函数的切线方程新课标历高考题专题训练(及答案)

合集下载

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练及谜底

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练
1、（2007 年文 10）曲线 y ex 在点 (2， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
）
Ａ． 9 e2 4
Ｂ． 2e2
1x
2、（2007 年理 10）曲线 y e2 在点 (4，
）
Ａ． 9 e2 2
Ｂ． 4e2
Ｃ． e2
Ｃ． 2e2
形面积为定值，并求此定值。
4、（2009 年文 13）曲线 y xex 2x 1 在点（0,1）处的切线方程为
5、（2010 文 4）曲线 y x2 2x 1 在点（1,0）处的切线方程为
（A） y x 1
（B） y x 1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

专题3-1 切线、公切线及切线法应用-(原卷版)

专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................................................................... 1 【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................................................................... 2 【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................................................................... 2 【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 .............................................................................................. 3 【题型三】“过点”切线1 ......................................................................................................................... 4 【题型四】“过点”切线2：切线条数...................................................................................................... 5 【题型五】“过点”切线3：最值与范围 .................................................................................................. 5 【题型六】双函数公切线 .......................................................................................................................... 5 【题型七】三角函数的切线 ...................................................................................................................... 6 【题型八】切线与倾斜角 .......................................................................................................................... 7 【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 ...................................................................... 7 【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 ...................................................................... 8 【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 ...................................................................... 9 【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 ...................................................................... 9 【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 .................................................... 10 【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 .................................................................... 11 【题型十五】综合应用 ............................................................................................................................ 11 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟检测 .. (13)【题型一】“在点”切线1：有切点【典例分析】已知函数1()(3)e ln x f x ax x x -=++（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,(1))f 处的切线的斜率为8，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．31.已知函数2()2(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（） A ．680x y --= B ．680x y -+= C ．680x y ++= D ．680x y +-=2.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（） A ．1 B ．1- C ．3- D ．33.已知函数()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为（） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．5【题型二】“在点”切线2：无切点【典例分析】已知四条直线1:l y x =，2:32l y x =-，3:32l y x =+，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式演练】1.以下曲线与直线e e y x =-相切的是（） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =2.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型三】“在点”切线3：双参型【典例分析】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值为（） A ．2 B ．4C ．5D ．6【变式演练】1.若曲线3y x ax =+在点(1,(1))f 处的切线方程为6y x m =-，则m =（） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-2.已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（）A ．1-B ．0C ．12- D ．1【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数2(2),0()3(),0f x x x f xg x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【变式演练】1.已知函数()()ln 1,0,0x x f x kx x ⎧+>=⎨≤⎩，曲线()y f x =与直线1ln 222x y =-+有且仅有一个交点，则实数k 的取值范围为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3.已知函数2,0()1,0x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A B ､，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是___________.【题型三】“过点”切线1【典例分析】设01x >，曲线()ln 32f x a x x a =-+在点()0,0P x 处的切线经过点()0,2e ，则0a x +=（） A ．eBCD ．2e【变式演练】1.写出a 的一个值，使得直线0x ay a +-=是曲线sin xy x=的切线，则a =______.2.已知直线(R)y ax a =∈与曲线ln y x =相交于两点，则a 的取值范围是___________3.函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(),s t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln s t >B ．ln s t <C ．ln t s <D ．ln t s >【变式演练】1.已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭2.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <3.过点()0,b 作曲线e x y =的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数()e xf x b =+的一条切线为y ax a =+，则ab 的最小值为（）A ．12e- B ．C ．12eD【变式演练】1.已知曲线()|ln |f x x =在点()()11,x f x 与()()22,x f x 处的切线互相垂直且相交于点()00,P x y ，则（） A ．121x x ⋅=-B ．12⋅=x x eC ．1202x x x +=D ．0122=+x x x2.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．3.过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（） A ．01t <的图象与函数()e xg x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（）A ．1e B ．2e C ．1e 或D ．1e 或【变式演练】1.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（）A ．e 2B ．eCD ．2e2.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（） A ．2 B ．4 C ．2e D ．2e -3.．若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（）A ．78+1ln22B ．78-1ln22C ．12+1ln22D ．121ln22-【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数()2cos 2sin f x x x x =-在πx =处的切线在y 轴上的截距为（）A ．2π2π-B ．2πC ．2π2-D ．22ππ22π--【变式演练】1.设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（）A ．3B ．2C ．1D ．122.过曲线cos y x =上一点1,32P π⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（）A ．2203x π-=B ．212032x y π+--=C．2203x π-= D ．212032x y π--+=3.已知函数()3sin 4cos f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．34y x =- B ．0y = C ．4y =- D ．43y x =-+【题型八】切线与倾斜角【典例分析】设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【变式演练】1.函数()2ln 1sin y x x=++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310B ．±310C ．35D ．±352.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（） A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.已知M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离【典例分析】已知111ln 20x x y --+=，22252ln 20x y +--=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（） A B C ．95D ．165【变式演练】1.曲线e x y =上到直线e y x =12的点的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（）A．B C D3.已知实数a ，b ，c ，d 满足：2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（）AB ．1CD ．2【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．2.已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．3.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参【典例分析】已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）A ．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21e 1,3e 2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式演练】1.已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参【典例分析】若函数()ln 1f x x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【变式演练】1.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,2(,0]4-∞-⋃-B ．()12,0,,4⎛⎫+∞⋃ ⎪⎝⎭C ．[)12,0,4⎛⎤--⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,20,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-3.函数234,2()log (1),2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()3g x kx k =-，若函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．6,0)B ．6,0)C ．(2,0)-D ．6,0)【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参【典例分析】已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎪⎝⎭ 【变式演练】1.已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.．已知不等式ln (1)2ln 2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（）A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.若关于x 的不等式()()1e 21x a x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直线()R y ax a =∈与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，若12x x <，则下列结论错误的是（） A ．10e x <C ．21y >D ．122y y +<【变式演练】1.已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为______．2.若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=______.3.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【题型十五】综合应用【典例分析】过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（）A ．25e e m -<=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（）A ．01a <D ．2a >2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-1.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 2021年全国新高考I 卷数学试题2.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）3.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）4.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．2021年全国高考甲卷数学（理）试题5.曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.2019年天津市高考数学试卷（文科）6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==- 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）7.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）8.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷9.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 2019年江苏省高考数学试卷10.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则①PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）11.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 2021年全国新高考II 卷数学试题1.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+2.如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（）A ．0B ．1C ．-1D ．23.曲线213ln 2y x x =-在点P 处的切线与直线220x y +-=垂直，则点P 的横坐标为（） A ．e B ．1 C ．3 D ．2e4.已知函数()sin f x x x =+.曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．223y x π=-B ．223y x π=-C ．3y x π=-+D ．3y x π=-+5.函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（）A ．310B ．310±C ．35D ．35.6.已知0a >，0b >，直线y x b =+与曲线e x a y -=相切，则41a b+的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．97.若过点(1,2)可作曲线3y x ax =+的三条切线，则实数a 的取值范围是（） A ．(3,1)-- B ．(2,1)-- C ．(1,2) D ．(1,3)8.曲线2ln y x =上的点到直线2ln20x y -+=的最短距离是（） A．2 B ．2ln2-C ．ln2D9.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10.已知曲线()1f x x=-在点()()1,1f --处的切线l 与曲线()ln g x a x =相切，则实数a 所在的区间为（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,611.已知函数2ln ()2x f x x x =-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（）A B C D12.已知曲线()ln()1(1)=-+>f x mx nx m 的一条切线为直线:210l x y -+=，则mn 的最小值为________．江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题13.若对0x ∀>，关于x 的不等式21ln 12mx mx x x +-≥+恒成立，则整数m 的最小值为___________.14.已知a ，b 为正实数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有ln ax b x -≥成立，则2ba的最大值是______．15.设函数()()sin 12sin 223f x x x αα--=+-（R α∈）图象在点（1，()1f ）处切线为l ，则l 的倾斜角θ的最小值是（） A ．4πB ．3π C ．56π D ．34π16..已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.。

