数学文化之杨辉三角

合集下载

高中数学《杨辉三角》教学设计

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

高中数学选修本(理科)研究性课题杨辉三角

研究性课题：杨辉三角●教学目标(一)教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质)(二)能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力，数式变换能力.3.观察问题，概括问题证明问题的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.●教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与排列、组合与概率的知识结合起来.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是不无帮助的.●教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点，用数学归纳法证明二项式定理，也是一个难点，由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系，究竟有什么样的关系，要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.●教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法，因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的，从一般的情况求解显得枯燥无味，而本节也是研究性课题，在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法，让学生讨论研究，从中发现问题，提出问题，最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程，让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.●教具准备实物投影仪(或幻灯机，幻灯片)，学生的讨论成果展示.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在第十章，我们在学习二项式定理时，已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里记载着类似下面的表：图2—7这个表称为杨辉三角，在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪，在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal ，1623年~1662年)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，这就是说，杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读，目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌，激励他们立志为中华民族伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献，今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系，(板书课题，研究性课题：杨辉三角)Ⅱ.讲授新课［师］一般的杨辉三角如下：其中)!(!!C r n r n r n -=.［师］在学习二项式定理时，我们知道，杨辉三角的第n 行就是二项式(a +b )n展开式的系数，请同学们回顾一下，二项式定理的内容是什么？［生］(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 2221110++++⋅++--- . ［师］你们能证明这个定理吗？［生］利用定义证明：(a +b )n=(a +b )·(a +b )·(a +b )·…·(a +b ).(n 个括号).等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项.a n ，a n －1b ，a n －2b 2，…，a n －r b r ，…，b n .现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么，在上面n 个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即0C n 种，所以a n的系数为0C n; 恰有1个取b 的情况有1C n 种，所以a n －1·b 的系数为1C n ; 恰有2个取b 的情况有2C n 种，所以a n －2·b 2的系数为2C n; ……恰有(n －1)个取b 的情况有1-C n n种，所以ab n －1的系数为1-C n n; n 个都取b 的情况有n n C 种，所以b n 的系数为nnC 因此，n n n r r n r n n n n n n n n bb a b a b a a b a C C C C C )(222110++++⋅++=+--- . ［师］这种定义法证明固然是好，但不能代表更广泛的意义？你们能用其他方法给予证明吗？［生］用数学归纳法证明:(1)n =1时，左边=(a +b )1=a +b ，展开式的系数为1，1.而右边b a b a +=+=1101C C ，∴左边=右边，∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时等式成立，即kk k r r k r k k k k k k bb a b a a b a C C C C )(110++⋅+++=+-- . 当n =k +1时， (a +b )k +1=(a +b )k(a +b )利用,,C C C ,,C C C ,C C 1111101010 +++++=+=+=r k r k r k k k k k k 1111C C ,C C C +++-==+k k k k k k k k k k ，得到kk k r r k r k k k k k k abb a b a a b a 1111111011C C C C )(++-+++++++++++=+ 这就是说，如果n =k 时等式成立，那么n =k +1时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对于任意正整数n ，等式都成立.这样，我们就证明了二项式定理.［师］杨辉三角有哪些基本性质？［生甲］(1)对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即kn nk n -=C C (k =0，1，2，…，n ).这一性质可直接由组合数计算公式或性质得到.将r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{0，1，2，3，…，n }直线r =2n将其图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.因为，由(1)可知kn n k n n n n n n n --===C C ,,C C ,C C 110 .又kk n k k k n n n n k nk n 1C )!1()1()2)(1(C 1+-⋅=-+---=- ，所以)(1C C 1k g kk n k n k n =+-=-,那么f (k )的单调性情况由21+-k n 来决定，即g (k )＞1还是g (k )＜1.由2111+<⇔>+-n k k k n .可知，当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间的一项二次式系数2C n n取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数2121C,C+-n nn n相等，且同时取得最大值.［生乙］这个三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rn r n r n 111C C C ---+=，这也是杨辉三角的最基本的性质.［师］除了杨辉三角的基本性质外，仔细观察杨辉三角的图形，我们还可以发现什么样有趣的排列规律呢？