5.4 平面向量的综合应用

§5.4 平面向量的综合应用

1.用向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1)向量的和与差的模：||a ＋b ＝___________________________，

||a －b ＝________________________.

(2)①G 为△ABC 重心的一个充要条件：___________________________；

②O 为△ABC 外心的一个充要条件：__________________________；

③P 为△ABC 垂心的一个充要条件：__________________________.

(3)不同的三点A ，B ，C 共线⇔存在α，β∈R ，使得OA →＝αOB →＋βOC →

，O 为平面任意一点，且____________.

3.向量坐标形式的几个重要结论

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角.

(1)长度或模

||a ＝____________；||

AB

→＝________________. (2)夹角

cos θ＝____________＝__________________. (3)位置关系

a ∥

b ⇔____________(b ≠0且λ∈R )⇔____________.

a ⊥

b ⇔____________⇔____________.

自查自纠： 2.(1)a 2

＋2a ·b ＋b 2 a 2－2a ·b ＋b 2

(2)①GA →＋GB →＋GC →

＝0

②||OA →＝||OB →

＝||

OC

→ ③P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →

(3)α＋β＝1

3.(1)x 2

1＋y 21

（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2 (2)a ·b

||a ||b x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22

(3)a ＝λb x 1y 2－x 2y

1＝0 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2

＝0

一艘船从点A 出发以4 3 km/h 的速度向

垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际

行驶的速度为8 km/h ，则江水的流速的大小为( )

A.2 km/h

B.4 km/h

C.3 2 km/h

D. 2 km/h

解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B 正确，故选B.

已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，

cos θ)，则

||a －b 的最大值为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解：∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)，

∴||a －b ＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为2.故选B.

(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →

＝(1，2)，BD →

＝

(－4，2)，则该四边形的面积为( )

A. 5

B.2 5

C.5

D.10

解：∵AC →·BD →

＝0，∴对角线AC ，BD 互相垂

直，∴S ＝12|AC |·|BD |＝1

2

×5×25＝5(此题亦可

用坐标法解).故选C.

一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单

位：N )的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为____________.

解：F 1＋F 2＝－F 3，∴||F

32

＝||F 1

＋F 22

＝4＋16

＋2×2×4×1

2

＝28，∴||F 1＋F 2＝27.故填27.

(2013·北京西城区一模)如图，正六边形

ABCDEF 的边长为1，则AC →·DB →

＝________.

解：AC →＝AB →＋BC →，DB →＝DA →＋AB →＝AB →－2BC →，

设AB →与BC →

的夹角为θ，则θ＝60°，cos60°＝12

，

∴AC →·DB →＝(AB →＋BC →)·(AB →－2BC →)＝AB →2－AB →·BC →－

2BC →

2＝1－1×1×12－2＝－32.故填－32

.

类型一 向量与函数、三角函数

(1)已知非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，

若函数f (x )＝1

3

x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在x ∈R 上有极

值，θ为a ，b 的夹角，则θ的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤0，π6

B.⎝⎛⎦⎤0，π3

C.⎝⎛⎦⎤π6，π2

D.⎝⎛⎦

⎤π6，π 解：f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不等实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b

＝0有不等实根，∴Δ＝4|a |2－8a ·b ＞0，即a ·b ＜

1

2

|a |2

，∵cos θ＝a ·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos θ＜12|a |2|a ||b |＝32

，

∴π

6＜θ≤π.故选D.

(2)(2014·湖南模拟)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫

π6x ＋π3 (－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直

线与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →

＝( )

A.－32

B.－16

C.16

D.32

解：由已知，A 的坐标为(4，0)，B ，C 关于点

A 对称，即A 是

B ，

C 的中点，所以(OB →＋OC →)·OA →

＝2OA →·OA →＝2|OA →

|2＝32.故选D.

(3)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π

2

＜

θ＜π2

. (Ⅰ)若a ⊥b ，求θ； (Ⅱ)求|a ＋b |的最大值.

解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，

∵－π2＜θ＜π2，∴tan θ＝－1，∴θ＝－π4.

(Ⅱ)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)， 得a ＋b ＝(sin θ＋1，1＋cos θ).

∴|a ＋b |＝（sin θ＋1）2＋（1＋cos θ）2 ＝3＋2（sin θ＋cos θ）

＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π

4＝1时，|a ＋b |取得最大值3＋2

2＝（2＋1）2＝2＋1. 即当θ＝π

4

时，|a ＋b |的最大值为2＋1.

点拨：

向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容.此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查

的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提.

(1)设a ，b 是非零向量，若函数f (x )

＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( )

A.a ⊥b

B.a ∥b

C.|a |＝|b |

D.|a |≠|b |

解：f (x )＝－(a ·b )x 2

＋(a 2－b 2)x ＋a ·b . 依题意知f (x )的图象是一条直线， ∴a

·b ＝0，即a ⊥b .故选A.

(2)已知函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，A ，B 分别是这部分图象上的最高点、最低

点，O 为坐标原点，若OA →·OB →

＝0，则函数f (x ＋1)是( )

A.周期为4的奇函数

B.周期为4的偶函数

C.周期为2π的奇函数

D.周期为2π的偶函数

解：由题图可得A ⎝⎛⎭⎫π2ω，3，B ⎝⎛⎭⎫3π

2ω，－3，由OA →·OB →

＝0得3π24ω2－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，

∴f (x )＝3sin π

2

x ，

∴f (x ＋1)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2（x ＋1）＝3cos π

2

x ，它是周期为4的偶函数.故选B.

(3)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π.

(Ⅰ)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；

(Ⅱ)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α的值(其中k 为非零常数).

解：(Ⅰ)证明：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－1＝0，

∴a ＋b 与a －b 互相垂直.

(Ⅱ)k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， ∴|k a ＋b |＝k 2＋1＋2k cos （β－α）， |a －k b |＝1＋k 2－2k cos （β－α）. ∵|k a ＋b |＝|a －k b |，

∴k 2＋1＋2k cos （β－α）＝k 2＋1－2k cos （β－α）， ∴cos(β－α)＝0.

又∵0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π， 故β－α＝π

2

.