通项公式的求法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
通项公式的求法
类型(1) 1()n n a a f n +=+ 累差法 例1 已知111,2,n
n n a a a n +==++求n a
(1)
212
n n n n a -=-- 类型(2)
1()n n
a f n a += 累商法 ()f n 是可求积的数列的形式 例2 已知112
1,
,n n
a n a a n
++==
求n a 1
(1)2
n a n n =
+ 类型(3)1,(1,,)n n a ca d c c d +=+ 是常数 构造{}n a x +是公比为c 的等比数列 即 1()n n a x c a x ++=+ 解得1
d
x c =
-。 例3已知111
1,3,2
n n a a a +==
+求n a 解:由113,2
n n a a +=
+,得11
6(6),2n n a a +-=-令6,n n b a =-
则11,2n n b b +=
{}n b \是等比数列,其首项1165,b a =-=-公比为1
,2
115()2n n b -\=- ,即11
65()2n n a --=-
11
65()2
n n a -\=-
类型(4)1,(1,0,,,)n n a A a Bn C A B
A B C +=++构是常数,构造{}n a sn t ++是公比为A 的等比数列,即
1(1)()n n a s n t A a sn t ++++=++ 对比系数可得
A s s
B A t t s
C ìï-=ïíï--=ïî
可解出,s t 例4 11
3
,32,2n n a a a n +=
=+求n a .
解:由132n n a a n +=+,得111(1)3()22
n n a n a n ++++
=++ 令1
2
n n b a n =++
, 则13,n n b b += {}n b \是等比数列,其首项13,b =公比为3, 3n n b \=,即132
n n a n =--
例5:111,2,n n a a a n +=-+=求n a .
解:法一:由12n n a a n ++=,得111(1)()22
n n a n a n +--+
=--+ 令12n n b a n =-+
, 则1,n n b b +=- {}n b \是等比数列,其首项13
,2
b =-公比为1,- 3(1)2n
n b \=- 即13
(1)22
n n a n =-+- 法二:由12n n a a n ++=,得212(1)n n a a n +++=+
故22n n a a +-=,所以该数列的奇数项和偶数项为等差数列,且23,a =
*21
*
223,21,k k
a k k N a k k N -ìï=- ï\íï=+ ïïî 注 :q pn a a n n +=++1或n
n n pq a a =⋅+1
解法:这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。 例:(I )在数列}{n a 中,n n a n a a -==+6,111,求n a (II )在数列}{n a 中,n
n n a a a 3,111==+,求n a
类型(5)n
n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1
+n q
,得:
q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b (其中n
n
n q
a b =),得:q
b q p b n n 1
1+=
+再待定系数法解决。
例6 651=a ,11)2
1
(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3
2
211+∙=∙++n n n n a a
令n n
n a b ∙=2,则1321+=+n n b b ,解之得:n n b )3
2(23-=
所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-==
类型(6)1n
n n a pa q r +=++(其中p ,q, r 均为常数,((1)(1)0)rpq p q -- ) 构造{}n
n a A q B ++,是公比为p 的等比数列,即1
1()n n n n a A q
B p a A q B ++++=++ 对比系数可得
1A p A q pB B r ìï-=ïíï-=ïî
可解出,A B
例7 112
a =
,1321n
n n a a +=++,求n a 。 解:由1321n
n n a a +=++ 可得 1
111
2
3(2)22
n n n n a a ++++=++ 令1
22
n
n n b a =++
, 则13,n n b b += {}n b \是等比数列,其首项13,b =公比为3, 3n n b \= 即1322
n n n a =-- 类型(7))
()()(1n h a n g a n f a n n
n +=
+
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例8 12a =,13n n n a a a +=
+,求n a 。
解:两边取倒数可得
1
313
1n n n
n a a a a ++=
=
+ 令1n n
b a = 则 131n n b b +=+ 于是1113()22n n b b ++
=+,即1
{}2
n b +是首项为1,公比为3的等比数列。 11
32
n n b -+
= 所以1111
1322
n n n a b -==
--
类型(8) r
n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解。