方浩线性代数讲义
线性代数讲义(第四章)
得基础解系：p1=(1,4,0)T, p2=(1,0,4)T，故关于2的 全部特征向量为： x=k1(1,4,0)T +k2 (1,0,4)T = (k1+k2,4k1,4k2)T，k1, k2不全为零。
例 4 证明：若是方阵A的特征值，则 (1) n 为方阵An 的特征值 (n为正整数)； (2) 当方阵A可逆时，1为方阵A1 的特征值。 证：(1) 设x为A关于特征值的特征向量，则Ax=x； A2x=A(Ax)= A(x)=Ax=2x 设An1 x =n1x，则 Anx=A(An1 x)=A(n1x)=n1Ax=nx 故n 是矩阵An 的特征值。
关于1的特征向量为：x=(k,0,k)T ， k 0 。 当=2时，
2 1 1 4 1 1 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 1 3
记 a1 c1 j x1 j， a 2 c2 j x2 j
j 1 j 1
m1
m2
则
a1 a 2 0
下说明a1=a2=0，假设存在某个ai 0，不妨设a10, 则a20，由命题1知，ai是i 对应的特征向量， 又由定理4.2知，a1, a2 线性无关。
与 a1 a 2 0 矛盾 , 故a1=a2=0，即
由于A=2I，故对任意xR3, x 0, 都有Ax=2Ix=2x， 由定义4.1知：2是A的特征值，任一3维非零向量都 是A关于特征值2的特征向量。
由定义4.1，若为n阶方阵A的特征值，则存在 n维非零向量a，使得Aa=a，即(IA)a =0，a满 足(IA)x=0，即a为齐次线性方程组(IA)x=0的解 向量，从而齐次线性方程组(IA)x=0有非零解； 反之，若齐次线性方程组(IA)x=0有非零解a，则 Aa=a，故为方阵A的特征值。 故为n阶方阵A的特征值的充要条件是齐次线性方 程组(IA)x=0有非零解。 而(IA)x=0有非零解的充要条件为：r(IA)<n， 即|IA|=0。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
线性代数讲义(二版)6章
第 6 章 二次型（一） 引言● 起源：解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究● 例：平面解析几何：以原点为中心的有心二次曲线d cy bxy ax =++222经适当旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x （即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x θθθθcos sin sin cos 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x θθθθcos sin sin cos ）消去交叉项，化为标准方程22y B x A '+'＝D● 判别曲线的几何形状和性质● 其它应用：物理学、工程技术、经济管理（二） 内容● 二次型及其标准形；● 化二次型为标准形；● 正定二次型及其性质。
（三） 基本要求● 熟悉二次型及矩阵表示，掌握用正交变换法化二次型为标准形。
● 了解惯性定理、二次型的秩和二次型的正定性及其判别法。
（四）重点和难点●重点：利用正交变换把二次型化为标准形。
●难点：利用正交变换把二次型化为标准形。
6.1 二次型及其矩阵表示(一) 二次型【定义6.1】n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122,,,+++=＋2222x a ＋…＋n n x x a 222＋……＋2n nn x a (6.1)称为n 元二次型，简称二次型。
ij a 称为二次型()n x x x f ,,,21 的系数。
ij a 为实数时，f 称为实二次型；为复数时，称为复二次型。
仅含有平方项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准形。
约定：本章讨论实二次型。
(二) 二次型的矩阵表示令ji ij a a =，便有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，则()++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121,,,+++++ n n x x a x a x x a 222222122122211n nn n n n n x a x x a x x a +++＝()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121,,,＝()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121,,, 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x x a a a a a a a a a A 21212222111211, 则 ()n x x x f ,,,21 ＝Ax x T ，T A ＝A （6.2） 称为二次型()n x x x f ,,,21 的矩阵形式，称对称矩阵A 为f 的矩阵，称f 为A 的二次型，称A 的秩为f 的秩。