(引导启发学生观察问题，分析问题、提出问题，最后再解决问题，教师应参与学生一起讨论)［生］计算杨辉三角中各行数字的和，我们有：(板书) 第1行 1+1=2，第2行 1+2+1=4，第3行 1+3+3+1=8，第4行 1+4+6+4+1=16，第5行 1+5+10+10+5+1=32， ……于是：猜想第n 行 nn nn n r n n n n 2C C C C C C 1210=+++++++- ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n.［师］你能证明这个结论吗？［生］可以，用数学归纳法证明：(板书)(1)当n =1时，左边=1101C C +，右边=21=2. ∴左边=右边，即当n =1时，等式成立. (2)假设n =k 时，结论成立，即kk k k k r k k k k 2C C C C C C 1210=+++++++- . 那么n =k +1时，11111131211101C C C C C C C C +++++++++++++++++++k k k k r k r k k k k k 11210132101111132211001222)C C C C C C (2C C C 2C 2C 2C 2C 2C 2C )C C ()C C ()C C ()C C ()C C ()C C (C +--++---+=⋅=+++++++=+++++++++=+++++++++++++++=k k k kk k r k k k k k k k k k k r k k k k k k k k k k k r k r k r k r k k k k k k k k 即n =k +1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，等式对一切自然数n ∈N *都成立. ［师］你在证明过程中用到了什么技巧？［生］利用①杨辉三角的基本性质3.(前面证明过了)②01C +k 换成0C k ，③11C ++k k 换成k kC ，然后合并再用归纳假设. ［师］他的这两步代换是十分重要的，也是较好的.如果也利用性质3是无法操作的，所以在具体的解题过程中要因题、因情而宜，不能千篇一律地都使用一个技巧.同学们，思考一下，还有其他的方法可以证明吗？［生丙］用赋值法.在二项式定理中，对a ，b 都赋值1，即可得出结论.证明：∵(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 在上式中令a =b =1.即得，(1+1)n= +⋅⋅+⋅⋅+⋅--22211011C 11C 1C n nn n n n r r n r n 11C ⋅⋅+-nn n1C ⋅++ ，故有:nn n r n n n n 2C C C C C 210=++++++ . ［师］请同学们再观察杨辉三角，还可以得到什么结论呢！［生］经观察计算知，每行的奇数项的和等于偶数项的和，即：15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . ［师］你怎样证明它呢？［生］利用赋值法.因为(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n b b a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 令a =b =1得：n n nr n n n n 2C C C C C 210=++++++ ① 令a =1，b =－1得:0C )1(C )1(C C C C 3210=-++-++-+-n n n r n r n n n n ②由②得∴531420C C C C C C n n n n n n ++=+++ +…又由①知：14202C C C -=+++n nn n .故命题得证. ［师］用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第1，3，7，15行的各数字有什么特点？［生］第一行是1；第三行是1，3，3，1；第7行数字是1，7，21，35，35，21，7，1，第15行数字是1，15，105，…，105，15，1，这些行上的各个数字都是奇数，而第2，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14行上的数字有奇数有偶数.［师］总结概括的很好！你们能将这种情况推广吗？ (稍等片刻，让学生之间互相讨论，交流自己的研究结果，应该给学生留一定的时间和空间)［生丁］因为1=21－1，3=22－1，7=23－1，15=24－1，所以我们大胆猜想第2k－1行(k ∈N*)的各个数字都是奇数.［师］你能证明吗？［生丁］这个我没有证明，但我认为应该是正确的！［师］不能仅靠直觉，前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的，所以我们提出的猜想，要尽可能地给予证明，如果课堂上不能解决，课后再讨论证明方法也行.［生戊］我有一种证明思路，利用组合数定义进行证明即可.因为：12)2()1()2()32)(22)(12(C 12⋅⋅-⋅-⋅----=- r r r r k k k k rk，下面对r 进行分类，当r 为偶数时，设为r =2m (m ∈N) ∴12)22)(12(2)22()32)(22)(12(C 12⋅------=- m m m m k k k k rk下面再对m 的奇偶性分类讨论，经过有限步的约分化简，可以得到r k12C -在r =2m 时是奇数.同样地，当r 为奇数时，r =2m +1时，我们也用这种无穷递降法进行化简，得出r k12C -也是奇数.［师］同学们，他用这种无穷递降法求解思想来证明，你们能听懂吗？［众生］思路我们是清楚的，就是没有哪一种情况是坚持到底的.［师］这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法，他在证明过程中奇偶性是交替的，分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将2提取进行约分.由于r 是有限的，所以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分，化为全是奇数的乘法与除法.也就是他的叙述上稍加改进，即更加完善了.［生壬］我在戊的基础上进行改进，也是利用无穷递降法求证，同时也运用数学归纳法的思想求解.“因为当r =0时012C -k=1，r =1时，112C -k=2k－1都是奇数，命题成立.”(2)假设当r =l (l ≥0)时结论成立，即l k12C -－1是奇数.那么r =l +1时，当l 是偶数时2k－l －1，l +1都是奇数. ∴112C +-l k是奇数.当l 是奇数，即l =2m +1(m ∈N)，112222221121+--=+--=+---m m m m l l k k k ，对m 的奇偶性再进行分类讨论，这样无穷递推下去，因k 是有限的，只要经过有限步的变换即可使112+--l l k 变为奇数奇数.由归纳假设可知，这个命题对r =l +1时也成立. 由(1)(2)可知，命题对r ∈{0，1，2， (2)－1}都成立. ［师］很好！这个学生的思路也是很清楚的，他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了，虽然数学归纳法仅适合于无限个取值，但这种思想递推关系是可以用的.Ⅲ.课堂练习归纳已经总结的杨辉三角的性质. Ⅳ.课时小结［师］这节课我们研究了杨辉三角的有关性质，同学们，你们能归纳概括吗？［生］(1)对称性.rn n r n -=C C (r =0，1，2，…，n )，关于r =2n对称.(2)单调性及最大值.当n 为偶数时，210C,,C ,C nnn n 是单调递增，n nn nn n C ,,C,C 122 +是单调递减，且2C n n是最大.当n 为奇数时，2110C ,,C ,C -n n nn是递增，n nn nn n C ,,C,C 12121 +++是递减，2121CC+-=n nn n且为最大.(3)rn r n r n 11C C C +-=+.(4)n n nn n n 2C C C C 210=++++ . 15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . (5)第2k－1行的各项都是奇数.Ⅴ.课后作业请同学们观察杨辉三角的第2，4，8，16行中除去两端的“1”之外的数字有什么特点？并根据这些特征，你能得到一般结论吗？并证明之.提示：第2k行中除1外，各个数字都是偶数，证明方法.依照问题5的方法进行证明，数学归纳法和无穷递降法结合.●板书设计。

