勾股定理拓展与拔高
勾股定理拔高-讲义
勾股定理 拔高训练1.如图,P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作60=∠PBQ ，且BQ=BP ，连结CQ 、PQ ，若PA ：PB ：PC=3：4：5，试判断PQC ∆的形状。
2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形，30=∠ABC ,试说明：222BC AB BD +=3.在等腰直角三角形中，AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+ （2)若BE=12,CF=5,试求DEF ∆的面积。
4。
为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形,使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
勾股定理提高训练(一）1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为（ ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．6、如图,学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．CDB第7题FEDCBA第9题BA6cm3cm 1cm第10题图CBA715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)7、如图,在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是__. 8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合,则EB 的长是( )． A ．3B ．4 CD ．510、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ．勾股定理提高训练（二）1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°2、下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12,15 B 。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习试卷简介:本测试卷共有13道题，其中5道填空题，5道解答题，3道证明题，分四个板块，板块一为回顾练习，回顾暑期学到的关于勾股定理的主要知识，相关题目为教材1、2、3题；板块二为直角三角形六大性质，勾股定理只是直角三角形六大性质之一，将直角三角形的性质一网打尽，相关题目为教材4、5、6、8题；板块三为折叠专题，此类题为中考常考题，需熟练掌握，相关题目为教材9、10、12题；板块四为勾股定理实际应用，有典型的拱桥问题，台风问题，趣味性强，相关题目为教材14、16题。
学习建议:1.题目中有关于直角三角形边的关系，就要想到用勾股定理。
2.折叠专题要注意解题套路，第一步：找准折痕；第二步：找准相等线段，相等角度；第三步：找直角三角形。
3.勾股定理实际应用要能根据题意和生活经验抽象出数学模型，然后用勾股定理相关知识解答。
一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.答案：第一种情况：当高AD在三角形内部时，如图所示，利用勾股定理求出：BD=9，CD=5，BC=14，所以周长为13+14+15=42第二种情况：当高AD在三角形外部时，如图所示，同样由勾股定理求出周长为32所以，答案为42或32解题思路：此题没有给出图形，需要自己画图，所以要分类讨论：高在内部，高在外部。
易错点：只想到第一种情况，忽略了高在外部的情况，导致少一种情况。
试题难度：三颗星知识点：三角形2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．答案：解：由于△ABC≌△CDE，所以BC=DE∵S1是以AB为边长的正方形的面积，S2是以DE为边长的正方形的面积∴S1+S2=AB2+DE2=AB2+BC2=AC2=1，同理：S3＋S4＝3，故S1＋S2＋S3＋S4＝4．解题思路：要能从图形中看出那两个三角形是全等的，利用全等后对应边相等来运用勾股定理易错点：看不出哪两个三角形是全等的关系试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.答案：解：一边上的中线等于他的一半，则他一定是一个直角三角形。
勾股定理怎么算_勾股定理常用11个公式_勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习一. 计算题(本大题共8小题，共40分)1.(本小题5分)如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为2米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？核心考点:勾股定理则 =_____.核心考点:勾股定理3.(本小题5分)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？核心考点:勾股定理轴对称的性质的最小值是？核心考点:勾股定理轴对称的性质5.(本小题5分)如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．核心考点:勾股定理旋转的性质梯形ABCD的面积．核心考点:勾股定理旋转的性质7.(本小题5分)如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.核心考点:勾股定理旋转的性质CE=4 ,求DE 的长.（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.核心考点:等腰三角形的性质勾股定理线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. （1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长核心考点:三角形三边关系勾股定理11.(本小题10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.核心考点:勾股定理旋转的性质12.(本小题10分)如图，在Rt13.(本小题10分)（2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由核心考点:旋转的性质运动变化型问题2AD=BD+CD核心考点:勾股定理旋转的性质勾股定理试题一．选择题（共10小题）1．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣52．（2016•台州）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．B．C．D．3．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2016•南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，75．（2016•达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．6．