通项公式的求法

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

通项公式的求法

类型(1) 1()n n a a f n +=+ 累差法 例1 已知111,2,n

n n a a a n +==++求n a

(1)

212

n n n n a -=-- 类型(2)

1()n n

a f n a += 累商法 ()f n 是可求积的数列的形式 例2 已知112

1,

,n n

a n a a n

++==

求n a 1

(1)2

n a n n =

+ 类型(3)1,(1,,)n n a ca d c c d +=+ 是常数 构造{}n a x +是公比为c 的等比数列 即 1()n n a x c a x ++=+ 解得1

d

x c =

-。 例3已知111

1,3,2

n n a a a +==

+求n a 解:由113,2

n n a a +=

+,得11

6(6),2n n a a +-=-令6,n n b a =-

则11,2n n b b +=

{}n b \是等比数列,其首项1165,b a =-=-公比为1

,2

115()2n n b -\=- ,即11

65()2n n a --=-

11

65()2

n n a -\=-

类型(4)1,(1,0,,,)n n a A a Bn C A B

A B C +=++构是常数,构造{}n a sn t ++是公比为A 的等比数列,即

1(1)()n n a s n t A a sn t ++++=++ 对比系数可得

A s s

B A t t s

C ìï-=ïíï--=ïî

可解出,s t 例4 11

3

,32,2n n a a a n +=

=+求n a .

解:由132n n a a n +=+,得111(1)3()22

n n a n a n ++++

=++ 令1

2

n n b a n =++

, 则13,n n b b += {}n b \是等比数列,其首项13,b =公比为3, 3n n b \=,即132

n n a n =--

例5:111,2,n n a a a n +=-+=求n a .

解:法一:由12n n a a n ++=,得111(1)()22

n n a n a n +--+

=--+ 令12n n b a n =-+

, 则1,n n b b +=- {}n b \是等比数列,其首项13

,2

b =-公比为1,- 3(1)2n

n b \=- 即13

(1)22

n n a n =-+- 法二:由12n n a a n ++=,得212(1)n n a a n +++=+

故22n n a a +-=,所以该数列的奇数项和偶数项为等差数列,且23,a =

*21

*

223,21,k k

a k k N a k k N -ìï=- ï\íï=+ ïïî 注 :q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =⋅+1

解法:这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。 例:(I )在数列}{n a 中,n n a n a a -==+6,111,求n a (II )在数列}{n a 中,n

n n a a a 3,111==+,求n a

类型(5)n

n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1

+n q

,得:

q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b (其中n

n

n q

a b =),得:q

b q p b n n 1

1+=

+再待定系数法解决。

例6 651=a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3

2

211+∙=∙++n n n n a a

令n n

n a b ∙=2,则1321+=+n n b b ,解之得:n n b )3

2(23-=

所以n

n n

n n b a )31(2)21(32

-==

类型(6)1n

n n a pa q r +=++(其中p ,q, r 均为常数,((1)(1)0)rpq p q -- ) 构造{}n

n a A q B ++,是公比为p 的等比数列,即1

1()n n n n a A q

B p a A q B ++++=++ 对比系数可得

1A p A q pB B r ìï-=ïíï-=ïî

可解出,A B

例7 112

a =

,1321n

n n a a +=++,求n a 。 解:由1321n

n n a a +=++ 可得 1

111

2

3(2)22

n n n n a a ++++=++ 令1

22

n

n n b a =++

, 则13,n n b b += {}n b \是等比数列,其首项13,b =公比为3, 3n n b \= 即1322

n n n a =-- 类型(7))

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例8 12a =,13n n n a a a +=

+,求n a 。

解:两边取倒数可得

1

313

1n n n

n a a a a ++=

=

+ 令1n n

b a = 则 131n n b b +=+ 于是1113()22n n b b ++

=+,即1

{}2

n b +是首项为1,公比为3的等比数列。 11

32

n n b -+

= 所以1111

1322

n n n a b -==

--

类型(8) r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解。

相关文档
最新文档