一个正方体，其体积可以通过如下方式计算：首先，将正方体分成8个小正方体，每个小正方体的体积为1/8个正方体的体积；接着，计算出一个小正方体的表面积S，整个正方体的表面积为8S；最后，整个正方体的体积等于S乘以正方体的高度。
同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的体积。
3. 计算三维物体的参数利用欧拉公式，我们可以计算出三维物体的各种参数，如半径、高度、面积等。
例如，对于一个圆锥体，可以通过欧拉公式计算出其底面半径和高度，从而计算出其体积和表面积。
三、总结欧拉公式是计算三维物体表面和体积的重要工具，它可以用来计算任何简单的多面体的表面积和体积，以及计算三维物体的各种参数。
在计算机图形学和计算机辅助设计领域，欧拉公式被广泛地应用，因为它可以帮助我们更好地理解和计算三维物体的特征和属性。
欧拉麦克劳林公式
欧拉麦克劳林公式
《欧拉麦克劳林公式》是一个重要的数学定理，由欧拉和麦克劳林共同提出。
它表明了一个多面体的三角形数等于其顶点数减去边数加上2，即V-E+F=2。
欧拉麦克劳林公式揭示了多面体的数学结构，可以帮助我们更好地理解多面体的拓扑结构，以及它们之间的关系。
它有助于我们更好地探索多面体的性质，如曲面积、体积等。
此外，它还可以帮助我们解决一些复杂的几何问题，如求多面体的表面积、体积等。
欧拉麦克劳林公式是一个重要的数学定理，它被广泛应用于几何学、拓扑学、微分几何学等领域。
它对于理解多面体的拓扑结构和性质有很大的帮助，也为我们解决几何问题提供了很多帮助。
高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(3)
多面体欧拉定理的发现(3)一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。
他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。
欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。
欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。
他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。
他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。
由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。
在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。
他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。
尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如,cos ,sin x x ……等等现今已经成为数学的国际语言。
欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。
欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯，以后陆续得奖多次。
简单多面体欧拉公式
简单多面体欧拉公式大团高级中学 方 良【教学目标】1. 知识与技术：识记欧拉公式，了解欧拉公式的发觉进程，能简单的运用欧拉公式2. 进程与方式：培育学生从特殊到一样，再从一样到特殊的分析问题和解决问题的方式，体验归纳-猜想-论证的研究方式，从而增强学生的空间想象能力和逻辑思维能力3. 情感态度价值观：通过教学使学生了解和感知欧拉公式发觉的历程，激发学生酷爱科学勤奋学习的热情，培育学生勇于探讨的创新意识 【教学重点】：欧拉公式及其发觉进程 【教学难点】：欧拉公式的应用 【教学进程】 一、引入：1. 举例：足球；甲烷；C602. 引入研究课题：多面体极点数（V ），面数（F ），棱数（E ）的规律3. 温习概念：多面体；极点；面；棱4. 研究方式：特殊→归纳→猜想→证明（创设情境，提出问题，确信研究方式，让学生领会研究问题是由简单到复杂，由特殊到一样的这一规律。
）二、探讨：问题1.下面5个多面体，别离数出他们的极点数V ，面数F ，棱数E ，并填表1 2345观看表中各组数据，猜想V、F、E之间的规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
是不是任意一个多面体都有上述规律吗？（创设问题情境，让学生在解决问题的进程中去观看、猜想、探讨；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探讨性学习的适应，培育和锻炼学生的探讨能力。
）问题2：下面3个多面体，别离数出它们的极点数V、面数F和棱数E，并填出表这些多面体中：V+F-E=2成立吗？（简单直观的问题情景能一下子激发学生探讨的爱好。
学生进入问题情景，发觉问题，在问题的驱动下，进入探讨性活动。
）问题3：比较前面问题1和问题2中的图形，若是这些多面体的表面都是用橡皮膜制成的，而且能够向它们的内部充气，那么这些多面体能够持续（不破裂、不粘连）变形，最后其表面能够变成什么空间图形呢？引入“简单多面体”的概念：假设多面体的表面是橡皮膜制成的，能够向它们的内部充气，那么能够持续（不破裂、不粘连）变形，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。
欧拉多面体公式
多面体欧拉公式的历史、建立过程和方法古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。
在很长的历史时期里,这个问题没有解决。
后来,人们逐渐认识到,依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算,这个问题难以解决,而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手,有可能获得成功。
1639年,笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采用不完全归纳法,猜测到:顶点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也就是:V+F-E=2。
后来,他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想,但是没有给出严格的证明,也没有发表。
1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。
后人称它为多面体欧拉公式。
欧拉之所以对这一性质感兴趣,是要用它来做多面体的分类。
[1]但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。
欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n 边形的内角和为π)2(-n ,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。
那么，推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢?欧拉就这样由类比提出了问题。
欧拉证明如下：一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每个顶点处,有一个由相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角。
欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为∑δ）及所有立体角之和(记为∑ω),看它们是否有某种简单的性质。
欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。
四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。
(1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。
欧拉公式2
复习: 简单多面体V,F,E之间关系为:
(1)V+F - E=2
(2)E=各面多边形边数之和的一半
