高数典型例题解析
高等数学试题详解及答案
高等数学试题详解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B3. 函数F(x)=∫(0 to x) t^2 dt的不定积分是：A. (1/3)x^3 + CB. (1/2)x^2 + CC. x^3 + CD. x^2 + C答案：A4. 无穷小量α与无穷小量β，若α是β的高阶无穷小，则：A. α/β→0B. α/β→∞C. α/β→1D. α/β→常数答案：A5. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. -2B. 0C. 2D. 1答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x)的二阶导数为f''(x)=6x，那么f'(x)=______。
答案：3x^2 + C2. 函数y=e^x的反函数是______。
答案：ln(x)3. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是______。
答案：1/24. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案：1/x5. 曲线y=x^2在点(1,1)处的法线方程是______。
答案：y=-x+2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。
通过二阶导数f''(x)=6x-6，可以判断x=1为极大值点，x=2/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
答案：根据积分公式，∫sin(x) dx = -cos(x) + C，所以∫(0 toπ/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0 to π/2) = -cos(π/2) + cos(0)= 1。
高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为①，联立，得：，由Δ＝0,得.错因：方程①与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵∴正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.设P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),由A、C、P三点共线得①由D、B、P三点共线得②①×②得③又, ∴，代入③得，即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1.，③设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得或(1)或(2)或=1 ，或 =1.[例6]已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
高级数学题解析
高级数学题解析数学作为一门精深的学科，其内涵十分丰富。
其中，高级数学更是让人望而生畏的存在。
高级数学所涉及的各种题型，其解析往往需要结合多种技巧和理论知识才能得出正确答案。
今天我们就来对几个高级数学题进行深度解析，希望给大家带来一些启发和帮助。
一、微分方程题解析微分方程是高级数学中的重要内容之一，其应用广泛而深远。
解微分方程的过程中，需要用到积分、导数等基本概念和理论。
以求解一阶线性常微分方程为例，假设给定的微分方程为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以采用积分因子法进行求解。
首先，我们求出微分方程的积分因子μ(x)。
积分因子的定义为μ(x) =e^(∫p(x)dx)。
将积分因子乘以原方程两边，然后利用乘积法则和恰当导数的定义，可以将原方程两边化为d(μ(x)y)/dx = μ(x)q(x)。
再次对等式两边进行积分，即可得到μ(x)y = ∫μ(x)q(x)dx + C，其中C为常数。
最后，将积分得到的表达式除以μ(x)，即可求得y的解。
二、矩阵题解析矩阵是高级数学中另一个重要的概念，其在线性代数、微积分等领域都有广泛的应用。
解矩阵题涉及到对矩阵的各种运算和性质的理解和应用。
以求解线性方程组为例，我们可以利用矩阵的逆矩阵来求解。
设线性方程组为AX = B，其中A是一个已知的n阶方阵，X和B是未知向量。
首先，我们求出系数矩阵A的逆矩阵A^-1。
然后，将方程组两边都左乘A^-1，得到X = A^-1B，即可求得方程组的解。
需要注意的是，矩阵A必须满足可逆的条件，即其行列式不为0。
三、级数题解析级数是高级数学中的重要概念，其在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
解级数题需要用到级数的概念、性质和收敛判定等理论知识。
以求解无穷级数为例，我们可以采用判别法来判断级数的收敛性和求和。
设给定的级数为∑(n=1,∞)an，其中an是给定的数列。
我们可以根据其通项an 的性质和收敛判定定理来判断级数的收敛性。
高数真题详解及答案解析
高数真题详解及答案解析一、引言高等数学是大多数理工科学生的必修课程，也是考验他们数学能力和逻辑思维能力的一门重要学科。
为了帮助广大学生更好地应对高数考试，本文将选取一道高数真题进行详解，并提供答案解析，希望对同学们的学习有所帮助。
二、题目解析我们选取了一道经典高数题目，来分析其背后的思路和解题方法。
题目：设函数f(x)满足f'(x)=x^2-2x+3，且f(1)=5，求f(2)的值。
解析：首先，我们看到题目中给出了函数f(x)的导数f'(x)，我们可以利用导数的性质来求函数f(x)。
根据导数的定义，我们知道f'(x)就是函数f(x)在点x处的斜率，也就是函数图像在该点的切线斜率。
