多物体系统的机械能守恒

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27 第六章第3讲机械能守恒定律

小球在 D 点做斜上抛运动，小球在 D 点速度的大小 vD＝ 2.5 m/s，
则小球上升到最高点与水平面间的距离 H ＝ R(1 ＋ sin 30°) ＋
（vD cos 30°）2 ＝27
2g
32
m，D 错误。]
【针对训练】 1．【单个物体单一过程的机械能守恒】固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于 A．它滑过的弧长 B．它下降的高度
√C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [如图所示，设圆环下降的高度为 h，圆环的半
径为 R，它到 P 点的距离为 L，根据机械能守恒定
律得 mgh＝12 mv2，由几何关系可得 h＝L sin θ，
sin θ＝2LR ，联立可得 h＝2LR2 ，可得 v＝L
g R
，
C 正确，ABD 错误。]
√B．在整个下降过程中，速降者的重力势能一直减小
C．在整个下降过程中，绳对速降者先做正功后做负功 D．在整个下降过程中速降者的机械能守恒
B [对速降者受力分析可知，受绳的拉力和重力，当加速下降时，加速度向下，则速降者处于失重状态，A错误；在整个下降过程中，重力做正功，则速降者的重力势能一直减小，B正确；对速降者而言无论是加速下降还是减速下降，位移都向下而拉力都向上，故绳的拉力始终做负功，即除重力以外的其它力做负功，则速降者的机械能一直减小，CD错误。]
第六章机械能
第3讲机械能守恒定律
内容索引
➢考点一机械能的理解及守恒判断 ➢考点二单个物体的机械能守恒 ➢考点三多个物体系统的机械能守恒 ➢聚焦学科素养拓展视野提能力——非质点类物体的机械能守恒问题 ➢课时精练(二十七) 机械能守恒定律

机械能守恒定律解题的基本思路及在多物体系统、链条、绳、杆中的应用(解析版)

机械能守恒定律解题的基本思路及在多物体系统、链条、绳、杆中的应用模型概述1.机械能是否守恒的三种判断方法1)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．4)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒.2.系统机械能守恒的三种表示方式1)守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E1=E2说明：选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能2)转化角度：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，即ΔE k=-ΔE p说明：分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差3)转移角度：系统内A部分物体机械能增加量等于B部分物体机械能减少量，即ΔE A增=ΔE B减说明：常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题说明：①解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用1)式时，必须规定零势能参考面，而选用2)式和3)式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量.②单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式3.机械能守恒定律解题的基本思路1)选取研究对象；2)进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；3)选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；4)根据机械能守恒定律列出方程；5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．4.多物体系统的机械能守恒问题1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3)列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔE k=-ΔE p或ΔE A= -ΔE B的形式解决问题．4)几种典型问题①速率相等情景注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．②角速度相等情景Ⅰ、杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．Ⅱ、由v=ωr知，v与r成正比．③某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．典题攻破1.机械能守恒定律解题的基本思路例1.(2024·四川巴中·一模)滑板是运动员脚踩滑动的器材，在不同地形、地面及特定设施上，完成各种复杂的滑行、跳跃、旋转、翻腾等高难动作的极限运动，2020年12月7日，国际奥委会同意将滑板列为2024年巴黎奥运会正式比赛项目。

