电源的输出功率最大
第9节,电源输出最大功率的条件
课时授课计划
§1—9 电源输出的最大功率
教学目的：了解电源输出的功率与负载的电阻有关；
掌握电源输出最大功率的条件；
教学重点：掌握电源输出最大功率的条件；
教学难点：最大功率和条件的推导
教学关键：应用配方法
教学过程
引入:当电源一定时，电源输出的功率大小由负载的电阻决定，负载的电阻为多少时，电源输出的功率最大？如下图
因为Ｐ＝Ｉ２Ｒ
又Ｉ＝Ｅ／（Ｒ＋r）
则Ｐ＝（Ｅ／Ｒ＋r）２R
＝Ｅ２Ｒ／（Ｒ—r）2+4R r
故当Ｒ＝r时，电源输出的功率最大:
Ｐm＝Ｅ２／４Ｒ；
说明：①当Ｒ＝r时，叫阻抗匹配;
②阻抗匹配时，电源的效率为５０﹪。
练习：一信号源的内阻为r＝５Ω，电动势为１０Ｖ，负载电阻为多少时，负载得到的功率最大，最大是多少？
例题：第１７页
练习：第１７页。
关于电源最大输出功率的条件问题
参考文献：
的场 合 下 “ 脸 ” 你 让 他 们 到 讲 台 表 演 ， 可 能 露 ， 有 得 不 到 配合 ， 耽搁 时 间 ， 既 又影 响 上课 的效 果 ； 有
的学 生 过于 热情 、 的过火 也 不行 ， 喧宾 夺 主” 做 “ ， 学生 易 忽视 学 习内容 。
［】 《 日制 义务 教 育物 理 课 程 标 准 》 ２ ０ １ 全 ０ １年 ７月 北 京
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“ 并联 电路 的 电 流特 点 ” ， 数 不 宜 太 多 ， 起 中 人 能
大 。如 果稍 不 注意 这 结论 的成 立 条件 ， 容 易 出 很
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知 识 的要 点 ， 力 思 考 教 学方 法 与方 式 ， 高 教 努 提
学 效率 。 物理 课 堂上 通过 让学 生 “ 表演 ” 帮助 教 来
到说 明作 用 即可 ；在 讲解 “ 引 体 向上 的 功率 ” 测 时 ， 以让 学 生表 演 引 体 向上 的动作 ， 导 上 升 可 指 高 度 等 于臂 长 ， 但不 能选 太 矮 小 的学 生 ， 们 不 他 太 能很好 地 伸臂 握 住 横杠 ；也 不 能选 太 张扬 ， 炫 耀“ 劲大 ” 的学生 ， 易分 散学 生 观察 力 。 容
理， 不要 过 于 哕嗦 、 琐碎 ， 也不 应过 于 简 约 、 跃 ， 跳
中， 要结 合 表演 活 动 ， 照物 理 知识 点 ， 对 进行 及 时 地 讲解 、 流 、 交 讨论 ， 帮助 学生 切 实地 理解 所 教 以
求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律1(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律太原市第十二中学 姚维明【题目1】如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。
方法一：运用P~R 函数关系法：因为UI P =、IR U =和R r EI +=， 所以22)(R r RE P +=，得R r RrE P ++=222。
可见，当R Rr =2，即r R =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~R 的函数图像如图2所示。
①当R=r时，电源的输出功率最大，P m =rE 42。
②当R ＞r 时，随着R 的增大输出功率减小。
③当R ＜r 时，随着R 的减小输出功率减小。
方法二：运用P~I 函数关系法因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=，推得r E r E I r P 4)2(22+--=。
可见，当r EI 2=时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~I 的函数图像如图3所示。
方法三：运用P~U 函数关系因为UI P =、rUE I -=，所以rU U r E P 2-=，图1图4图3图2推得rE E U r P 4)2(122+--=。
可见，当2EU =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~U 的函数图像如图4所示。
【规律总结】当R=r 时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为rE 42，此时2EU=，rE I 2=。
此时 U ~I 图像如图5所示，图5中斜线部分的“面积”表示了电源的最大输出功率。
“等效电源”解决功率问题【题目2】如图所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？（3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？方法：（1）对定值电阻，直接运用公式。
电源最大输出功率