2015方浩线性代数讲义2-1
9
3 性质： ○ 1 1 1 ( kA) k A 1 1 1 n 1 1 n ( AB ) B A ,( A ) ( A ) 1 1 ( A ) A 1 1 | A | | A|
15
（四）矩阵的初等变换 （1）三种初等变换： 1 某一行（列）扩大 k 倍 ○ 2 互换两行（列） ○ 3 将第 i 行（列）的 k 倍加至第 j 行（列） ○ （2）三个初等矩阵： Ei k ，Eij k （对单位阵进行初等变换） E ij ，
16
Eij 1 Eij 1 1 性质： Ei k E i ； k E 1 k E k ij ij
* n 1 *
14
n
【注意】 1 逆，转置，伴随，n 次幂 （两两可交换） ○
A1 A2 B1 B2 A1 B1 A2 B2 A A B B A B A B 4 4 3 4 4 3 3 3 A B X Y AX BZ AY BW 2 ○ C D Z W CX DZ CY DW
O -1 B
13
（3）伴随矩阵
1 定义： A ○
*
a
ij
n
A Aji
*
*
n
A A AA A E
( kA) k A * * * n * * ( AB ) B A ,( A ) A 2 性质： ○ n 2 * * ( A ) A A * n 1 | A || A |
aij bij 0
（2） 数乘： kAmn Bmn kaij bij
2015方浩线性代数讲义4
4.多元函数可偏导，可微，连续之间关系
连续 可微 可偏导
一阶偏导连续
7
（二）偏导的计算 1.链式法则(显函数) u u( x , y ), v v ( x , y ) 可 导 , z f ( u, v ) 在 相应点有连续一阶偏导数, z z f u f v u v x u x v x y x x y z f u f v y u y v y
f ( x, y) (B)若 lim 2 存在, f ( x , y )在(0,0)可微 2 x 0 x y y 0
29
f ( x, y) (C) f ( x , y )在(0,0)可微,则lim 存 x 0 x y y 0
在
f ( x, y) (D) f ( x , y )在(0,0)可微,则lim 2 存在 2 x 0 x y y 0
42
【例 4.18】 设可微函数 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处取极小值,则下列结论正确的是: （A) f ( x0 , y )在 y0 处导数大于零 (B) f ( x0 , y )在 y0 处导数等于零 (C) f ( x0 , y )在 y0 处导数小于零 (D) f ( x0 , y )在 y0 处导数不存在
16
2.条件极值 （1 ） f ( x , y ) 在条件 ( x , y )=0 条件下的极 值. ○ 1 构造 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
17
Fx' 0 ' 2 令 F 0 ,消去 解出驻点 ○ y ' F 0
g( t ) f [t , f ( t , t )],求 g(0).
2
考研线性代数精讲讲义
性质4ห้องสมุดไป่ตู้
某行 列 是两个元素之和, 则可拆成两个行列式之和.
a11 b1 a12 b2 a13 b3 a11 a12 a13 b1 b2 b3
a21
a22
a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 .
a31
a32
a33
a31 a32 a33 a31 a32 a33
性质5 某行列元素的k倍加到外一行(列)对应元素上,行列式的值不变.
线性代数的考试基本情况
▪一、满分34分；2个选择+1个填空+2个解答； ▪二、数一数二数三考试内容基本统一
（数一：向量空间） ▪三、一个核心——秩，一个方法——初等变换.
第1章 行列式
▪主要内容
▪1.行列式的定义及性质； ▪2.行列式的展开公式
一、行列式的定义
▪1.排列和逆序
排列 由n个数1, 2, , n组成的一个有序数组称为一个n级排列, n级排列共有n!个.
.
x x n1
n1
1
2
x n 1 n
▪
第2章 矩阵及其运算
主要内容:
▪ 1.矩阵的基本运算
▪ 2.幂、转置、伴随、逆
▪ 3.初等变换与初等矩阵
▪ 4.秩
▪▪一、矩阵的定义及其基本运算
▪1.矩阵的定义
由m n个数,排成的m行n列的表格
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2
n
称为一个m
n的矩阵,
记为A.
ann
若m n,则称为n阶方阵；
若A与B都是m n的矩阵,则称A与B是同型矩阵；
若A与B是同型矩阵且对应元素aij bij ,则A B.
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
2015方浩线性代数讲义8
3)参数式: x x0 lt , y y0 mt , z z0 nt .
