5.4 平面向量的综合应用
§5.4 平面向量的综合应用
§5.4 平面向量的综合应用考情考向分析 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形.( √ ) (4)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编2.[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形. 答案 直角解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形.3.[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形.答案 等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →). ∴△ABC 为等腰三角形. 题组三 易错自纠4.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________. 答案 －23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________. 答案 5解析 依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6.(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________. 答案 120°解析 设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.答案 重心解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形. 答案 等边解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线.因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形. (2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 32解析 取HF 中点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________. 答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________. 答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析 设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →， ∴|OM →|＝2|OD →|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →|＝1.由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|k 2＋1，解得k ＝0.(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________. 答案 －2解析 由题意得c ＝a 2－b 2＝3， 又12PF QF S 四边形＝122SPF F ＝2×12×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)， 所以当h ＝b ＝1时，12PF QF S 四形边取得最大值， 此时|PF 1→|＝|PF 2→|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________. 答案 3解析 在Rt △ABC 中，由AB →·AC →＝9， 得AB ·AC ·cos A ＝9，由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12， 由以上两式解得tan A ＝43，所以sin A ＝45，cos A ＝35，所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4. 又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →，故x 3＋y 4＝1≥2x 3·y4， 即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号.命题点2 向量在解三角形中的应用典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35.跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______.答案 3解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________.答案 4解析 取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →24＝AM →2－14≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＝4，当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形. 答案 直角解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形.2.已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为________. 答案 2解析 由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2. 3.在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝________.答案 13解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ， 所以S △BCD S △ABD ＝13. 4.(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________. 答案 2解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(3，－1)， OB →＝(0,2)，∴AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，y ＋1＝2λ，x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2.5.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________.答案 8,7解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.6.若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________.答案 2解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2.7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2，∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________.答案 2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 9.已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________.答案 1∶2解析 如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →，∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点，∴面积比为高之比.即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10.如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________.答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →.∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94， 即(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92， 当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立.故最小值为－92. 11.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0). ∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0). 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6.即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________.(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心；②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.答案 ④解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos(180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0， 所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.14.已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →.(1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝________；(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________.答案 (1)12 (2)23解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故λ＋μ＝12.(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23－a 3c ，μ＝23－c 3a ，则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23.15.(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0， 又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 16.已知在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311 解析 由题可知AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC2＝4.建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23).设BF →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34， BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋14BC →， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32. 所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝AB ·AC BC＝3， 所以△AEF 的面积S △AEF ＝12EF ·3＝32为定值. 所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ＝12tan θ， 故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311.。
专题5.4 平面向量的综合应用(重难点突破)(解析版)
专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。
三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。
高考数学 5.4 平面向量综合应用复习课件
12
题型二 向量在物理中的应用 例 2 一质点受到平面上的三个力 F1，F2，
F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已 知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别
为 2 和 4，则 F3 的大小为__2___7___．
解析 由已知得：F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2) ∴F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝28，∴|F3|＝2 7.
a
8
5．某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位移向 量 b：“向北走 3 km”，则 a＋b 表示向东北走 3 2 km.
解析 要求 a＋b，可利用向量和的三角形法则来求 解，如图所示，适当选取比例尺作O→A＝a＝“向东 走 3 km”，A→B＝b＝“向北走 3 km”，则O→B＝O→A＋ A→B＝a＋b. |O→B|＝ 32＋32＝3 2 (km)， 又O→A与O→B的夹角是 45°，所以 a＋b 表示向东北走
sin α－3)，
∴ AC BC ＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝－1，
即 cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，
∴cos
α＋sin
α＝23，∴sinα＋π4＝
2 3.
a
24
(2) | OA + OC |＝ 13，∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，
满足 PA AM =0，A→M＝－32M→Q，当点 A 在
x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程．
思维启迪 利用 PA AM =0 和A→M＝－32M→Q，求
出点 M 的坐标所满足的关系，进而求解．
a
16
解 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，
2025数学大一轮复习讲义北师大版 第五章 §5.4 平面向量中的综合应用
对于 A，由题意可得P→A·P→B－P→B·P→C＝P→B·(P→A－P→C)＝P→B·C→A＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，
故A正确；
对于
B，如图设A→E＝
→ AB →
，A→F＝
→ AC →
，则|A→E|＝|A→F|＝1，
|AB|
|AC|
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形
32yx·32xy＝3，
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题 例 3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC 的边长为 3，P 为△ABC 所在平面
内的动点，且|P→A|＝1，则P→B·P→C的取值范围是
A.－32，92 C.[1,4]
√B.－12，121
D.[1,7]
方法一 如图，建立平面直角坐标系，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
∴B(
3，0)，C
23，23，
∴P→B＝(
3－cos
θ，－sin
θ)，P→C＝
23－cos
θ，32－sin
θ，
∴P→B·P→C＝(
3－cos
θ)
23－cos
θ－sin
θ32－sin
θ＝52－32
3 cos
设△ABC外接圆的半径为R，
则 R2＝R22＋ 222，
解得 R＝1，CD＝1＋ 22，
∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×
2×1＋
22＝1＋2
2 .
思维升华
用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题―设――向――量→向量问题―计――算→解决向量问题―还――原→解决几何问题.
5.4 平面向量的综合应用
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝
－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x－2)2＋y2＝3 的圆心，且圆上有一点 M(x， y → → ± 3 答案 y)满足OM· CM＝0，则x＝______.
3 的最大值为________.
答案
解析
→ → → → ∵OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，OQ＝(2,3)，
→ → → → → → ∴OP· OM＝x＋y，OP· ON＝y，OQ· OP＝2x＋3y，
0≤x＋y≤1， 即在 条件下，求 z＝2x＋3y 的最大值，由线性规划知识 0≤y≤1
谢 谢 大 家！
课时作业： 课时练２９８页
5 小值为________.