电源最大输出功率 一、电源的最大输出功率在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率与外电阻R 的关系是： P 出=I 2R=由此式可以看出，当外电阻等于内电阻（即R=r ）时，电源输出功率最大，最大输出功率为.电源的输出功率P 出与外电阻R 的关系可以用P 出—R 图象表示，如图1所示. 由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P 可以有不同的外电阻R 1和R 2，且R 1R 2=r 2. 由图象还可以看出，当R<r 时，若R 增大，则P 出增大；当R>r 时，若R 增大，则P 出减小.注意：1. 推导此关系式时，R 是可变电阻，r 是定值电阻. 当外电阻等于内电阻，即R=r 时，电源输出功率最大，最大输出功率为；若R 与r 不相等，则R 值越接近r 的值，P 出越大.2. 电源的输出功率与电源的效率是完全不同的物理量.电源的效率，所以当R 增大时，效率提高. 当R=r 时，电源有最大输出功率，但效率仅为50％，效率并不高.3、 R 1R 2=r 2 的推导：由图像知对同一个电源而言当外电阻取两不同阻值时，电源消耗的功率却是相同的。
当外电阻分别取R 1和R 2时，据222121R I R I =可得222121R r R E R r R E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得到21R R r =。
例1、如图3所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：.r 4R)r R (E Rr4)r R (RE )r R (RE 222222+-=+-=+r4E P 2m=r 4E P 2m =Rr 11rR R)r R (I R I 22+=+=+=ηη（1） 变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？ （2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？ （3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？解析（1）R 0消耗的功率，由于R 0是定值电阻，故R 0两端的电压越大，R 0消耗的功率P 0越大. 而路端电压随着外电阻的增大而增大，所以当R=10Ω时，R 0消耗的功率最大.（2）可以把电源和定值电阻R 0合起来看作一个等效电源，等效电路图如图4所示，等效电源的电动势E ′=，等效内阻r ′=，当R=r ′时，即Ω时R 上消耗的功率最大，（3）当外电路电阻与内电路电阻相等时，电源输出功率最大，即时，代入数值得：R=2Ω时，电源输出功率最大. 最大输出功率例2、如图5所示的电路中，当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同. 已知R 1=9Ω，R 2=7.2Ω，求当K 断开时R 1上消耗的功率P 和K 闭合时R 1上消耗的功率P 1之比.020R U P =V 34V 2122E r R R 00=⨯+=+Ω=Ω+⨯=+321221r R rR 0032R =.W 32W 324)34(r 4E P 22maxR =⨯=''=r R R RR P 00=+=外.W 1W 142r 4E P 22m ax=⨯==解析：K 闭合时，R 1、R 2并联，其并联电阻为4Ω，由于当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同，据可得6Ω，所以有：当K断开时R 1上消耗的功率·；当K 闭合时R 1上消耗的功率，所以有：解析：此题中求电源的输出功率最大值即滑动变阻器R 消耗的功率最大值，根据功率的计算公式R I P 2=和闭合电路的欧姆定律r R E I +=可得()222r R RE R r R E P +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
电源最大输出功率的条件论证及应用
电源最大输出功率的条件论证及应用在闭合电路中，电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和，对于含有可变电阻的纯电阻电路，可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率，也影响着闭合电路中各部分的功率分配。
电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一，求电源最大输出功率的问题也是电功率这部分内容的难点，学生虽经反复练习，但仍不得其法。
笔者经过调查得知，学生出错的根本原因在于不理解功率取最大值的条件。
这里笔者就电源最大输出功率的条件论证及应用，结合自己的教学实际谈一点粗浅的认识，请同仁指教。
一、基本规律及条件论证1.规律一，当电源电动势E和内电路电阻r一定，外电路的电阻R可变时，电源的输出功率在满足条件的情况下，可取得最大值。
下面用多种方法对此结论加以证明，旨在让中学生读者选择适合自己认识的证法，以加深对电源最大输出功率条件的理解。
1.1 证明方法之一，公式法电源的输出功率，即消耗在外电路电阻上的功率，据闭合电路的欧姆定律有，所以（1）(1)式可变形为（2）根据公式“若a、b均为正数，则a+b≥，当且仅当a＝b时，a＋b取最小值”可得 (2)式分母中，当（即）时，取最小值，因而，当电源的输出功率有最大值1.2 证明方法之二，解析法可将(1)式变形为（3）当(3)式分母中（即）时，分母取最小值，因而电源有最大输出功率。