因此，我们可以通过对导数进行积分来求得原函数f(x)。
根据题目给出的导函数f'(x)=x^2-2x+3，我们将其积分，得到：∫f'(x)dx = ∫(x^2-2x+3)dx即f(x) = ∫(x^2-2x+3)dx对右侧的积分进行计算：f(x) = (1/3)x^3 - x^2 + 3x + C其中C为常数，由于我们已经给出了f(1)=5，代入原函数方程可以求得C的值：5 = (1/3)(1)^3 - (1)^2 + 3(1) + CC = 5 - 1/3 + 3 - 3C = 14/3因此，原函数为：f(x) = (1/3)x^3 - x^2 + 3x + 14/3三、答案解析根据题目要求，我们需要求解f(2)的值。
代入原函数方程，可以得到：f(2) = (1/3)(2)^3 - (2)^2 + 3(2) + 14/3= 8/3 - 4 + 6 + 14/3= 22/3因此，f(2)的值为22/3。
四、总结与展望通过这道高数真题的详解，我们可以看到高数题目求解的思路和方法。
首先，需要根据题目提供的条件和方程，利用导数的性质进行运算。
其次，根据已知条件进行求解，得到待求解的结果。
高数的学习需要掌握基本的数学知识和解题技巧，不断进行练习和思考。
高数极限真题及答案解析
高数极限真题及答案解析引言：高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中极限是数学中的重要概念之一。
作为基础与应用数学的桥梁，掌握高数极限的理论和解题方法对学生的学习和发展至关重要。
本文将介绍几道经典的高数极限真题，并对它们的答案进行详细解析，帮助读者深入理解高数极限的概念和运用。
第一道题目：求极限：lim(x→2) (3x² - 7x + 2)解析：对于这道题目，我们可以使用极限的性质，将其分解为更简单的形式。
首先，我们将3x² - 7x + 2因式分解为(x - 2)(3x - 1)。
然后，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2)(3x - 1) = lim(x→2) (x - 2) ×lim(x→2) (3x - 1)将极限运算分解为两个单独的极限，便于计算。
此时，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2) = 2 - 2 = 0lim(x→2) (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5因此，原极限的结果为0 × 5 = 0。
第二道题目：求极限：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4)解析：对于这道题目，我们需要考虑的是当自变量趋向于无穷大时的极限情况。
首先，我们可以使用同除法的原则，将分子和分母同时除以x²，得到：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4) = lim(x→∞) (2 -5/x) / (3 + 4/x²)随着x趋向于无穷大，5/x和4/x²的值都趋近于0，因此我们可以得到：lim(x→∞) (2 - 5/x) / (3 + 4/x²) = 2/3所以，原极限的结果为2/3。
第三道题目：求极限：lim(x→0) (sin²x) / x解析：对于这道题目，我们可以使用极限的定义，即lim(x→a) f(x) = L。
高等数学(2)第11章重积分典型例题解析
高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222= 。
（其中{}222),(Ry x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10交换积分次序后，得到的积分为 。
（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是 。
解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。
应该填写：332R π。
（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。
应该填写：⎰⎰y yx y x f y 2d ),(d 10。
（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰2011。
应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择 （1）二重积分xx y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（ ）。
A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y221+=所围的体积是（ ）。
高等数学教材题目大全及解析
高等数学教材题目大全及解析第一部分：微积分1. 极限与连续题目：计算极限 $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$ 并给出解析。
解析：首先观察分式的形式，可以看出分子是一个二次函数，分母是线性函数，而且在极限的点$x=2$处，分母为零。
这暗示我们可能要利用因式分解来化简分式。
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$$当$x$接近2时，分子和分母都接近于0，因此我们可以将$(x+2)$和$(x-2)$都约去，最终得到：$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$$因此，该极限的解析为4。
2. 导数与微分题目：求函数$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$的导函数，并给出其解析。
解析：要求函数的导函数，我们需要对函数进行求导。