高中物理复习：机械能守恒定律和能量守恒定律

高中物理复习：机械能守恒定律和能量守恒定律【知识点的认识】1．机械能：势能和动能统称为机械能，即E＝E k+E p，其中势能包括重力势能和弹性势能．2．机械能守恒定律（1）内容：在只有重力（或弹簧弹力）做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．（2）表达式：观点表达式守恒观点 E1＝E2，E k1+E p1＝E k2+E p2（要选零势能参考平面）转化观点△E K＝﹣△E P（不用选零势能参考平面）转移观点△E A＝﹣△E B（不用选零势能参考平面）【命题方向】题型一：机械能是否守恒的判断例1：关于机械能是否守恒的叙述中正确的是（）A．只要重力对物体做了功，物体的机械能一定守恒B．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒C．外力对物体做的功为零时，物体的机械能一定守恒D．只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒分析：机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功的物体系统，其他力不做功，理解如下：①只受重力作用，例如各种抛体运动．②受到其它外力，但是这些力是不做功的．例如：绳子的一端固定在天花板上，另一端系一个小球，让它从某一高度静止释放，下摆过程中受到绳子的拉力，但是拉力的方向始终与速度方向垂直，拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能是守恒的．③受到其它外力，且都在做功，但是它们的代数和为0，此时只有重力做功，机械能也是守恒的．解：A、机械能守恒条件是只有重力做功，故A错误；B、匀速运动，动能不变，但重力势能可能变化，故B错误；C、外力对物体做的功为零时，不一定只有重力做功，当其它力与重力做的功的和为0时，机械能不守恒，故C错误；D、机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，故D正确．故选：D．点评：本题关键是如何判断机械能守恒，可以看能量的转化情况，也可以看是否只有重力做功．题型二：机械能守恒定律的应用例2：如图，竖直放置的斜面下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧半径为R，∠COB ＝θ，斜面倾角也为θ，现有一质量为m的小物体从斜面上的A点无初速滑下，且恰能通过光滑圆形轨道的最高点D．已知小物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求：（1）AB长度l应该多大．（2）小物体第一次通过C点时对轨道的压力多大．分析：（1）根据牛顿第二定律列出重力提供向心力的表达式，再由动能定理结合几何关系即可求解；（2）由机械能守恒定律与牛顿第二定律联合即可求解．解：（1）因恰能过最高点D，则有又因f＝μN＝μmgcosθ，物体从A运动到D全程，由动能定理可得：mg（lsinθ﹣R﹣Rcosθ）﹣fl＝联立求得：（2）物体从C运动到D的过程，设C点速度为v c，由机械能守恒定律：物体在C点时：联合求得：N＝6mg答：（1）AB长度得：．（2）小物体第一次通过C点时对轨道的压力6mg．点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．题型三：多物体组成的系统机械能守恒问题例3：如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是（）A．斜面倾角α＝30°B．A获得最大速度为2gC．C刚离开地面时，B的加速度最大D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒分析：C球刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，求出斜面的倾角．A、B、C组成的系统机械能守恒，初始位置弹簧处于压缩状态，当B具有最大速度时，弹簧处于伸长状态，根据受力知，压缩量与伸长量相等．在整个过程中弹性势能变化为零，根据系统机械能守恒求出B的最大速度，A的最大速度与B相等；解：A、C刚离开地面时，对C有：kx2＝mg此时B有最大速度，即a B＝a C＝0则对B有：T﹣kx2﹣mg＝0对A有：4mgsinα﹣T＝0以上方程联立可解得：sinα＝，α＝30°，故A正确；B、初始系统静止，且线上无拉力，对B有：kx1＝mg由上问知x1＝x2＝，则从释放至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零；此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，即：4mg（x1+x2）sinα＝mg（x1+x2）+（4m+m）v Bm2以上方程联立可解得：v Bm＝2g所以A获得最大速度为2g，故B正确；C、对B球进行受力分析可知，C刚离开地面时，B的速度最大，加速度为零．故C错误；D、从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，故D错误．故选：AB．点评：本题关键是对三个小球进行受力分析，确定出它们的运动状态，再结合平衡条件和系统的机械能守恒进行分析．【解题方法点拨】1．判断机械能是否守恒的方法（1）利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少．（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒．（3）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒．（4）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题中有特别说明或暗示．2．应用机械能守恒定律解题的基本思路（1）选取研究对象﹣﹣物体或系统．（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能．（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（E k1+E p1＝E k2+E p2、△E k＝﹣△E p或△E A＝﹣△E B）进行求解．注：机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关．3．对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键：（1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化；（2）哪几个物体构成的系统机械能守恒；（3）各物体的速度之间的联系．13．能量守恒定律【知识点的认识】能量守恒定律1．内容：能量即不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中其总量不变，叫能量守恒定律．2．公式：E＝恒量；△E增＝△E减；E初＝E末；3．说明：①能量形式是多种的；②各种形式的能都可以相互转化．4．第一类永动机不可制成①定义：不消耗能量的机器，叫第一类永动机．②原因：违背了能量守恒定律．。