1.3 证明方法之三，利用二次函数的极值。
若路端电压为U，电路中电流为I，则外电路中消耗的功率应为，而据闭合电路的欧姆定律有（4）所以电源输出功率可以表示为（5）由(5)式可以看出，输出功率P是电流I的二次函数，且二次项系数为负，因而当电流（此时）时，电源输出功率有最大值1.4 证明方法之四，图像法根据(4)式作出路端电压随电路中电流变化的图像（图1），图像上任意一点N所对应的路端电压为U，电流为I，则这时消耗在外电路上的功率可以用图中矩形（画斜线部分）的面积来表示。
从图中可以看出，当电路中电流很小或者很大时，图中矩形的面积均较小，而只有当时，，矩形面积最大，即电源的输出功率有最大值1.5 证明方法之五，利用导数求极值 (1)式中P 对R 求导可得。
高中物理浅析电源的最大输出功率专题辅导
浅析电源的最大输出功率山东 宋连义一、电源的最大输出功率在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率与外电阻R 的关系是：P 出=I 2R=.r 4R)r R (E Rr 4)r R (RE )r R (RE 222222+-=+-=+由此式可以看出，当外电阻等于内电阻（即R=r ）时，电源输出功率最大，最大输出功率为r 4E P 2m =. 电源的输出功率P 出与外电阻R的关系可以用P 出—R 图象表示，如图1所示. 由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P 可以有不同的外电阻R 1和R 2，且R 1R 2=r 2（请同学们自己证明）. 由图象还可以看出，当R<r 时，若R 增大，则P 出增大；当R>r 时，若R 增大，则P 出减小.注意：1. 推导此关系式时，R 是可变电阻，r 是定值电阻. 当外电阻等于内电阻，即R=r 时，电源输出功率最大，最大输出功率为r 4E P 2m =；若R 与r 不相等，则R 值越接近r的值，P 出越大.2. 电源的输出功率与电源的效率是完全不同的物理量. 电源的效率Rr11r R R )r R (I R I 22+=+=+=η，所以当R 增大时，效率η提高. 当R=r 时，电源有最大输出功率，但效率仅为50％，效率并不高.二、电源的外特性曲线如图2所示，在电源的外特性曲线上某点纵坐标和横坐标值的乘积为电源的输出功率，图中阴影矩形的面积表示电源的输出功率，当2EU =时，电源输出功率最大. （请同学们想一想，为什么？）三、典例分析例1、如图3所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？（3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？解析（1）R 0消耗的功率020R U P =，由于R 0是定值电阻，故R 0两端的电压越大，R 0消耗的功率P 0越大. 而路端电压随着外电阻的增大而增大，所以当R=10Ω时，R 0消耗的功率最大.（2）可以把电源和定值电阻R 0合起来看作一个等效电源，等效电路图如图4所示，等效电源的电动势E ′=V 34V 2122E r R R 00=⨯+=+，等效内阻r ′=Ω=Ω+⨯=+321221r R rR 00，当R=r ′时，即32R =Ω时R 上消耗的功率最大，.W 32W 324)34(r 4E P 22max R =⨯=''=（3）当外电路电阻与内电路电阻相等时，电源输出功率最大，即r RR RR P 00=+=外时，代入数值得：R=2Ω时，电源输出功率最大. 最大输出功率.W 1W 142r 4E P 22max=⨯==例2、如图5所示的电路中，当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同. 已知R 1=9Ω，R 2=7.2Ω，求当K 断开时R 1上消耗的功率P 和K 闭合时R 1上消耗的功率P 1之比.解析：K 闭合时，R 1、R 2并联，其并联电阻为=+=212112R R R R R 4Ω，由于当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同，据2121r R R =可得==121R R r 6Ω，所以有：当K 断开时R 1上消耗的功率21)rR E (P +=·225E 9R 21=；当K 闭合时R 1上消耗的功率925E 4R )R r R E(P 21212121⨯=⋅+=，所以有：.49P P 1=。
电源输出功率与外电阻的关系