根据求导法则，我们可以逐项求导得到：$$\frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 3x + 1) = 3x^2 + 4x - 3$$因此，函数$f(x)$的导函数为$3x^2 + 4x - 3$。
3. 积分与定积分题目：计算定积分 $$\int_{0}^{2}\left(2xe^{x^2}+3\right)dx$$ 并给出解析。
解析：对于定积分，我们可以先求原函数，然后再代入上限和下限进行计算。
首先对被积函数的每一项进行积分得到：$$\int 2xe^{x^2}dx = e^{x^2} + C_1$$$$\int 3dx = 3x + C_2$$将两个结果相加得到原函数：$$F(x) = e^{x^2} + 3x + C$$根据上限和下限进行代入：$$\int_{0}^{2}\left(2xe^{x^2}+3\right)dx = F(2) - F(0) = (e^{4} + 6) - (e^{0} + 0) = e^{4} + 6$$因此，定积分的解析为$e^{4} + 6$。
高数题目及答案解析
高数题目及答案解析
1. 求函数$f(x)=2x-3\sin{x}$ 关于 x 的导函数
答案：$f'(x)=2+3\cos{x}$
解析：首先利用微积分的基本法则：对于单变量函数 $y=f(x)$ ，其关
于 x 的导函数为$f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{dy}{dx}$ ，即求导函数就相当于计算 $\frac{d}{dx}f(x)$ ，所以，把函数 $f(x)=2x-3\sin{x}$ 交给求导机，计算其对 x 的导数：
首先计算第一项 $2x$ 的导数：$\frac{d}{dx}2x=2$
接着计算第二项 $-3\sin{x}$ 的导数：$\frac{d}{dx}-3\sin{x}=-3\cos{x}$
根据微积分的基本法则，将两个分量的导数相加，得到函数 $f(x)=2x-
3\sin{x}$ 关于 x 的导函数：$f'(x)=2+3\cos{x}$
2. 求复变函数$z=x^2+y^2$ 的极坐标表达式
答案：$z=r^2$
解析：首先利用极坐标对直角坐标系中的点坐标进行改写的定义：
$x=r\cos\theta$ 、$y=r\sin\theta$ ，把函数 $z=x^2+y^2$ 带入上式，即可得到：$z=r^2 \cdot (\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)= r^2$ 。
所以，复变函数$z=x^2+y^2$ 的极坐标表达式为：$z=r^2$ 。
高等数学教材习题答案详解
高等数学教材习题答案详解1. 一元函数与极限题目：计算极限 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。
解析：首先将分式分离为两个部分，得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{1}{x} -\frac{1}{x} \right)$。
根据极限的性质，我们将分别计算两个部分的极限。
先计算 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
将分子展开为泰勒级数：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots$。
代入式中，得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots - 1}{x} \right)$。
简化后得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots \right) = 1$。
再计算 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$。
由于分子为常数1，不随x变化，分母趋于0时，极限不存在。
将两个计算结果代入原式中，得到最终结果：$\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = 1 - \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1 - \infty = -\infty$。
2. 一元函数的导数与微分题目：求函数 $y = \sqrt{1 + x^2}$ 的导数。
解析：对于 $y = \sqrt{1 + x^2}$，可以通过链式法则求导。
令 $u = 1 + x^2$，则 $y = \sqrt{u}$。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
大学高数考试题及答案详解
大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
因此，正确答案为 C。
2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
因此，正确答案为 A。
二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。
答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。
因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。
2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。
高等数学典型例题与解法(一)01-第33讲 函数的单调性与极值_33
高等数学典型例题与解法（一）
第33讲函数的单调性与极值
理学院李建平教授
主要内容
第33讲：函数的单调性与极值 _
,函数的单调性判定
设函数f 3)在［QM］上连续，在(外幻内可导.