“杨辉三角”的历史轨迹及启示

“杨辉三角”的历史轨迹及启示作者：石志群来源：《新高考·高二数学》2012年第04期编者按学习二项式定理时，很多同学往往陷入二项式的展开等问题的繁杂计算中，觉得颇为枯燥乏味，殊不知，二项式定理除了有着高度的对称美、与组合数学相关之外，还与解高次方程、概率论、微积分等有着密切的联系.本文从这几个方面向你开启“二项式定理”的历史大门，一个个与之有关的故事，演绎着数学的精彩，希望能引发你学习本段内容的学习兴趣，从中领略些许数学文化的博大精深、美丽芬芳.“二项式定理”是人类文明史上的一朵奇葩，很多民族、众多数学家为了她的发芽、生长、成熟，为了使她更加茁壮、更加瑰丽，献出了辛勤汗水和聪明才智.让我们进行一次从“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史旅游，在旅途中作些欣赏、品味和思考.一、“贾宪三角”与“开方作法本源”目前所见到的最早出现的“贾宪三角”载于杨辉《详解九章算术》（1261年），见于现存《永乐大典》卷16344（藏于英国剑桥大学），叫作“开方作法本源”（图见苏教版教材《选修23》P37）.根据杨辉的自注，这个三角形并不是杨辉发明的，因为他在《详解九章算术》中表述其“出《释锁算书》，贾宪用此术”.根据我国著名数学史家梁宗巨考证，贾宪著书大约在1023年~1050年之间.杨辉之后，朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）卷首也有同样的图，名为“古法七乘方图”.这一三角形的用途主要是开方，或者说解形如x n-A=0的高次方程.先估计出x的首位数a，并设x=x1+a，则（x1+a）n=A.然后再求x 1.而要想求出x1，就要把（x1+a）n展开，此时要用贾宪三角.下面以求x3=1728的正根为例加以说明：“实”即为1728，由其是四位数可知其立方根在10~100之间，并由其大于103且小于203知其立方根的十位数字为1，故可设x=10+b，于是有(10+b)3=1728，按贾宪三角的第4行（1， 3， 3， 1），据“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”有103+3·102b+3·10b2+b3=1782，再以“以廉乘商方，命实而除之”有300b+30b2+b3=1728-1000, 300b+30b2+b3=728.估第二位商，须有b3=8，所以b=2.再用“以廉乘商方，命实而除之”显然有728-（300·2+30·22+23）=0，所以12是1728的立方根.贾宪增乘开方法是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于任意高次方.这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法与现代通用的“霍纳算法（1819年）已基本一致.后来，数学家刘益（约12世纪）在《议古根源》中研究了首项系数可正可负、次数可以是任意的二项方程，他的研究成果可以说是解数字方程方面的重大突破.在贾宪、刘益工作的基础上，秦九韶在《数书九章》中把增乘开方法推广成为任意高次方程的数值解法，使得中国在这方面的成就在世界数学的百花园中大放异彩.古代阿拉伯和日本也都分别发现了这个三角形.1020年前后活跃于巴格达的凯拉吉（al Karaji）写了一本代数学著作，其中就给出了(a+b)3， (a+b)4的展开式.这是阿拉伯国家对此的最早记载，在时间上和中国的贾宪大约同时.日本的村井中渐（1708~1797）在其《算法童子问》（1781年）中载有与贾宪三角非常类似的三角形，专家认为其明显受到朱世杰的《四元玉鉴》的影响.另外，有印度学者认为，印度数学家约在公元前200年的书中已给出了这个三角的构造方法，但另有学者对此持怀疑态度，一般认为可信度不高.帕斯卡在西方亦有许多人知道甚至列出这一数字三角，如施蒂费尔（M. Stifel，1481~1567）、塔尔塔利亚（N. Tartaglia， 1499~1557）等，近年来，发现早在13世纪初已经在未出版的手抄本中出现了这种三角（约丹努斯（Jordanus de Nemore）大约在1220年的《算术》）.其中贡献最大的应当是法国数学家帕斯卡（ B. Pascal， 1623~1662），他不仅发现了这个数字三角，而且最先用数学归纳法证明结论的一般形式（以组合数给出的公式）.那么，帕斯卡又是怎样得到这一发现的呢？二、“帕斯卡三角”与概率论1654年，一个著名的赌徒向帕斯卡提出了一个问题：两个技巧相当的赌徒对局，在没有结束规定的局数时遇到特殊情况，需要立即终止，其中甲只要再胜两局即可赢得所有赌注，而乙则需再胜三局才能赢得所有赌注.问应该如何分配赌注？有人认为应该按3∶2的比例进行分配，你觉得合理吗？