方浩线性代数讲义

2015考研数学综合强化课

科目：线性代数

主讲老师：方浩

新浪微博：Professor_fang 1

(一)时间安排

○1行列式

○2矩阵

○3向量

○4线性方程组

○5特征值与特征向量○6二次型

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（二）命题特点

○1重点突出（围绕方程组和相似问题展开）○2综合性强（行列式，秩，向量，方程）○3重理论，轻计算

○4应用性非常突出

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（三）复习方法

○1紧跟强化课程（串讲，提炼，综合）○2真题即是考题

○3把握整体逻辑体系

○4重点知识重点把握

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第一章行列式

核心考点：计算行列式(0-4分) （1）特殊行列式

（2）行列展开定理

（3）递推型行列式

5

6

（一）基本概念 （1）[行列式] 12)

1212

11121(212221212(1)

n n

n

n j j j n

j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

二阶行列式：

a b

ad bc c d

=-.

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（2）[余子式]

[余子式]：划去ij a 所在的第i 行、第j 列，剩下的1n -阶行列式称为ij a 的余子式，记为ij M [代数余子式]：(1)i j

ij ij A M +=-

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（二）行列式的性质

（1）T

A A

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）某行（列）扩大K 倍，行列式扩大K 倍 （4）两行（列）成比例，行列式为0

（5）某行（列）能拆成两个行（列）向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和

（6）将某行（列）的K 倍加到另一行（列），行列式值不变

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（三） 特殊行列式 （1）[上（下）三角] 1112111

22221

221

2

n n ii

i

nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a =

=∏

10

111121,112,1221222,11

,1

1

(1)2

12,1

1

00000

00(1)n n n n n n n n n nn

n n n n n n a a a a a a a a a a

a a

a a a a a ------=

=-

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(2) [拉普拉斯展开式] 主对角：m m m n n n A O A C A B C B O B == 副对角：

()1mn m m m n n n O A C A A B B C B O ==-

推论：

n n n n A B A B =

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(3) [范德蒙行列式] ()1

21

111

21

11n j i j i n n n n a a a a a a a a >---=-∏

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（三）行列展开定理

11221122i i i i in in j j

j j nj nj

D a A a A a A D a A a A a A =+++=+++ [变型]

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（四） 克拉默法则

对于方程组n A x b =

（1）

若0n A ≠，上述方程有唯一解 （2）

若0n A ≠，具体解为i i n D x A =，其中i D 为行列式n A 中的第i 列用向量b 替换得到