（2016•哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里7．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+18．（2015•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9．（2015•黑龙江）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．510．（2015•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣5【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长【解答】解：如图，延长BG交CH于点E在△ABG和△CDH中∴△ABG≌△CDH（SSS）AG2+BG2=AB2∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6在△ABG和△BCE中∴△ABG≌△BCE（ASA）∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2同理可得HE=2在RT△GHE中，GH===2故选：B【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键。
初中数学知识归纳勾股定理的推广与应用
初中数学知识归纳勾股定理的推广与应用勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中各边长度之间的关系。
在初中数学学习中，勾股定理是一个重要的基础知识点。
本文将对勾股定理进行推广与应用的知识进行归纳总结。
一、勾股定理的基本概念勾股定理又称毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和。
它的数学表达式为：a² + b² = c²，其中a、b 为直角边，c为斜边。
二、勾股定理的推广1. 勾股定理的逆定理逆定理指的是如果一个三角形三边的平方符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形就是直角三角形。
这是勾股定理的逆定理，通过此定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
2. 勾股定理的推广形式勾股定理还可以推广到更多的几何图形中，如四边形、五边形等。
根据勾股定理，我们可以得出四边形的对角线之间的关系以及五边形中对角线的关系，从而解决一些几何问题。
三、勾股定理的应用1. 解决直角三角形的边长问题利用勾股定理，我们可以通过已知两边求第三边的长度，或者已知两边和斜边，求其中一边的长度等。
这种应用是勾股定理最基础的应用之一。
2. 应用于解决几何图形问题除了解决三角形的边长问题外，勾股定理还可以应用于解决一些几何图形的面积、周长等问题。
例如，利用勾股定理可以求得直角三角形的面积，或者利用勾股定理的推广形式，求得四边形的面积等。
3. 应用于解决实际生活问题勾股定理在实际生活中也有很多应用，例如测量房屋的对角线长度、测量地图上两个地点之间的距离、解决船、飞机航行中的导航问题等。
勾股定理的应用帮助我们更好地理解和解决实际问题。
四、勾股定理在高中数学的拓展在高中数学中，勾股定理还有很多拓展应用，例如三角函数的推导与证明、向量和坐标系的运用等。
这些内容超出了初中的范围，在高中学习时会进一步加深对勾股定理的理解。
综上所述，初中数学中的勾股定理是一个重要的基础知识点，它的推广与应用帮助我们解决了很多几何问题。
初中数学拔高辅导(勾股定理拓展提高之动态几何)
初中数学拔高辅导（勾股定理拓展提高之动态几何）板块一：通过位置变换找勾股关系（对称变换） 教材1题：如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.教材2题：如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？教材3题：如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1,P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是？教材4题：（2010宁德市）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.解：⑴∵△ABE 是等边三角形， ∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小ABPCB小河D CCBA②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2在Rt△EFC中，∵EF²＋FC²＝EC²，（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²解得x=√2板块二：通过位置变换找勾股关系（旋转变换）教材5题：如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．（2012•盐城二模）阅读下列材料：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB的度数为135°．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；作图—复杂作图．分析：图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；（1）设法把PA、PB、PC相对集中，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，问题得以解决．（2）根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根据全等三角形的对应边、对应角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数．解答：解：如图2．∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．∴BP=BE，PC=AE，∴∠BPE=∠BEP=45°．又PA：PB：PC=1：2：3，∴AE2=AP2+PE2，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．故答案是：135°；（1）如图3，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，△APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．（2）如图3．∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，∴△PCM是等边三角形，∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°．∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，∴∠APM=60°，∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°．∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．