(1)如果在(")内，「(X)> 0 ,那么函数f(x)在［a,b］上严格单调增加; ⑵如
域为(-8,1) U (1,+8)，且
X — 1 【解】易知易3)的定义
(% — 3)(% + 1)
E= 3_1)2 ,5. 令广3) = 0得有=一1,%2 = 3为函数f(%)的驻点.
为方便讨论函数的单调性和极值，以在=-1^2 = 3划分/*3) 的 定义区间，列表分析如下：
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
广（G）= oj\d） = 2! - （一1） = 一2
< 0,
由极值的第二充分条件可知，％ = Q是函数f 3）的极大值点.
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
国防科学技术大学
第33讲：函数的单卿
Q
列33.4已知y = /*3）在農上二阶可导，下面给出了其导函数广3）的 图形.试根据广3）的图形信息指出函数f 3）的单调区间和极值点，并说 明理由.
XTQ （X — G）匕 数
产3）的极值点？说明理由. 【解2】由lim W")= -1可知，
f(x) — f(d) = —(% — Q)2 + o[(x — d)2],x -> a 即 f(x) = /(a) — (% — Q)2 + o[(x — a)2],x -> a,
大一高数求极限的例题
大一高数求极限的例题一、引言极限是大学高等数学中的重要概念，它是分析数学和微积分的基础。
在大一的高数课程中，学生常常会遇到求取极限的例题。
通过解答这些例题，不仅可以帮助学生理解极限的概念和性质，还可以提升他们的计算能力和思维逻辑能力。
本文将给出一些典型的大一高数求取极限的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、例题一：求极限$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\frac{\\sin{2x}}{x}$解析：我们可以利用极限的基本性质来求解该例题。
首先，我们注意到当$x$接近于0时，$\\sin{2x}$也随之接近于0，而分母$x$始终不会取0。
因此，我们可以将该极限转换为另一个形式：$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x}$。
接下来，我们可以继续变形，使用三角恒等式$\\sin{2x} =2\\sin{x}\\cos{x}$，将分子中的$\\sin{2x}$化简为$2\\sin{x}\\cos{x}$。
然后，我们可以进一步将极限变为$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x} = 2\\lim_{x\\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}\\lim_{x \\rightarrow0}\\cos{x}$。
其中，$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\cos{x}$显然等于1。
而$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}$则是一个常数，它的数值为1。
因此，最终的结果为$2 \\times 1 \\times 1 = 2$。
即$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{2x}}{x} = 2$。
三、例题二：求极限$\\lim_{x \\rightarrow +\\infty} \\left(1 +\\frac{a}{x}\\right)^x$解析：为了求解该例题，我们可以利用极限的定义和性质。
高等数学真题及答案解析
高等数学真题及答案解析高等数学是大学数学教育中的一门重要课程，它不仅为学生提供了解决复杂数学问题的工具，而且也是许多理工科专业必修的基础课程。
在准备高等数学考试时，研究历年的真题及答案解析对于提高解题能力和理解课程内容都具有重要意义。
本文将对高等数学的真题进行简要分析，并提供相应的答案解析，以帮助学生更好地掌握考试重点和解题技巧。
一、函数与极限在高等数学中，函数是最基本的概念之一。
它描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量的值取决于另一个变量。
极限则是研究函数在某一点附近的行为，是微积分的基础。
在真题中，关于函数的性质和极限的计算是常见的题型。
例1：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7在x=1处的极限。
解析：要求函数在某一点的极限，首先要检查函数在该点的定义情况。
由于f(x)是一个多项式函数，它在实数域上处处定义。
因此，我们可以直接代入x=1来计算极限值。
f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 7 = 2 - 3 + 5 - 7 = -3所以，f(x)在x=1处的极限为-3。
二、导数与微分导数是微积分中的另一个核心概念，它描述了函数在某一点处的瞬时变化率。
微分则是导数的几何解释，表示函数在某一点附近的线性变化。
在高等数学的考试中，求导数和微分是基本的计算题。
例2：求函数f(x) = x^2 + 3x在x=2处的导数和微分。
解析：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
f'(x) = 2x + 3然后，我们可以计算f'(2)得到在x=2处的导数。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7接下来，微分df可以表示为导数f'(x)与微小的x变化量的乘积，即df = f'(x)dx。
在x=2处，微分df为：df = f'(2)dx = 7dx三、积分积分是微积分的另一个分支，它与导数相对应，用于计算函数在某一区间内的累积效果。
