数学文化之杨辉三角

杨辉三角

杨辉，字谦光，汉族，钱塘(今杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详.由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷.

杨辉所著的《详解九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.

完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

由此，我们自然会想到(a+b)3，(a+b)4，(a+b)5，…的展开式是什么.

根据多项式乘法，我们把(a+b)n（n=0，1，2，…）的展开式及其系数写成下面的形式：

在展开式中，a是按其幂指数由高到低排列的，b是按其幂指数由低到高排列的；首项a的次数与末项b的次数相同，都等于二项式乘方的次数；各项中a，b的指数和也等于二项式乘方的次数；展开式中的项数比二项式乘方的次数多1.

展开式各项的系数的规律：每一行首末两项系数都是1，中间各项系数等于它上一行相邻的两个系数之和，第n行系数的和等于2n-1.按照这个规律，可以把(a+b)n （n=6，7，…）的展开式中各项的系数直接写出来.例如，(a+b)6的展开式中，各项的系数分别为1，6，15，20，15，6，1.

上面这个三角形系数表叫做杨辉三角形，又称为贾宪三角形，在国外被称为帕斯卡三角形.

拓展

杨辉三角形是二项式系数在三角形中的一种几何排列.除了书本叙述的规律外，杨辉三角形还有如下规律：