多物体系统机械能守恒的误区扫描

１机械能守恒定律与绳连问题的误区
■ｒ’，－
例１如图１所示，在水平光滑细杆上穿着Ａ、Ｂ２个刚性小球，两球间距离为Ｌ，用两根长度同为Ｌ的
连，在杆的中点。处有一固定
转动轴，把杆置于水平位置后释放，在Ｂ球顺时针摆动到最低位置的过程中（）．
■，’，
例２如图３所示，质量分别为和２ｍ的２个
小球Ａ和Ｂ，中间用轻质杆相
◇ 山东张启光李瑞芳
多个物体组成的系统满足机械能守恒定律时，在解题过程中除了要注意机械能守恒条件的判断、零势能面的选取、不能漏掉各物体的各项机械能等常见误区外，还应注意系统机械能守恒中的以下几种典型误区．
ＤＡ球、Ｂ球和地球组成的系统机械能不守恒
不可伸长的轻绳与Ｃ球连接，开始时三球静止两绳伸直，然后同时释放三球．已知Ａ、Ｂ、Ｃ三球质量相等，试求Ａ、Ｂ两球速度的大小与Ｃ球到细杆的距离ｈ之间的关系．
加，Ｂ球机械能一定减少．所以Ｂ、Ｃ选项正确．
舞竺
萼
ｇ（一）一号ｍ诡＋２×丢ｍ，又因为ｔｎ一垂直时，杆的弹力可能对物体做功．另外在杆连问题
中，绕固定转动轴运动的不同物体有共同的角速度，

多物体机械能守恒问题的分析方法(含答案)

多物体机械能守恒问题的分析方法一、基础知识1、对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式．二、练习1、如图是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系物体A 、B ，且m A ＝2m B ，从图示位置由静止开始释放 A 物体，当物体B 到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．解析物体B 到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔE p ＝m A g πR2－m B gR ，系统动能的增加量为 ΔE k ＝12(m A ＋m B )v 2，由ΔE p ＝ΔE k 得v 2＝23(π－1)gR .对B 由动能定理得：W －m B gR ＝12m B v 2绳的张力对物体B 做的功 W ＝12m B v 2＋m B gR ＝π＋23m B gR .答案 π＋23m BgR2如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面； b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h答案 B解析在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12m v 2＝mg Δh ，Δh ＝v 22g ＝h 2，所以a 球可能达到的最大高度为1.5h ，B 正确.3、如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住 B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是 ( )A ．B 物体受到细线的拉力保持不变B ．B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量C ．A 物体动能的增量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和D ．A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功答案 BD解析对A 、B 的运动分析可知，A 、B 做加速度越来越小的加速运动，直至A 和B 达到最大速度，从而可以判断细线对B 物体的拉力越来越大，A 选项错误；根据能量守恒定律知，B 的重力势能的减少转化为A 、B 的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可判断B 选项正确，C 选项错误；而A 物体动能的增量为细线拉力与弹簧弹力对A 做功之和，由此可知D 选项正确．4、如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m ，且M >m ，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中( ) A ．M 、m 各自的机械能分别守恒B ．B ．M 减少的机械能等于m 增加的机械能C ．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能D ．M 和m 组成的系统机械能守恒答案 BD解析 M 下落过程，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能减少，A 错误；m 上升过程，绳的拉力对m 做正功，m 的机械能增加；对M 、m 组成的系统，机械能守恒，易得B 、D 正确；M 减少的重力势能并没有全部用于m 重力势能的增加，还有一部分转变成M 、m 的动能，所以C 错误．5、如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )A ．斜面倾角α＝30°B ．A 获得的最大速度为g2m5kC ．C 刚离开地面时，B 的加速度为零D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒答案 AC解析当A 沿斜面下滑的速度最大时，其所受合外力为零，有m A g sin α＝(m B ＋m C )g .解得sin α＝12，所以α＝30°，A 、C 项正确；A 、B 用细线相连，速度大小一样．当A 的速度最大时，对C 有：mg ＝kx ，对A 、B 、弹簧组成的系统应用机械能守恒定律有： 4mgx ·sin α＝mg ·x ＋12kx 2＋12(m A ＋m B )v 2，解得v ＝gm5k，B 项错误．在D 项中，应是A 、B 、弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误．6、如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A ．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒C ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒D ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒答案 BC解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确．由于A 球、B 球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误．所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误．7、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h时，让圆环由静止开始沿杆滑下，滑到杆的底端时速度恰好为零．若以地面为参考面，则在圆环下滑过程中()A．圆环的机械能保持为mghB．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧弹力做的功为－mghD．弹簧的弹性势能最大时，圆环的动能和重力势能之和最小答案CD解析圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故圆环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于圆环的机械能变化量，C正确．圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小．即：圆环滑到杆的底端时弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以在圆环下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小最后又增大，B错误．弹簧和圆环的总机械能守恒，即E p弹＋E k m＋E p m＝0，当E p弹最大时，E k m＋E p m必最小，故D项正确．。