答案 解析
变式训练2
(2016· 合肥模拟)如图所示，半圆的
直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B → 的任意一点，若P为半径OC上的动点，则 (PA 9 → → 的最小值为________. －2 答案 解析 ＋PB)· PC
∵圆心O是直径AB的中点， → → → → → → → → ∴PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)· PC＝2PO· PC，
解析
→ → ∵OM· CM＝0，∴OM⊥CM， ∴OM 是圆的切线，设 OM 的方程为 y＝kx， |2k| y 由 2＝ 3，得 k＝± 3，即 x＝± 3. 1＋k
思维升华
向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问 题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐 标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用a⊥b⇔a· b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)， 可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解 析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
第五章5.4 平面向量的应用
→→ 【例 1】 平面上的两个向量OA，OB满
足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→B＋yO→B (x，
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： M→P＝x－12O→A＋y－12O→B； (2)求|O→P|的最大值，并求此时四边
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B
＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
思维启迪
解析
探究提高
故 P，O，A，B 四点都在以 M
为圆心、1 为半径的圆上，所以
当且仅当 OP 为圆 M 的直径时， |O→P|max＝2.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： 这时四边形 OAPB 为矩形，则
M→P＝x－12O→A＋y－12O→B；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
解析
力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态，已知 F1， F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小 分别为 2 和 4，则 F3 的大小为 ________．
答案
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
平面向量的综合应用(四)
平面向量的综合应用（四）平面向量是解决几何问题的重要工具之一，在各个学科领域都有广泛应用。
本文将介绍平面向量的综合应用，并通过具体例子来展示其实际运用。
一、位移与力的合成平面向量可以用来描述物体的位移和力的合成。
假设有一个人朝东走了10米，然后再向北走了6米。
我们可以用向东的单位向量a和向北的单位向量b来表示这个过程。
位移向量d可以表示为d=10a+6b。
利用平面向量的加法规则，可以得到d的大小和方向。
二、速度与加速度平面向量也可以用来描述物体的速度和加速度。
假设一个小车在一段时间内分别以2m/s和3m/s²的加速度朝东行驶。
可以用向东的单位向量a来表示速度向量v和加速度向量a，即v=2a和a=3a。
根据平面向量的运算规则，可以计算出小车的速度和加速度。
三、静力平衡在物理学中，平面向量可以用来描述物体的静力平衡。
假设一个物体受到三个力F1、F2和F3的作用，且它们的合力为零。
可以用向上的单位向量u和向右的单位向量v来表示这三个力，即F1 = 3u - 2v，F2 = 4u + v，F3 = -u + 3v。
通过将这三个向量相加，可以得到它们的合力，即F = F1 + F2 + F3 = 6u + 2v。
如果F的大小为零，则物体处于静力平衡状态。
四、推箱子问题平面向量也可以应用于推箱子等问题。
假设有一个箱子需要从A点推到B点，且只能沿着水平方向和垂直方向推动。
可以用向右的单位向量i和向上的单位向量j来表示箱子的位移向量d，即d = xi + yj。
根据题目给出的条件，可以建立一个方程组，解方程组可以求出箱子的位移向量。
五、平面图形的运动在几何学中，平面向量还可用于描述平面图形的运动。
例如，假设有一个三角形ABC，若向量AB的终点从点A平滑地移动到点D，向量BC的终点从点B平滑地移动到点E，向量CA的终点从点C平滑地移动到点F。
根据平面向量的几何特性，可以求得三角形ABC移动后的新位置。
总结平面向量的综合应用涵盖了位移与力的合成、速度与加速度、静力平衡、推箱子问题和平面图形的运动等多个方面。
高中数学理人教A版一轮参考课件：5-4 平面向量的综合应用
主干梳理
要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
2.若������������ ·������������ + ������������2 =0,则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:������������ ·������������ + ������������2 =0 化为������������· (������������ + ������������)=0,即������������ ·������������ =0,所以������������ ⊥ ������������ . 所以△ABC 为直角三角形. 答案:D
答案:2 26m/s
考向1
考向2
考向3
微型技巧总结
考向 1
向量在平面几何中的应用
【例 1】(1)(2014 湖南长沙模拟)在△ABC 中,已知向量������������与������������ 满足
������������ ������������ + |������������| |������������|
·������������ =0,且
������������ ������������ · |������������| |������������|
= ,则△ABC 为(
1 2
)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 (2)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|������������+3������������|的最小值为 .
2019届高三数学课标一轮复习：5.4 平面向量的应用
关闭
∴ B S△ ABP ∶S△ ABC=1∶2. 故选 B.
解析
关闭
答案
-12考点一 考点二 考点三 考点四
(2)(2017 浙江温州九校联考)已知扇环如图所示,∠ 1 AOB=120°,OA=2,OA'=2,P 是扇环边界上一动点,且满足 ������������=x������������+y������������,则 2x+y 的取值范围为
-17考点一 考点二 考点三 考点四
(2)f (x)=a· b=(cos x,sin x)· (3, - 3) π =3cos x- 3sin x=2 3cos ������ + 6 . 因为 x∈[0, π], 所以 x+ ∈
6 π π 7π 6
,
6
,
从而-1≤cos ������ +
π 6 π π 6 6 5π 6
-11考点一 考点二 考点三 考点四
向量在平面几何中的应用(考点难度★★★) 【例1】 (1)(2017浙江绍兴诸暨中学)点P是△ABC内一点,且 ) ������������+2������������+3������������ =0,则△ABP与△ABC的面积之比是( A.1∶5 B.1∶2 C.2∶5 D.1∶3
∴|OC|= 12 + 22 -2 × 1 × 2 × cos60°
= 3. ∴∠AOC=90°, 即������������ ⊥ ������������ ,
关闭
90°
解析 答案
-10知识梳理 双击自测
自测点评 1.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化 的主要手段是向量的坐标运算. 2.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数 形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代 数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 3.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的 有关性质解题.