2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)

A.2
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (

考点49 利用导数求切线方程——2021年高考数学专题复习真题附解析

2 7．已知 f (x) 为偶函数，当 x 0 时， f (x) ln(x) 3x ，则曲线 y f (x) 在点 (1, 3) 处的切线方程是
__________．
8．若函数 f x a 1 x3 ax2 2x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为
______________．
.
x
2
【答案】- 3 5
【解析】根据已知条件，
f
( x)
1 x
2 x2
，因为曲线
y
ln
x
2 x
在
x
1 处的切线的倾斜角为
，所以
tan
f (1) 1 2 3 ， 0
2
.因为 sin2 a cos2
1， tan
sin cos
3，则解得 sin
3 10
， cos 1 ， cos(2 ) sin 2 2sin cos 3 .
【题组三过某点求切线】
1．过原点与曲线 y 2ex 相切的直线方程为______.
2．已知点 A1, 2 在函数 f x ax3 的图象上，则过点 A 的曲线 C : y f x 的切线方程
是
。
3．过点 P(2, 6) 作曲线 f (x) x3 3x 的切线，则切线方程为
。
4．已知曲线 f (x) 1 ，则过点 (1, 3) ，且与曲线 y f (x) 相切的直线方程为
4．已知函数 f (x) 2x3 3x ，若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y f (x) 相切，求 t 的取值范围
__________。
5．若直线 y kx b 是曲线 y ln x 的切线，也是曲线 y ex2 的切线，则 k ________. 6．若直线 y ax b 与曲线 y ln x 1 相切，则 ab 的最大值为________.

新高考数学一轮复习练习-切线方程(基础)(解析版)