机械能守恒定律多物体

详细描述
在天体运动中，行星、卫星等天体在万有引力的作用下绕中心天体做圆周运动或椭圆运动。在运动过程中，天体的势能和动能相互转化，总机械能保持不变。这一规律在天文学、航天学等领域有广泛应用。
06 结论
机械能守恒定律的意义与价值
意义
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，它揭示了机械能（动能和势能）在封闭系统中的守恒性质。这个定律在理论研究和实际应用中都具有非常重要的意义，因为它提供了一种理解和预测物体运动规律的有效方法。
探索机械能守恒定律在不同条件下的适用性：目前我们对于机械能守恒定律的理解主要是在理想条件下进行的，但是在实际应用中，物体往往受到各种复杂因素的影响。因此，我们需要进一步探索在不同条件下（例如非惯性参考系、存在电磁场等），机械能守恒定律的适用性和应用范围。
结合其他物理定律研究复杂系统的运动规律：在实际应用中，物体的运动往往受到多种物理定律的共同作用。因此，我们需要进一步研究如何将机械能守恒定律与其他物理定律（如牛顿第三定律、动量守恒定律等）结合起来，以更好地描述和理解复杂系统的运动规律。
弹簧振子
一个简单的弹簧振子系统由一个质量块和一根弹性弹簧组成。当质量块在弹簧的弹力作用下做往复运动时，系统的机械能守恒。这是因为只有保守力（弹力）作用在系统上，而没有外力作用。
04 机械能守恒定律的推论
动量守恒定律
01
总结词
动量守恒定律是描述系统在不受外力作用或外力作用相互抵消时，系统
总动量保持不变的规律。
02 03
详细描述
动量守恒定律适用于封闭系统，即系统与外界没有物质交换和能量交换。当系统受到的外力相互抵消时，系统总动量保持不变，即系统的初始动量和末动量相等。

多体机械能守恒问题

一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。

2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点E k1＋E p1＝E k2＋E p2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。

类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。

类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。

假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a、v b、v c，那么关于v a、v b、v c的关系，以下判断中正确的选项是( )A ．v a ＝v b ＝v c B.v a <v b <v c C ．v c >v a >v b D.v a >v b >v c答案 C解析设桌面下方L 处为零势能面。

专题：多物体机械能守恒

3
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的
一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直
杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮
等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，
不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(
)
A.环到达B处时，重物上升的高度d
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
止释放B后，已知当细绳与竖
直方向的夹角为60°时，滑
块B沿着竖直杆下滑的速度为
v,则连接A、B的绳长为？
Q1:A、B两个物体受到了哪些力的作用？这
EK+EPG+EP弹=定值
些力对物体做功吗？A、B物体机械能守恒吗？
绳子拉力和物体重力都做功
A、B物体机械能不守恒
A
60°
B
一、绳连接模型
例题1：有一竖直放置
的“T”形架，表面光滑，滑
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
B.环到达B处时，环的速度大小是重物的 2倍
关联速度：
C.环从A运动到B过程中减少的机械能大于重物
增加的机械能
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另
一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆