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第2课时 平面向量的综合应用教师
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.4 平面向量的应用第2课时平面向量的综合应用教师用书编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.4 平面向量的应用第2课时平面向量的综合应用教师用书）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.4 平面向量的应用第2课时平面向量的综合应用教师用书的全部内容。
第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与三角函数命题点1 向量与三角恒等变换的结合例1 已知a＝（cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β),0〈β<α<π.且a＋b＝（0,1)，则α＝________，β＝________。
答案错误!错误!解析因为a＋b＝(0，1),所以错误!由此得cos α＝cos（π－β)．由0<β〈π，得0〈π－β<π，又0〈α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝错误!.又α>β，所以α＝错误!，β＝错误!。
命题点2 向量与三角函数的结合例2 已知向量a＝（sin x，错误!)，b＝(cos x，－1)．(1）当a∥b时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b）·b在［－错误!，0］上的值域．解（1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－错误!·cos x＝0，即sin x＋错误!cos x＝0，tan x＝－错误!，∴tan 2x＝错误!＝错误!。
高考数学一轮复习： 专题5.4 平面向量应用(测)
专题5.4 平面向量应用一、填空题：1.如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若，的值为 .【答案】-16 【解析】2.已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为 .【解析】试题分析：由是互相垂直的单位向量得，因此由得. 3. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则 .ABC ∆BC AC P BC Q 3,5AB AC ==()()AP AQ AB AC +⋅-,,a b c ,a b ()(3)1a c b c -•-=||c ,a b |3|132a b +=+=()(3)1a c b c -•-=222||(3)1||2||cos 1||2||10||21c a c c c c c c θ-+⋅=⇒-⋅=⇒-⋅≤⇒≤≤+233C B 1021,,,P P P i i AB M ⋅=210,,2,1 =i =+++1021M M M【答案】4. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数 (x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则 ▲ ． 【答案】 【解析】试题分析：设，则，因此，又，因此5. 设二次函数的图象经过点，且与轴交于两点，若是钝角，则实数的取值范围是 ．【答案】．【解析】由题意，设的两根为，则18024()x f x x+=MA MB ⋅=2-(,),(,)M x y A m m (0,)B y 2(,)(,0)MA MB m x m y x x mx ⋅=--⋅-=-22411222MAy m x k y x m x m x mx x m x-+=-⇒=-⇒=-+⇒=-+⇒-=--2.MA MB ⋅=-c bx ax x f ++=2)()2,(t C x B A ,ACB ∠a 1(,)2-∞-22=++c bt at 02=++c bx ax 21,x x yx，向量6.如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为 ．【答案】【解析】由平面向量数量积知识得，7.已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是.)0,(),0,(21x B x A ABCD AB //DC AD AB ⊥122AD DC AB ===N CD AN AB ⋅8||||cos |||||'|||248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=)0,2(=)2,2(=)sin 2,cos 2(αα=OB【答案】 【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知，，，又由可知在以为圆心，为半径的圆上，若直线与圆相切，由图可知，即与夹角的最小值为，同理可得与夹角的最大值为，即与夹角的取值范围为.8.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．【答案】12]125,12[ππO )0,0(O )0,2(B )2,2(C (2)CA αα=A C 2OA 1264621222sin ππππ=-=∠⇒=∠⇒===∠AOB COA OC AC COA OA OB 12πOA OB 125πOA OB ]125,12[ππAC DE AP所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.．9.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点， 记，其中为抛物线的顶点.给出下列命题： ①，不是等边三角形； ②且，使得与垂直； ③无论点在准线上如何运动，总成立. 其中，所有正确命题的序号是___. 【答案】①②③1x =C 24y x =,M N P C (,)OP aOM bON a b =+∈R O C ,a b ∀∈R PMN ∆∃0a <0b <OP ON P 1a b +=-10.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ________．【答案】 [1,2]二、解答题：11.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）AP ADAB xoy )0,1(A B θ=∠AOB πθ<<0（1）若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1）-3，（2）.【解析】（1）由于，，所以，，于是 . （2），由于,，所以，，则（）， 由于，所以，所以. 12．已知点，点为直线上的一个动点. （1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值. 【答案】（1）证明见解析;（2）2.)54,53(-B )42tan(πθ+=+OACB θS S ⋅+θ120+≤⋅+<OC OA S θ)54,53(-B θ=∠AOB 53cos -=θ54sin =θ253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθθS θθsin sin 11=⨯⨯=)0,1(=)sin ,(cos θθ=)sin ,cos 1(θθ+=+=θθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθπθ<<04544ππθπ<+<1)4sin(22≤+<-πθ120+≤⋅+<S θ(1,0),(0,1)A B -(,)P x y 1y x =-APB ∠ABPQ BQ AQ ⋅∴化简得到，∴， ∴ ,设，∵， ∴，∴,∴.13.如图，平面直角坐标系中，已知向量，，且。
5.4 平面向量的综合应用
解析 → ， → 分别为平行于AB，AC的单位向量，由平行四边形法则可知 → ＋ → 为
|AB| |AC|
|AB| |AC|
( )→ →
AB AC
→
∠BAC 的平分线．因为
＋ →→
·BC＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC.
|AB| |AC|
| | | → → →
AB AC AB 又·＝
→→→
→→
BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得 k＝－2 或 k＝11.
由 k<0 可知 k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2 的直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－
3＝0.
x2 y2
→→
(2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP·FP
2．向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量
的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的
主体．
3．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)． 4．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 知识拓展
→→
22
－2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时，OP·FP取得最大值 4 ＋2＋3＝6.