电源输出功率与外电阻的关系一、电源的最大输出功率在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率与外电阻R的关系是：P出=I2R=.r4R)rR(ERr4)rR(RE)rR(RE222222+-=+-=+由此式可以看出，当外电阻等于内电阻（即R=r）时，电源输出功率最大，最大输出功率为r4EP2m=. 电源的输出功率P出与外电阻R 的关系可以用P出—R图象表示，如图1所示. 由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P 可以有不同的外电阻R1和R2，且R1R2=r2（请同学们自己证明）. 由图象还可以看出，当R<r时，若R增大，则P出增大；当R>r时，若R增大，则P出减小.注意：1. 推导此关系式时，R是可变电阻，r是定值电阻. 当外电阻等于内电阻，即R=r 时，电源输出功率最大，最大输出功率为r4EP2m=；若R与r不相等，则R值越接近r的值，P出越大.2. 电源的输出功率与电源的效率是完全不同的物理量. 电源的效率Rr11rRR)rR(IRI22+=+=+=η，所以当R增大时，效率η提高. 当R=r时，电源有最大输出功率，但效率仅为50％，效率并不高.二、电源的外特性曲线如图2所示，在电源的外特性曲线上某点纵坐标和横坐标值的乘积为电源的输出功率，图中阴影矩形的面积表示电源的输出功率，当2EU=时，电源输出功率最大. （请同学们想一想，为什么？）例1、如图3所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？ （3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？解析（1）R 0消耗的功率020R U P =，由于R 0是定值电阻，故R 0两端的电压越大，R 0消耗的功率P 0越大. 而路端电压随着外电阻的增大而增大，所以当R=10Ω时，R 0消耗的功率最大.（2）可以把电源和定值电阻R 0合起来看作一个等效电源，等效电路图如图4所示，等效电源的电动势E ′=V 34V 2122E rR R 00=⨯+=+，等效内阻r ′=Ω=Ω+⨯=+321221r R rR 00，当R=r ′时，即32R =Ω时R 上消耗的功率最大，.W 32W 324)34(r 4E P 22max R =⨯=''=（3）当外电路电阻与内电路电阻相等时，电源输出功率最大，即rR R RR P 00=+=外时，代入数值得：R=2Ω时，电源输出功率最大. 最大输出功率.W 1W 142r 4E P 22max =⨯==例2、如图5所示的电路中，当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同. 已知R 1=9Ω，R 2=7.2Ω，求当K 断开时R 1上消耗的功率P 和K 闭合时R 1上消耗的功率P 1之比.解析：K 闭合时，R 1、R 2并联，其并联电阻为=+=212112R R R R R 4Ω，由于当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同，据2121r R R =可得==121R R r 6Ω，所以有：当K 断开时R 1上消耗的功率21)r R E(P +=·225E 9R 21=；当K 闭合时R 1上消耗的功率925E 4R )R rR E(P 21212121⨯=⋅+=，所以有：.49P P 1=3、（2005江苏物理卷）如图所示，R 为电阻箱，○V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：(1)电源的电动势E 和内阻r 。
任意电路电源最大输出功率及其应用
电源最大输出功率及其应用一．电源最大输出功率的推导1.第一种情况：外电路为纯电阻电路时，在电源电动势E 和内阻r 一定的前提下，当外电阻R=r 时，电源的输出功率最大，其最大值为P max =E 24r ，其推导过程如下：P =I 2R =(E R +r )2 R =E 2(R +r )2R =E 2(R -r )2+4Rr R =E 2(R -r )2R +4r当R =r 时，P 最大。
此时的电流为I =E 2r P max =E 24r电源的输出功率P 出与外电阻R 的关系可以用P 出—R 图象表示，如图1所示. 由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P 可以有不同的外电阻R 1和R 2，且R 1R 2=r 2. 由图象还可以看出，无论R 比r 大还是小，|R-r|值越小，P 越大，反之越小。
2.第二种情况：外电路为非纯电阻电路时，电源的最大输出功率推导过程如下：P =UI =(E －Ir )I =－rI 2+EI ，这是一个二次函数，有极值，根据数学知识可求得P max =E 24r ，此时电流I =E 2r ，这一结论比第一种情况更具有普遍性，第一种情况是第二种情况的特例。
结论：无论纯电阻还是非纯电阻电路，当I =E 2r ，电源的输出功率最大，最大值为P max =E 24r 。
二．纯电阻电路中最大功率的应用1.定值电阻与滑动变阻器串联例题1：如图所示,电源电动势E =3V ,内阻r =3Ω,定值电阻R 1=1Ω,滑动变阻器R 2的最大阻值为10Ω，求：(1) 当变阻器的阻值为多大时，电源输出功率最大?电源输出的最大功率是多少?电源的效率为多大?(2) 当变阻器的阻值R 2为多大时变阻器消耗功率的最大?变阻器消耗的最大功率是多少?(3) 当滑动变阻器的阻值R 2为多大时,电阻R 1消耗的功率最大?电阻R 1消耗的最大功率是多少?【解析】（1）根据结论可知，当电路内外电阻相等时输出功率最大，即当变阻器的阻值为2Ω时输出功率最大，P max =E 24r =0.75W ，效率为50%（2）在变阻器变化过程中若R 减小时，电路中的电流I 增大，根据P =I 2R 无法直接判断最大功率，我们可以借用以上结论，当我们把R 1看作电源内阻时，R 2就作为外电路了，当内外电路电阻相等时，输出功率最大，所以当R 2与等效内阻（R 1+r ）相等时，功率最大，此时R 2应等于4Ω，=916 W（3非常麻烦，也没有必要，大家想一下，当通过R 1的电流最大时，它的功率不就是最大吗？