多物体机械能守恒问题

多物体机械能守恒问题多物体机械能守恒问题是物理学中一个重要的概念。

根据能量守恒定律，对于一个孤立系统，机械能守恒，即系统中所有物体的机械能总和在时间上保持不变。

这个理论在解决各种实际问题中非常有用，尤其是在涉及多个物体之间相互作用的情况下。

在多物体的机械能守恒问题中，我们通常需要考虑物体之间的相对运动、动能和势能的转化以及可能存在的外力等因素。

通过对这些因素的仔细分析，我们可以确定系统中每个物体的运动情况，并且可以预测未来的运动状态。

首先，我们必须考虑每个物体的动能和势能的贡献。

动能是由物体的质量和速度决定的，而势能则取决于物体所处的位置。

在考虑动能和势能的转化时，我们必须考虑物体之间可能存在的弹性碰撞或摩擦等相互作用。

这些相互作用可能导致动能和势能的转移，从而影响系统的机械能总和。

其次，外力也是多物体机械能守恒问题中的一个关键因素。

外力可以改变物体的运动状态，从而影响机械能的守恒。

例如，当存在摩擦力时，物体会受到额外的耗散力，从而导致机械能的减小。

通过确定系统中每个物体的动能和势能以及考虑外力的影响，我们可以使用机械能守恒定律来解决多物体机械能守恒问题。

我们可以建立方程来表示系统中各个物体的机械能总和，并通过求解这些方程来确定系统的未来运动状态。

通过应用这个方法，我们可以预测多物体系统在任意时间点的位置和速度。

总而言之，多物体机械能守恒问题是一个涉及多个物体相互作用的复杂问题。

通过分析各个物体的动能和势能，考虑可能的相互作用和外力的影响，应用能量守恒定律，我们可以解决这些问题并预测多物体系统的运动状态。

这个概念在物理学的研究和应用中具有重要的意义和广泛的适用性。

对机械能守恒的理解

对机械能守恒的理解对机械能守恒的理解扬州市宝应县画川高级中学于锋随着学习的深入，机械能守恒定律的内容和深度在不断的拓展，由最初的物体在只有重力做功情况下机械能守恒，拓展到含有弹簧的系统机械能守恒，以及多物体的系统机械能守恒问题。

机械能守恒定律在〖教科版〗教材（必修2）中是这样表述的：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

机械能守恒定律的条件拓展为：系统内各物体间发生动能、重力势能、弹性势能的相互转移或转化，而没有转化为其他形式的能量时，系统的机械能就守恒。

它是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。

一、机械能守恒条件的全面理解1、从功和能的关系角度理解从功能关系的角度看，重力（弹簧的弹力）做功不会改变物体的机械能，除重力（弹簧的弹力）之外的其他力做功必然发生机械能的转化或转移。

因此，只有重力（弹簧的弹力）做功可具体表现为三种情况：（1）只受重力（弹簧的弹力）而不受其他力的作用。

如自由落体和各种抛体运动（不计空气阻力）。

（2）还受其他力作用，但其他力不做功。

如物体沿固定的光滑曲面运动，尽管受支持力作用，但它不做功。

（3）其他力做功，但做功的代数和为零。

〖情景1〗如图1所示，一固定的楔形木块，其斜面倾角为30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。

一条柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。

物块A与斜面间无摩擦。

设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。

求物块B上升离地的最大高度H。

〖分析〗绳中的拉力TA和TB都做功，这时A和B各自的机械能都不守恒，但WA＋WB＝0，因此，对A和B构成的系统只有重力做功，总的机械能守恒。

对由A和B构成的系统，由机械能守恒定律得：细线突然断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律得：2．从能量转化的角度理解从能量转化角度看，机械能守恒定律是普遍的能的转化与守恒定律的特殊情况，就是指无其他形式的能量（力学中特别是指与摩擦和介质阻力相关的热能）参与转化，只发生动能和势能相互转化的过程，机械能的总量保持不变。

机械能守恒2多物体机械能守恒问题

机械能守恒应用2 多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 2、模型条件(1)．忽略空气阻力和各种摩擦．(2)．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。