高考数学一轮复习全套课时作业5-4平面向量的综合应用
专题层级快练 5.4平面向量的综合应用一、单项选择题1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2021·湖北黄石一中月考)已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C)，其中|AB|＝2，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1， 则AC →·AD →＝( ) A ．2 3 B.32 C.33D. 3 4．(2020·杭州学军中学模拟)在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．(2021·江西省八所重点中学联考)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，a ·b ＝12，则α＝( )A.π6B.π3C.π4D.π26．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形7．(2020·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形8．(2021·甘肃白银一中模拟)已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 为BC 的中点，则HM →·BC →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1，1]10．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1二、多项选择题11．(2021·潍坊二模)设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．a ·b ＝0 12.如图，已知四边形OAED ，OCFB 均为正方形，2AE →＋CF →＝0，AB →·AD →＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．∠AOB ＝90° B ．AD ＝1 C.BO →·CD →＝2 D ．AO ＝1三、填空题与解答题13．(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________．14．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m ＝(cosx ，sinx)，n ＝(cosx ，3cosx)，x ∈R ，设函数f(x)＝m ·n ＋12. (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f(A)＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a的值．15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________．16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋b )·(2b－c )的最小值是________，最大值是________．专题层级快练 5.4平面向量的综合应用1．答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为 2.故选B. 2．答案 D解析 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC →在AB →上的投影为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝|AB →|＝2，∴AC →·AB →＝|AC →||AB →|·cos 〈AC →，AB →〉＝4.故选D. 3.答案 D解析 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →||AD →|·cos ∠BDA ＝3|AD →|2＝ 3. 4．答案 D解析 因为a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形． 5．答案 B解析 由题意，得a ·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos2α＝－12，又α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3.故选B.6．答案 D思路 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC.又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝1×1×cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D. 7．答案 C解析 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C. 8．答案 D 解析如图，HM →·BC →＝(HA →＋AM →)·BC →＝HA →·BC →＋AM →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝8. 9．答案 A 10．答案 B 解析如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB→＋PC →)取得最小值，为－32，选B.11．答案 AD解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选AD. 12.答案 ACD解析 因为2AE →＋CF →＝0，所以CF ＝2AE ，CF ∥AE ，因为四边形OAED ，OCFB 均为正方形，所以AO ⊥BO ，所以∠AOB ＝90°，故A 正确；因为AB →·AD →＝(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝AO →2＋OB →·OD →＝－AO →2＝－1，所以AO ＝1，故D 正确；从而可得AD ＝2，B 错误；因为BO →·CD →＝BO →·(CO →＋OD →)＝2OD →2＝2，故C 正确．故选ACD. 13．答案5 －1解析方法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，|PD →|＝5，cos ∠DPB ＝－cos ∠DPC ＝－15，∴PB →·PD →＝|PB →|·|PD →|cos ∠DPB ＝1×5×⎝⎛⎭⎫－15＝－1.方法二：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴AP →＝12(AB →＋AC →)＝(2，1)，P(2，1)，∴PD →＝(－2，1)，PB →＝(0，－1)，∴|PD →|＝5，PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.14．答案 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z (2)3－1解析 (1)由题意知，f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵0<A<π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(b ＋c)2－2bc(1＋cosA)， 解得a ＝3－1. 15.答案 26解析 连接OC ，OD ，MC ，ND ，由题可知∠AOC ＝∠DOC ＝∠DOB ＝60°，|MO →|＝|NO →|＝2，|OD →|＝|OC→|＝6.则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．答案 3－3 3＋ 3 解析由|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫12，32.设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c ＝3－⎝⎛⎭⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，所以(a ＋b )·(2b －c )的最小值和最大值分别为3－3，3＋ 3.。
平面向量的综合应用[培优课]高中数学课件 5-4
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第五章 平面向量与复数§5.4 平面向量的综合应用[培优课]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当且仅当c＝3b时，等号成立.即3b2＋a2＝4a·b，思维升华√A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形即∠BAC＝60°，可得△ABC是等边三角形.√即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题√故2x＋y的最小值为3.命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题命题点3 与模有关的最值(范围)问题例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是√a，b是单位向量，a·b＝0，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.√∴xy＝18.√(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是A.[－5,3]B.[－3,5]√C.[－6,4]D.[－4,6]以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4).设P(x，y)，√A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形故四边形ABCD为平行四边形，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形.A.与圆C 的半径有关B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关D.与点A ，B 的位置有关√√如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，A.8B.9C.12D.16√∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，∴x＋3y＝1且x>0，y>0，√√建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，6.设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于√向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，∵c·(a＋b－c)＝0，∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，7.(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有√√同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，选项A正确；故O为△ABC的内心，选项B错误；所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误.8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是√如图所示，取AF的中点Q，9.(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，7AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则的最小值为____.设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，。
5.4 平面向量的综合应用
→ A·B
B→<C0，则△ABC为钝角三角形.(
)×
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：
O→P＝O→A＋t(A→，Bt＋∈AR→C，)则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0. ( )
√
第八页，编辑于星期六：四点 三十八分。
1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－
的大小分别为2和4，则F3的大小为
答案 解析
A.2 7
B.2 5
C.2
D.6
如题图所示，由已知得 F1＋F2＋F3＝0，则 F3＝－(F1＋F2)，即 F23＝F21＋ F22＋2F1·F2＝F12＋F22＋2|F1|·|F2|·cos 140°＝28.故|F3|＝2 7.
第三十二页，编辑于星期六：四点 三十八分。
第十一页，编辑于星期六：四点 三十八分。
4.(2016·银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝( ，3－1)，则|2a－b|的最
大值为_____. 4
答案 解析
几何画板展示
设a与b夹角为α， ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2 ＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]. ∴|2a－b|的最大值为4.