4.1 切线方程（基础）一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（文））的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】的图象关于轴对称，则，所以，，，所以，，所以的图象在处的切线方程为.故选：A.2．（2021·四川内江市·高三零模（理））曲线在处的切线如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设曲线在处的切线方程为，则，解得，所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，因此，.故选：C.3．（2021·陕西高三其他模拟（理））直线是曲线的一条切线，则实数k 的值为（）A ．B ．C ．1D ．【答案】A()()32cos 21f x x a x ax =++++y ()f x 0x =2y =420x y +-=420x y -+=20x y -=()f x y ()()()3220f x f x a x --=+=2a =-()2cos 21f x x x =-+()sin 4f x x x '=--()02f =()00f '=()f x 0x =2y =()y f x =1x =()()11f f '-=022-1-()y f x =1x =y kx b =+220b k b =⎧⎨-+=⎩12k b =⎧⎨=⎩()y f x =1x =2y x =+()11f '=()1123f =+=()()11132f f '-=-=-1y kx =-1ln y x =+e 2e 1e -【解析】设切点为，由，得，则，则曲线在切点处的切线方程为，由已知可得，切线过定点，代入切线方程可得：，解得，则.故选：A .4．（2021·全国高三）若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，求导函数可得，∵切线与直线平行，∴，∴，∴切点P 坐标为，∴过点P 且与直线平行的切线方程为，即．5．（2021·山西）已知，设函数的图象在点处的切线为l ，则l 过定点（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，，，故过处的切线方程为：，故l 过定点故选：A 6．（2021·河南洛阳市）设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（）A ．B ．C ．D ．()00,1ln x x +1ln y x =+1y x'=001x x y x ='=()00011ln y x x x x --=-()0,1-02ln 1x --=-01x e=01k e x ==()ln 2f x x x =-21y x =+210x y --=22ln 210x y --+=22ln 210x y ---=22ln 210x y +--=12y x'=-21y x =+122x -=14x =11,2ln 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭21y x =+112ln 2224y x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭22ln 210x y ---=a R ∈()ln 1f x ax x =-+(1,(1))f (0,2)(1,0)(1,1)a +(,1)e ()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-()'11f a =-()11f a =+(1,(1))f ()()()11+112y a x a a x =--+=-+(0,2)2xy x =-()3,310ax y ++=a 12212-2-【答案】B【解析】对函数求导得，由已知条件可得，所以，.故选：B.7．（2021·四川自贡市）已知点是曲线C ：y ＝+1上的点，曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，则实数a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1或﹣2【答案】A 【解析】∵y ＝+1，∴，∵曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，结合题意得：，解得：a ＝2或，当时，，切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，当时，，切点坐标为，代入，故选：A ．8．（2021·宾县第一中学校）曲线在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，，则，因此，所求切线方程为，故选：A.9．（2021·全国高三）函数在处的切线斜率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C2x y x =-()()222222x x y x x --'==---32x a y ='-==-2a =(),P a b 321132x x -321132x x -2y x x '=-2|2x a y a a ='=-=1a =-2a =32115223213b +⨯-==⨯2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭55623703⨯-⨯-=1a =-()()32111113216b =⨯-+-=⨯-11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭()1613706⨯--⨯-≠321y x x =-+(1,0)1y x =-1y x =-+22y x =-22y x =-+()321f x x x =-+Q ()232f x x '∴=-()11f '=1y x =-()x xf x e=()()1,1f 1-11e【解析】，，，积切线斜率为0.故选：C.10．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以，因此切线方程的斜率，所以有，得，又切点在切线上，可得切点坐标为，将切点代入中，有，得，所以.故选：D.二、填空题11．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】由题知，当时，，即则，，又则在点的切线方程为：，即故答案为：12．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】【解析】因为，所以设切点为，所以切线的斜率为 ()xx f x e=()1x xf x e -'∴=()10f '∴=()2xf x ae x =+()()1,1M f ()22y e x b =++ab =1-2-()2xf x ae x =+()2x f x ae x '=+(1)2k f ae '==+222ae e +=+2a =(1,22)e b ++()f x (1)2122f e e b =+=++1b =-2ab =-()f x 0x <()1xf x e -=+()y f x =()()1,1f 10ex y ++=0x >()1()xf x e f x -=+=-()1xf x e =--()xf x e '=-()1f e '=-()11f e =--()()1,1f (1)(1)y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=2ln 4-+()2ln xf x x xe m =-++()()21x f x x e x-'=++()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此，由，得，因为，所以，又，所以，得.故答案为：.13．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．【答案】【解析】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.故答案为：14．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）若直线是曲线的切线，则实数________．【答案】【解析】由直线方程知：恒过定点；令，则，设直线与曲线相切于点，则，又，，解得：，.故答案为：.15．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的图象在处切线的斜率为__________.()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩()000212x x e x -++=()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭010x +≠02x ex =00ln 2ln x x =-()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-2ln 4m =-+2ln 4-+()2xf x e x =+()1,2()y f x =22(20)+--=e x y e ()2xf x e '=+00(,)x y ()002xf x e '=+()0002=+xf x e x 0000(2)(2)()-+=+-xxy e x e x x ()1,200002(2)(2)(1)-+=+-xxe x e x 00(2)0-=x e x 02x =22()20e x y e +--＝22(20)+--=e x y e :l y kx =2ln y x =k =2el ()0,0()2ln f x x =()2f x x'=l ()2ln f x x =(),2ln m m ()2k f m m'==2ln 02ln 0m m k m m -==-22ln m m m ∴=m e =2k e∴=2e y 4x ＝【答案】【解析】求导得，当时，故答案为：16．（2021·全国高三其他模拟）函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，又，所以切线斜率为，切点坐标为故切线方程为，即．故答案为：17．（2021·全国高三）已知函数在点处的切线方程为，则t =___________.【答案】【解析】，，，，即，又为切点，，解得.故答案为：.18．（2021·陕西高三其他模拟（理））曲线在处的切线方程为___________.【答案】【解析】，则，，所以，即切线的斜率，所以切线方程为，即故答案为：19．（2021·河北饶阳中学）曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________.【答案】【解析】由题意得，则，132-3214y x -'-＝4x =3211(4)4432y -'-⨯=-＝132-()22xf x x e -=()()1,1f 0ex y -=()2222x xf x xe x e --'=-()1f e '=()1f e =e (1,)e ()1y e e x -=-0ex y -=0ex y -=2()2ln f x x x x =-(1,2)0x my t ++=13-2()2ln f x x x x =-()4ln 1f x x x '∴=--()13f '∴=13m ∴-=13m =-(1,2)11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭13t =-13-3221y x x=-+1x =870x y --=()3221y f x x x ==-+()212111f =-+=()2226f x x x +'=()221681f +'==8k =()181y x -=-870x y --=870x y --=()31()e x f x x mx -=-(1(1))f ，410x y --=410x y +-=()321()3e x f x x x mx m ---'=+(1)42f m '=-所以切线的斜率.直线的斜率.因为两直线相互垂直，所以，解得，则.所以，则，故该切线的方程为，即.故答案为：20．（2021·广东佛山市）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.【答案】【解析】由，，则，时等号成立，则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，则切线方程为故答案为：21．（2021·山东济南市）曲线在x ＝0处的切线方程是_________．【答案】y ＝﹣x +1【解析】的导数为，可得曲线在x ＝0处的切线的斜率为k ＝﹣1，又切点为（0，1），所以切线的方程为y ＝﹣x +1．故答案为：y ＝﹣x +1．22．（2021·全国）函数在处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.【答案】【解析】切点，，切线：，即，142k m =-410x y --=214k =121(42)14k k m =-=-4m =1(1)4k f '==-()31()4e x f x x x -=-(1)3f =-34(1)y x +=--410x y +-=410x y +-=21()ln 2f x x x x =++()f x 332y x =-1()1f x x x'=++0x >1()113f x x x '=++≥+=1x =()f x 3(1,)2332y x =-332y x =-21xx y e+=21x x y e +=221x x x y e --'=21xx y e +=()x f x e x =+(0,(0))f 14(0,1)()e 1,2x f x k =+='12y x -=21y x =+与轴交点，与轴交点，故，故答案为：.23．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】，则，故，故.故答案为：.24．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（文））曲线在处的切线在轴上的截距为___________.【答案】【解析】，当时，，即切线斜率为2，又当时，，所以切线方程为，即，令得，即切线在轴上的截距为.25．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：26．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经y (0,1)x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1111224S =⨯⨯=14()sin 2f x x =x π=αcos 2α35-()sin 2f x x = ()2cos 2f x x '=()tan 2f απ'==22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++35-1ln y x x=-1x =y 3-211y x x'=+ 1x =2y '=1x =1y =-()()121y x --=-23y x =-0x =3y =-y 3-ln y x x =(0,3)-1ln 3+1ln y x '=+k t 1ln ln 3t kt t kt +=⎧⎨=-⎩ln (1ln )3t t t t =+-3,1ln 3t k ==+1ln 3+()2ln 2f x x x x x =+-+()()0,x f x ()00x >过坐标原点，则___________.【【答案】1【解析】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：127．（2021·赤峰二中高三三模（理））函数的图象在点处的切线方程是，则__________.【答案】-2【解析】由题意，，又，∴.故答案为：.28．（2021·新沂市第一中学）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a 的值为___________【答案】【解析】由已知可得在函数的图象上，所以，即，解得，所以，故.则函数的图象在点处的切线的斜率，因为切线与直线垂直，所以，即.故答案为：.29．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】，，则，，点处的切线方程为，即，故答案为：.0x =()ln 2f x x x '=+()000ln 2k f x x x '==+()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--20020x x +-=01x =()y f x =()()2,2M f 28y x =-()()22f f ='()22f '=()22284f =⨯-=-()()24222f f -==-'2-2()ln f x a x bx =+(1,1)P 10x y -+=3-(1,1)P ()f x (1)1f =2ln 111a b +⨯=1b =2()ln f x a x x =+()2af x x x'=+()f x (1,1)P (1)2k f a '==+10x y -+=21a +=-3a =-3-()1xf x e =--()y f x =()()1,1f 10ex y ++=()1x f x e =--()xf x e '=-()11f e =--()1f e '=-()()1,1f ()()11y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=30．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知函数，则在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，所以.又，所以在点处的切线方程为.故答案为：()2ln 1f x x x x =++()f x ()()1,1f 2y x=()2ln 1f x x x x '=++()1112f '=+=()12f =()f x ()()1,1f ()2122y x x =-+=2y x=。

【高考数学】导数的切线方程(原卷版含参考答案)

【高考数学】导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法（1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

【套路修炼】考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为。

(2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ．（1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标；（2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标；（3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为。

2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x ，则过点(−1,3)，且与曲线y =f(x)相切的直线方程为。

2．过点p(−4,0)作曲线y =xe x 的切线，则切线方程为_______________________. 3．过坐标原点(0, 0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________.考向四求参数【例4】已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为．【举一反三】1.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ .2.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为。

新高考数学一轮复习练习-切线方程(提升)(解析版)