即当R 2=0时，电流最大，R 1的功率也最大，I =E R 1+r =34 A P =I 2R =916 W 2. 定值电阻与滑动变阻器并联例题2 如图所示，电源电动势E =2V ，内阻r =1Ω，电阻R 0=2Ω，滑动变阻器的阻值范围为0～10Ω．求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？（3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？【解析】（1）当R 0两端的电压最大时，R 0消耗的功率最大，当R 取最大值时，路端电压（即并联电路两端的电压）最大，Ω时R 上消耗的功率最大，最大输出功率为P max =(43)24×23 =23 W（3）当内外电阻相等时，电源的输出功率最大，即R 并=r ，R =2Ω，P max =E 24r =1W 小结：当把定值电阻等效为电源内阻时，串联、并联的区别：电动机刚好正常工作(额定输出功率为P0=2W),甲图电流为I1,乙图电流为I2,则下列选项正确的是()A. I1=2A,I2=1AB. I1=2A,I2=2AC. R1=2Ω,R2=2ΩD. R1=2Ω,R2=1.5ΩD项，把R3看成电源的内阻，ab间为外电路，电压表的示数就可以看作路端电压，故ΔUΔI=r+R3=6Ω，两种情况下比值相等，故D错误。
电源输出功率最大问题
电源输出功率最大问题一、用配方法求极值例1．如图所示，已知电源内阻r ，电动势ε，滑动变阻器R 调在何处时，电源输出功率最大（R>r ）。
分析：由闭合电路欧姆定律知：I R rε=+，所以222222222222()()224()44RRRP I R R R r R rR Rr rR Rr r RrR r Rrr Rεεεεε======-+++-++-++出由于2()0R r -≥，所以当R -r =0即R =r 时，输出功率有最大值24P rε=max 。
结论：当电源的内阻r 等于外电路电阻R 时，电源输出功率最大。
画电源输出功率随外电阻变化的变化规律图像，可采用取值、描点、绘图再连线的步骤得到的图像，也可用Excel 电子表格做出P —R 图像为：【ε=6V ，r =2，R =（0，1，2，3，4，5，6，7，8）】由图像知：在峰值处R =r 时，电源输出功率最大。
最大值为24P rε=max 。
二、根据两项之积为常数，当两项相等时和有最小值求极值 函数b y ax x =+，因b ax ab x ⋅=为常数，所以当bax x=即x =y有最小值min y =例2．如图，已知电源电动势ε，内阻r ，外电路电阻R 1和可变电阻R ，在R 由零增加到最大值的过程中，求：可变电阻上消耗的热功率最大的条件和最大热功率。
分析：根据闭合电路的欧姆定律可得电路中的电流为1I r R Rε=++，所以22222111()()2()R P I R R r R r R R R r R Rεε===++++++。
讨论电阻R 上消耗的电功率，因为分母中两项之积为常数，当两项相等时，分母有最小值，即当21()r R R R+=（1R r R =+）时，RP 有最大值：221112()2()4()R P r R r R r R εε==++++。
例3．如图，已知电源电动势ε和电源电阻r ，外电路电阻R 1与滑动变阻器并联，问滑动变阻器R 调在何处时，在电阻R 上消耗的热电功率最大？分析：根据闭合电路欧姆定律和串并联电路的特点知： ε=Ir +U 外 ①112U I R I R ==外 ②12I I I =+ ③则21122211()()I R R R r R r I r I R I R R ε++=++=，所以1211()R I R R r R rε=++ 221211()()R R P I R R R R r R rε==++ 2212221111()2()()R RR R r R rR R r R r ε=++++221221111()()2()R R r R R r R r R r Rε=++++因为分母中两项之积为常数，当两项相等时分母有最小值，即当2211()()R r R R r R+=（11R r R R r =+）时，R P 有最大值存在。
高二物理-电源的最大输出功率
求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律【题目1】如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。
方法一：运用P~R 函数关系法：因为UI P =、IR U =和Rr EI +=， 所以22)(R r RE P +=，得R r Rr E P ++=222。
可见，当R Rr =2，即r R =时P 有最大值， 且最大值rE P 42max=。
P~R 的函数图像如图2所示。
①当R=r 时，电源的输出功率最大，P m =rE 42。
②当R ＞r 时，随着R 的增大输出功率减小。
③当R ＜r 时，随着R 的减小输出功率减小。