我们在《必修3》中曾经运用费马的方法解决了这个问题：通过列出所有可能结果（共16种）得到了结果（11∶5）.而帕斯卡则利用了他称为“算术三角形”的数阵（见下图，转个观察角度可以发现，其实就是一个杨辉三角，每条对角线上数就是二项展开式逐项的系数，帕斯卡还用组合数意义对其进行了解释）一般性地解决了这个问题：在一般情况下，如果甲需要m点取胜，乙需要n点取胜，那么就可以选择第m+n条对角线，并求出这条对角线上前n个元素的和α与后m个元素的和β，赌注在按α：β之比来分配.于是，一门新的数学分支——概率论诞生了！后来，数学家雅可布·伯努利将其推广到了两个水平不同，获胜机会不均等的情形，而结果与二项式定理又有着结构上的惊人的相似：如果甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为r（p+r=1），则甲在n局中能够胜r局的概率为C n-r np r(1-p)n-r.这就是教材中介绍的“二项分布”.伯努利还创造性地运用杨辉三角给出了计算前n 个正整数的正整数次幂和的新方法.前者是现代概率论的基础，后者则是“差分”法的先驱.感兴趣的同学可以做一个简单的试验，制作一个形如右图的通道及下方相互隔离的储槽，从上方放入一些小球，观察落入储槽内的小球的分布情况.多次重复上述试验，你可以发现规律：都是中间的储槽中小球多，越往两边的槽中的小球就越少.这是什么原因呢？请你再做一下简单的研究工作：对于每个槽口，把可能到达该位置的不同路线的条数数出来，并尽可能探索“如何更简单地数出到每个位置的不同路线的条数”，同时请研究：与杨辉三角有何关系？（参见苏教版高中数学《必修3》P109“阅读”）有人运用上述性质设计了一个有奖竞猜的游戏（如图），请你计算一下：如果要求中奖的概率不高于25%，此图中的中奖区域最多只能有几格（从边上开起）？三、“牛顿二项式”与“逼近级数法”1715年牛顿这样回忆往事：“在1665年初，我找到了逼近级数法和把任意二项式的任意次幂化成这样的级数的规则……”这里牛顿所回忆的是其在用级数研究圆的面积问题时所作的发现：他在沃利斯研究0~1上曲线y=(1-x2)n与x轴围成的图形的面积的基础上向更一般的情况作了拓展，并发现：∫x0(1-x2)0d x=x，∫x0(1-x2)1d x=x-13x3，∫x0(1-x2)2d x=x-23x3+15x5，∫x0(1-x2)3d x=x-33x3+35x5-17x7，∫x0(1-x2)4d x=x-43x3+65x5-47x7+19x9.牛顿然后列出了x不同次幂的系数：n=0n=1n=2n=3n=4…乘以11111 (x)01234…-13x 300136…15x 500014…-17x700001 (19x9)牛顿惊奇地发现了这里存在着杨辉三角，你能看得出来吗？可惜的是这里的各列上对应的n均为正整数，而为了求得圆的面积，我们需要这里的n对应着12的列的数牛顿值.为了找到这些值，牛顿重新发现了适用于正整数值n的杨辉三角的计算公式（与帕斯卡的公式是一致的），并决定即使当n不是正整数时也使用这个公式，由此得到了推广了的二项式定理.牛顿还运用这个“牛顿二项式定理”处理了许多有趣的级数，比如，他由此推出了反正弦函数y=arcsi n x的幂级数展开式及正弦函数的幂级数展开式：arcsin x=x+16x3+340x5+5112x7+…，sin x=x-16x3+1120x5-15040x7+….四、“杨辉三角”的历史轨迹闪耀着数学家们智慧的光芒我们沿着“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史轨迹走来，在这条轨迹上大量中外数学家的思想火花熠熠生辉.贾宪、杨辉等中国数学家根据解决实际问题时产生的求正整数方根的需要，运用归纳的思想进行探索，运用递推的思想将特殊推向一般，运用算法思想构建了解决一类问题的数学模型.这些，在数学史上都留下了不朽的辉煌，永远闪耀在数学的璀灿的星空.帕斯卡的一般化、模型化的思想在丰富组合数学的内容的同时，催生了新的数学分支，使得对随机现象中的规律性的研究获得了科学的工具，从而使数学的观念、认识世界的方式产生了巨大的影响.伟大的牛顿再一次将二项式定理推向更一般的情形，而这种推广是那样的大胆，充分体现了科学巨人的思想的宏大与精深.也正由于此，其在科学发现、发明上的创新意义才显得更为宝贵而富有价值.数学家们在研究不同的问题时不约而同地在“杨辉三角形”处相遇了！于是，数学的天空中高悬一道名曰“杨辉三角形”的美丽的彩虹，代数学、概率论、差分、数学分析……就是这道彩虹的赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七彩华色.在此你是否感受到数学的内在的统一、联系和数学的神奇、优美与优雅？如果对数学有兴趣的话，请进入数学大花园的深处，去领略数学世界的美妙与绚丽.愿同学们站在前辈们的肩膀上极目远望，向着世界、向着天空、向着未来！。