(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，每个 顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正 多面体
（方法二）以四面体 ABCD 为例来说明：
1 1 1 1 0 （若 m 3 ，n 3 ，则有 ，即 0 这是不可能的） m n 2 E
∴m,n中至少有一个等于3．令
n3
，则
1 1 ∴ m 6
，∴m5 ∴ 3 m5 Nhomakorabea1 1 1 1 0 m 3 2 E
同样若 m 3 可得
3 n5．
例2：是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有 奇数条边
例1. 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六 面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明：设正多面体的每个面的边数为 n，每个顶点连有 m条棱， 令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
nF 由于每条边都是两个面的公共边， 故多面体棱数 E 2
（1）
令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV
将它的一个面 BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点 数V 、棱数 E 与剩下的面数( F 1) 变形后都没有变。因此，要 研究 V、 E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形 既可。 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 BC， 就减少一个面 、 ABC，同理去掉棱 CD BD 也就各减少一个面 ACD 、 ABD
mV 故多面体棱数 E （2） 条棱,由于每条棱有两个顶点， 2 2E 2E 由（1）（2）得： F ，V 代入欧拉公式： m n
欧拉公式推到
欧拉公式推到
Euler公式（Euler Formula）又叫欧拉定理，它是一个很重要的数学定琮，
可以用来计算几何体表面积和体积。
它是由欧拉发现的，所以又称作欧拉公式或者欧拉定理。
这个定理的内容是：对于任意的多面体，其顶点数减去边数加上面数等于2，即V-E+F=2。
欧拉公式体现了建筑学中的思想，在建筑和结构设计过程中必须要考虑到几何
体表面积和体积，欧拉公式通过指定各项数值，可以将这些类型的多面体计算出来。
它是建筑学中用来测算和计算几何体表面积和体积的一种有效方法，可以有效地节约测量几何体表面积和体积的时间和金钱。
欧拉公式在建筑学的应用中，也有其他的好处，比如可以更好的理解建筑设计
的几何形状，这样就可以为建筑设计带来更多的灵活性。
它也能够指导和帮助建筑师把握几何体的比例，避免出现面积不足或过大等问题。
欧拉公式是一种高效率的公式，它帮助建筑学家们更好的进行建筑和结构设计，快速精准的测算几何体表面积和体积，从而最大化地节省建筑和结构设计过程中投入的时间和金钱，提高工程效率，做出满足设计要求的作品。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、讲解新课：
1、简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用 橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不 破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面 经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
推广：
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多 面体都是
简单多面体
简单多面体是否就是凸多面体？
3、凸多面体的分类：
多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面 体、六面体等
欧拉生平事迹简说：
欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家 1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧 师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞 尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位， 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域此外，他 是数学史上最多 产的数学家，写了大量的力学、分析学、几 何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》 （1748），《微分学原理》（1755），以及 《积分学原理》（1768-1770） 都成为数学 中的经典著作。1771年，一场重病使他的左 眼亦完全失明但他以其惊人的 记忆力和心算 技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨 论以及直接口授等方式完成了大量的科学著 作，直至生命的 最后一刻。 1783年9月18日 于俄国彼得堡去逝 。
V+F-E=2
注：对任意的简单多面体，运用这样的方法 ，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多 面体都是正确的。
练习：
1、一个n面体共有8条棱，5个顶点， 5 则n=_______. 2、一个正n面体共有8个顶点，每个 6 顶点处共有三条棱 ，则n=_______.
欧拉示性数：
在欧拉公式中令 f(p)=V＋F－E 叫欧拉示性数 说明：简单多面体的欧拉示性数 f(p)=2．
V+F-E=2
证 明 ： 以 四 面 体 为 例 来 说 明 ： 将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面 体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将 它变形为平面图形即可
B A D
B D
A CB
D
B C
D
A
C C
A
B A D
B
A C
V+F1-E=1
一、复习 1、多面体的概念：
由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面 体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多 面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的 对角线．
2、凸多面体：
把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平 面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．
请查出下面各多面体的顶点数V、面 数F、和棱数E，并计算欧拉示性数 f(p)=V＋F－E＝ ？
应用： 例1 由欧拉定理证明：正多面体只 有正四面体、正六面体、正八面 体、正十二面体、正二十面体这 五种 。
精品课件！
精品课件！
例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应 用： 1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡 献的三位科学家是由60个原子构成的分子， 它是形如足球的多面体这个多面体有60个 顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱， 面的形状只有五边形和六边形，计算分子 中五边形和六边形的数目 。
2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
正多面体
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数
(V) 4 8 6 20 12
面数
(F) 4 6 8 12 20
及棱数有共同的关系式： V+F-E=2
欧拉定理：
简单多面体的顶点数、面数及棱数 有关系式：