故答案是：60°、65°、55°．在正方形ABCD中 PA=1 PB=2 PC=3 P在正方形内部试求角APB的度数三角形旋转问题：在正方形ABCD中，PA=1，PB=2，PC=3，P在正方形内部试求∠APB的度数.解：将△ABP旋转至△CBP'，△BPP'是等腰直角三角形,∠BPP'=45.△PP'C中，PP'=2√2，P'C=AP=1,PC=3,所以△PP'C是直角三角形，∠APB=∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45+90=135教材6题：如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB＝BC，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求梯形ABCD的面积．DCABEFMN 图①教材7题：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并说明理由.教材8题：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.教材9题：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：EF 2=BE 2+CF 2.教材10题：（2008天津）已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．CABE MN 图②CBBCA。
勾股定理的推广解析几何中的扩展应用
勾股定理的推广解析几何中的扩展应用勾股定理的推广与解析几何中的扩展应用勾股定理是初中数学中常见且重要的定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方和。
然而，勾股定理不仅仅局限于直角三角形，它在解析几何中有着更广泛的应用。
本文将探讨勾股定理的推广以及在解析几何中的扩展应用。
一、勾股定理的推广勾股定理最初是应用于直角三角形，即已知一个直角和两个直角边，计算另外一个直角边的长度。
然而，在实际问题中，我们常常需要求解的不仅仅是直角三角形，而是一般的三角形。
为了满足这个需求，数学家们推广了勾股定理。
1. 倒角定理倒角定理是勾股定理的一种推广，它适用于任意三角形。
倒角定理指出，在一个三角形中，任意一条边的平方等于另外两条边平方的和减去这两条边乘积的两倍。
假设一个三角形的三边分别为a、b、c，倒角定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，C为三角形的夹角C的度数。
2. 正弦定理正弦定理是勾股定理的另一种推广，它同样适用于任意三角形。
正弦定理指出，在一个三角形中，任意一条边的长度与它所对应的角度的正弦值成正比。
对于一个三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，正弦定理可以表示为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)通过倒角定理和正弦定理，我们可以推广勾股定理在一般三角形中的应用，从而解决更多的实际问题。
二、解析几何中的扩展应用除了在普通三角形中的应用，勾股定理还可以在解析几何中得到扩展应用。
1. 空间几何中的勾股定理勾股定理不仅仅适用于平面几何，还可以推广到空间几何。
在空间几何中，我们可以将三角形的顶点坐标表示为三维空间中的三个点，利用欧几里得距离公式来推导勾股定理。
设一个三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，那么根据欧几里得距离公式有：AB² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²AC² = (x3 - x1)² + (y3 - y1)² + (z3 - z1)²BC² = (x3 - x2)² + (y3 - y2)² + (z3 - z2)²如果三个顶点组成的三条边满足AB² + BC² = AC²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
勾股定理拓展提高
勾股定理拓展与提高一、基础要点回顾：1、直角三角形中，两锐角______。
反过来，在三角形中，有两个锐角______，那么这个三角形是直角三角形。
如图1，Rt △ABC 中，∠A+∠B=_____。
反过来，△ABC 中，如果∠A+∠B=______，那么△ABC 是Rt △。
2、直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的______。
反过来，直角三角形中，有一直角边等于斜边的______，那么这条直角边所对的锐角是300。
如图1，Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，则AB BC _____=。
反过来，Rt △ABC 中，∠C=900，AB BC _____=，则∠A=300。
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______。
反过来，在三角形中，如果一边上的中线等于这边的_______，那么这边所对的角是直角。
如图，Rt △ABC 中，CD 是AB 边的中线，则AB CD _____= 反过来，如果△ABC 中，CD 是AB 边的中线，且，AB CD _____=那么△ABC 是Rt △。
4、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于___________。
如图3，Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ， 那么，____________________。
5、勾股定理的逆定理：三角形中，如果两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
如图3，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，如果22c b a =+， 那么，____________________ 二、应用举例：例1、如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．3∶2 D ．2∶3变式练习1：A图1A图2A图3ABEDAC1、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm2、如图，折叠长方形的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、如图矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与B 重合，那么折叠后DE 的长和CF 的长分别是多少？例2、如图，C 是AB 上一点，BC =2AC =2 cm ，以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 与等边△BCE ，则DE 长为( )变式练习2：1、如图，四边形ABCD ，已知∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。
八年级数学上册第1章勾股定理拔高练勾股定理的应用新版北师大版
1. [2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，