第六章数学探究杨辉三角的性质与应用

他家和学校相隔了好几个街道,如图所示.
在放学回家的过程中,小明这样想:我肯定不会走回
头路的,所以我只能向右和向上走,一共应该向右走
5条街道,向上走5条街道.
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区,图 (1)中
顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有
一条路线.小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区,
形,其构造方法为第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个数(不足3
2
5
个数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x +x+1) 的展开
8
式中,x 项的系数为75,则实数a的值为
2
.
4.如图所示的杨辉三角最早出现在我国南宋数学家杨
辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中,它有很
(4)已知(2-
2
3
2019
2
2
2
2
)n(n≥2,n∈N*)的展开式中x的系数为f(n),则
+
+
+…+
等于
(2) (3) (4)
(2020)
( B )
2019
A.
110
2019
B.
505
1009
C.
1010
1009
D.
505
1.目的
通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化.
数学探究杨辉三角的性质与应用
本章总结提升
(2) 540的不同正约数共有 24
个.
(3)用5种不同颜色(颜色可以不全用完)给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要
求每个点涂1种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方案的种

杨辉三角应用

1杨辉三角概述1.1 杨辉三角的产生唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。

到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。

事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。

商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。

这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。

南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。

因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。

我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。

上述(a nCr b) 指组合数。

而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。

简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。

中考数学试题中的数学文化

第一章数与式第四节整式及因式分解中考试题中的数学文化一、杨辉三角【文化背景】杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．【中考对接】1.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a ＋b )n (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． (a ＋b )0＝1(a ＋b )1＝a ＋b(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4 第1题图 (a ＋b )5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5…则(a ＋b )9展开式中所有项的系数和是( )A. 128B. 256C. 512D. 1024二、《庄子·天下篇》——极限思想【文化背景】古人在两千多年前，已知道数学极限的原理．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺的木棍，第1天开始每天去掉一半，第n 天还剩下12n ，当n 趋于无穷大时，12n 趋于0，但永远不为0，也就是永远取不完．【中考对接】2. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第2020天折断一半后剩下的木棍长应为________尺．参考答案中考试题中的数学文化1. C2. (12)2020。

数学文化---- 杨辉三角

杨辉三角，光辉四射湖北省孝感市一中刘翀一．考题展示1.（2004年上海春季高考11题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1………………二．背景解读1.此题是考查“杨辉三角”的知识，杨辉三角是中国古代数学文化的代表，在数学史上具有很重要的意义，课本上也出现了杨辉三角（人教A版选修2-2 第77页，选修2-3中1.3.2节“杨辉三角与二项式系数的性质”）2．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家。

字谦光，钱塘（今杭州）人。

杨辉的数学著作甚多,有《日用算法》《杨辉算法》等.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。

古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。

三．杨辉三角的内容和特性1.杨辉三角数表11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1，………………………………上述数表就称为“杨辉三角”，这样的表，最早出现在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算术》一书中。

在这本书里，记载着类似下面的表2．杨辉三角数表的特性杨辉三角包含的内容很丰富，科学家发现了很多有趣的性质，现列举如下：（1）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，即组合等式：111=rrr n n n C C C ---+。

（2）杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等，即=rn rn n C C - （3）第二斜行的数（1,2,3,4,5,6，……）构成等差数列；第三斜行的数（1,3,6,10,15,21,28,36……）构成“三角形数”，其通项为(1)2n n n a +=。

杨辉三角的规律以及推导公式doc资料

杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。

我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。

内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。

由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。

展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。

求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。

用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

以数学文化背景的高考数学命题

数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则（1）第9行的第2个数是66；（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）A．B．C．D．3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中x=r+1．背景二：古希腊多边形数教材背景：必修⑤数列引入1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b 2k-1=______。

（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

第六章杨辉三角问题

27
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆
（Ⅰ）解：由题意得的分布列为

P
E
50%
3 16
70%
3 8
90%
7 16
则（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率 3 3 9 为 .
16 8 16
3 3 7 3 50% 70% 90% . 16 8 16 4
A B C D E F G
30
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆
华罗庚是这样解释：钢珠从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：第一层第二层第三层第四层第五层 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ………
22
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆ 2007年高考
23
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆
多
24
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆ 高考模拟题
25
浙江省丽水中学李勇伟
☆数学文化与数学高考☆
26
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b

为数学点赞——名师例析数学文化(4) 从杨辉三角到二项式定理

1156= (30+a)2 =302 +2×30a+a2 。所以 1156-302 =2×30a+a2,即 256 =(3×20+a)a,这就是说,a 是这样一个正
积大于余数,就把试商减小再试 (如上面竖式中(20×3+4)×4=256,说明试商 4 就是平
下,怎样求 1156,这里 1156 是四位数,所以它的算术平方根的整数部分是两位数,且易观察出其中的十位数是 3。于是解决问题的关键在于:怎样求出它的个位数a? 为此, 我们从a 所满足的关系式来进行分析。
根据两数和的平方公式 ,可以得到 :
于是得到 85264=292。如遇开不尽的情况,可根据所要求的精
确度求出它的近似值。例如求 12. 5的近似值(精确到0. 01),可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到 12. 5≈3. 54。
二、杨辉三角
上述求平方根的方法是一个非常有效和高度机械化的算法,可适用于任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法,不论是在古代还是现代都有深远的意义,而这也刚好是 “开方做法本源”的本质。我们下面就对 “开方做法本源 ” 进行简单的介绍。
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段, 表示所求平方根是几位数。
2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数 (如上面竖式中的 256)。

杨辉三角在日常生活中的有趣应用

杨辉三角在日常生活中的有趣应用[摘要]中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。

[关键词]杨辉三角趣味性日常生活杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。

下面就通过三个实例与读者共享。

例1.随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。

股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。

有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。

构建一个模型：设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次涨停后，股资变成1.1a+10%×1.1a=1.12a；如此递推，当n(n∈z+)次涨停后，股资变成1.1na元。

要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1na＞2a，即 1.1n＞2。

那么，最小正整数n是多少？简单推算：1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，……手边没有计算器，再算下去就有一点复杂了。

但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。

如图1是否1.14=1.4641呢？结果与计算相同。

但当n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？能不能像加法运算一样进位加一变成1.61051呢？经过验算猜想与答案完全一致。