4.1 切线方程（提升）一、单选题1．（2021·全国高三）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，，，在点处的切线方程为：；设与相切于点，则，解得：，又，，解得：.故选：C.2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（）A ．B ．C ．e 2D ．【答案】C【解析】，，所以切点.，，切线，即.设的切点为，，，所以.将代入切线得：，的切点为，()xf x e =()()0,0P f ()()ln g x ax =a 3e 2e 2e33e ()xf x e = ()xf x e '∴=()01f =()01f ∴'=()f x ∴()()0,0P f 1y x =+1y x =+()g x ()()00,ln x ax ()0011g x x '==01x =()00ln 110ax x -=-ln 11a ∴-=2a e =()xf x e =(1,(1))P f ()lng x a x=a =3e 2e 33e ()xf x e =()1f e =()1,e ()x f x e '=()1k f e '==()1y e e x -=-y ex =()lng x a x =()00,x y ()a g x x '=()00a k g x e x '===0a x e=0a x e =y ex =0y a =()g x ,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭将代入得：，解得.故选：C3．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A ，.若的斜率等于2，则（）A ．B ．C ．1D ．2【答案】C【解析】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.4．（2021·辽宁沈阳市）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（）(为自然对数的底)A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln g x a x =ln a a a e =2a e =()2,2M p -()220x py p =>B AB p =1412()220x py p =>211,2y x y x p p '==1k y x p'==()()1122,,,A x y B x y 1211,MA MB k x k x p p==2211222,2x py x py ==MA ()1111y y x x x p -=-111y x x y p=-MB 221y x x y p=-()2,2M p -1122122122p x y p p x y p ⎧-=⋅-⎪⎪⎨⎪-=⋅-⎪⎩11222222y x p p y x p p ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()()1122,,,A x y B x y 22y x p p =+()()1122,,,A x y B x y 22y x p p=+AB 22y x p p =+22p=1p =()x f x ae =()1g x x =--x a e 0a <1a <1a ≤1a >()1g x x =--x ()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x ()x f x ae =()1h x x =+1x ae x =+0a =时符合题意；时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故选：C.5．（2021·重庆高三三模）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，0a ≠1(1)x e x a =+x y e =1(1)y x a =+1(1)y x a=+(1,0)-1a0a <x y e =1(1)y x a=+0a >x y e =1(1)y x a =+(),mm e 111m m e m a e a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩1a =11a =11a ≥01a <≤x y e =1(1)y x a=+()x f x ae =()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x a 1a ≤()1:=e xC f x a +()()22:ln(),C g x x b aa b =++∈R 1C 2C 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞(],1-∞9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦()e xf x '=()1g x x b'=+11C 2C 1x 2x 1211x e x b==+10x =21x b =-()1y a x -+=()21y a x b -=--故，即.故选：D .6．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：211a a b +=-+221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭(),a b e x y =e b a <e a b <0e b a <<0e ab <<x y e =(),tP t exy e=e x y '=x y e =P ()t ty e ex t -=-()1t t y e x t e =+-(),a b ()1tty e x t e =+-()()11tttb ae t e a t e =+-=+-()()1tf t a t e =+-()()tf t a t e '=-t a <()0f t '>()f t t a >()0f t '<()f t ()()max af t f a e ==y b =()y f t =()max ab f t e <=1t a <+()0f t >1t a >+()0f t <()f t由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（）A ．B．0a b e <<y b =()y f t =x y e =(),a b x 0a b e <<2cos sin y x x =+(,2)π-20x y π-+-=20x y π--+=C ．D ．【答案】D【解析】当时,所以在点处的切线方程,由点斜式可得化简可得故选:D8．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.故选：D.9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，令y =kx -1，y =kx -1表示过定点(0,-1)，斜率为k 的动直线，当时，当时，；当，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数图象与直线y =kx -1，如图所示，20x y π++-=20x y π+-+='2sin cos y x x =-+x π=2sin cos 1k ππ=-+=-(),2π-()21y x π+=-⨯-20x y π+-+=()xf x ae b =+()cos2xg x c π=+()0,2M b c a +-0π2-3()xf x ae '= ()sin22xg x ππ'=-()0f a '∴=()00g '=0a ∴=()0,2M ()f x ()g x ()02f b ∴==()012g c =+=1c =2103b c a ∴+-=+-=()2ln 3,04,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩x ()10f x kx -+=k ()2,2-()0,2()1,0-()1,-+∞()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-0x >()ln 2f x x '=-2(0,)x e ∈()0f x '<2(,),()0x e f x '∈+∞>()f x 2(0,)e 2(,)e +∞0x ≤2()(2)4f x x =+-()f x (,2)-∞-(2,0)-()y f x =关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，满足，解得，所以的图象过点的切线斜-2，当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，因为，解得，所以的图象过点的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线y =kx -1在直线与所夹不含y 轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，此时的取值范围是.故选：A10．（2021·全国高三专题练习（理））若经过点P (2,8)作曲线的切线，则切线方程为（）A ．B ．C ．或D ．或【答案】D【解析】①易知P 点在曲线上，当P 点为切点时，.②当P 点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.x ()10f x kx -+=()y f x =0x >()ln 3f x x x x =-00(,())x f x 0ln 2x -(0,1)-0x 000()1ln 2f x x x +=-01x =()ln 3f x x x x =-(0,1)-0x ≤()24f x x =+'2()4f x x x =+2(,4)t t t +24t +(0,1)-24124t t t t++=+0t ≤1t =-2()4f x x x =+(0,1)-21y x =-21y x =--()y f x =k (2,2)-3y x =12160x y --=320x y -+=12160x y -+=320x y --=12160x y --=320x y -+=3y x =23,12,12160y x k x y --'===00(,)A x y 203k x =∵A 在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或 (舍去)，∴，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D11．（2021·峨山彝族自治县第一中学）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（）A ．0B ．C ．3D ．或3【答案】D【解析】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D12．（2021·天津高三一模）已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.当，故在处的切线方程为.当，同理可得在处的切线方程为.300y x =32000832x x x -=-3200340x x -+=()()200120x x +-=01x =-02x =01y =-320x y -+=12160x y --=320x y -+=()ln f x x x =()()2g x x ax a =+∈R ()1,0A l ()f x ()g x a =1-1-()ln f x x x =()1ln f x x '=+()11ln11f '=+=1k =()f x ()1,0A 1y x =-21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩()2110x a x +-+=()2140a ∆=--=3a =1a =-2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()k x f x ax =+{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭111,{0},e e⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭y ax =-()y f x =2(,0],(),()21,(0)1x f x x x f x x f ''∈-∞=-=-=-(0,0)1y x =-2[0,1],()x f x x x ∈=-+(0,0)2y x =当，设切点为，其中，则过该点的切线方程为，代入，得，故过的切线方程为.可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.此时故选：B二、多选题13．（2021·辽宁高三）已知过点A （a ，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（）A ．－2B ．4C ．0D ．6【答案】AD【解析】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A （a ，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.14．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A ．B ．在处取得极大值1(1,),()ln ,()x f x x f x x'∈+∞==(,ln )t t 1t >1ln ()y t x t t-=-(0,0)t e =(,1)e 31y x e=1(,1){0},1a e ⎛⎫-∈-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭()y k x =11,{0}(1,)a e ⎛⎫∈--⋃⋃∞ ⎪⎝⎭:x xC y e=000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭0001e x x x x y =-'=()000001e e x x x x y x x --=-()000001e ex x x x a x --=-2000x ax a -+=2404a a a ∆=->⇒>0a <()31f x x ax =-+2x =93a =()f x 1x =-C ．当时，D ．的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】A ：，由题意，得，正确；B ：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C ：由B 知：，，，故在上的值域为，错误；D ：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.15．（2021·全国高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的有（）A ．是奇函数B ．是周期函数C ．曲线在点处的切线方程为D ．在区间上，单调递增【答案】AC【解析】A ：，又函数的定义域是R ，所以函数是奇函数，所以选项A 正确；B ：不存在非零常数，使得，故不是周期函数，所以选项B 错误；C ：，，，故在点，处的切线方程为：，即，所以选项C 正确；D ：，，时，，，故，故在，单调递减，所以选项D 错误.故选：AC16．（2021·江苏高三专题练习）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）(]2,1∈-x ()(]1,3f x ∈-()f x ()0,1()23f x x a '=-()2129f a ='-=3a =()()()311f x x x -'=+()0f x ¢=1x =-1(,1)-∞-(1,)+∞()0f x ¢>()f x ()1,1-()0f x ¢<()f x ()f x 1x =-()21f -=-()13f -=()11f =-(]2,1-[]1,3-()3g x x x =-()()1f x g x =+()g x ()0,0()f x ()0,1()cos f x x x =⋅x ∈R ()(),f ππ0x y +=,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-()f x T ()()f x T f x +=()f x ()cos (sin )cos sin f x x x x x x x '=+-=-()1f π'=-()f ππ=-()f x (π())f π()y x ππ+=--0x y +=()cos sin f x x x x '=-(2x π∈)π1cos 0x -<<sin 0x x >()0f x '<()f x (2π)π12y x b =+()f x ()f xA ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由的导数为，而，解得，故B 正确；由的导数为，而有解，故C 正确；由的导数为，而，解得，故D 正确，故选：BCD17．