正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3， 若EF ＝6，则 S1＋ S2＋ S3的值是( D )
123
因为在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10， 所以 AC ＝8， CQ ＝ AB ＝ AD ＝6. 所以 PB ＝ AC ＝ AI ＝8. 所以 IP ＝8＋6＋8＝22， DQ ＝6＋8＋6＝20. 所以长方形 KLMJ 的面积＝22×20＝440.
123
3. 【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形 ABC 中，分别以 AB ， AC 为边向外作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三 角形 ACD ，使 AE ＝ AB ， AD ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAD ＝90°，连接 BD ， CE ，请判断 BD 与 CE 的数量关系，并说明理由；
( B) A.拨：如图，延长 AB 交 KL 于 P ，延长 AC 交 LM 于 Q ， 由题意得，∠ BAC ＝∠ BPF ＝∠ FBC ＝90°， BC ＝BF ， 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°＝∠ PBF ＋∠ ABC . 所以∠ ACB ＝∠ PBF . 所以△ ABC ≌△ PFB (AAS).所以 PB ＝ AC . 同理可得△ ABC ≌△ QCG . 所以 CQ ＝ AB .
123
解： BD ＝ CE . 理由如下： 因为∠ CAD ＝∠ BAE ＝90°， 所以∠ BAD ＝∠ EAC ＝90°＋∠ BAC . 因为 AB ＝ AE ， AD ＝ AC ， 所以△ ABD ≌△ AEC (SAS). 所以 BD ＝ CE .
勾股定理的应用
详细描述
在计算机图形学中，勾股定理被用于计算两点之间的距 离，以实现图形的测量和比较。同时，勾股定理还可以 用于计算角度和面积，以实现图形的旋转、缩放和平移 等变换。此外，勾股定理在三维图形学中也被用于计算 深度和阴影等效果，以提高图形的真实感和立体感。
案例三：利用勾股定理解决物理学中的问题
总结词
THANK YOU
风险管理
在衡量投资组合的风险时，利用勾股定理可以计算投资组合的波动率， 从而更好地评估和降低投资风险。
03
估值模型
基于勾股定理的估值模型可以更准确地评估公司的价值，尤其是在考虑
公司未来的增长率和折现率时。
利用勾股定理在环境科学中的应用
地理信息系统（GIS）
在环境科学领域，勾股定理被广泛应用于地理信息系统中，以帮助 研究人员更好地了解地球表面形态、地形地貌以及植被分布等信息 。
利用勾股定理解决实际问题
01
02
03
建筑学
在建筑设计中，勾股定理 被用来确定角度、长度等 参数，以确保建筑物的稳 定性和美观。
航空航天
在航空航天领域，勾股定 理被用来计算飞行器的路 径、高度等，以确保飞行 器的安全和高效。
地理学
在地理学中，勾股定理被 用来确定两点之间的距离 、高度差等，以便更好地 了解地球的形状和大小。
空间计量经济学
空间计量经济学是研究空间自相关和空间异质性的学科，利用勾股定理可以更好地理解和 分析空间数据的结构和特征。
人类行为研究
在研究人类行为和社会现象时，利用勾股定理可以帮助解释人类行为和决策的背后逻辑， 例如人类的迁移、聚集和社会分层等现象。
05
勾股定理的应用前景 与挑战
勾股定理的应用前景
初二勾股练习题拔高
初二勾股练习题拔高勾股定理作为初中数学中的基础知识点，对于初二学生来说是非常重要的。
通过勾股定理可以解决很多与直角三角形有关的问题。
本文将提供一些拔高的初二勾股定理练习题，帮助学生更深入地理解和运用勾股定理。
1. 求斜边长已知直角三角形一直角边长为3cm，另一直角边长为4cm，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理，斜边的长度可以通过直角边长求得。
将直角边长代入勾股定理公式：斜边的长度等于直角边长的平方和的平方根。
即c = √(a² + b²)。
带入数值：c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
所以斜边的长度为5cm。
2. 求直角边长已知直角三角形的斜边长为5cm，一直角边长为3cm，求另一直角边的长度。
解析：同样根据勾股定理，直角边长可以通过已知条件求得。
将已知条件代入勾股定理公式：直角边的长度等于斜边的平方减去另一直角边的平方再求平方根。
即a = √(c² - b²)。
带入数值：a = √(5² - 3²) =√(25 - 9) = √16 = 4cm。
所以另一直角边的长度为4cm。
3. 求面积已知直角三角形的两个直角边长分别为6cm和8cm，求这个直角三角形的面积。
解析：直角三角形的面积可以通过直角边长求得。
面积公式为S =1/2 * a * b。
将直角边长代入面积公式：S = 1/2 * 6 * 8 = 24cm²。
所以这个直角三角形的面积为24cm²。
4. 求未知边长已知直角三角形的斜边长为25cm，一直角边长为7cm，求另一直角边的长度。
解析：同样根据已知条件和勾股定理，可以求得另一直角边的长度。
将已知条件代入勾股定理公式：直角边的长度等于斜边的平方减去另一直角边的平方再求平方根。
即b = √(c² - a²)。
带入数值：b = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24cm。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理) 拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练
习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级线下班第一讲的测试卷，在看卢老师的课程之前，先用这套试卷来检验一下自己，共一道题，为常考题型：拱桥问题，这里的易错点有两个，一是拱桥半径找错；二是不知如何比较
学习建议:先回顾一下教材中勾股定理这一章节的知识
一、解答题(共1道，每道100分)
1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽
2.8米，这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
答案：能通过
解题思路：解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大
∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m
在直角△OEG中
∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96
∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道
易错点：一、半径找错；二、比较完，下结论的时候出错试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。
第四讲勾股定理的应用拓展提高
第4讲 勾股定理的应用 2
也许成功属于善于记录的人，而不属于善于记忆的人。
1．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm.