高等数学典型例题与解法(一)01-第38讲 曲率与曲率半径_38
d 些= 亜
fcsc2t —2sint
孜=无=克赢=一乎毗
d%2 dx
dt
dt
____________
从而，曲率K= 伊〃 I g— 10 g_
3, 10
5 4sin3t"
(1 _|_ y，2)a (4sin2t + 25cos2*)2 (4 + 21cos^)2
当cost = 0即％ = 0时曲率最大，当cost = ±1即工=±2时曲率最小.
K="
3,
(1+門2
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
r
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
(3)曲率半径与曲率中心
____
过曲线上。上点M作一个与其相切的圆(即它在
点M处与曲线有公共 切线)，使该圆与曲线。 线在在点点MM处处有的相曲同率的圆凹，向其和圆曲心率和，半称径这分个别圆称为曲 为曲线C在点M处的曲率中心和曲率半径.
N«3I Mvtniey of Maw
高等数学典型例题与解法（一）
第38讲曲率与曲率半径
理学院李建平教授
主要内容
第38讲曲率与曲率半径
i弧微分平面光滑曲线的弧长微分(弧微分)在几何上是用切线长 作为曲线长的一种局部线性近似.
⑴平面光滑曲线C\y = y(x)的弧微分
ds = 1 + y,2dx.
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
2、曲率曲率是曲线的切线的转角关于弧长的变化率.
(1)曲率定义 设M是光滑曲线Gy = y(x)上一定点，N是。上
异于M的任意一点.设弧段标力的长度为4s , 设 点M处的切线转动到点N处的切线位置时, 切线 转过的角度为，如果极限
大学高等数学 第三章典型例题及小结
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证明 e x (ax 2 bx c ) 0 至多有三个实根 证 记
f ( x ) e x (ax2 bx c )
直接证明有困难，采用反证法
设 f ( x ) 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4
记 f ( x ) e (ax bx c ) 连续、可导 对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例3. 求
高等数学期末题库经典题目解析与讲解
高等数学期末题库经典题目解析与讲解一、极限与连续性1. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，求 $\lim_{x\to2} f(x)$ 的值。
解析：首先，我们可以直接给出该题的答案，即 $\lim_{x\to2} f(x) = 4$。
接下来，我们可以通过数学推导来解释为什么会得出这个答案。
当 $x$ 趋向于 2 时，函数 $f(x)$ 的分子 $x^2 - 4$ 与分母 $x - 2$ 都趋近于 0。
根据分式函数的极限公式，我们可以将函数进行简化，得到：$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$通过约分，我们可以得到简化后的函数：$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x + 2$当 $x$ 趋向于 2 时，$x + 2$ 的值趋近于 4。
因此，$\lim_{x\to2} f(x) = 4$。
二、导数与微分2. 计算函数 $f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 2$ 在点 $x = 2$ 处的导数。
解析：根据导数的定义，我们可以通过求解极限来计算函数在某一点处的导数。
首先，我们可以先求解函数 $f(x)$ 的导数表达式：$f'(x) = 3x^2 - 10x + 4$然后，我们将 $x$ 替换为 2，即可得到函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数：$f'(2) = 3(2)^2 - 10(2) + 4 = 12 - 20 + 4 = -4$三、定积分3. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (8x^3 - 6x^2 + 4x - 2)dx$ 的值。
解析：根据定积分的定义，我们可以通过求解极限来计算函数在给定区间上的定积分。
首先，我们可以对被积函数展开并进行整理：$\int_{0}^{1} (8x^3 - 6x^2 + 4x - 2)dx = \int_{0}^{1} 8x^3dx -\int_{0}^{1} 6x^2dx + \int_{0}^{1} 4xdx - \int_{0}^{1} 2dx$接着，我们对每一项进行求解：$\int_{0}^{1} 8x^3dx = \frac{8}{4}x^4 \Big|_{0}^{1} = 2 - 0 = 2$$\int_{0}^{1} 6x^2dx = \frac{6}{3}x^3 \Big|_{0}^{1} = 6 - 0 = 6$$\int_{0}^{1} 4xdx = 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 \Big|_{0}^{1} = 4 - 0 = 4$$\int_{0}^{1} 2dx = 2x \Big|_{0}^{1} = 2 - 0 = 2$最后，将每一项的结果相加，即可得到定积分的值：$\int_{0}^{1} (8x^3 - 6x^2 + 4x - 2)dx = 2 - 6 + 4 - 2 = -2$四、级数与幂级数4. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}$ 的敛散性。
高数典型例题期末总结
高数典型例题期末总结高数典型例题总结例题1：求函数f(x)=2x^2-3x-2的导数和导数的极值。
解析：首先，我们需要求出函数f的导数。