（2021·河北高三其他模拟）若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A ．直线在点处“切过”曲线B ．直线在点处“切过”曲线C ．直线在点处“切过”曲线D ．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A 项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B 项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,1()f x x =4()f x x =()sin f x x =()xf x e =12y x b =+12k =1()f x x ='21()f x x=-4()f x x ='3()4f x x =3142x =12x =()sin f x x ='()cos f x x =1cos 2x =()x f x e ='()x f x e =12x e =ln 2x =-l C l ()00,P x y C C P l l P C :0l y =(0,0)P 3:C y x =:1l y x =-(1,0)P :ln C y x=:l y x =(0,0)P :sin C y x=:l y x =(0,0)P :tan C y x=23y x '=0x =0y '=:0l y =3:C y x =(0,0)P 0x <0y <0x >0y >C P l 1y x'=1x =1y '=(1,0)P :1l y x =-()1ln h x x x =--11()1(0)x h x x x x -'=-=>1x >()0h x '>01x <<()0h x '<min ()(1)0h x h ==1ln x x -…即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D 项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD .18．（2021·全国高三专题练习）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（）A ．2B ．C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.0x >C l cos y x '=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l 21cos y x'=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l ()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x x a =-+a 2-()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =-0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-11y x '=-111x =-2x =2x =ln(1)y x =-2a =0a ≤2a =故选：ABC.19．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】A 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中又，故在内必有一个零点，则与切线有两个交点，故A 错；B 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中在单调减，在单调增，所以恒成立，则单调增只有一个零点，则与切线有1交点，故B 正确；C 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中又，在单调减，在单调增，所以恒成立，则只有一个零点，则与切线有1交点，故C 确；2()86x x f x e e x =-+()y f x =()()00,P x f x P 0x ln 2-ln 2ln 4ln 515,6ln 2l 24n P ⎛⎫-- ⎝-⎪⎭()2ln 2ln 2528l 2n 26f e e --'=-+=-15715ln 2224y x =--()()1g x f x y =-()20ln g -=()7130ln 2024g =-<()25715186ln 20224g e e =-+-++>()g x ()0,1()f x (),6ln ln 1222P -()2ln 2ln 228ln 622f ee '=-+=-226ln 212y x =-+-()()2g xf x y =-()ln 20g =()()()22862,42x x x x g x e e g x e e '''=-++=-()g x '(),ln 2-∞()ln 2,+∞()()ln 20g x g ''≥=()g x ()f x (),6ln ln 1446P -()2ln 4ln 428ln 664f ee '=-+=3616y x =-()()3g xf x y =-()0ln 4g =()()22824x x x x g x e e e e '=-=-()ln 40g '=()g x (),ln 4-∞()ln 4,+∞()()ln 40g x g ≥=()g x ()f xD 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中，，在小于0，在大于0，所以恒成立，则只有一个零点，则与切线有1交点，故D 正确.故选：BCD20．（2021·全国高三专题练习）已知，下列说法正确的是（）A ．在处的切线方程为B ．单调递增区间为C ．的极大值为D ．方程有两个不同的解【答案】AC【解析】因为，所以函数的定义域为所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，即，故A 正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，故B 错误，的极大值也是最大值为，故C 正确；方程的解的个数，即为的解的个数，即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：(),6ln ln 1555P -()2ln5ln528ln 1656f ee '=-+=4161510ln 5y x =--()()4g xf x y =-()0ln 5g =()228616x x g x e e '=-+-()ln 50g '=()g x '(),ln 5-∞()ln 5,+∞()()ln 50g x g ≥=()g x ()f x ()ln x f x x =()f x 1x =1y x =-(),e -∞()f x 1e ()1f x =-()ln x f x x =()0,∞+()21ln x f x x-'=()11f '=()10f =()f x ()1,0()()011y f x '-=-()111y x x =⋅-=-()0,e ()0f x '>()f x ()e,+∞()0f x '<()f x ()f x ()ln e 1e e e f ==()ln 1x f x x==-ln x x =-ln y x =y x =-ln y x =y x =-由图象可知方程只有一个解，故D 错误.故选：AC .三、填空题21．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设点P 在曲线上，点Q 在曲线上，则|PQ |的最小值为_____.【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P 、Q 处的切线均与平行时，P 、Q 关于对称，|PQ |有最小，对应曲线平移到、后，P 、Q 关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.()1f x =-221x y e +=+1y =+2(1)()x f x e +=()lng x =221x y e +=+1y =+()f x ()g x y x =1y x =+1y x =+()f x ()g x y x =10t x =+>2()()t f x m t e ==2()21t m t e '==ln 22t =-ln 21(22m -=ln 21(,22P -P y x =d ==||2PQ d ==22．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线在点处的切线经过坐标原点，则___________.【答案】【解析】由，则，所以，所以，化简整理可得.故答案为：23．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在处的切线方程为，则___.【答案】【解析】由，得，，，又切线方程为：，即，故，解得，故，，即，故答案为：.24．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则的值为___________.()1f x x b x =++()(),a f a ab =2-()1f x x b x =++()211f x x '=-()211f a a '=-()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-2ab =-2-()()2,xf x ae x b a b R =-+∈1x =()210e x y --+=()ln 2f '=0()2x f x ae x b =-+()2x f x ae '=-()12f ae '∴=-()12f ae b =-+()210e x y --+=()21y e x =-+22221ae e ae b e -=-⎧⎨-+=-+⎩1a b ==()21x f x e x =-+()2xf x e '=-()ln 2ln 220f e '=-=0()()2ln f x x x m x =+-11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20x y +=m【答案】【解析】的导数为，可得在点，处的切线的斜率为，又切线与直线平行，可得，解得，故故答案为：．25．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y＝x2+1与y＝a ln x+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．【答案】（0，2e]【解析】设公切线与曲线y＝x2+1和y＝a ln x+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，a ln x2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，对于y＝a ln x+1，y′＝，所以与曲线y＝a ln x+1相切的切线方程为y﹣（a ln x2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+a ln x2，所以，即有﹣＝a ln x2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2ln x，记f(x)＝4x2﹣4x2ln x（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8x ln x＝4x（1﹣2ln x），当x时，f′(x)＞0，即f(x)在（0）上单调递增，当x时，f′(x)＜0，即f(x)+∞）上单调递减，所以f(x)max＝f2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，所以0＜a≤2e．74()()2lnf x x x m x=+-()22mf x xx'=+-1(21())2f1(322f m'=-20x y+=1322m-=-74m=74ax2ax2ax122122111axxx a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩2224ax故答案为：（0，2e ]．26．（2021·辽宁高三其他模拟）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由得，可得曲线在点处的切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，即.故答案为：.27．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．28．（2021·四川高三月考（文））若曲线在处的切线与直线平行，则实数___________.【答案】-1【解析】因为，所以，在，因为函数在处的切线与直线平行，所以.故答案为：.29．（2021·安徽黄山市·高三一模（理））已知函数，过点作曲线的切线l ，则直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为________________.【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l ，设切点为()2ln f x x x x =+()y f x =()()1,1f 32y x =-()2ln f x x x x =+()1ln 2f x x x '=++()y f x =()(1,)1f ()13f '=(1,1)()131y x -=-32y x =-32y x =-212x y x -=+()1,3--520x y -+=1x =-3y =-()()()()222221522x x y x x +--==++'1|5x y =-='520x y -+=520x y -+=()cos f x x x =x π=10ax y -+=a =()cos f x x x =()cos sin f x x x x '=-()cos sin 1f ππππ'=-⋅=-x π=10ax y -+=()1a f π'==-1-()x f x e =(1,0)()y f x =()y f x =2e 1-()x f x e '=(1,0)()y f x =()00,x x e则，所以切线的方程为由切线过点，则，解得：所以切线的方程为直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为故答案为：30．（2021·湖南高三月考）若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．【答案】【解析】设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在点处的切线的方程为.据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：0x k e =l ()000-=-x x y ee x x (1,0)()0001x x e e x -=-02x =l 22y e x e =-()y f x =()()2222222021102x x e e x e dx e e x e x e ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2e 1-(),0A a ():1xC y x e =-a ()3,1-()()000,1x B x x e -C ()1xx x y e x e xe =+-='C B l ()()000001x x y x e x e x x --=-l A 0x ()()000001x x x ex e a x --=-()200110x a x -++=()2Δ140a =+-<31a -<<a ()3,1-()3,1-。