3、模型特点(1)．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (2)．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．例1．[转动]质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L3处有一个光滑固定轴O ，如图8所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：图8(1)小球P 的速度大小；(2)在此过程中小球P 机械能的变化量．答案 (1)2gL 3 (2)增加49mgL 解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v ，由于P 、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v .由机械能守恒定律得 2mg ·23L －mg ·13L ＝12mv 2＋12·2m ·(2v )2，解得v ＝2gL3. (2)小球P 机械能增加量ΔE ＝mg ·13L ＋12mv 2＝49mgL[跟踪训练].如图5－3－7所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。

求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功？图5－3－7解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。

如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

系统的机械能守恒问题

Ep1 ?
?( ? 22
)? 4
8
OB段的势能为
mg L mgL
Ep2 ?
?? 24
8
初状态链条的总势能为
mgL(3 ? sinq)
EP ? Ep1 ? EP 2 ?
8
链条的机械能守恒问题
因为在高中阶段不研究任意形状物体的重心问题，所以在计算链条及相似物体的重力势能时，采取的方法如下：
①整体法：把规则形状的链条当作一个整体来研究，重心在其几何中心上。
M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径 OA
向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
A B
解：(1)该系统在自由转动过程中,只有重力做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线速度为VA,B球的速度为VB,则据
机械能守恒定律可得:
A
mgr ?
mgr 2
?
1 2
mvA2
?
1 2
mvB2
4.5 系统的机械能守恒问题
提出问题守恒条件是什么？
问题1、在拉力 F的作用下使质量为 m 的物体匀速上升机械能是否守恒？为什么？
问题2、小球机械能守恒吗？
F
m
知识回顾：
机械能守恒条件之（3）：有系统内的内力做功，但是做功代数和为零，
系统机械能守恒
F1

功能关系-ppt课件

(1)滑块与木板间的摩擦力大小Ff；
(2)滑块下滑的高度h；
(3)滑块与木板相对滑动过程中产生的热量Q。
解：(2)对滑块，由牛顿第二定律：Ff＝ma2
由运动学公式： v=v0-a2t
知行合一格物致知
解得：h＝0.45m

由机械能守恒定律： mgh = mv02
如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表
表面与固定的光滑弧面相切。一质量m＝1 kg的小滑块自弧面上高h处由
静止自由滑下，在木板上滑行t＝1 s后，滑块和木板以共同速度v＝1 m/s
匀速运动，g取10 m/s2。求：
(1)滑块与木板间的摩擦力大小Ff；
(2)滑块下滑的高度h；
(3)滑块与木板相对滑动过程中产生的热量Q。
解：(1)对木板，由牛顿第二定律： Ff＝Ma1
知行合一格物致知
倾斜传送带从底端传送物体（初速度为零），且能与
皮带共速，则传送物体多做的功是多少？
由能量守恒定律可知：
W多＝ Q +ΔEk+ΔEP
=

+(皮 −

物) +
说一说你学到了什么？
电动机就是消耗电能的机器，消耗的电能转
化为了其他形式能
例11、如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角 θ＝30°，传送带
时，小车运动的距离为。在这个过程中，
以下结论正确的是（
A
）
A．小物块到达小车最右端时具有的动能为 − +
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为
C．小物块克服摩擦力所做的功为
D．小物块和小车发生相对滑动，摩擦产生的内能为
例9、如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上

机械能系统守恒

十二指肠憩室与胆道结石关系的探讨
[背景]十二指肠憩室在行内镜下逆行胰胆管造影术(endoscopic retrograde cholangio-pancreatography, ERCP)检出率约为3.2%-26%,目前研究报告对十二指肠憩室是否对胆管插管或者术后主要并发症有影响仍有一定争议。

[目的]探讨十二指肠憩室的存在与胆道结石关系,对ERCP胆管插管及对术后主要并发症的影响,并从侧面了解我院初期ERCP水平。

[方法]回顾性分析2010年1月至2012年1月期间,在我院行ERCP的179例患者,分析比较憩室组(A组)与非憩室(B组)患者的年龄,胆道结石发生率,胆结石发生部位、插管成功率及并发症。