变式：如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ） A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65
2、已知数
3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ．
3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，则以z y x 、、为三边的三角形是 三角形。
变式：若ABC ∆的三边长c b a 、、满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断ABC ∆的形状。
4、已知71=+x
x ，求下列各式的值： （1）221x
x +； （2）x x 1-； 5、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于
ABCD ，AE=a,AF=b,且3
2=EFGH S 正方形。
求：a b -的值。
6、如图，△ABC 中，AB=10,BC=9,AC=17，求△ABC 的面积。
7.如图，四边形ABCD 中，︒=∠60DAB ，
︒=∠=∠90D B ，BC=1，CD=2，求对角线AC 的长。
H
G F
C B。
勾股定理的推广与拓展
勾股定理的推广与拓展勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中较为著名的一个定理，它表达了一个直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和的关系。
然而，勾股定理的应用不仅仅局限于直角三角形，还可以推广到其他几何形状以及更广泛的数学问题中，拓展出多种应用和衍生定理。
一、勾股定理的基本形式在正文中，我们首先来回顾一下勾股定理的基本形式，即对于一个直角三角形，斜边的平方等于两个直角边平方之和。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长度为c，则有勾股定理的表达式：c² = a² + b²二、勾股定理的推广1. 推广到直线段上我们可以将勾股定理推广到直线段上，即任意线段a、b和c构成一个直角三角形，其中c是线段a和b的斜边。
这个定理可以用来计算两个坐标点之间的距离。
根据直线段的长度公式，我们可以得到：c = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)2. 推广到四边形和多边形勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到四边形和多边形中。
例如，对于一个平行四边形，如果它的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形就可以分割成两个直角三角形，可以使用勾股定理计算其边长和对角线长度之间的关系。
3. 推广到向量和复数在向量和复数的运算中，勾股定理同样适用。
假设有两个向量a和b，它们的长度分别是|a|和|b|，夹角为θ，则它们的和向量c的长度可以由勾股定理计算得到：|c| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)4. 推广到其他数学问题勾股定理还可以应用于其他数学问题，如概率统计、最优化等领域。
例如，在概率统计中，可以利用勾股定理计算两个随机变量之间的相关系数，从而分析它们之间的关联程度。
在最优化问题中，可以使用勾股定理判断一个多维空间中的点是否为最优解。
三、勾股定理的拓展1. 勾股定理的逆定理除了勾股定理本身外，还存在一个与之相对应的逆定理，即如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理在空间几何中的扩展
勾股定理在空间几何中的扩展勾股定理是初中数学中最为基础和重要的定理之一，它描述了直角三角形三个边长之间的关系。
然而，勾股定理并不仅局限于二维平面几何，它在空间几何中也有着重要的应用和扩展。
本文将介绍勾股定理在空间几何中的应用和扩展，探索勾股定理的新境界。
一、勾股定理在三维空间中的应用在平面几何中，勾股定理可以用来计算任意两个边已知的直角三角形的第三边的长度。
而在空间几何中，勾股定理同样适用于求解空间中的直角三角形。
空间中的直角三角形是指在三维空间中的三个线段相互垂直的三角形。
空间中的勾股定理可以表述为：对于直角三角形，斜边的平方等于其他两个边的平方之和。
即在三维空间中，勾股定理仍然成立。
勾股定理在空间中的应用非常广泛。
比如，在建筑工程中，我们常常需要计算三维空间中的距离、角度和斜率等。
勾股定理可以帮助我们精确地计算和测量。
此外，在航空航天领域中，勾股定理也被广泛应用于导航、飞行轨迹规划等方面。
二、勾股定理的空间扩展除了在三维空间中的应用，勾股定理还可以进一步扩展到更高维度的空间。
在数学中，空间维度表示一个空间的坐标轴数目。
二维空间具有两个坐标轴，三维空间具有三个坐标轴，而高维空间则有更多的坐标轴。
在高维空间中，勾股定理的应用同样重要。
不过，勾股定理的具体表达形式会有所不同。
在二维平面中，勾股定理可表示为a² + b² = c²，而在三维空间中，勾股定理可表示为a² + b² + c² = d²。
其中，d表示斜边的长度。
三、勾股定理的应用案例1. 在四维空间中，勾股定理可表示为a² + b² + c² + d² = e²。
这个定理在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述四维时空中的物理现象时，如爱因斯坦的相对论。
2. 在五维空间中，勾股定理可表示为a² + b² + c² + d² + e² = f²。
创新思维之勾股定理拓展——数学勾股定理创新教案
创新思维之勾股定理拓展——数学勾股定理创新教案数学勾股定理创新教案作为数学中的经典定理之一，勾股定理一直以来都受到人们的关注和研究。
而在现代社会中，创新思维也越来越被重视，因为它不仅可以帮助我们更好地解决问题，还能带来更多的创新思路和方式。
本文将着重讲述如何通过创新思维来拓展勾股定理，并提出一份创新教案，以帮助学生更好地掌握数学知识、拓展思维方式。
一、勾股定理简介勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。
具体而言，就是“直角三角形中，斜边平方等于直角边两边平方和”。
勾股定理被广泛应用于各个领域，在数学中尤为重要，它被认为是中学学的基础。
因此，在教学过程中，老师需要认真授课，并让学生掌握这个定理。
二、勾股定理的拓展在教学过程中，对于勾股定理的拓展，我们首先需要考虑的是它的应用。
勾股定理的应用非常广泛，比如对于斜率的求解和空间坐标系的计算等等。
因此，我们可以对其应用进行拓展。
1.勾股定理求解斜率对于勾股定理，我们可以通过它来求解斜率。
在以直角三角形的一条直角边为x轴，另一条直角边为y轴，斜边为一条直线的情况下，我们可以得到下面这条公式：斜率= 直角边 y / 直角边 x = a / b据此，我们也可以将勾股定理中的 a 和 b 认为是直角边，将 c 认为是斜线，这样我们便可以用勾股定理来解决斜率问题了。
2.勾股定理求解平均数在勾股定理的基础上，我们还可以利用它来求解平均数。