根据导数的定义和求导法则：f'(x)=(2x^2-3x-2)'=4x-3导数的极值需要满足导数等于0的条件，即4x-3=0，解得x=3/4。
接下来，我们需要判断导数的极值是极大值还是极小值。
根据二阶导数的定义和求导法则：f''(x)=(4x-3)'=4二阶导数大于0时，函数f在该点有极小值；二阶导数小于0时，函数f在该点有极大值；二阶导数等于0时，函数f的极值点需通过其他方法进行判断。
在本例中，f''(x)>0，所以f在x=3/4处有极小值。
例题2：求函数f(x)=x^3的不定积分。
解析：求函数的不定积分即求原函数，可以使用分部积分法。
设u=x^3，dv=dx，则du=3x^2dx，v=x。
根据分部积分法：∫f(x)dx=∫u dv=uv-∫v du=x^3*x-∫x*3x^2dx=x^4-3∫x^3dx∫x^3dx=x^4/4，代入得：∫f(x)dx=x^4-3*x^4/4=4x^4/4-3x^4/4=x^4/4所以，函数f(x)=x^3的不定积分为x^4/4。
例题3：已知函数f(x)=e^x，求函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx。
解析：求函数的定积分即求函数在给定区间上的面积，可以使用定积分的性质和公式进行求解。
∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)其中，F(x)是函数f的原函数。
由于f(x)=e^x，F(x)的原函数是e^x。
代入得：∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)=e^1-e^0=e-1所以，函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx=e-1。
综上所述，高等数学期末考试中的典型例题涉及到函数的导数、极值、不定积分和定积分的求解。
对于这类例题，我们需要熟悉基本的概念、原理和解题方法，并加强对相关定理和公式的理解和记忆。
高考数学的典型题目解析
高考数学的典型题目解析高考数学作为一门综合性的学科，占据了高考科目中的重要地位。
通过对典型题目的解析，我们可以更好地理解和掌握高考数学的考点和解题技巧。
本文将针对高考数学中的典型题目展开详细解析，帮助广大考生更好地备战高考。
一、函数与方程题目解析1. 解一元二次方程题目典型题目：已知二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c∈R)$ 的一个根是 $x_1$，则另一个根为解析：根据二次方程的性质，已知一个根 $x_1$，则另一个根可由韦达定理直接求得。
根据韦达定理，二次方程的两个根之和等于系数$b$ 的相反数，两个根的乘积等于系数 $c$。
因此，另一个根 $x_2$ 可由以下公式求得：$x_2 = -(x_1 + \frac{b}{a})$2. 求函数的极值问题典型题目：已知函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求该函数的极值点及取值范围。
解析：要求函数的极值点，可以先求导数，令导数为零，再根据二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
首先，对函数 $y$ 求导数得到：$y' = 3x^2 - 6x + 2$令导数为零，解得 $x = 1$。
然后，对导数再求导数，得到二阶导数：$y'' = 6x - 6$当 $x = 1$ 时，$y'' = 0$。
由二阶导数的正负性判断，当 $x < 1$ 时，$y'' < 0$，函数 $y$ 单调递减；当 $x > 1$ 时，$y'' > 0$，函数 $y$ 单调递增。
因此，当 $x =1$ 时，函数 $y$ 达到极小值点。
代入 $x = 1$ 到原函数 $y$ 中，得到极小值为 $y = 2$。
综上，函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ 的极小值点为 $(1, 2)$，取值范围为 $(-∞, +∞)$。
二、概率与统计题目解析1. 随机事件的概率计算典型题目：一枚硬币抛掷三次，求正面向上的次数为偶数的概率。
高数典型例题解析
第一章函数及其图形例I：设集^M={X\X2-X-6>0),R={X\X-\<0)^MC\K=().A. {x x>3}B. {x x<~2}C. {x |-2< x Wl}D. {x xWl}解：易知,M = {x\x< -2 或兀>3}f^=(x| J<1).因此,Mfl R = {x\x<-2).故选氏注盘，单选懸的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(-)单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例2：函数y = —-^74-?的定义域为().In兀A.[-2,2]B. (0,+8)C. (0,1)U (1,2]D. (0,2]解：由于对数函数lnx的定义域为x〉O,同时由分母不能为零知1 nxHO,即xHl。
由根式内要非负可知4-^2 0,即要有x>0、xHl与x2 <4同时成立，从而其定义域为(0,1) U(1简，即应选C。
例3：下列各组函数中，表示相同函数的是()y = \-^^y=^-xYy = 1-^y = cos2 x + sin ' xd _iC、y rA + 17 = In 2 In A解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|〉l时，两函数取得不同的值。
B中的函数是相同的。
因为C os2+sin2x=l对一切实数x都成立，故应选B。
F -1C中的两个函数是不同的。
因为尹二一的定义域为xH-1,而y二X的定义域为(-8, +8)oJ + 1D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为(-8, 0) U (0, +8)和(0, +8)。