[结果]179例患者中,憩室组59例,男性为30名,女性为29名,平均年龄为67岁。

憩室伴发胆道结石达55例,其中原发性胆总管结石为8例。

非憩室组120例,男性为57名,女性为63名,平均年龄为57岁。

非憩室组胆道结石为92例,原发性胆总管结石为14例。

原发性胆总管结石发生率两组分别为：13.56%和11.67%,两者有统计学差异(P=0.001)。

憩室组插管成功率达91.53%(54/59),非憩室组达96.67%(116/120),插管成功率无统计学意义(91.53%VS96.67%, P=0.139, Fisher矫正后为0.158)。

憩室组与非憩室组PEP发生率分别达：11.86%(7/59)及8.33%(10/120),两组之间PEP发生率无差别(11.86%VS8.33%,P=-0.574)。

[结论]十二指肠憩室的存在随年龄增大而发病率升高,憩室的存在与胆道结石发生相关,其对ERCP插管成功率及术后主要并发症无影响。

多物体的机械能守恒

多物体的机械能守恒1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式。

[典例] (2015·青岛检测)一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A 、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图5-3-5所示。

已知A 球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：图5-3-5(1)A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A 球沿圆柱内表面运动的最大位移。

[审题指导](1)A 球沿绳方向的分速度与B 球速度大小相等。

(2)A 球沿圆柱内表面运动的位移大小与B 球上升高度相等。

(3)A 球下降的高度并不等于B 球上升的高度。

[解析] (1)设A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v ，B 球的质量为m ，则根据机械能守恒定律有甲2mgR －2mgR ＝12×2m v 2＋12m v B 2 由图甲可知，A 球的速度v 与B 球速度v B 的关系为v B ＝v 1＝v cos45°联立解得v ＝22－25gR 。

(2)当A 球的速度为零时，A 球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x ，如图乙所示，由几何关系可知A 球下降的高度h ＝x 2R 4R 2－x 2乙根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0解得x＝3R。

[答案](1)22－25gR(2)3R[方法规律]解决多物体机械能守恒问题的三点注意(1)正确选取研究对象。

(2)合理选取物理过程。

(3)正确选取机械能守恒定律的表达式。

机械能守恒定律(系统,多体)

机械能守恒定律(系统的机械能守恒)系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。

系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。

虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在的机械能也守恒。

但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

（1）轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。

它们分别是：M所受的重力Mg ，m 所受的重力mg ，斜面对M 的支持力N ，滑轮对细绳的作用力F 。

M 、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

机械能守恒定律-——多物体问题

机械能守恒定律——多物体问题教学目标1、能够判断多物体是否机械能守恒2、能够表达机械能守恒；教学重难点教学重点：1、多物体是否守恒的判断；2、灵活运用机械能守恒表达。

教学难点：1、多物体机械能守恒的判断；2、多个物体速度的关系基础知识归纳1、守恒条件：没有摩擦造成的系统机械能损失而减少；没有人、发动机等输入系统能量造成增加2、表达式（1）系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能：设有A 、B 两个物体机械能守恒，则末末初初B A B A E E E E +=+（2）以系统内各种机械能为研究对象：减少的等于增加的，K P E E ∆-=∆动能、势能的改变量的计算方法：①|∆Ep | =|W G |=mgh ②∆E k 增=E K 末—E K 初 ③∆E k 减=E K 初—E K 末（3）以组成系统的物体A 、B 为研究对象： A 减少的机械能等于B 增加的机械能，即B A E E ∆-=∆典例精析【例1】如图，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？解析：解法一：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的转化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：()mgh mgH v m mgH mv 22212122+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得gh v 34= 解法二：对木块和砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆-=∆，即()mgh v m mv 22212122=+，解得gh v 34=解法三：对木块和砝码组成的系统机械能守恒，B A E E ∆-=∆，即()22221221v m mgh mv -=，解得gh v 34= 【例2】如图，质量为m 的砝码用轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为M （M >m )的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地,求：这时砝码的速率为多少？解析：两个砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆-，即()221v m M mgh Mgh +=-，解得gh mM mM v 2+-=．【例3】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。