高考数学专题《过曲线上一点的切线、切点弦》填选压轴题及答案

专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 说明：（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x xx +→，02y yy +→). （2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆2222:1x y C a b +=上一点P (x 0，y 0)且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=，等等，不再赘述.【典型题示例】例1 已知抛物线C ：y 2＝2x ，过直线上y ＝x+2上一点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点．【答案】(2,1)【解析】设P 点坐标为（x 0，x 0+2）显然点P 不在抛物线C 上根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB 的方程为：(x 0+2) y ＝x 0+x 即(x －2 y )＋x 0(1－y ) ＝0 所以直线AB 恒过定点(2,1).例2 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝．【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M + 又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M - 将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =.【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p +=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.例3 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝（） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.（二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p =2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例4 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T (3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为．【答案】285 5【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b )则切点弦MN的方程为：(a - 2)(x - 2)+ (b - 2)(y - 2)＝20又因为弦MN 过点T(3，4)，故(a - 2)(3 - 2)+ (b - 2)(4- 2)＝20，即a +2b - 26＝0即点P的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为285 5，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 5 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l与椭圆22:14xC y+=、圆222(12)x y r r+=<<都相切，切点分别是点A、B，则当线段AB长度最大时，圆的半径r的值为．【答案】2【分析】先设出点B坐标，写出直线l的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈）则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=，即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=r =，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而224(13sin )413sin αα++≥=+，当且仅当sin α=时，“=”成立，此时r ==AB 的最大值为1 所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的．【巩固训练】1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（） A ．B ．C ．D ．2. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为．4.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.5. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原(3,1)22(1)1x y -+=A B AB 230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．6. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（） ABC ．2D7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(2)4x y -+=，点A 是直线20x y -+=的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点圆P 向圆C ：224x y +=引两条切线PC 、PD ，切点分别是C 、D ，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为．【答案或提示】1.【答案】A【解析】将(3,1)直接“一抄一代”得(31)(1)1x y --+=，即230x y +-=，选A. 2.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ . 3.【答案】[3【提示】设A ()0,0x则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+= 所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.4.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x =0，y ＝2；令y =0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1.5.【提示】P 1x y +=. 6.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立，所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||MN =所以点M (3，2)到直线AB 故选:D7.【答案】)⎡⎣【解析】设点的坐标为00(,2)A x x + 则PQ 的方程为00(2)(2)(2)4x x x y --++=，分参得0(2)(22)0x y x x y +-+-+=所以20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解之得11x y =⎧⎨=⎩，直线PQ 恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为4（取不得）故线段PQ 长的取值范围为)⎡⎣. 说明：引圆外一点A 到圆心O 的距离为参数，建立PQ 与AO 的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.8.【答案】【解析】设点的坐标为00(,4)P x x + 则CD 的方程为00(4)4x x x y ++=，分参得0()(44)0x y x y ++-=所以0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解之得11x y =-⎧⎨=⎩，直线CD 恒过点N （－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是22111222 x y⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2 AM==。

高考函数专项大题(带答案)

函数高考专项1、已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．2、设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2＋a 3x (a i ∈R ，i ＝0，1，2，3 )，当x ＝－22时，f (x )取得极大值23，并且函数y ＝f ' (x )的图象关于y 轴对称。

（1）求f (x )的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x )－f (cos x ) | ≤ 223(x ∈R )．3、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。

4、已知函数()21log 0,2a f x x a a ⎛⎫=>≠⎪⎝⎭，（1）若()()()()2221220081220088,f x x x f x f x f x =+++ 求的值.（2）当()()()1,010,x x f x ∈-=+>时，g 求a 的取值范围.(3)若()()1,g x f x =+当动点(),p x y 在()y g x =的图象上运动时，点,32x y M ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式.5、已知函数.21)1()())((=-+∈=x f x f R x x f y 满足（Ⅰ）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值；（Ⅱ）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足，求列数}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足1433221,41+++++==n n n n n b b b b b b b b S b a ，则实数k 为何值时，不等式n n b kS <2恒成立.6、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.7、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x f 的表达式；(2)在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设0m n ⋅<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.8、已知二次函数221(),:8直线f x ax bx c l y t t =++=-+,其中(02≤≤，t t 为常数）； 2: 2.l x =若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S(t )的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．9、若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。