例4：设/(cosx -1) = cos2兀求/(x).解：在/(cosx -1) = cos2 xtp,令t二COSX-1,得COSE = t+1 f(t) = (t +1)2,乂因为-lWcosxWl,所以有-2WCOSX-1W0,即-2WtW0,从而有/(x) = (x + 1)2 e[-2,0]or-A A<O例5：血(x) = .? 0<x<2 >IV(-2), /⑶ J ⑴丿(2)兀十2 x > 2解:/(-2) = (-x)|K—2—-(-2)二2/(3) = S + 2) |^=3 + 2 = 5f (2)没有定义。
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第一章函数及其图形例1：（）.A. {x | x>3}B. {x | x<-2}C. {x |-2< x ≤1}D. {x | x≤1}注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。
由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。
例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。
B中的函数是相同的。
因为对一切实数x都成立，故应选B。
C中的两个函数是不同的。
因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。
D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。
例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。
5：例f(2)没有定义。
注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。
例6：函数是（）。
A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。
由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的x，由，可得，从而有。
可见，对于任意的x，有。
因此，所给函数是有界的，即应选择B。
例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。
在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。
例 8：函数的反函数是（）。
A．B．C．D．解：于是，是所给函数的反函数，即应选C。
例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。
A．B．C．D．解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。
在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。
只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。
例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：解：，三个简单函数复合而成。
第二章极限与连续例1：下列数列中，收敛的数列是（）A. B. C. D.解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。
由于，故（B）中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C ）中数列也发散。
由于，故（D）中数列收敛。
例2：设，则a=( )A.0B.1C.3D.1/3解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。
当≠0时，所给极限为，故应选C。
一般地，如果有理函数，其中、分别为n的k 次、l次多项式，那么，当时，当k=l 时，f (n)的极限为、的最高次项的系数之比；当k<l时，f (n)的极限为零；当k>l时，f (n)的极限为∞。
对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数的极限，也有类似的结果。
例3.A. 0B. 1C. πD. n解利用重要极限，故应选C。
注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。
类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。
例4.求解法 1解法 2解法 3例5.A. 0B. 1C. 1/2D. 1/4解：由于,故应选D 。
例6.解:注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。
例7. 当x→0时，的（）。
A. 同阶无穷小量B. 高阶无穷小量C. 低价无穷小量D. 较低阶的无穷小量解：由于可知是x的同阶无穷小量，所以应选A。
例8. 当等价的无穷小量是( )A. B. C. D.解：由于可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。
例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )A. B.C. D.解：由于所以应选A.例10．要使函数在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是( )A.1/2B.2C.1D.0解：要使函数f(x)在x=0处连续，必须有因此要令f(0)=1.故应选C 。
例11．设求k，使f(x)连续。
解：由于函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。
函数是否连续取决于它在x=0处是否连续。
要让f(x)在x=0处连续，必须由于=又由可知例12．证明方程在区间（1，2）内必有一根。