3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、 夹角） 关键：平面的法线向量，直线的方向向量
（三）曲面与空间曲线 1. 旋转面 平面曲线绕平面上一条直线旋转： f y , z 0绕 z 轴旋转一周，旋转曲面方程 为 f x y ,z 0
， p, q 同号
， p, q 同号
（3)双曲面 ①单叶双曲面 ②双叶双曲面 （4）椭圆锥面
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c2
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z 2 2 2 2 a b c
3. 空间曲线投影
4.多元微分在几何上的应用 I) 曲面的切平面与法线 曲面 F ( x, y, z ) 0,法向量: n { Fx , Fy , Fz }； 曲面 z f ( x , y ), 法向量: n { f x , f y , 1}.
2 2
方法： 曲线绕哪个轴旋转， 对应变量不变， 另外的变量将缺的变量补上改成正负二者 的完全平方根的形式
2. 常见二次曲面 （1)椭球面 （2)抛物面 ①椭圆抛物面 ②双曲抛物面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z p q
x2 y 2 z p q
ax (abc) bx cx ay c) |
a,b,c共面 (abc)=0
二. 直线与平面 1．平面方程 一般式： Ax By Cz D 0. 截距式:
x y z 1. a b c
n { A, B, C }.
【例
x 1 y z 1 8.2】求直线 L : 绕 z 轴旋 0 1 2
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2015方浩概率强化讲义4
[方差的性质]
1 Da 0 ○ 2 D(aX ) a 2 D X ○ 3 D( X a ) D X ○ 4 D X Y D X D Y 2cov X ,Y ○ 5 若 X ,Y 相互独立， D X Y D X D Y ○ 6 E X 2 E2 X D X ○
2 2 2 2 2 2
2 2
(D) EX EX EY EY
33
【 例 】 随 机 变 量 X ,Y 都 服 从 N 0,1 ， U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
A 不独立 C 不相关不一定独立
B 独立 D 相关
31
【例4.31】
32
[题型三 不相关与独立性] 【P162,5】设随机变量 X ,Y 服从二维正态
分布，则随机变量 X Y , X Y 不相关的 充分必要条件为（ ） (A) EX EY (C) EX EY
2 2
(B) EX EX EY EY
15
(六)随机变量的矩 1. k 阶原点矩： E X k 2. k 阶中心矩： E X E X
k
16
[题型一 期望与方差的计算]
【 例 4.22 】 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 x 1 F ( x ) 0.3( x ) 0.7( ) ， 其 中 ( x ) 为 2 标准正态的分布函数，则 EX （ ） （A）0 （C） 0.7 （B） 0.3 （D）1
第四章
随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和） 一维： E X xi pi
2022考研线性代数强化讲义(知识体系+重点题型解析)
第一章行列式一、知识体系 1122,,A i j i j A i j i j =a A a A a A ≠ i j i j 1122 +++= 0,= a A a A a A i j i j +++= ≠ 0, in jnn ! 项不同行不同列元素乘积的代数 定 ni nj 义和 性质 上()或下三角、主对角行列式 副对角行列式ab 型行列式 拉普拉斯展开式 范德蒙行列式行列式12,,,,12,,,T n kA k A A A D n D D x x x −D D D1−1n −1i =1 行列式的概念重要行列式展开定理=nAB A B ==A A= 行列式的公式 * =A A=12=== = ∏ n i 设 n A A 的特征值为λλλλ则 若A B A B 与相似,则Cramer 法则二、重点题型重点题型一数字行列式的计算【方法】【例1.1】设212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x −−−−−−−− f x ()=−−−−x x x x −−− 则方程f x ()0 =根的个数为【】（B ）2（C ）3（A ）1【详解（D ）4】【例1.2】利用范德蒙行列式计算222a a bcb bac cc ab=.【详解】【例1.3】设x x x x 1234≠0，则11121314212223243132333441424344x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a +a a a a a a x a 2+2=+2+2.【详解】【例1.4】计算三对角线行列式000000000000αβαβαβαβαββαβ+++D n =++αβα【详解】重点题型二代数余子式求和【方法】【例1.5】已知1234522211312451112243150A=27，则A A A 414243=++=，A A 4445+=.