这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。

当n=8时，1.18＞2。

也就是经过8次涨停后，股资翻倍。

例2.在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。

碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。

中国古代数学杨辉三角

中国古代数学杨辉三角是一个重要的数学概念，它是一种用数字排列形成的三角形模式，通常用于表示数字之间的比例、排列和组合关系。

在中国古代，杨辉三角的起源可以追溯到十世纪末和十一世纪初，当时数学家们开始研究数字之间的规律和关系。

首先，杨辉三角是一个数学概念，它可以通过不同的数字排列和组合来表达不同的数学关系。

例如，它可以用于计算数字之间的比例、排列和求和等问题。

此外，杨辉三角还可以用于解决一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列组合问题、概率论中的概率计算问题等。

在中国古代数学中，杨辉三角的应用非常广泛。

它不仅被用于解决数学问题，还被用于记录数字之间的规律和关系，以及用于数学教育等方面。

在古代，数学家们通过研究杨辉三角，发现了一些有趣的规律和特点，如数字之间的对称性、重复性和递推关系等。

这些规律和特点不仅有助于理解杨辉三角的本质，还为后来的数学研究提供了重要的基础。

在具体的应用方面，杨辉三角在古代的商业、军事、天文等领域都有广泛的应用。

例如，在商业中，商人可以通过杨辉三角来计算货物运输的成本和利润；在军事中，军事家们可以通过杨辉三角来分析敌我双方的实力和战略布局；在天文学中，天文学家们可以通过杨辉三角来研究天体之间的距离和运动规律等。

综上所述，中国古代数学中的杨辉三角是一种重要的数学概念，它具有广泛的实用价值和理论意义。

在古代，数学家们通过研究和发现杨辉三角中的规律和特点，为后来的数学研究奠定了基础。

在现代，杨辉三角仍然被广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域，成为现代数学的重要组成部分。

最后，值得一提的是，中国古代数学中的杨辉三角不仅仅是一种数学概念，它还体现了中国古代数学文化的独特性和智慧。

通过研究杨辉三角，我们可以更好地了解中国古代数学的发展历程和特点，进一步弘扬中国古代数学文化。

杨辉三角说课课件

培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.
四、教材重难点
教学重点：问题的方法，理解二项式系数的性质.
教学难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.
关键：函数思想的渗透.
五、说教法学法
六、教学过程
环节三：联系旧知探新知
点击添加文本【问题提出】怎样证明展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）展开式的二项式系数，可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？（2）画出函数图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值. （3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.
【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角 ”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.
六、教学过程
环节二：感知规律悟性质
点击添加文本通过课外学习，学生已经观察发现了杨辉三角的一些规律，展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值. 【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.
知识目标
通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.
能力目标
情感目标
通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.

数学史—杨辉三角

数学史—杨辉三角通过数学史学习，可以使学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，了解数学概貌，获得数理方面的修养。