证：令，由于f（x）是初等函数，它在区间（-∞，+∞）上连续，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f（x）在[1，2]上连续，故由零点存在定理知，存在在区间（1,2）内必有一个根.第三章导数和微分例1：讨论函数例2：例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：证明曲线xy=1 (x>0，y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数.例12：例13：第四章中值定理与导数应用例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是( )例2：例3：例4：例5：例6：下列极限中能用罗必达法则的有( )例7：例8：列表即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：yˊ=4x3-6x2y″=12x2-12x=12x(x-1)当x=0,x=1时 y″=0x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，列表即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0）例10：例11：例12：例13：某种商品需求函数为第五章积分例1：若h(x)是g(x)的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是（）。
解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。
事实上，由于g(x)未必可导，故可知（A）、（D）不正确；由题意h(x)是g(x)的一个原函数，即h'(x)=g(x)，故（B）正确而（C）不正确，因此，应选（B）。
例2：例3：例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：(图8-1) 例12：例13：例14：例15：例16：例17：例18：例19：例20：例21：例22：试判断下列广义积分的敛散性。
例23：试判断下列广义积分的敛散性。
例24：例25：例26：例27：例28：第六章无穷级数例1：例2：例3：例4：例5：例6：根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；例7：例8：第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数发散结论，否则进行下一步。
例9：判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛。
例10：例11：例12：例13：例14：第七章多元函数微积分例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）（A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。
易见应选（B）。
例2．指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于o y轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；（4）方程中x的系数A=0 且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。
例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。
解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。
注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。
例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。
解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。
例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。
解：将平面方程化为截距式方程，得因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。
例6．求球面的球心坐标和半径。
解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。
例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。
是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。
即表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛物面。
表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）例8．函数的定义域是（）。
（A）（B）（C）（D）解:由函数的表达式知函数的定义域为即，故应选（C）。
例9．设（A）（B）（C）（D）解：由题设,故应选（A）。
例10．设在点处偏导数存在，则（A）（B）（C）（D）解：根据偏导数的定义，有故应选（C）。
例11．设证明证明：于是左注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：两边取对数代入左端即可得结论。
例12．设其中f为可微函数，则(A)(B) (C) (D)故应选（D）。
例13．设因此，例14．设例15．设z=z(x,y)是由方程确定的函数，求注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用代入两个偏导还可以表示成例16．设（A ）（B）（C ）（D）解1：变量之间的关系图为故应选（A）证明：设变量之间的关系为例18．求函数的极值。