第十七页，编辑于星期六：四点 三十八分。
引申探究 本例(2)中，若动点P满足
O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→→CC| ，λ∈(0，＋∞)，则
点P的轨迹一定通过△ABC的___内__心_. 答案 解析
平面向量的综合运算与几何应用
平面向量的综合运算与几何应用平面向量是数学中重要的概念，可以用来描述平面上的位移、力等物理量。
在本文中，我们将探讨平面向量的综合运算和其在几何中的应用。
一、平面向量的综合运算平面向量的综合运算主要包括加法、减法和数乘。
下面我们将逐个进行讨论。
1. 加法设有两个平面向量a和b，分别可以表示为a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)。
那么这两个向量的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
加法运算表示了两个向量的位移或力的合成效果。
2. 减法同样，设有两个平面向量a和b，它们的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
减法运算可以用于求解位移或力的差距。
3. 数乘对于一个平面向量a = (a₁, a₂) 和一个实数k，数乘运算可以表示为k * a = (k * a₁, k * a₂)。
数乘运算可以改变向量的大小和方向。
二、平面向量的几何应用平面向量除了可以进行综合运算外，还有许多在几何中的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 平行向量若两个向量a和b的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的模长可以不相等。
若向量a与向量b平行，则记作a ∥ b。
2. 垂直向量若两个向量a和b的点积（数量积）等于0，即a · b = 0，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的模长可以不相等。
若向量a与向量b垂直，则记作a ⊥ b。
3. 向量投影设有一个向量a和一个非零向量b，向量a在向量b上的投影表示为projb a。
它的大小等于a在b方向上的分量，方向与b相同或相反。
向量投影在几何中常用于求解向量之间的夹角和问题。
4. 三角形的面积设有一个三角形ABC，向量AB和向量AC可以分别表示为向量a 和向量b。
那么三角形ABC的面积可以通过向量叉乘来计算，即S = 1/2 * |a × b|。
向量叉乘的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积。
专题5.4 平面向量的综合应用(讲)(原卷版)
专题5.4 平面向量的综合应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.知识点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
知识点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
知识点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。
考点一 三角形中的最值、范围问题【典例1】（福建省厦门一中2018-2019学年模拟）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3【举一反三】（浙江省温州中学2018-2019学年期末）如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°。
(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围。
【方法技巧】三角形中最值、范围问题的解题思路要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．【特别提醒】 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等． 【变式1】（湖南省岳阳一中2018-2019学年质检）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋3。
31第五章 平面向量与复数 5.4 平面向量的综合应用
§5.4 平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题平行向量基本定理a ∥b ⇔ ⇔ ， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔ ⇔ ，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝ ＝ ， 其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题. 概念方法微思考1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？2.如何用向量解决平面几何问题？题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形.( ) (4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( ) 题组二 教材改编2.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________.4.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________.5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.6.已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为坐标原点，则AO →·AP →的最大值为________.题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC→＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________.跟踪训练1 (1)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )A.3B.4C.5D.6(2)(2018·乌海模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.－1 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494 C.37＋634 D.37＋2334(2)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.跟踪训练2 (2019·沈阳质检)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －23y ＋3＝0，点A (0，m )(m >0)，A ，B 两点关于x 轴对称.若圆C 上存在点M ，使得AM →·BM →＝0，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，322 B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332D.⎝⎛⎭⎫332，32题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用例3 已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A.[－1,0] B.[0,1] C.[1,3] D.[1,4] 命题点2 向量在解三角形中的应用例4 (2019·赤峰模拟)在△ABC 中，若|AC →|＝23，且AB →·cos C ＋BC →·cos A ＝AC →·sin B . (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.跟踪训练3 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B ，2cos 2 C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积.1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形2.在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →等于( ) A.48 B.36 C.24 D.123.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ＋1在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π3，π C.⎝⎛⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π3，π 5.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝16xD.y 2＝42x6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝1，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝120°，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP →＝λBC →，DQ →＝18λDC →，则AP →·BQ →的最大值为( )A.－2B.－32C.34D.987.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.8.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________.9.如图，A 是半径为5的圆C 上的一个定点，单位向量AB →在A 点处与圆C 相切，点P 是圆C 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP →·AB →的取值范围是________.10.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.11.已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 的坐标为(－1,2)，点C 在第二象限，AB →＝(2,2)，且AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.(1)求点D 的坐标；(2)当m 为何值时，AC →＋mAB →与BC →垂直.12.已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cos A ＋1)，n ＝(sin A ，－1)，m ⊥n . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的值.13.(2018·包头模拟)已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上一动点，BC ＝10，AB ＝8，则HB →·HC →的最小值为( ) A.－4 B.－25 C.－9 D.－1614.如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC → 的最小值为________.15.记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2，则( ) A.|a －c |max ＝3＋72 B.|a ＋c |max ＝3－72 C.|a －c |min ＝3＋72D.|a ＋c |min ＝3－7216.已知|OA →|＝|OB →|＝1，点C 在线段AB 上，且|OC →|的最小值为12，求|OA →－tOB →|(t ∈R )的最小值.。
5.4平面向量的综合应用