【详解】010000200001n 000【例1.6】设A =n −，则A 的所有代数余子式的和为.【详解】重点题型三抽象行列式的计算【方法】【例1.7】（2005，数一、二）设α1,α2,α3均为3维列向量，A =(α1,α2,α3)，(,24,39)B ααααααααα=++++++123123123.若A =1，则=B .【详解】【例1.8】设A 为n 阶矩阵，αβ,为n 维列向量.若A a =，TAαb=0，β则TA β【详解】(2)(2)A A O −O A 1*−【例1.9】设A 为2阶矩阵，B =2 .若A =−1，则=B .【详解】【例1.10】设n 阶矩阵A 满足A A 2=，A E ≠，证明A =0.【详解】第二章矩阵一、知识体系 ()AB A A Ax +A B kAAT⇔≠||0 ⇔=r A n ⇔ ⇔=⇔=定 义 性质 定义法 初等变换 求法伴 随矩法阵法 分块矩阵法的列（或行）向量组线性无关 充要条件齐次线性方0 程组只有零解 非齐次线性方程组Ax b 有唯一解 ⇔A 的特征值均不为零 定义矩性质阵求法基本运算逆 秩定 义 伴随矩阵性质 定义 性质 求矩阵的逆初等变换与初等矩阵 求矩阵的秩线性 应用求表极大示线性无关组 解线性方程组 求二次型的标准形分块矩阵二、重点题型重点题型一求高次幂【方法】2131【例2.1】设46A a b c − =，B 为3阶矩阵，满足BA O=，且r B ()1>，则A n =.【详解】200412 【例2.2】设A =−320，则A n=.【详解】−−121 【例2.3】设A =−− −−363 121，P 为3阶可逆矩阵，B P AP =−12022B E ，则()+=.【详解】重点题型二逆的判定与计算【方法】 【例2.4】设n 阶矩阵A 满足A 2=2A ，则下列结论不正确的是【】 （B ）A E （C ）−可逆A E（D ）+可逆A E −3可逆 （A ）A 可逆【详解】,为n 阶矩阵，【例2.5】设A B a b ,为非零常数.证明： I ）若（AB aA bB ，则=+AB BA =2+=，则（II ）若A aAB E AB BA ；=.【详解】11a 0110a 【例2.6】（2015，数二、三）设A a =−，满足A O 3=. （I ）求a 的值；（II ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ，求X −−+=.【详解】重点题型三秩的计算与证明 【方法】秩的性质（1）设A 为m ×n 阶矩阵，则()min ,r A m n {}≤； 2）（()()()r A B r A r B +≤+； （{3）()min (),()r AB r A r B }≤；（{4）max (),()()()()r A r B r A B r A r B }≤≤+；5）r A r kA k （()()(0)=≠；（6）设A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；7）设A 为m ×n 阶矩阵，若（r A n ()=，则()()r AB r B ；若=r A m ()=，则()()r CA r C =；===TTT8）（()()()()r A r A r AA r AA ；（9）设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，AB O =，则r A r B n ()()+≤.,为n 阶矩阵，【例2.7】（2018，数一、二、三）设A B () X Y 表示分块矩阵，则【】 （A ）( )()r A AB r A （B ）=( )()r A BA r A ={ }（C ）( )max (),()r A B r A r B =T T（D ）r A B r A B ( )( )=【详解】 【例2.8】设A 为n 阶矩阵.证明：I ）若A 2=A ，则（r A r A E n ()()+−=；2=，则（II ）若A E r A E r A E n ()()++−=.【详解】重点题型四关于伴随矩阵【伴随矩阵的性质】||01**11（1）,AA A AA E A A A A AA A≠**−−== →==； （*1*=n 2）()kA k A −； 3）()AB B A （***=（4；）*A A n −1=；（** A A 5）()()T T=；（ 6）()()A 1**1A A A−−==；（ n −7）()A A A 2**=； ,()8）r A r A n （()1,()1=n r A n *==−r A n <−0,()1.【例2.9】设n 阶矩阵A 的各列元素之和均为2，且A =6，则A ∗的各列元素之和均为【】（B ）31（C ）3 （A ）2【详解（D ）6】ij 为n n 【例2.10】设A a =()(3)阶非零矩阵，A ij 为a ij 的代数余子式，≥证明：（*(,1,2,,)TTI ）a A i j n A A AA E ij ij ==⇔=⇔= 且A =1；*(,1,2,,)TT（II ）a A i j n A A AA E ij ij =−=⇔=−⇔= 且A =−1.