方法二：运用P~I 函数关系法因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=， 推得rE r E I r P 4)2(22+--=。
可见，当rEI 2=时P 有最大值， 且最大值rE P 42max=。
P~I 的函数图像如图3所示。
方法三：运用P~U 函数关系因为UI P =、rUE I -=，所以r U U r E P 2-=，推得rE E U r P 4)2(122+--=。
可见，当2EU =时P 有最大值，图1图4图3图2且最大值rE P 42max=。
P~U 的函数图像如图4所示。
【规律总结】当R=r 时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为r E 42，此时2E U =，rE I 2=。
此时 U ~I 图像如图5所示，图5中斜线部分的“面积”表示了电源的最大输出功率。
“等效电源”解决功率问题【题目2】如图所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？ （3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？方法：（1）对定值电阻，直接运用公式。
最大输出功率
这一关系跟外电路的性质无关
电源的输出功率为
P
UI
U
E U
U 2
UE
(U
E)2 2
E2
r
rr
r 4r
显然当路端电压等于电动势的一半时，即 U外=U内时， 电推导对外电路性质并没有什么要求， 因此是普遍成立的，也就是说不管外电路 是线性还是非线性，都有当U外=U内时， 电 源有最大输出功率
Pm
E2 4r
而当外电路为线性时， U外=U内这一 条件就可简单表示为 R=r
• 在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率 与外电阻R的关系是
p I 2R ( E )2 R
E2
Rr
(R r)2 4r
R
显然，当外电阻等于内电阻（即R=r）时， 电源输出功率最大，最大输出功率为
E2 Pm 4r
当外电路为非纯电阻时，电源的最大输 出功率如何计算呢？
电源路端电压跟电流的关系是
一轮复习：闭合电路的功率及效率问题
如图所示，E＝8 V，r＝2 Ω，R1＝8 Ω，R2为变阻器接入电路
中的有效阻值，问：
(1)要使变阻器获得的电功率最大，则R2的取值应是多大？这时 R2的功率是多大？ (2)要使R1得到的电功率最大，则R2的取值应是多大？R1的最 大功率是多少？这时电源的效率是多大？
(3)调节 R2 的阻值，能否使电源以最大的功率E4r2输
闭合电路的功率 及效率问题
由 P 出与外电阻 R 的关系式可知： (1)当 R＝r 时，电源的输出功率最大为 Pm＝E4r2。 (2)当 R>r 时，随着 R 的增大输出功率越来越小。 (3)当 R<r 时，随着 R 的增大输出功率越来越大。 (4)当 P 出<Pm 时，每个输出功率对应两个外电阻 R1 和 R2，且 R1R2＝r2。
出？为什么？
(1)10 Ω 1.6 W (2)0 5.12 W 80%
(3)不能
方法感悟
(1)干路上的定值电阻可等效为电源内阻 的一部分来处理，这样会使问题简化。 (2)当仅外电路电阻是变量时，才能应用 P出-R图象回路，测得电阻箱所消耗功率 P与电阻箱读数R变化的曲线如图所示，由此可知( B ) A．电源最大输出功率可能大于45 W B．电源内阻一定等于5 Ω C．电源电动势为45 V D．电阻箱所消耗功率P最大时，电源效率大于50%
7．有一个电动势为3 V，内阻为1 Ω的电源。下列电阻与其连 接后，使电阻的功率大于2 W，且使该电源的效率大于50%的 是(C ) A．0.5 Ω B．1 Ω C．1.5 Ω D．2 Ω
4.受动画片《四驱兄弟》的影响，越来越多的小朋友喜欢上了 玩具赛车，某玩具赛车充电电池的输出功率P随电流I的变化图 象如图所示，由图可知下列选项错误的是(D ) A．该电池的电动势E＝4 V B．该电池的内阻r＝1 Ω C．该电池的输出功率为3 W时，电路中的电流可能为1 A D．输出功率为3 W时，此电源的效率一定为25%
多角度探讨电源的最大输出功率
多角度探讨电源的最大输出功率宝山区教师进修学院（上海201900） 唐黎明如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。
解法一：运用P~R 函数关系 因为UI P =、IR U =和Rr E I +=，所以22)(R r R E P +=，推得Rr RrE P ++=222。
可见，当R Rr=2，即r R =时P 有最大值，且最大值rEP 42max =。
P~R 的函数图像如图2所示。
解法二：运用P~I 函数关系因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=，推得rEr E I r P 4)2(22+--=。
可见，当rE I 2=时P 有最大值，且最大值rEP 42max =。
P~I 的函数图像如图3所示。
解法三：运用P~U 函数关系 因为UI P =、rU E I -=，所以rU U rE P 2-=，推得rEE U rP 4)2(122+--=。
可见，当2E U =时P 有最大值，且最大值rEP 42max =。