而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。

本文将以杨辉三角为例探讨数学史的教育价值。

杨辉三角是现行高中数学教材中数学历史材料之一,它不仅记载了一些中外数学家们一段美好而又动听的故事,而且还科学地揭示了二项展开式的二项式系数的构成规律，更具有许多奇妙的性质．因此，杨辉三角是不可多得的集思想性、科学性、知识性、趣味性于一体的珍贵的历史材料．为了充分发挥杨辉三角的教育功能，笔者指导了学生对杨辉三角的研究，现将研究的过程、成果及体会分述如下．1．实践过程利用二项式定理第二课时的小结时间（约10分钟），向学生简介杨辉三角，并发给每人一份研究提纲，指导、布置研究任务．1．1杨辉三角简介杨辉三角因最早出现在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》的附录中而被称为“杨辉三角”．其实，在11世纪中叶，我国北宋数学家贾宪就著就了《皇帝九章算法细草》一书，可惜这部书早已失传了．但该书部分内容（包括杨辉三角）因被收入《详解九章算法》一书而幸存．西方把杨辉三角称为“帕斯卡三角”，这是因为“帕斯卡三角”在西方最早出现在法国数学家帕斯卡1665年出版的《算术三角》的著作中，这要比贾宪晚400年左右．1．2杨辉三角的研究提纲（1）阅读．（2）如图1-1，一个儿童从A处进入图中的曲经，请计算这个儿童分别到达B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O处的最短路线的条数，并把它填入图1-2的相应的圆圈内．你从中发现有什么规律？按照你计算的结果和发现的规律对照杨辉三角，写出杨辉三角的前8行．（图1-1）（图1-2）（3）研究杨辉三角中的数字与组合数是否有关系？有怎样的关系?（4）在杨辉三角中，如图2，一些直线连接的数字分别构成了一些数列，请研究这些数列的性质．例如，杨辉三角是一个“等腰三角形”，左腰上的数字构成了常数列1，1，1，…，1…；平行于左腰的直线上的数字依次构成等差数列1，2，3，4，…；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1，3，6，10，…；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1，4，10，20，…；……(5)从“形”上研究杨辉三角的性质，例如奇数的分布，偶数的分布，3的倍数的分布等等．（6）研究杨辉三角其它方面的性质．（7）参考文献（略）．1．3研究活动的具体要求（1）自愿为原则，每班组成10个研究小组，每组4至5人，并推选一名组长,负责组织本组的研究及研究成果的整理，写成一篇小论文．（2）对于研究的成果，要进行严格的证明，如果是摘录的结论，请注明出处．（3）三周后进行交流，各研究小组分别委派一名代表宣读论文．（4）评选出优秀研究成果（不超过研究成果总数的三分之一）．2．研究成果（如图3）2．1杨辉三角的数字构成规律是，每行两相邻数字的和等于它们共同对应的下行的数字（如图中），这条性质可由m n m n m n C C C 11+-=+得证．2．2横行（如1—4—6—4—1）与首末两端“等距离”的两个数字相等，这条性质就是二项式系数的性质1．2．3第n 行（如1—4—6—4—1）的所有数字之和为21-n ，这条性质可由组合数的性质1112111012------=++++n n n n n n C C C C 得证．2．4当n 为奇数时,第n 行有奇数项,中间一项最大;当n 为偶数时,第n行有偶数项,中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．2．5第n 行的平方和等于1)1(2--n n C （如12+42+62+42+12=70=4815)15(2C C =--）,这条性质可由恒等式1)1(2211221211201)()()()(-------=++++n n n n n n n C C C C C 得证．2．6平行于杨辉三角的腰的直线（包括腰所在的直线）上各个数字之和等于末项的下一行偏向中央的第一项（如图3中1+2+3+4+5+6=21,1+3 +6+10+15=35）,可由恒等式1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C得证．2．7第2n （-∈Z n ）行所有各项都是奇数．证明：第2n 行各项为k n C 12-（k =0，1，2……，12-n ），（1）当k =0，1时，k n C 12-=1，12-n 均为奇数；（2）假设当k =m -1（m ≥2）时命题正确，即112--m n C 为奇数，则 m n C 12-=m m n -2112--m n C ……①，若m 为奇数，由①知m n C 12-=奇数奇数奇数⨯,假设m n C 12-是偶数，则有偶数=奇数奇数奇数⨯,即有偶数⨯奇数=奇数⨯奇数，矛盾，故m n C 12-必为奇数；若m 为偶数，可设m =2p 1m ，其中1m 为正奇数，N p ∈，n p <．①可化为m n C 12-=112m m p n --112--m n C ，同理可证m n C 12-仍为奇数．因而当k =m 时,命题也正确．由（1）、（2）可知第2n 行所有各项都是奇数．2．8中轴线（1，2，6，20……所在的直线）上的各项或平行于中轴的直线上的各项构成的数列，都有这样的性质：每一项与前一项的比构成的新数列的极限均为4．证明：原数列的通项为211kn n C +--(它是杨辉三角中的第n 行，且与中轴线的距离为k 的直线上的数)，当k =0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--211nn C 是中轴线上的数列（n =1,3,5,…,2m -1,…）；当k =1时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n n C （n =2,4,6,…,2m ,…）是平行于中轴线且与其相邻（即距离为1）的直线上的数列;当k =2时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-211nn C （n =3,5,7,…,2m -1,…）是平行于中轴线且与中轴线距离为2 的直线上的数列…．因为211k n n C+--的前一项是233k n n C +--,故211kn n C +--÷233kn n C +--=])1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---,故有∞→n lim （211k n n C +--÷233kn n C +--）=∞→n lim ])1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---=4． 