在直角三角形中，我们可以得到如下公式：( a + b + c ) / 3 = ( a^2 + b^2 + c^2 ) / ( 2a + 2b + 2c )根据勾股定理，可得：c^2 = a^2 + b^2带入公式，可得出：( a + b + sqrt( a^2 + b^2 ) ) / 3 = ( a^2 + b^2 + a^2 +b^2 ) / ( 2a + 2b + 2sqrt( a^2 + b^2 ) )简化上述式子可得：( 2ab + 2sqrt( a^2 + b^2 ) ) / ( 3(a+b) )根据此公式，我们也可以利用勾股定理来求解平均数，进一步拓宽了它的应用范围。
高考数学中的勾股定理及其扩展应用
高考数学中的勾股定理及其扩展应用在数学领域中，勾股定理是最为著名的定理之一。
这个定理也被称作毕达哥拉斯定理，在数学教育中被广泛地使用。
在高中数学中，勾股定理是必学的知识之一。
这篇文章将探讨高考数学中的勾股定理及其扩展应用。
勾股定理的基本原理是什么？勾股定理是一个简单而又经典的数学定理，它是数学中三角函数、几何和代数的基础，被广泛应用于实际问题的解决中。
从根本上来说，勾股定理表明了三角形中三条边与其对应角之间的关系。
在具体的数学表达式上，勾股定理可以被描述为：$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $其中a、b、c是表示直角三角形的三条边长的变量，c表示斜边的长度。
勾股定理如何应用于高考数学？在高考数学中，勾股定理是必须学习掌握的知识之一。
首先，它是基于三角形基础定理中最重要的一条，这个基础定理也是高中数学学习的核心。
除此之外，勾股定理还被用于测量和计算几何的问题。
例如，如果数学家需要测量一座房屋的高度，可以利用勾股定理在地上和房屋之间建立一个直角三角形。
另外，对于计算几何学生来说，勾股定理还将被用于寻找平行线、点到直线的距离以及验证等等问题。
勾股定理在数学领域的更广泛应用尽管勾股定理经常被用于高考数学和实际问题的解决中，还有一些更深入的应用。
例如，勾股定理可以用于证明多个数学问题，如以下两个例子：1. 三角形的相似性质三角形是代数和几何学的基础。
勾股定理的应用可以帮助学生证明三角形相似的定理。
例如，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
勾股定理可以帮助用于证明这个乘法的等式。
2. 圆的特性勾股定理也可以被用于研究圆的特性。
圆可以被认为是一种非常特殊的三角形，其中两个半径相等的边缘形成一个直角。
因此勾股定理可以被应用于获得圆的特性及推导式子。
总结：勾股定理是高中数学学习中的重点，但它也有广泛的应用于实际问题的解决中和数学领域的其他学科中。
当然，学习这个定理需要一定的时间和精力，但掌握它可以引领学生开发更深层次数学问题的解决技巧。
“高中数学课件：勾股定理的运用与拓展”
勾股定理的公式及证明
勾股定理的公式为：a²+ b²= c²。它可以通过几何证明或代数证明得到，有多 种不同的证明方法可以选择。
勾股定理的直角三角形判定法
除了计算三角形的边长，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三 角形。如果满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。
勾股定理在解决实际问题ห้องสมุดไป่ตู้的 应用
高中数学课件：勾股定理的运 用与拓展
从勾股定理的定义出发，深入探讨其公式、证明和应用，还会介绍拓展和改 进后的版本，以及在各个学科中的运用。
什么是勾股定理
勾股定理是数学中一个重要的几何定理，描述了直角三角形中三条边之间的关系。它有很多实际应用，被广泛 应用于多个学科领域。
勾股定理的历史背景
勾股定理最早可以追溯到古代巴比伦数学，但古希腊数学家毕达哥拉斯则首 次证明了该定理。他成立了著名的毕达哥拉斯学派，对数学的发展起到了重 要作用。
勾股定理广泛应用于解决实际问题，例如在测量、建筑、导航等领域。通过 运用勾股定理，我们可以计算距离、角度和高度等。
三角形面积公式的推导
通过勾股定理，我们可以推导出计算三角形面积的公式：面积 = 底边 × 高， 其中底边和高可以通过勾股定理的边长求得。
直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线定理是一个基于勾股定理的几何定理。它描述了直角三 角形斜边的中线与斜边两边的关系。
勾股定理拓展与拔高
勾股定理拓展与拔高勾股定理的应用及拓展勾股定理是直角三角形的重要性质之一，表达了直角三角形三边之间的关系，常用于计算。
具体应用包括：已知两边求第三边，已知一边和另两边的关系求另两边，以及证明线段平方关系的问题。
此外，满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数，例如3、4、5和5、12、13等。
判定一个三角形是直角三角形的方法是先确定最大边，验证是否满足勾股定理，若满足则是直角三角形，否则不是。
在具体问题中，勾股定理的应用也是多种多样的。
例如，可以利用勾股定理证明一个三角形是直角三角形，如在正方形ABCD中，若F为DC的中点，E为BC上一点且EC=4BC，则可以证明∠EFA=90°。
又如，在等腰△ABC中，若底边BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12，则可以利用勾股定理的逆定理计算△ABC的周长。
此外，勾股定理还可以应用于折叠问题，如在矩形ABCD中，若AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△XXX沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则可以求出CE的长度。
最后，勾股定理还可以应用于卡车通过大门问题。
若卡车宽度为w，高度为h，大门宽度为a，高度为b，且a≥w、b≥h，则卡车能通过大门的条件为a²+b²≥w²+h²。
某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。
现有一辆装满货物的大卡车，高2.5m，宽1.6m。
猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由。
这是一道几何应用题，需要用到勾股定理。
首先需要算出卡车的斜边长，即$\sqrt{2.5^2+1.6^2}\approx2.96m$。
由于门的宽度是2m，因此只需要判断卡车的高度是否小于门的高度即可。
由于2.5m小于半圆的直径，因此卡车能通过厂门。
如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10cm，宽为4cm。
八年级数学-勾股定理的证明及拓展
八年级数学勾股定理的证明及其延伸1. 说明勾股定理是数学中一个重要知识。
虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。
所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。
本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。
2. 勾股定理的证明命题：在直角三角形中，a 、b 为直角边长，c 为斜边边长，则有222c b a =+。
勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。
如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a 、b 为直角边长，c 为斜边边长）拼出2个图形： 图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b ），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方形面积减去4个红色三角形的面积）。