P~U 的函数图像如图4所示。
由上述三种解法可知，当外部电路的电阻等于电源的内电阻时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为rE42，此时端压为电源电动势的一半，流过电源的电流为电源短路电流的一半。
这一结论也可清楚地通过 U ~I 图像（如图5所示）来反映，图5中斜线部分的面积表示了电源的最大输出功率。
图1图4图3R图2。
电源电动机的最大输出功率
电源\电动机的最⼤输出功率2019-07-21电源、电动机是⾼中物理中常见的能量转化装置，电源是把其他形式的能（如,机械能，化学能，光能……）转化为电能的装置，⽽电动机是把电源提供的电能转化为其他形式能量的装置，且能量在转化过程中总能量守恒.电源对外做功的多少通常⽤电源的输出功率来量度，根据能的转化和守恒定律（不计导线上能量损失及其他能量损失.如,导线上的电磁损失），电源的总功率EI被分为两部分：⼀部分为电源内部电阻产⽣的内能I2r；⼀部分为电源的输出功率P输，有公式EI=I2r+P输.电动机对外做功的多少也可以⽤输出功率来量度，根据能的转化和守恒定律，电动机正常⼯作时消耗的功率UI 也被分为两部分：⼀部分为电动机内部电阻产⽣的内能I2r；⼀部分为电动机的输出功率P输，有公式UI=I2r+P输.在闭合电路中，电源的输出功率可表⽰为P输=IE－I2r=－I2r+IE（E，r为常数），由公式可知P随I的变化规律满⾜⼀元⼆次函数，由数学知识可知：当电流I=-b/2a=E/2r时，输出功率有最⼤值为Pmax=（4ac-b2）/4a=E2/4r，此时电源的效率为η=P输EI×100%=50%.公式P输=IE－I2r对于任何电路都是成⽴的，所以外电路可以是纯电阻电路，也可以是⾮电阻电路，特殊地当外电路为纯电阻时，电源的输出功率还可表⽰为：P输=I2R=RE2/（R+r）2=RE2/［（R-r）2+4Rr］，由数学知识可知：当外电阻等于内电阻（即R=r时，此时电路中的电流为E/2r），电源的输出功率有最⼤值为Pmax=E2/4r，电源的效率为50%，仍满⾜上述规律.对电动机⽽⾔，正常⼯作时，加在电动机两端的电压U应该为定值.电动机的输出功率为P输=UI-I2r（r为电动机线圈电阻，也为定值），同样也为关于电流I的⼀元⼆次⽅程，由数学知识可知：当电流I=-b/2a=U/2r时，输出功率有最⼤值为Pmax=（4ac-b2）/4a=U2/4r，此时电动机的效率为η=P输UI×100%=50%.由以上分析不难看出：对于⼀个特定的电源（E，r为定值）和特定的电动机（U、r为定值）⽽⾔，能够对外输出的最⼤功率是⼀个定值，其最⼤值分别为Pmax=E2/4r和Pmax=U2/4r.此时电路中的电流为I=E2r和I=U2r，电源内阻和电动机内阻上消耗的电压分别为E2和U2，效率为50%.例1 已知四个电源，电动势均为2 V，内阻分别为r1=0.5 Ω，r2=1 Ω，r3=2 Ω，r4=4 Ω；现⽤这些电源给⼀个阻值R=2 Ω的电阻供电，则哪个电源使R消耗的功率最⼤.解析：由于R是定值电阻，由功率公式P=I2R可知，当流过R的电流越⼤时，R消耗的功率越⼤，所以当⽤内阻为r1=0.5 Ω的电流供电时，R消耗的功率最⼤.反思：在这⾥很容易产⽣这样的错误：R消耗的功率，也就是电源的输出功率，当R=r时电源的输出功率最⼤，因此可得出结论当⽤内阻为r3=2 Ω的电源供电，R消耗的功率最⼤.造成错解的原因在于没有搞清电源最⼤输出功率的条件.“当R=r时电源的输出功率最⼤”是对某个确定（E，r）的电源⽽⾔的，对不同的电源，其最⼤输出功率Pmax=E2/4r是不同的.两者不能混为⼀谈.例2 某⼀⽤直流电动机提升重物的装置，重物的质量为50 kg，稳定电压U=120 V，不计各处摩擦，当电动机以0.9 m/s的恒定速度向上提升重物时，电路中的电流强度I=5 A，求（1）电动机的线圈电阻为多少？（2）电动机对该重物的最⼤提升速度是多少？此时电动机消耗的功率多⼤？（3）若因故障电动机不能转动，此时通过电动机的电流多⼤？电动机消耗的功率多⼤？解析：（1）根据能的转化和守恒定律有UI=mgv+I2r,所以r=6 Ω.（2）当电动机有最⼤输出功率时对应有最⼤提升速度 U24r=mgvmax,所以vmax=43 m/s流过电动机的电流为I=U2r=10 A电动机消耗的功率为P=UI=1200 W（3）电动机不转动，电压全部加在线圈电阻上，相当于纯电阻电路，此时流过电动机电流为I=Ur=20 A. 电动机消耗的功率为P=UI=2400 W.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
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第三模块 选修3-1
物理
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3．电源的输出功率：P 出＝UI＝EI－I2r＝P 总－P 内 若外电路是纯电阻电路，则有 P 出＝I2R＝(RE＋2Rr)2＝(R－R Er)22＋4r. 由上式可以看出：
图2
第三模块 选修3-1
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(1)当R＝r(内、外电阻相等)时，电源的输出功率最大， Pm＝.