2．9把每一行各项从左至右分别乘以m 0,m 1,…m r ,…（m C ∈，m ≠-1），再把它们加起来所得到的和数列是公比为（1+m ）的等比数列．证明：第n 行各项为11211101,,,,-----n n n n n C C C C ,由题设新数列的通项为n a =11112211101)1(-------+=++++n n n n n n n m mC m C m C C ,故有n a ÷1-n a =（1+m ）,得证．2．10英国的《SMP 英国中学数学教科书》中，把帕斯卡三角（即杨辉三角）改写成如图4的形式，并将每一条斜线上的数字分别相加，得到数列1,1,3,5,8,13,21，…，此数列是著名的斐波那契数列．2．11在杨辉三角中（如图3）,以第n 行(包括该行)为底边,以第一行的“1”为顶点的三角形是等边三角形．我们称之为边长为n 的杨辉三角．2．12在边长为16的杨辉三角中，把偶数“聚集区”（图5中“0”代表偶数，“1”代表奇数，可称为杨辉三角的0-1三角）看作是“倒等边三角形”，只有一个偶数的“聚集区”，也可看作是一个边长为1的“倒等边三角形”．把这些“倒等边三角形”从杨辉三角中“挖去”，剩余部分就是有趣的西尔平斯基衬垫(如图6)．西尔平斯基衬垫是由波兰数学家西尔平斯基（Sierpinski ）于1915年发现的，故而得名．使用Gbasic 语言编程：运行结果如图5：（图5）（图6）通过民主评议，同学们一致认为2．7、2．8、2．12是我们依靠自己的聪明才智，并做了很多具有开拓性的工作获得的，因而无可争议地被评为优秀成果．2．10虽然不是学生自己的研究成果，但是，多数同学认为2．10也来之不易，是一个小组的同学费尽周折获得的，并且还有很强的趣味性;另外，“拿来主义”也是学习的一种方法．因此，2．10也被评为优秀成果．3．教育价值3．1德育价值3．1．1培养爱国主义思想的教育价值杨辉三角“是数学史上的重大发现，它在数学的许多领域都有及其重要的应用”[1]，这一重大发现比西方要早四百年左右，是我国数学家对数学发展的重要贡献之一．通过向学生介绍杨辉三角的来龙去脉，展示了我国悠久的历史、灿烂的文化和我国古代数学发展的成就，显示了我们中华民族的勤劳和智慧．改革开放的今天，是我国历史上经济发展和社会进步的最好时期，中华古老文化的底蕴与中华民族的聪明才智，必将化作21世纪的民主、富强、文明的社会主义现代化强国，屹立在世界的东方．这是一次生动的爱国主义思想教育，极大地激发了学生实现为社会主义现代化强国而刻苦学习的热情．3．1．2培养献身科学精神的价值通过杨辉三角的介绍和查阅大量的资料，学生还获得了许多科学知识和鲜为人知的关于科学和科学家的故事，从而引起了学生对科学的极大兴趣和热爱．在研究的过程中，学生也体会到了在科学研究中遇到挫折时的困惑和取得成功的喜悦．这些都会使学生萌发和树立爱科学、学科学、用科学、献身科学的思想．而从事科学研究首先要有科学的态度，还要有脚踏实地、知难而上的实干精神，通过这项研究，也有利于磨练学生的意志，培养学生一丝不苟的科学态度、坚忍不拔的毅力和刻苦钻研的精神．3．1．3培养合作意识和精神的价值和平与发展是当今世界的主流，而和平与发展需要合作，没有合作就没有和平，就没有发展．一个人不谋求并善于与他人合作，就很难融入现代社会，就没有发展的空间，甚至难以生存．我国已经进入了独生子女时代，学校教育要重视培养学生与他人合作的意识和精神．这项研究活动是在自愿的基础上组成研究小组，以研究小组为单位，组员之间既有分工又有合作，研究成果是集体智慧的结晶，使学生体会到了合作的快乐和合作的重要性，从而引导学生广泛交流，主动寻求合作，互相帮助共同进步．3．2智育价值3．2．1开发智力培养能力的价值这是一个研究性学习的学习过程．虽然有研究提纲，但也仅限于研究的方向，具有高度的开放性，需要学生自己提出问题，并想方设法解决问题．因此，这是一个锻炼和提高问题解决能力的好机会．有了研究的方向，学生首先对杨辉三角进行观察、分析，通过感性认识进行归纳、抽象、概括提出问题，有利于培养学生思维的灵活性和思维的广阔性；对所提出的问题进行计算、演绎、推理、分析和判断得出结论，然后加以论证或否定，有利于培养学生思维的深刻性和思维的批判性．在这个过程中，学生的思维能力、运算能力、空间想象能力都得到了锻炼和提高，有利于形成和提高分析问题和解决问题的能力，起到了开发智力培养能力的作用．3．2．2培养数学应用的意识和能力的价值使学生学会从事社会主义现代化建设事业或进一步学习所必须的数学知识，培养学生数学应用的意识和能力，是中学数学的教学目的之一．通过对杨辉三角的研究，不仅使学生所学的知识得以巩固和加强，还使学生感到自己的所学有了用武之地，提高了学生学习数学的兴趣以及数学应用的意识和能力．特别是有一组的同学，使用Gbasic 语言编程，运用计算机这一现代化手段，打印出了杨辉三角、杨辉三角的0-1三角和西尔平斯基衬垫，这一“开拓性”的工作，使学生受到了巨大的鼓舞．3．2．3培养科学研究的意识和能力的价值现代教育需要培养创新型的人才，而培养学生科学研究的意识和能力，是培养创新精神的重要方面；现代社会的发展需要人才的知识结构不断更新，因此，学习将伴随人们的终身，学校教育肩负着培养学生终身学习能力的重任，要使学生掌握与现代社会发展相适应的学习方法．指导学生对杨辉三角的研究，使学生了解了科学研究和研究性学习的过程和方法，为进一步培养和提高自学能力、科学研究能力奠定了基础．3．3美育价值2的杨辉三角的杨辉三角中的数字都关于中轴线对称；边长为n0-1三角，关于“三条高线”都对称；西尔平斯基衬垫也具有上述性质；体现了数学的对称美．杨辉三角的0-1三角还可由下面的作出：先由三个边长为2的杨辉三角（如图7-1），方法拼成边长为4的杨辉。

杨辉三角的奥秘读后感

杨辉三角的奥秘读后感
非常记得在七下的一个课间，学生问道：老师，什么是杨辉三角？我当时只能大概给他描述了一些杨辉三角的数字规律，没有非常清楚地讲解，主要是因为我自己也是似懂非懂。

“杨辉三角”大家并不陌生，在北师大版七年级下册第一章“整式的乘除”中读一读出现过，但大部分的教师容易忽略这个内容，直接跳过讲解下一节。

在长此以往的应试教育下，考什么老师就讲什么，却忽略了某些知识虽然不考，但里面蕴含的教育价值是值得我们给学生讲解的。

“杨辉三角”的教学设计与实施这篇文章是出自《初中数学教与学》杂志2020年第10期，张明欢、周欣、张启明三位作者所写。

本文应用发现教学法进行教学设计与实施，在中国古代数学文化中，感受数学文化的魅力，一步步引导学生发现规律并进行归纳总结。

在这里面提到了三个规律与一个应用：
1.从第三行起，除首尾两端数字之外，每一个数字都等于肩膀上两个数字之和；
2.第n行有n个数字；
3.第n行上的数字之和为；
4.手动开平方应用；。