高中数学导学案 | 《 第五章：平面向量 基础版 》第四课时：平面向量的综合应用姓名：学校：年级：题型一 平面向量与数列例 1 设数列{xn}的各项都为正数且 x1＝1.△ABC 内的点 Pn(n∈N*)均满足△PnAB 与△PnAC 的面积比为 2∶1，若P→nA＋12xn＋1·P→nB＋(2xn＋1)P→nC＝0，则 x4 的值为()A．15 B．17 C．29 D．31思维升华 向量与其他 知识的结合，多体现向 量的工具作用，利用向 量共线或向量数量积的是空间两两垂直的单位向量，O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋2y＋4z＝1，则|O→P－O→A－O→B |的最小值为________． (2)已知平面向量 a，b，c 满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若 b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋35c＋1－λb－c的最小值为________．跟踪训练 1 (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若O→B＝a1O→A＋a2 018O→C，且 A，B， 知识进行转化，“脱去”C 三点共线(该直线不过点 O)，则 S2 018 等于( )向量外衣，利用其他知A．1 009 B．1 008C．2 017 D．2 018识解决即可．(2)角 A，B，C 为△ABC 的三个内角，向量 m 满足|m|＝ 26，且 m＝ 2sin B＋2 C，cos B－2 C，当角 A 最大时，动点 P 使得|P→B|，|B→C|，|P→C|成等差数列，则||BP→ →AC||的最大值是________．跟踪训练 2 (1)设△ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B＝14AB，且对于边 AB 上任一点题型二 和向量有关的最值问题命题点 1 与平面向量基本定理有关的最值问题 例 2 (1)已知△ABC 内接于圆 O，且 A＝60°，若A→O＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，则 x＋2y 的 最大值是( )2 A.3B．11 C.2D．2－2 3 2(2)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，M，N 分别为线段 BC，CD 上的点，且满足C1M2＋C1N2＝1，若A→C＝xA→M＋yA→N，则 x＋y 的最小值为________．思维升华 和向量有关 的最值问题，要回归向 量的本质进行转化，利 用数形结合、基本不等 式或者函数的最值求解．P，恒有P→B·P→C≥P—0→B·P—0→C)，则( ) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC (2)已知 m，n 是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为( ) A. 5 B. 10 C．4 D．5 (3)将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个 正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星，如图所示，设正八角星的中心为 O，并且O→A＝e1，O→B＝e2.若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量都写成为 λe1＋μe2，λ，μ∈R的形式，则 λ＋μ 的最大值为________．命题点 2 与数量积有关的最值问题 例 3 (1)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1＝O→A·O→B，I2＝O→B·O→C，I3＝O→C·O→D，则( ) A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 (2)已知向量 a，b，c 满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值 是________． 命题点 3 与模有关的最值问题例 4 (1)已知O→A，O→B，O→C题型三 和向量有关的创新题 例 5 称 d(a，b)＝|a－b|为两个向量 a，b 间的“距离”．若向量 a，b 满足：①|b|＝1；②a≠b； ③对任意的 t∈R，恒有 d(a，tb)≥d(a，b)，则( ) A．a⊥b B．b⊥(a－b) C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 跟踪训练 3 定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝|aa·－b，b|当，a当，ab，不b共共线线时时， (a，b 是任意的两 个向量)．对于同一平面内向量 a，b，c，e，给出下列结论：①a⊗b＝b⊗a； ②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；④若 e 是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.思维升华 解答创新型 问题，首先需要分析新 定义(新运算)的特点， 把新定义(新运算)所叙 述的问题的本质弄清楚， 然后应用到具体的解题 过程之中，这是破解新 定义(新运算)信息题难 点的关键所在．以上结论一定正确的是高中数学导学案 | 《 第五章：平面向量 基础版 》姓名：学校：年级：________．(填上所有正确结论的序号)第四课时：平面向量的综合应用c 的关系为________，cos B 的取值范围为________．课时作业9．设向量 a，b 满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________；最小值是________． 10．已知△ABC 的外接圆圆心为 O，且∠A＝60°，若A→O＝αA→B＋βA→C(α，β∈R)，则 α＋1．在平面直角坐标系中，若|a|＝|b|＝|c|＝2，且 a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c| 的取值范围是( ) A．[0,2 2＋2] B．[0,2] C．[ 2 2－2,2 2＋2] D．[2 2－2,2] 2．已知不共线的两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|2a－b|，则( ) A．|a|<2|b| B．|a|>2|b| C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b|β 的最大值为________． 11．已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(sin β，cos β)，且 α＋β＝π6.若 c 满足|c－a－b|＝2，则||ac||的 取值范围是________．12．在△ABC 中，已知 CA＝2，CB＝6，∠ACB＝60°，点 O 满足C→O＝λC→2A＋C→6B(λ>0)，3．已知向量 a，b 满足|a＋b|＝4，|a－b|＝3，则|a|＋|b|的取值范围是( )A．[3,5] B．[4,5]C．[3,4] D．[4,7]O→C＝mO→A＋nO→B，m，n∈R，且－14≤n≤－210，则|O→C|的取值范围是________．4．记 max{x，y}＝xy， ，xx≥ <yy，， min{x，y}＝yx， ，xx≥ <yy，， 设 a，b 为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|25．已知 a，b 为单位向量，且 a⊥b，|c－a|＋|c－2b|＝ 5，则|c－2a|＋|c－b|的最小值是( )13．如图所示，已知点 D 为△ABC 的边 BC 上一点，B→D＝3D→C，En(n∈N*)为边 AC 上的 一系列点，满足E→nA＝14an＋1·E→nB－(3an＋2)E→nD，其中实数列{an}中，an＞0，a1＝1，则数 列{an}的通项公式为 an＝________.A．5B. 535 C. 59 D.56.如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝π3，C 为弧 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，且O→C＝xO→A＋yO→B，若 u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则 λ 的取值范围为( )A．(1,3) B.13，3 C.12，1 D.12，214．已知在△ABC 中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝4.若点 P 在△ABC 的内切圆上运动，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值为________．15．如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心，AB 为半 径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则A→P·B→P的取值范围是________．若 向量A→C＝λD→E＋μA→P，则 λ＋μ 的最小值为________．7．设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种运算：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量 m＝12，4，n＝6π，0.点 P 在 y＝cos x 的图象上运动，点 Q 在 y＝f(x)的图象上 运动，且满足O→Q＝m⊗O→P＋n(其中 O 为坐标原点)，则 y＝f(x)在区间6π，π3上的最大值是() A．4 B．2 C．2 2 D．2 3 8．已知△ABC 的外心为 O，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且A→O1·2B→C＋B→O4·C→A→→ ＋CO3·AB＝0，则 a，b，16．已知非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝－2a·b＝1，且 a－c 和 b－c 的夹角为23π，则(a ＋c)·(b＋c)的最小值是________．第 4 讲 平面高中数学导学案 | 《 第五章：平面向量 基础版 》姓名：学校：年级：向量的综合应用一、选择题 1.已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A.0B.1C.2D. 52.对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b23.已知 a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且 a∥b，则|b|＝( )第四课时：平面向量的综合应用三、解答题 9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积.A.2 5B. 5C.10D.54 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，A→B＝(1，－2)，A→D＝(2，1)，则A→D·A→C等于( )A.5B.4C.3D.25.已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( )ππA.3B.22π5πC. 3D. 6二、填空题6.设向量 a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且 a⊥b，则 x＝________.10.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(cos(A－B)， sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且 m·n＝－35. (1)求 sin A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，求角 B 的大小及向量B→A在B→C方向上的投影.7.已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－3－m)，若∠ABC 为锐角，实数 m 的取值范围是________；若∠ABC 为钝角时，实数 m 的 取值范围是________.8.