三角形添加辅助线技巧(带答案)

三角形添加辅助线技巧
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现
角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看
线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验
三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线
（一）作平行线
作平行线,构造全等三角形
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF.
由D点作BC的平行线交AC于G
因为DG∥BC，所以三角形ADG为等腰三角形，则：AD=AG
因为AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG。

那么C为三角形DEG的边EG上的中点，DG∥BC
根据中位线定理，则有：F为ED的中点，即：DF=EF。

得证
（二）作垂线
遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质,通过三角形全等求解
2、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°，
求证：PC=PD.
O
A
B C
P
D
证明：过P做PE垂直于OA于E,过P做PF垂直于OB为F
3、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. F
B
C
A
D
E
2
1D
A
C
B
证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M,
因为AD=BD,所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC,所以AC=AM,
因为AD 平分∠BAC ，所以∠1=∠2，
在△ADC 和△ADM 中,AC=AM,∠2=∠1,AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM,所以∠ACD=∠ADM=90,即:CD ⊥AC
(三)倍长中线, 构造中位线
相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解
4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF.
F D
A
B
C
E
延长AD 交BM 于M 点
因为D 为BC 的中点,所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC,因为BE=AC 所以BE=BM,所以角BEM=角BME
因为BM//AC,所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角),所以AF=EF
5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.
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E
C
B
D
A
已知AD 是ABC 的中线,AE 是ABD 的中线,且AB=BD,求证：AC=2AE 可证明△ABE ∽△CBA （SAS ）则∠EAB=∠ACB ，∠AEB=∠CAB 且∠ADB =∠ACB+∠CAD=∠DAB=∠EAB+∠DAE=∠ACB+∠DAE 所以∠CAD=∠DAE AD 角CAE 平分线 可由角分线定理得AC ：AE=CD ：DE=2 AC=2AE
6.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的靠近B 点的三等分点，E 是AB 的中点，直线AC 与DE 交于点F ，求证：EF=3DE.
证明：找CD 中点G ，连接AG ，再根据两个中位线证明比例关系
7.在△ABC 中，∠B=2∠C,M 为BC 的中点，AD ⊥BC ，求证：DM=1/2AB.
M
D A
B
C
取AB 的中点E ，连接DE 、EM 。

因为，DE 是Rt △ABD 斜边上的中线， 所以，DE = BE = (1/2)AB ，可得：∠BDE = ∠B 。

因为，EM 是△ABC 的中位线， 所以，EM ‖AC ， 可得：∠DME = ∠C 。

因为，∠DEM = ∠BDE-∠DME = ∠B-∠C = ∠C = ∠DME ， 所以，DM = DE = (1/2)AB
8.在正方形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O, ∠CAB 的平分线交BD 于点F ，交BC 于点G ，求证：CG=2OF.
G
F
O B
D
A
C
证明：找CG 中点E ，连接OE ，证明OF=GE 。

F E
D
B
C
A
（四）截长:
9.已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.
D
B
C
A
在三角形ABC 的边AB 上截AC1=AC
则对于三角形ADC 和三角形ADC1用三角形全等的边角边定理可知,这两个三角形全等 所以AC=AC1,DC=DC1，角ACD=角AC1D=2倍角B
又因为角AC1D=角B+角C1DB ，故角C1DB=角B ，故BC1=DC1=DC ，所以AB=AC1+C1B=AC+CD
10.已知：如图，△ABC 中，∠A=60°，∠B 与∠C 的平分线BE,CF 交于点I ，求证：BC=BF+CE.
F
E I
C
B
A
解：在BC 上取BD=BF ，连接OD ，因为BF=BD ，角ABE=角CBE ，BO=BO ， 所以，三角形BFO 全等于三角形BDO ，所以，角BOF=角BOD ，OF=OD 。

因为角BOC=角ABE+角BFC=角ABE+角A+角ACF ，而角ABE=角ABC/2，角ACF=角ACB/2， 所以，角BOC=角A+（角ABC+角ACB ）/2=角A+（180-角A ）/2=90度+角A/2=120度。

所以，角BOF=角BOD=角COD=角COE=60度；又因为OC=OC ，角ACF=角BCF ，
所以，三角形COD 全等于三角形COE ，所以，OD=OE ，CD=CE ，所以，OE=OF ，BC=BD+CD=BF+CE 。

（五）补短
11.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F ，求证：BE=CF+AE.
F
B D A
C
E
证：延长DC 至G ，使CG=AE ，连接BG ∵正方形ABCD 中 ∴AB=BC （正方形各边相等） ∴∠A=∠BCF=90°（正方形各角相等且为90°） ∴∠A=∠BCG=90° 在△BAE 与△BCG 中 BA=BC ∠A=∠BCG AE=CG ∴△BAE ≌△BCG （SAS ） ∴BE=BG （全等三角形对应边相等） ∴∠ABE=∠CBG （全等三角形对应角相等） ∵正方形ABCD 中 ∴AB ∥CD （正方形对边平行） ∴∠ABF=∠BFC ∴∠BFC=∠1+∠ABE=∠2+∠CBG=∠FBG ∴FG=BG （等角对等边） ∴BE=BG=GF =CG+CF=AE+CF
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1、如图，在ABC ∆中，CAD BAD BC AD ∠>∠⊥，，求证：AC AB >。

A
解：
B D C
2、已知：如图，正方形ABCD ，21∠=∠，Q 在DC 上，P 在BC 上。

求证：PA=PB+DQ 。

A D 2 1
Q
B P C
解：解： 延长PB 至G,使BG=DQ,连接AG 则△ADQ ≌△ABG
∴∠AQD=∠G,∠DAQ=∠BAG
又∠AQD=∠BAQ=∠BAP+∠QAP,∠DAQ=∠QAP ∴∠BAG+∠BAP==∠BAP+∠QAP=∠AQD=∠G 即∠G=∠PAG ∴PA=PG 即PA=PB+QD
3．如图，已知BD 平分∠ABC ，AC=BC ，∠C=90°，AE ⊥BD 于E ，判断AE 与BD 的数量关系并证明. 解： 结论：BD=2AE
证明：延长AE 与BC 的延长线交于F
因为BD 平分∠ABC 且BD ⊥AE ，所以△AFB 为等腰三角形 所以AF=2AE ，在△AFC 与△BDC 中，
AC=BC ，∠ACF ＝∠BCD=90º，∠CAF=∠CBD(等角的余角相等) 所以△AFC ≌△BDC ∴BD=AF=2AE
4.如图3，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：
3 A
B E D C
∠ADB=∠CDF
解：作CM⊥AC,交AF的延长线于M,
AE⊥BD,可得∠AEB=90°,即∠BAE+∠ABE=90°,
由∠A=90°，可得∠BAE+∠DAE=90°,
所以∠ABE=∠DAE，
CM⊥AC，可得∠ACM=90°＝∠A，再加上AB=AC，可证三角形ABD与三角形CAM全等，从而可得CM=AD=CD,∠ADB=∠M
由∠A=90°，AB=AC，可得∠ACB=45°,而∠ACM=90°，∠ACB=∠MCB=45°。

再加上CF=CF,可证三角形CDF与三角形CMF全等，
∠M=∠CDF 故∠ADB=∠CDF。