2025年高考数学一轮复习-导数切线方程11种题型-专项训练【含解析】

第5讲导数切线方程11类【原卷版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.2.已知点()1,1P -在曲线2xy x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【变式演练】1.已知函数()x x af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）AB ．2C ．2ln 2D ．ln 22.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A ．2π2032x -=B 2103y +--=C ．2π203x -=D 210y +=3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.3.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1e D ．21e 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a ，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．122.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．43.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1B 1C ．1-D ．1【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A2B ．1C D ．22.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．33.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．42.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.3.已知a R ∈，b R ∈______．【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.3.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________.2.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.3.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（）A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或44.已知直线0x y -=是函数ln ()a xf x x=图像的一条切线，且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解，则（）A ．{}ln 2t e ∈B ．[0,ln 2]t e ∈C ．[0,2]t ∈D ．(,0]t ∈-∞5.．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______.7.已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A ．三条B ．二条C ．一条D ．0条8.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．9.已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.10.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________.11.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-12.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.13.已知函数()3.f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点()1,0M 处的切线方程；（2）如果过点()1,b 可作曲线()y f x =的三条切线,求实数b 的取值范围第5讲导数切线方程11类【解析版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【答案】20x y -=【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．【详解】因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02k f ='=，则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.【答案】310x y -+=【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.解：由()()1xf x x e x =++，得()'(1)1x x fx e x e =+++，所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13fe e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=，故答案为：310x y -+=，2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.【答案】 32y x =--【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，22x y x =+，对函数求导得()()()222222422x x x x xy x x +-+'==++，则曲线在点P 处的切线斜率为13x k y =-'==-，因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--.故答案为：32y x =--.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【答案】B【分析】求出函数()2ln x f x x a=+的导数'12()x f x x a =+,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π得'(1)1f =-,由此可求a 的值.解:函数()2ln x f x x a =+的导数'12()x f x x a =+,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π,∴'(1)1f =-,∴211a+=-,∴1a =-故选B.【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【答案】C 【详解】令()'2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练】1.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）A B ．2C ．2ln 2D ．ln 2【答案】D【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A．2π203x -=B210y +-=C．2π2032x -=D2103y +-+=【答案】A 【分析】求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.【详解】解：∵cos y x =，∴sin y x '=-，曲线在点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率是π3πsin32x y ='=-=，∴过点P 且与曲线在点P∴所求直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π203x -=．故选：A.3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【答案】()0,1【分析】由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即可求解.【详解】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1.故答案为：()0,1.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【答案】B【分析】求导得到()2'3f x x =，根据垂直关系得到()2'33f a a ==，解得答案.【详解】()3y f x x ==，()2'3f x x =，直线310x y ++=，13k =-，故()2'33f a a ==，解得1a =±.故选：B .【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________【答案】1ln 2-+【解析】【分析】先设切点为00(,)x y ，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果.【详解】设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导，得到1y x'=，又曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，所以切线斜率为0112x =，∴02x =，因此0ln 2y =，即切点为()2,ln 2，代入切线12y x b =+，可得1ln 2b =-+.故答案为：1ln 2-+.2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】先设出切点坐标(,)m n ，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果.解：设切点为(,)m n ，由3y ax =得'23y ax =，则由题意得，2336640am m n n am ⎧=⎪--=⎨⎪=⎩，解得1,2,2m n a ===，故答案为：23.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解.【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：14.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【答案】2-【解析】【分析】求出2ln y a x =的导数，设切线为(,)m n ，由切点处的导数值为切线斜率求出m a =，再由切点坐标可把b 表示为a 的函数，再利用导数可求得b 的最小值．【详解】2ln y a x =的导数为2a y x '=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(),m n ，则22am=，∴m a =，又22ln m b a m +=，∴2ln 2b a a a =-（0a >），()2ln 122ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，∴1a =为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln122-=-.故答案为：2-．【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.【答案】0【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________【答案】12e +解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1xf x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②.联立①②解得：12m =，2e n =，故11222e e m n ++=+=.故答案为：12e +.3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【详解】ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【答案】(),1e 1e【分析】设切点坐标为(,)x lnx ；利用导数求切线方程并求切点坐标．解：设切点坐标为(,)x lnx ；1y x '=；故由题意得，1lnx x x=；解得，x e =；故切点坐标为(,1)e ；切线的斜率为1e；故切线方程为1()1y x e e =-+，整理得0x ey -=．故答案为：(,1)e ；1e.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【详解】设切点坐标为()000,e xx x +，由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++，切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x xx x -=+--++，即00e 0x x =，∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.【详解】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>，则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上，则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 【答案】C【分析】设切点为00(,ln )x x ，求出切线方程00ln 1xy x x =+-，即得001ln 10a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即得a 的值.【详解】设切点为00(,ln )x x ，∴切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-，∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故答案为：C 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】【分析】设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，21t =+31t =.因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条.故选：C.【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为()000,e xx x ，(1)x y x e =+'，000(1)x x x y x e =∴=+⋅'，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅-2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-.故答案为:A.2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】D 【解析】试题分析：()1x a e f x a=-'，依题意，()0f x '<在R 上有解.当0a <时，()0f x '<在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()0,,ln x af x a e x a a <'符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为()00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x ex e =-，分别画出,1x x e xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存在.3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：由曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出a 的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果.详解：由()3291f x x ax x =+-+，得()2'329f x x ax =+-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，()'y f x ∴=关于1x =对称，即133aa -=⇒=-，点(),a a ，即为()3,3--，所以()32391f x x x x =--+，()2'329f x x ax =+-，设切点为()(),t f t 切线的方程为()()3'3y f t x +=+，将点()32,391t t t t --+代入切线方程可得()()3223933693t t t t t t --+=--+，化为322636310t t t ---=，设()32263631g t t t t =---()2'61218g t t t =--令()'0g t >得3t >或1t <-，令()'0g t <得10t -<<，()32263631g t t t t =---在()(),1,3,-∞-+∞上递增，在()1,3-上递减，t ∴在1-处有极大值，在3处有极小值，()110g ∴-=>且()31390g =-<，()32263631g t t t t =---与x 有三个交点，∴方程()0g t =有三个根，即过(),a a 的切线有3条，故答案为3.【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a <B ．1a <-C ．02ea <<D ．20a e<<【答案】C 【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a 的取值范围.【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t t s a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩，构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e>时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e<<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<.故选：C【变式演练】1.函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案.【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111mf '=+=+解得4m =.故选：A.2.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y e e x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1x e x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x ex --⋅-=③.构造函数()()11x h x x e x -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->，根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B 3.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln 222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x 导数，设出切点，求出切线，将其与2()g x x a =+联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的最小值.【详解】解：'1()f x x=，设公切线与曲线()ln f x x =相切的切点为(),ln ,0m m m >，则公共切线为()1ln y x m m m=-+，即ln 0x my m m m --+=，其与2y x a =+相切，联立消去y 得：2ln 0mx x am m m m -++-=，则()14ln 0m am m m m ∆=-+-=有解，即211ln 4a m m=-+有解，令()211ln 4h m m m=-+，0m >，则()2'33112122m h m m m m -=-+=，令232102m m -=，得22m =，则()211ln 4h m m m =-+在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2min11ln 224211ln 222h m h ⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝--⎭，则11ln 222a --≥，所以实数a 的最小值为11ln 222--.故选：A.【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1+B1C．1-D．1【答案】B 【分析】先求导，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点()1,0，再利用()1,0到直线y x a =+的距离为1，结合图象解得参数即可.【详解】函数ln y x =的导函数为1y x=，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为1，1=，解得1a =，结合图象可知，1a =-.故选：B.【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A．2B ．1CD ．2【答案】A设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b 的值，进而可得结果.【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ，则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+，由切线斜率等于切点的导数值可得11m=，联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB=故选：A.2.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1BC ．2D ．3【答案】B 【分析】根据函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()x f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离d ==所以||MN 故选：B.3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【答案】A试题分析：对y=x 2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d ．解：（法一）对y=x 2求导可得y′=2x ，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x '==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x'==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .2.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.【答案】10【分析】224()(a b a b ++-表示点(,)a a 与点4(,b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,b b-（0b <）是反比例函数4y x=-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值【详解】解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,B b b -距离的平方，而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，当B 是斜率为1的直线与4y x=-相切的切点时，点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值，由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===，所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：103.已知a R ∈，b R ∈______．【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),b b e 的轨迹是曲线()xf x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()xf x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出直线y kx =与曲线x y e =相切时k 的值，再数形结合将e x ax >对任意的实数x 恒成立转化为0a e ≤<，最后判断充要关系即可得解.【详解】设直线y kx =与曲线x y e =相切，且切点为()00,xx e ，则000xx k e e kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x =，所以切点为()1,e ，k e =，所以切线方程为y ex =.数形结合可知，e x ax >对任意的实数x 恒成立等价于0a e ≤<.而由0a e ≤<不能得到02a <<，故充分性不成立；反之，由02a <<可得到0a e ≤<，故必要性成立.故选：B .【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-【答案】A 【分析】由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为2x e mx x + 恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案．【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立．当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x -'=．当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x <时，2e 1xm x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A 2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【答案】0【分析】利用导数的几何意义分别求解出ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程以及x y e =在点()22,Q x y 处的切线方程，根据两切线重合，求解出12,x x 之间的关系式，由此可化简计算出12111x x x ++-的值.【详解】ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=-，x y e =的导数为e x y '=，可得曲线x y e =在点()22,Q x y 处的切线的方程为()222x xy e e x x -=-，由两条切线重合的条件，可得211x e x =，且()212ln 11xx e x -=-，则21ln x x =-，即有()1111ln 11ln x x x -=+，可得1111ln 1x x x +=-，则121111ln ln 01x x x x x ++=-=-.故答案为:03.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am m a m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()(f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【答案】ln 31[,)3e 【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e =；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1-函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -，切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对【答案】C 【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根α，利用斜率公式可得α与tan α的大小关系.【详解】由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α.∴α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ，052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴=故选C.3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-，设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-，则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e =-；当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)