已知平面向量 a，b 的夹角为3π，|a－b|＝6，向量 c－a，c－b 的夹角为23π， |c－a|＝2 3，则 a 与 c 的夹角为________，a·c 的最大值为________.高中数学导学案 | 《 第五章：平面向量 基础版 》第四课时：平面向量的综合应用姓名：学校：年级：11.若平面向量 a，b，c 两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a定点 C(2，0)和直线 l：x＝8，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，＋b＋c|等于( )A.2B.5C.2 或 5D. 2或 5且P→C＋12P→Q·P→C－12P→Q＝0. (1)求动点 P 的轨迹方程；12 已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D等于( )(2)若 EF 为圆 N：x2＋(y－1)2＝1 的任一条直径，求P→E·P→F的最值.A.－32a2B.－34a2C.34a2D.32a213.已知 e1，e2 是空间单位向量，e1·e2＝12，若空间向量 b 满足 b·e1＝2，b·e2 ＝52，且对于任意 x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)， 则 x0＝________，y0＝________，|b|＝________.14.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且O→P＝mA→B＋nA→C(m，n∈R). (1)若 m＝n＝23，求|O→P|； (2)用 x，y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值.15. 已 知 平 面 上 一。
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§5.4 平面向量的综合应用1.用向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1)向量的和与差的模：||a ＋b ＝___________________________，||a －b ＝________________________.(2)①G 为△ABC 重心的一个充要条件：___________________________；②O 为△ABC 外心的一个充要条件：__________________________；③P 为△ABC 垂心的一个充要条件：__________________________.(3)不同的三点A ，B ，C 共线⇔存在α，β∈R ，使得OA →＝αOB →＋βOC →，O 为平面任意一点，且____________.3.向量坐标形式的几个重要结论设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角.(1)长度或模||a ＝____________；||AB→＝________________. (2)夹角cos θ＝____________＝__________________. (3)位置关系a ∥b ⇔____________(b ≠0且λ∈R )⇔____________.a ⊥b ⇔____________⇔____________.自查自纠： 2.(1)a 2＋2a ·b ＋b 2 a 2－2a ·b ＋b 2(2)①GA →＋GB →＋GC →＝0②||OA →＝||OB →＝||OC→ ③P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →(3)α＋β＝13.(1)x 21＋y 21（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2 (2)a ·b||a ||b x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(3)a ＝λb x 1y 2－x 2y1＝0 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0一艘船从点A 出发以4 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8 km/h ，则江水的流速的大小为( )A.2 km/hB.4 km/hC.3 2 km/hD. 2 km/h解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B 正确，故选B.已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则||a －b 的最大值为( )A.1B. 2C. 3D.2解：∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)，∴||a －b ＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为2.故选B.(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5B.2 5C.5D.10解：∵AC →·BD →＝0，∴对角线AC ，BD 互相垂直，∴S ＝12|AC |·|BD |＝12×5×25＝5(此题亦可用坐标法解).故选C.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：N )的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为____________.解：F 1＋F 2＝－F 3，∴||F32＝||F 1＋F 22＝4＋16＋2×2×4×12＝28，∴||F 1＋F 2＝27.故填27.(2013·北京西城区一模)如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC →·DB →＝________.解：AC →＝AB →＋BC →，DB →＝DA →＋AB →＝AB →－2BC →，设AB →与BC →的夹角为θ，则θ＝60°，cos60°＝12，∴AC →·DB →＝(AB →＋BC →)·(AB →－2BC →)＝AB →2－AB →·BC →－2BC →2＝1－1×1×12－2＝－32.故填－32.类型一 向量与函数、三角函数(1)已知非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在x ∈R 上有极值，θ为a ，b 的夹角，则θ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎦⎤π6，π2D.⎝⎛⎦⎤π6，π 解：f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不等实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b＝0有不等实根，∴Δ＝4|a |2－8a ·b ＞0，即a ·b ＜12|a |2，∵cos θ＝a ·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos θ＜12|a |2|a ||b |＝32，∴π6＜θ≤π.故选D.(2)(2014·湖南模拟)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3 (－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A.－32B.－16C.16D.32解：由已知，A 的坐标为(4，0)，B ，C 关于点A 对称，即A 是B ，C 的中点，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32.故选D.(3)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2. (Ⅰ)若a ⊥b ，求θ； (Ⅱ)求|a ＋b |的最大值.解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，∵－π2＜θ＜π2，∴tan θ＝－1，∴θ＝－π4.(Ⅱ)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)， 得a ＋b ＝(sin θ＋1，1＋cos θ).∴|a ＋b |＝（sin θ＋1）2＋（1＋cos θ）2 ＝3＋2（sin θ＋cos θ）＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，|a ＋b |取得最大值3＋22＝（2＋1）2＝2＋1. 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.点拨：向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容.此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提.(1)设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( )A.a ⊥bB.a ∥bC.|a |＝|b |D.|a |≠|b |解：f (x )＝－(a ·b )x 2＋(a 2－b 2)x ＋a ·b . 依题意知f (x )的图象是一条直线， ∴a·b ＝0，即a ⊥b .故选A.(2)已知函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，A ，B 分别是这部分图象上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，则函数f (x ＋1)是( )A.周期为4的奇函数B.周期为4的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解：由题图可得A ⎝⎛⎭⎫π2ω，3，B ⎝⎛⎭⎫3π2ω，－3，由OA →·OB →＝0得3π24ω2－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，∴f (x )＝3sin π2x ，∴f (x ＋1)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2（x ＋1）＝3cos π2x ，它是周期为4的偶函数.故选B.(3)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π.(Ⅰ)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(Ⅱ)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α的值(其中k 为非零常数).解：(Ⅰ)证明：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－1＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直.(Ⅱ)k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， ∴|k a ＋b |＝k 2＋1＋2k cos （β－α）， |a －k b |＝1＋k 2－2k cos （β－α）. ∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴k 2＋1＋2k cos （β－α）＝k 2＋1－2k cos （β－α）， ∴cos(β－α)＝0.又∵0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π， 故β－α＝π2.类型二 向量与解析几何若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8解：由题意，F (－1，0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP→取得最大值224＋2＋3＝6，故选C.点拨：向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用.