勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔尖

二. 知识点回顾

1、 勾股定理的应用: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有:

（１）已知直角三角形的两边求第三边

(２)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边(如ｃ）

（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系

（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠Ｃ为直角的直角三角形;若2c ≠22b a + 则△AB Ｃ不是直角三角形。

3. 勾股数: 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数

如(1)３，４，５； (2)5，1２，１3； (3）6，８，１０;(4）8,15,17 （5）７,24,25 （6）9， 40, ４1

三.典型题剖析:针对训练、延伸训练

考点一 证明三角形是直角三角形

1、 在正方形ＡB ＣD 中,F 为ＤC 的中点,E 为BC 上一点,且EC=41

BC,求证:ÐEFA=90°。

针对训练:1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别是a 、ｂ、c,满足a 2+b 2+c 2+3３8=10a ＋２4b+2６ｃ.试判断△A ＢC 的形状．

考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算

例、如图，等腰△A ＢＣ中，底边BC =２０,D 为ＡB 上一点,CD ＝16，BD ＝12,

求△AB Ｃ的周长.

针对训练:1、.已知：如图,四边形ＡBCD ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC=6,CD=5，AD=3．

求:四边形A ＢＣD 的面积．

考点三 勾股定理的折叠问题

例、如图，在矩形AB ＣD 中,AB=３，ＢC=5,在CD 上任取一点E ，连接B Ｅ,将△BC Ｅ沿BE 折叠,使点E 恰好落在AD 边上的点Ｆ处，则CE 的长为 .

A

B D

C

F

E

针对训练：1、如图,在矩形ABCD中,ＢC=6,ＣD=3,将△BCＤ沿对角线BＤ翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点Ｅ，则线段DE的长为( )

A．３B．Ｃ.5 Ｄ.

考点四勾股定理的卡车通过大门问题

例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形,上部是以AB为直径的半圆,其中AD＝２。3 m,AB=2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2．５m,宽1。６m,试猜想这辆大卡车能否通过厂门?请说明理由.

考点五勾股定理的探究和应用问题

例、如图所示，有一块塑料模板ＡBCD,长为10㎝,宽为4㎝,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶

点Ｐ落在AＤ边上(不与A、Ｄ重合)并在AD上平行移动:ﻫ①能否使你的三角板两直角边分别通过点Ｂ与点Ｃ?若能,请你求出这时AＰ的长;若不能,请说明理由。

②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在ＡＤ上移动，直角边PＨ始终通过点B，另一直角边PF与D Ｃ的延ﻫ长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝?若能，请你求出这时ＡP的长;若不能，请说明理由。ﻫ

ﻫ

针对训练:1观察下列图形，回答问题：

问题（1):若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为９,正方形Q的面积为１5，则正方形M的面积为。

问题（２）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,这三个半圆的面积之间的关系是;（用图中字母表示)ﻫ问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面

积.ﻫ

考点六勾股定理的设计问题

例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A,Ｂ,C,D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

针对训练:１如图所示,铁路上有A、B两点(看做直线上两点)相距４0千米，C、D为两村庄(看做两个点），AＤ⊥AB,BＣ垂直AB,垂足分别为Ａ、B,AD＝24千米,BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得Ｃ、Ｄ两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距Ａ点多少千米处？ﻫ

考点七勾股定理的最短路径问题

例、在底面直径为2cｍ，高为3cｍ的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为cm.(结果保留π)

针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm,2cm和1cｍ的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点Ａ处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ）A.5cm Ｂ.5。4cｍC．６。1ｃm D．7cm

ﻫ

考点八勾股定理的勾股数问题

常见的勾股数及几种通式有：

（1）（３，4, 5）, （6, 8，1０) ……3n,4n，5n (n是正整数）

(2）(5，12,1３）,（7,24,25)，( 9，40,41）……

(３）(8，15,1７)，（12，35,３7）……

(４）m2－n2,2mn,ｍ2+n2 (ｍ、n均是正整数,ｍ〉n) 简单列出一些:

课堂小测试(8分钟)

1． 一个直角三角形,有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ )

Ａ。第三边一定为10 B.三角形的周长为２4 Ｃ。三角形的面积为2４ D.第三边有可能为10

2.已知一个Ｒt △的两边长分别为3和４，则第三边长的平方是( ) A 、２5 ﻩﻩB 、１４

ﻩﻩ C 、7ﻩﻩ

D 、７或25

３.下列各组数中,以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ )

A 、a=1。5,b=2, c=3ﻩﻩＢ、a ＝7，b=24,ｃ=2５ Ｃ、a=6, b=8, ｃ=１０ D 、a ＝3,b ＝4，c=５

3.三角形的三边长为(ａ+b ）2＝c 2+2ab ，则这个三角形是( ）

A. 等边三角形； Ｂ． 钝角三角形; C 。 直角三角形; D 。 锐角三角形。 4、一个三角形的三边的长分别是３,４,5,则这个三角形最长边上的高是（ ) A.4

B.3

10 C 。25

Ｄ．

5

12 5．已知R ｔ△AB Ｃ中,∠C ＝９0°,若a+ｂ=14cm ，c=1０cm,则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、2４cm ２

B 、３6cm 2ﻩﻩ

C 、48cm ２ ﻩ

D 、60ｃm 2

6、直角三角形中,斜边长为5c ｍ,周长为１2cm,则它的面积为( )。 A.１２2

cm B ．62

cm Ｃ.8

2cm D ．92cm

7．等腰三角形底边上的高为６，周长为36,则三角形的面积为( ）