历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。

2020年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学+答案一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A. –4B. –2C. 2D. 4 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+【答案】C【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224aPO PE OE b =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b ba a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+ 【答案】B【解析】【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（） A. 5B. 10C. 15D. 20 【答案】C【解析】【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rr rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r r C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r r r T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为： 56155r r r r r r r xT xC xy C x y --+==和22542155r r r r r r r T C x y x C y y y x x --++== 在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A. 3B. 23C. 13D.9 【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r=︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三文科数学基础题(导数、切线方程)

文科导数、切线方程练习一、选择题1．函数()22)(x x f π=的导数是（） A.x x f π4)(=' B.x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(=' 2.曲线2313-=x y 在点)37,1(--处的切线的倾斜角为（） A . 30o B . 45o C . 135o D . -45o3. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（）A.1B.2C.－1D. 0 4．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--5．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为（）A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =6.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（）A .1B .2C .eD .1e 7.曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）A .1y x =-B .1y x =-+C .22y x =-D .22y x =-+8．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C .1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-9．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 二、填空题 11.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.12.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________13.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于_______________14.若23ln 4x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为三、解答题：13．已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6a x 若a =1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;14．已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；15．已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a >0. 若a =1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；16．已知函数f （x ）=3213x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2. 求实数a , b 的值；17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；18．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

2024届新高考数学大题精选30题--导数(解析版)

2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。

(完整版)函数的切线方程新课标历届高考题专题训练(及答案)

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练1、（2007年文10）曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e2、（2007年理10）曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22e Ｄ．2e3、（2008年文21）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。

（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

4、（2009年文13）曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为。

5、（2010文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+6、(2010理3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-27、（2011文21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a ，b 的值；8、（2012文13）曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为_______9、(2012理12)设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2- ()B ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+10、（2013新课标Ⅱ文21）已知函数2()xf x x e -=。

（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅰ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。

2021新高考数学专项训练题---导函数之求切线方程(含解析)

2021新高考数学专项训练题---导函数之求切线方程一、单选题（共7题；共14分）1.（2021·玉溪模拟）曲线在点处的切线的斜率为，则（）A. 2B. -3C. -7D. -102.（2021·凉山州模拟）抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+C. y= x+1D. y= x+4.（2020·新课标Ⅰ·理）函数的图像在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.（2020·合肥模拟）已知为奇函数，当时，（是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.6.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-17.（2020·广东模拟）现有下列四条曲线：①曲线；②曲线；③曲线；④曲线.直线与其相切的共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（共5题；共6分）8.（2021·韶关模拟）若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为________．9.（2021·天河模拟）已知函数，且，则________，曲线在处的切线方程为________.10.（2020·龙岩模拟）函数在点处的切线方程为________.11.（2020·德州模拟）已知为奇函数，当时则曲线在处的切线方程是________.12.（2020·新课标Ⅰ·文）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.三、解答题（共12题；共125分）13.（2021·江西一模）已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数的取值范围.14.（2021·内江一模）已知函数，､，若在处与直线相切.（1）求，的值；（2）求在上的极值.15.（2020·盐城模拟）设函数，（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.16.（2020·济宁模拟）已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）求函数的极值点；（3）设，若当时，不等式恒成立，求的最小值.17.（2020·江苏模拟）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.18.（2020·宜春模拟）已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.（1）求；（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点.19.（2020·平邑模拟）已知函数．（1）若，曲线在点处的切线与直线平行，求a的值；（2）若，且函数的值域为，求a的最小值．20.（2020·郑州模拟）已知函数，（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数在上的单调性．21.（2020·新课标Ⅲ·理）设函数，曲线在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．22.（2020·新高考Ⅰ）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．23.（2020·天津）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．24.（2020·北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：因为，所以所以，解得故答案为：D【分析】首先对函数的解析式求导，再把x=0代入到导函数的解析式计算出斜率，即可得到关于a的方程，求解出结果即可求出a的值。

专题突破卷03 导数中的公切线问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)

专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln b a+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（）A ．2ln n m C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（）A B C ．1D )e 5+题型三已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。

切线练习题

一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 2x + 1在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 12. 函数y = 3x^2 6x + 5在x=2处的切线方程为：A. y = 1B. y = 3x 1C. y = 5x 1D. y = 3x + 13. 函数y = ln(x)在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. eD. 1/e4. 函数y = e^x在x=0处的切线方程为：A. y = 1B. y = eC. y = e^xD. y = 1 + x5. 函数y = sin(x)在x=π/2处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 1D. √2二、填空题1. 函数y = 2x^3 3x^2 + 4x + 1在x=1处的切线斜率为______。

2. 函数y = x^2 + 2x + 1在x=1处的切线方程为______。

3. 函数y = 3x 4在x=2处的切线斜率为______。

4. 函数y = ln(x)在x=1处的切线方程为______。

5. 函数y = e^x在x=0处的切线方程为______。

三、解答题1. 求函数y = x^3 3x^2 + 2x + 1在x=2处的切线方程。

2. 求函数y = 2x^2 3x + 1在x=1处的切线斜率。

3. 求函数y = e^x在x=0处的切线方程。

4. 求函数y = ln(x)在x=1处的切线斜率。

5. 求函数y = sin(x)在x=π/4处的切线方程。

四、应用题1. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求它在行驶了5小时后的切线速度。

2. 一个圆锥形水罐，其半径随时间均匀增加，求水罐高度为2米时的切线速度。

3. 一个物体做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，求物体在t=3s时的切线加速度。

4. 一个质点做圆周运动，半径为5米，角速度为ω rad/s，求质点在θ=π/2时的切线速度。

5. 一个正方体边长随时间均匀增加，求正方体边长为3cm时的切线长度变化率。

专题11：用导数求切线高考真题赏析(解析版)

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，试卷第2页，总8页由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】DD试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3．故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.试卷第4页，总8页当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．【答案】8 【解析】试卷第6页，总8页试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x = 【解析】试卷第8页，总8页试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。