(1)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A.y 2＝8xB.y 2＝4xC.y 2＝16xD.y 2＝42x 解：如图，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 的中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°，由BA →·BC →＝48得BC ＝43，则AC ＝4.∴由中位线性质有p ＝12AC ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x.故选B.(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.解法一：设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆C 的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.解法二：动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3＋cos θ，sin θ)，则OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos θ，3＋sin θ).|OA →＋OB →＋OD →|＝（2＋cos θ）2＋（3＋sin θ）2＝8＋2（2cosθ＋3sin θ）＝8＋27sin （θ＋φ）.其中tan φ＝233，当sin(θ＋φ)＝1时，|OA→＋OB →＋OD →|的取值最大值为1＋7.故填1＋7.类型三 向量在物理中的简单应用如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|v 2|＝4 km/h ，设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最少？为什么？解：(1)船垂直到达对岸，即v ＝v 1＋v 2与v 2垂直，也即(v 1＋v 2)·v 2＝0.∴v 1·v 2＋v 22＝0，即||v 1||v 2cos θ＋||v 22＝0.∴40cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－25.(2)设船航行到对岸所需的时间为t ，则t ＝d ||v 1sin θ＝0.510sin θ＝120sin θ. 故当θ＝90°时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最少.点拨：读懂题(图)，将实际问题抽象成纯数学问题，然后用含向量的式子表示“船垂直到达对岸”和“船垂直到达对岸所需的时间”，此题就不难解了.如图，无弹性细绳OA ，OB 一端分别固定在A ，B 处，在同样的细绳OC 的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填OA 或OB 或OC ).解：设OA ，OB ，OC 三条绳受的力分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝0，a 与b 合力为c′＝a ＋b ，||c ＝||c′.如图，在▱A ′OB ′C ′中，∵OB ′→⊥OC ′→，B ′C →′＝OA →′，∴||OA →′>||OB →′，||OA →′>||OC →′. 即||a >||b ，||a >||c ，细绳OA 受力最大，即对OA 绳的耐力性要求最高.故填O A.1.充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用.2.利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题.3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等.4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题.如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等.5.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题.如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等.如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.1.一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A.||v 1<||v 2B.||v 1>||v 2C.||v 1≤||v 2D.||v 1≥||v 2解：设v ＝v 1＋v 2，则v ⊥v 2，易知三向量v 1，v 2，v 的模构成以|v 1|为斜边，|v 2|、|v |为直角边的直角三角形.故选B.2.已知|a |＝2|b |，且|b |≠0，函数f (x )＝x 2＋|a |x －a ·b 只有一个零点，则向量a 与b 的夹角是( )A.－π6B.－π3C.π3D.2π3解：由于Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0且|a |＝2|b |，∴4|b |2＋8|b |2cos θ＝0，θ为a 与b 的夹角，又|b |≠0，∴cos θ＝－12，则θ＝2π3.故选D.3.设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3C.3 2D.2 3解：∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴||P 1P 2→＝10－8cos θ≤18＝32.故选C. 4.(2014·西安模拟)若直线l 上不同的三个点A ，B ，C 与直线l 外一点O ，使得x 2OA →＋xOB →＝2BC →成立，则满足条件的实数x 的集合为( )A.{－1，0}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋52，1－52 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52 D.{－1}解：由x 2OA →＋xOB →＝2BC →＝2(OC →－OB →)可得，OC →＝x 22OA →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1OB →，由A ，B ，C 共线知，x 22＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1＝1，解得x ＝－1或x ＝0(舍)，故选D. 5.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.56 解：∵m ＋n ≠0，∴a 与b 不共线.∵θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴0≤cos θ＜1，故只需a ·b ≥0即可.又∵a ·b ＝m ×1＋n ×(－1)＝m －n ，∴m －n ≥0.其概率为P ＝6＋5＋4＋3＋2＋16×6＝712.故选C.6.直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N两点，已知O 是坐标原点，若|OM →＋ON →|≤|MN →|，则实数t 的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)B.[]－2，2C.[]－2，－2∪[]2，2D.[]－2，2解：|OM →＋ON →|≤|MN →|＝|ON →－OM →| ，两边平方得OM →·ON →≤0，∴圆心O 到直线x ＋y ＋t ＝0的距离d ＝|t |2≤22r ＝1，解得－2≤t ≤2.故选D.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于________.解：∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，∴a 1＋a 200＝1，∵{a n }是等差数列，∴S 200＝200×（a 1＋a 200）2＝100.故填100.8.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则||F A →＋||FB→＋||FC →的值为____________.解：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，由于F (1，0)，则F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC→＝(x 3－1，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0得x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，x 1＋x 2＋x 3＝3.则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋3＝3＋3＝6.故填6.9.设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数.证明：当|x |最小时，x ⊥b .证明：∵a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)， ∴x ＝a ＋λb ＝(1＋3λ，－1－4λ)， ∴|x |＝（1＋3λ）2＋（－1－4λ）2 ＝25λ2＋14λ＋2＝25⎝⎛⎭⎫λ＋7252＋125，当λ＝－725时，|x |min ＝15，此时x ＝⎝⎛⎭⎫425，325， ∴x ·b ＝425×3＋325×(－4)＝0，∴x ⊥b .故当|x |最小时，x ⊥b .10.(2013·辽宁)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，∴x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. ∴f (x )的最大值为32.11.已知抛物线y ＝x 2上两点A ，B 满足AP →＝λPB →，λ＞0，其中，点P 的坐标为(0，1)，OM →＝OA →＋OB →，O 为坐标原点，求：(1)∠AOB 的大小；(2)四边形OAMB 的面积S 的最小值.解：(1)由AP →＝λPB →，知A ，P ，B 三点在同一直线上，设直线方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2得x 2－kx －1＝0. ∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋x 21x 22＝－1＋(－1)2＝0， ∴OA →⊥OB →，∴∠AOB ＝90°.(2)由OM →＝OA →＋OB →，知四边形OAMB 是平行四边形.又∠AOB ＝90°，∴四边形OAMB 是矩形.∴S ＝|OA →||OB →|＝x 21＋x 41x 22＋x 42＝－x 1x 2（1＋x 21）（1＋x 22）＝1＋x 21＋x 22＋（x 1x 2）2＝2＋（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4＋k 2，∴k ＝0时，S min ＝2.(2013·湖南)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A.[]2－1，2＋1B.[]2－1，2＋2C.[]1，2＋1D.[]1，2＋2解：依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，由︱c －a －b ︱＝1得，(x －1)2＋(y －1)2＝1.∵︱c ︱表示点C (x ，y )到原点的距离，且点C (x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2＝1，画出圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴|c |即为圆C 1上一动点C (x ，y )到原点的距离|OC |，由图可知直线OC 1和圆C 1相交于点A ，B ，则|OC |最大值为|OC 1|＋1，最小值为|OC 1|－1，又|OC 1|＝12＋12＝2，所以2－1≤|OC|≤2＋1.故选A.。