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图象
物理意义
伏安特性曲线I—U 图象
反映导体的伏安特性， 图象是直线表示导体为 线性元件，是曲线表示
导体为非线性元件
注意问题
图象斜率 的倒数为 导体的电
阻
闭合电路U—I图象
表示电源的输出特性， 纵轴截距为电源电动势 ，横轴截距为短路电流
图象斜率 的绝对值 表示电源 的内阻
由上式可以看出，当 R 减小时，R 总增大；当 R 增大 时，R 总减小．
第三模块 选修3-1
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2．“并同串反”规律 所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接 并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，反之 则减小．所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或 间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小， 反之则增大．
(2)当R>r时，随着R的增大输出功率越来越小． (3)当R<r时，随着R的增大输出功率越来越大． (4)当P出<Pm时，每个输出功率对应两个可能的外电路 阻值R1和R2，且R1·R2＝r2. (5
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(1)当外电阻变化时，外电阻越向靠近内阻 方向变化，电源输出功率越大．
图4
第三模块 选修3-1
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③在如图 4 所示的分压电路中，滑动变阻器可视为 由两段电阻构成，其中一段与用电器并联，另一段与并 联部分串联．设滑动变阻器的总电阻为 R0，灯泡的电阻 为 R 灯，与灯泡并联的那一段电阻为 R，则分压电路的总 电阻为：R 总＝R0－R＋RR＋RR灯灯＝R0－R＋R2R灯＝R0－R1 ＋1RR灯2.
第三模块 选修3-1
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(1)U—I图象为曲线时，R＝ ，而不等于 图线某点的斜率．
(2)对闭合电路的U—I图象，图线上每一 点坐标的乘积为电源的输出功率；图线上每 一点纵横坐标的比值为此时外电路的电阻．
第三模块 选修3-1
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1．电源的总功率 P总＝EI＝U外I＋U内I＝P出＋P内． 若外电路是纯电阻电路，则有P总＝I2(R＋r)＝. 2．电源内部消耗的功率：P内＝I2r＝U内I＝P总－P出
图3
第三模块 选修3-1
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特别提醒：(1)当电源输出功率最大时，机械效率η＝ 50%，在实际电路中无实用价值．当R→∞时，η→100%， 但此时P出→0，无实际意义．
(2)对于内外电路上的固定电阻，其消耗的功率根据P ＝I2R来判断，与输出功率大小的判断方法不同．
第三模块 选修3-1
第三模块 选修3-1
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3．电路的电流、电压变化时，将会引起电容器的 充(放)电．如果电容器两端电压升高，电容器将充电； 如果电压降低，电容器将通过与它并联的电路放电．
断路)时，I＝
0 ，U＝ E .路端电压随外电阻的增大而
增大，如图1所示．
②当外电阻R↓→I↑→Ir↑→U↓，当R减小到零(短路)时，
I短＝，U＝ . 0
图1
第三模块 选修3-1
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图象
物理意义
注意问题
部分电路欧姆定 律，U—I图象
反映I跟U的正比 关系
图象的斜率表示 导体的电阻，斜 率越大，电阻越 大
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2．闭合电路欧姆定律 (1)内容：闭合电路中的电流强度跟电源的 电动势 成 正比，跟内、外电路中的 总电阻 成反比．
第三模块 选修3-1
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(3)路端电压：外电路两端的电压，
即电源的输出电压U＝ E－Ir .
①当外电阻 R↑→I↓→Ir↓→U↑，当R增大到无穷大(即
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1．程序法
第三模块 选修3-1
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(2)判定总电阻变化情况的规律 ①当外电路的任何一个电阻增大(或减小)时，电路的 总电阻一定增大(或减小)． ②若开关的通、断使串联的用电器增多时，电路的总 电阻增大；若开关的通、断使并联的支路增多时，电路的 总电阻减小．
第三模块 选修3-1
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1．电动势 (1)物理意义：反映电源把其他形式的能 转化为电能
本领大小的物理量．
(2)大小：等于电路中通过1 C电荷量时电源所提供的 电能的数值；等于电源没有接入电路时两极间的 电压 ；
在闭合电路中等于 ＋U外．
内外电路电压
之和，即E＝U内
第三模块 选修3-1
(2)判断可变电阻的功率，运用等效的方法， 只要把其余的定值电阻看成电源的内电阻处理 即可．
第三模块 选修3-1
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4．电源的效率：η＝PP出 总×100%＝UE×100%＝R＋R r ×100%＝1＋1 Rr ×100%，因此当 R 增大时，效率 η 提 高，当 R＝r，即电源有最大输出功率时，效率仅为 50%.η －R 图象如图 3 所示．
第三模块 选修3-1
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分析和计算含有电容器的直流电路时，需注意以下几 点：
1．电路稳定后，由于电容器所在支路无电流通过， 所以在此支路中的电阻上无电压降，因此，电容器两极间 的电压就等于该支路两端的电压．
2．当电容器和电阻并联后接入电路时，电容器两极 间的电压与其并联电阻两端的电压相等．
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1．串联电路的特点
第三模块 选修3-1
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2．并联电路的特点
第三模块 选修3-1
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3．几个有用的结论 (1)串联电路的总电阻 大于 电路中任意一个电阻， 电路中任意一个电阻变大时，串联总电阻 变大 ． (2)并联电路的总电阻 小于 电路中任意一个电阻， 任意一个电阻变大时，总电阻 变大 ． (3)无论电阻怎样连接，每一段电路消耗的电功率P总 等于各个电阻消耗的电功率之和．