而左边图形中白色部分的面积是22b a +，右边图形中白色部分的面积是2c ，所以222c b a =+。
3. 圆与三角形在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。
如图3，以BC 为直径做圆，圆心为BC 的中点O 。
在圆上任取一点A ，则三角形ABC 为直角三角形，其中∠A=90°。
如图4，同样做圆。
如果A 点在圆外，则∠A 为锐角。
可以这样来证明：连接AO ，和圆交与点D 。
容易得到∠BAC<∠BDC ，而∠BDC=90°，故∠A<90°。
如图5，同样做圆。
如果A 点在圆内，则∠A 为钝角。
可以这样来证明：连接OA ，并延长和圆交与点D 。
容易得到∠BAC>∠BDC ，而∠BDC=90°，故∠A>90°。
综合起来，我们可以得到如下命题：命题：在三角形ABC 中，以BC 为直径、BC 的中心点为圆心做圆，如果A 在圆上，则∠A=90°；如果A 在圆外，则∠A<90°；如果A 在圆内，则∠A>90°。
勾股定理高级
勾股定理高级勾股定理是初等数学中的一条重要定理，也是平面几何中的基础知识之一。
它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并以他的名字命名。
勾股定理应用广泛，可以解决各种三角形的边长和角度问题。
然而，作为一个高级数学定理，勾股定理还有许多更深入的应用和演绎。
1. 勾股定理的表述与证明勾股定理可以表述为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方之和。
即对于一个直角三角形，设直角边a和b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
证明勾股定理的方法有多种，最常见的是几何证明和代数证明。
几何证明基于几何图形的性质和关系，而代数证明则通过代数运算来推导出结论。
无论采用哪种证明方法，勾股定理的正确性都能得到证实。
2. 勾股定理的应用勾股定理在解决三角形问题时非常有用。
通过已知的两条边求解第三条边，或者利用斜边和某个角度求解其他边长，都可以借助勾股定理来实现。
此外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的应用不仅仅局限于三角形，它还可以推广到平面几何和立体几何中。
在平面几何中，可以通过勾股定理计算两点之间的距离；在立体几何中，勾股定理可以帮助计算空间中的距离、角度和体积等。
3. 勾股定理的拓展与推广勾股定理在数学发展史上有着重要的地位，它不仅是数学中的基本定理，还是许多其他数学理论的基础。
勾股定理的拓展与推广主要体现在以下几个方面：3.1 三元数学在勾股定理的基础上，可以引入三元组的概念，即数学中的三个有序数组合。
三元数学研究勾股定理的拓展，尤其关注满足勾股定理的三元组的特点、性质和应用。
3.2 勾股数与勾股数列勾股数是指满足勾股定理的正整数解，例如3、4、5就是一个勾股数。
勾股数列则是指满足勾股定理的正整数解所构成的数列，例如3、4、5；5、12、13等。
研究勾股数和勾股数列有助于深入理解勾股定理的数学本质。
3.3 范围推广勾股定理最初是针对直角三角形而言的，但随着数学的发展，人们发现勾股定理在非直角三角形和其他几何形状中也有应用价值。
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勾股定理拓展与拔尖二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有:（１）已知直角三角形的两边求第三边(２)已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 (3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边(如ｃ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠Ｃ为直角的直角三角形;若2c ≠22b a + 则△AB Ｃ不是直角三角形。
3. 勾股数: 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数如(1)３，４，５； (2)5，1２，１3； (3）6，８，１０;(4）8,15,17 （5）７,24,25 （6）9， 40, ４1三.典型题剖析:针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形ＡB ＣD 中,F 为ＤC 的中点,E 为BC 上一点,且EC=41BC,求证:ÐEFA=90°。
针对训练:1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别是a 、ｂ、c,满足a 2+b 2+c 2+3３8=10a ＋２4b+2６ｃ.试判断△A ＢC 的形状．考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△A ＢＣ中，底边BC =２０,D 为ＡB 上一点,CD ＝16，BD ＝12,求△AB Ｃ的周长.针对训练:1、.已知：如图,四边形ＡBCD ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC=6,CD=5，AD=3．求:四边形A ＢＣD 的面积．考点三 勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形AB ＣD 中,AB=３，ＢC=5,在CD 上任取一点E ，连接B Ｅ,将△BC Ｅ沿BE 折叠,使点E 恰好落在AD 边上的点Ｆ处，则CE 的长为 .AB DCFE针对训练：1、如图,在矩形ABCD中,ＢC=6,ＣD=3,将△BCＤ沿对角线BＤ翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点Ｅ，则线段DE的长为( )A．３B．Ｃ.5 Ｄ.考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形,上部是以AB为直径的半圆,其中AD＝２。
3 m,AB=2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2．５m,宽1。
６m,试猜想这辆大卡车能否通过厂门?请说明理由.考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ＡBCD,长为10㎝,宽为4㎝,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点Ｐ落在AＤ边上(不与A、Ｄ重合)并在AD上平行移动:ﻫ①能否使你的三角板两直角边分别通过点Ｂ与点Ｃ?若能,请你求出这时AＰ的长;若不能,请说明理由。
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在ＡＤ上移动，直角边PＨ始终通过点B，另一直角边PF与D Ｃ的延ﻫ长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝?若能，请你求出这时ＡP的长;若不能，请说明理由。
ﻫﻫ针对训练:1观察下列图形，回答问题：问题（1):若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为９,正方形Q的面积为１5，则正方形M的面积为。
