通项公式的求法

通项公式的求法

类型（1） 1()n n a a f n +=+ 累差法 例1 已知111,2,n

n n a a a n +==++求n a

(1)

212

n n n n a -=-- 类型（2）

1()n n

a f n a += 累商法 ()f n 是可求积的数列的形式 例2 已知112

1,

,n n

a n a a n

++==

求n a 1

(1)2

n a n n =

+ 类型（3）1,(1,,)n n a ca d c c d +=+ 是常数 构造{}n a x +是公比为c 的等比数列 即 1()n n a x c a x ++=+ 解得1

d

x c =

-。 例3已知111

1,3,2

n n a a a +==

+求n a 解：由113,2

n n a a +=

+，得11

6(6),2n n a a +-=-令6,n n b a =-

则11,2n n b b +=

{}n b \是等比数列，其首项1165,b a =-=-公比为1

,2

115()2n n b -\=- ，即11

65()2n n a --=-

11

65()2

n n a -\=-

类型（4）1,(1,0,,,)n n a A a Bn C A B

A B C +=++构是常数，构造{}n a sn t ++是公比为A 的等比数列，即

1(1)()n n a s n t A a sn t ++++=++ 对比系数可得

A s s

B A t t s

C ìï-=ïíï--=ïî

可解出,s t 例4 11

3

,32,2n n a a a n +=

=+求n a .

解：由132n n a a n +=+，得111(1)3()22

n n a n a n ++++

=++ 令1

2

n n b a n =++

， 则13,n n b b += {}n b \是等比数列，其首项13,b =公比为3, 3n n b \=，即132

n n a n =--

例5：111,2,n n a a a n +=-+=求n a .

解：法一：由12n n a a n ++=，得111(1)()22

n n a n a n +--+

=--+ 令12n n b a n =-+

， 则1,n n b b +=- {}n b \是等比数列，其首项13

,2

b =-公比为1,- 3(1)2n

n b \=- 即13

(1)22

n n a n =-+- 法二：由12n n a a n ++=，得212(1)n n a a n +++=+

故22n n a a +-=，所以该数列的奇数项和偶数项为等差数列，且23,a =

*21

*

223,21,k k

a k k N a k k N -ìï=- ï\íï=+ ïïî 注 ：q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =⋅+1

解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。 例：（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111，求n a （II ）在数列}{n a 中，n

n n a a a 3,111==+，求n a

类型（5）n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中n

n

n q

a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=

+再待定系数法解决。

例6 651=a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2

211+∙=∙++n n n n a a

令n n

n a b ∙=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3

2(23-=

所以n

n n

n n b a )31(2)21(32

-==

类型（6）1n

n n a pa q r +=++（其中p ，q, r 均为常数，((1)(1)0)rpq p q -- ） 构造{}n

n a A q B ++，是公比为p 的等比数列，即1

1()n n n n a A q

B p a A q B ++++=++ 对比系数可得

1A p A q pB B r ìï-=ïíï-=ïî

可解出,A B

例7 112

a =

,1321n

n n a a +=++，求n a 。 解：由1321n

n n a a +=++ 可得 1

111

2

3(2)22

n n n n a a ++++=++ 令1

22

n

n n b a =++

， 则13,n n b b += {}n b \是等比数列，其首项13,b =公比为3, 3n n b \= 即1322

n n n a =-- 类型（7）)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例8 12a =,13n n n a a a +=

+，求n a 。

解：两边取倒数可得

1

313

1n n n

n a a a a ++=

=

+ 令1n n

b a = 则 131n n b b +=+ 于是1113()22n n b b ++

=+，即1

{}2

n b +是首项为1，公比为3的等比数列。 11

32

n n b -+

= 所以1111

1322

n n n a b -==

--

类型（8） r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。