问题（２）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,这三个半圆的面积之间的关系是;（用图中字母表示)ﻫ问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.ﻫ考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A,Ｂ,C,D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.针对训练:１如图所示,铁路上有A、B两点(看做直线上两点)相距４0千米，C、D为两村庄(看做两个点），AＤ⊥AB,BＣ垂直AB,垂足分别为Ａ、B,AD＝24千米,BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得Ｃ、Ｄ两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距Ａ点多少千米处？ﻫ考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cｍ，高为3cｍ的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为cm.(结果保留π)针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm,2cm和1cｍ的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点Ａ处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ）A.5cm Ｂ.5。
4cｍC．６。
1ｃm D．7cmﻫ考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：（1）（３，4, 5）, （6, 8，1０) ……3n,4n，5n (n是正整数）(2）(5，12,1３）,（7,24,25)，( 9，40,41）……(３）(8，15,1７)，（12，35,３7）……(４）m2－n2,2mn,ｍ2+n2 (ｍ、n均是正整数,ｍ〉n) 简单列出一些:课堂小测试(8分钟)1． 一个直角三角形,有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ )Ａ。
第三边一定为10 B.三角形的周长为２4 Ｃ。
三角形的面积为2４ D.第三边有可能为102.已知一个Ｒt △的两边长分别为3和４，则第三边长的平方是( ) A 、２5 ﻩﻩB 、１４ﻩﻩ C 、7ﻩﻩD 、７或25３.下列各组数中,以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ )A 、a=1。
5,b=2, c=3ﻩﻩＢ、a ＝7，b=24,ｃ=2５ Ｃ、a=6, b=8, ｃ=１０ D 、a ＝3,b ＝4，c=５3.三角形的三边长为(ａ+b ）2＝c 2+2ab ，则这个三角形是( ）A. 等边三角形； Ｂ． 钝角三角形; C 。
直角三角形; D 。
锐角三角形。
4、一个三角形的三边的长分别是３,４,5,则这个三角形最长边上的高是（ ) A.4B.310 C 。
25Ｄ．512 5．已知R ｔ△AB Ｃ中,∠C ＝９0°,若a+ｂ=14cm ，c=1０cm,则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、2４cm ２B 、３6cm 2ﻩﻩC 、48cm ２ ﻩD 、60ｃm 26、直角三角形中,斜边长为5c ｍ,周长为１2cm,则它的面积为( )。
A.１２2cm B ．62cm Ｃ.82cm D ．92cm7．等腰三角形底边上的高为６，周长为36,则三角形的面积为( ）A、５6ﻩﻩB、48 ﻩC、40ﻩﻩD、328.Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数,则Ｒt△的周长为（）A、121B、120 ﻩＣ、90 Ｄ、不能确定9.已知,如图，一轮船以１6海里／时的速度从港口Ａ出发向东北方向航行，另一轮船以12海里／时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )A、２５海里ﻩB、３0海里ﻩC、3５海里Ｄ、40海里１0。
放学以后，小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用１５分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( ).A、60０米Ｂ、800米Ｃ、１０0０米D、不能确定勾股定理独立作业(20分钟）1．下列各组数据中,可以构成直角三角形的是( )A．１３、16、１9 B．17、21、2３ C.１8、24、36 Ｄ．１2、３5、37２．有长度为9cm、１2cm、15cｍ、36cm、３９ｃm的五根木棒,可搭成(首尾连接）直角三角形的个数为( )A．1个 B.2个C．３个D．4个3．在△ABC中,AB＝12cm，ＢC=16cｍ，AC=２０cm,则S△ABＣ为( ）A.9６ｃm2 Ｂ．１2０cm２ C.1６0 ｃm２ D.200 cm24.若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ）A．１︰2︰4 B.1︰３︰5 Ｃ．３︰4︰７Ｄ．5︰12︰135.若直角三角形的两直角边的长分别是10ｃｍ、24cｍ,则斜边上的高为( )A．６cｍ B.17ｃm C．24013cm D．12013cm6．有下面的判断：①△ABＣ中，222a b c+≠，则△ＡBC不是直角三角形。
②△ＡBC是直角三角形,∠Ｃ＝9０°,则222a b c+=。
③若△ABC中,222a b c-=,则△ABC是直角三角形。
④若△ＡＢC是直角三角形，则2a b a b c（+）(-)=。
以上判断正确的有（ ）A.4个 Ｂ.3个 C.2个 D ．１个7．Ｒｔ△ABC 的两边长分别是3和４，若一个正方形的边长是△ABC 的第三边,则这个正方形的面积是( )A.２5B.7C.12 Ｄ．2５或７ 8.一个三角形的三边之比是３︰4︰5,则这个三角形三边上的高之比是( ) A ．２0︰1５︰1２ B ．３︰4︰5 Ｃ．5︰4︰3D.1０︰8︰2 9.在△ABC 中，如ＡＢ=2BC,且∠B ＝2∠A ，则△AB Ｃ是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 Ｄ．不能确定１0.如图是一个边长为6０ｃｍ的立方体A ＢC Ｄ-EFGH ，一只甲虫在菱EF 上且距F 点1０ｃm 的Ｐ处,它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是（ ）Ａ.13０ B.10157C.97D.不确定11.若△ＡBC 中，∠Ａ=2∠B ＝3∠C ，则此三角形的形状为( ） A ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 C ．钝角三角形 D.无法确定12．如图，△A ＢC 中，∠C=9０°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E,下面等式错误的是( )Ａ．222AC +DC =ADB.222AD DE AE -=C.222AD =DE +ACD ．2221BD BE BC 4-=。