【详解】重点题型五初等变换与初等矩阵【初等变换与初等矩阵的性质】（1）E i j (,)1=−，(())E i k k =，E ij k (())1=； T2）（(,)(,)E i j E i j =T，E ij k E ji k T ，E i k E i k (())(())=(())(())=；−13）（(,)(,)E i j E i j =1，E i k E i k(())−1=−1，(())(())E ij k E ij k =−；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例2.11】（2005，数一、二）设A 为n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，则【】（A ）交换A *的第1列与第2列，得B *（B ）交换A *的第1行与第2行，得B *（C ）交换A *的第1列与第2列，得−B *（D ）交换A *的第1行与第2行，得−B *【详解】123012001 【例2.12】设A = 001010100，P =110010001 ，Q = ，则()()T −P A Q 120212022=__________.【详解】第三章向量一、知识体系212(,,,)(,,,) (,,,)s k k k x 1x x r r βαααααααααβ αααβαβ+ k α [αβ,] =+++ ⇔= ⇔= →1122 s s 12 s 12 s s 12 s 定初等行变换义非齐次线性方程组(,,,)αααβ有解 充要条件 充分条件 求法行最简形矩阵向线性相关量 1 22 (,,,)0(,,,)x x x s r s x 1x x s ααα 定ααα义 ⇔=⇔< ⇔= 12s 12 s 12s ⇔至少有一个向量可由其余向量线性表 示齐次线性方程组充要条件ααα有非零解 充分条件齐次线性方程组充要条件(,,,)0只有零解 (,,,)ααα基本运算线性表示定义⇔任意向量均不能由其余向量线性表示线性无 关αs =s ⇔r (,,αα12,)12 s → 充分条初等行变换件定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵二、重点题型重点题型一线性表示的判定与计算 【方法】,,与数【例3.1】设向量组αβγk l m ,,满足k l m km αβγ++=≠0(0)，则【】,与（A ）αβαγ ,等价 ,与（B ）αββγ,等价（D ）α与γ,,与（C ）αγβγ等价等价【详解】【例3.2】（123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)T T T2004，数三）设αααa ab a b ==+−=−−−+，β=−(1,3,3)T .当a ,b 为何值时， ,,线性表示I ）β不能由ααα（123；,,唯一地线性表示，并求出表示式（II ）β可由ααα123；,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（III ）β可由ααα123. 【详解】【例3.3】（2019，数二、三）设向量组（123(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)T TT a 2I ）ααα===+；向量组2a a a 123(1,1,3),(0,2,1),(1,3,3)T T T （II ）βββ=+=−=+I ）与（II ）等价，求a 的.若向量组（值，,,线性表示并将β3由ααα123.【详解】重点题型二线性相关与线性无关的判定【方法】【例3.4】（2014，数一、二、三）设ααα123,,均为3维列向量，则对任意常数k l,，1323,αααα ++k l ,,线性无关的【线性无关是ααα123】（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（A ）必要非充分条件【详解（D ）既非充分又非必要条件】【例3.5】设A 为n 阶矩阵，ααα123,,均为n 维列向量，满足A A 2αα11=≠0，212A A2ααα=+， 2323A A ααα=+ ,,线性无关，证明ααα123.【详解】,,线性无关，与4维列向量β1,β2两两正交，证明β1,β2线性相关【例3.6】设4维列向量ααα123.【详解】重点题型三极大线性无关组的计算与证明【方法】 1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)TTTT【例3.7】设ααααa a ==−−=−+=−−.（I ）当a 为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组；（II ）当a 为何值时，该向量组线性无关，并将α=(4,1,6,10)T 由其线性表示.【详解】,为I ）设A B m n ×矩阵，则()()()r A B r A r B +≤+；×矩阵，B 为n s {×矩阵，则()min (),()r AB r A r B 【例3.8】证明：（（II ）设A 为m n 【详解}≤.】重点题型四向量空间（数一专题）【方法】过渡矩阵12,,,n 到基β1,β2, ,βn 的过渡矩阵为由基ααα(,,,)(,,,)=βββααα12C 12 n n ，−12αααβββ1C =(,,,)(,,,) 12 n n .12坐标变换公式,,, n 下的坐标为设向量γ在基αααx x x x12 n T，在基β1,β2, ,βn 下=(,,,)的坐标为y y y y 12 n T，则坐标变换公式为x =Cy =(,,,).2015，数一）设向量组ααα【例3.9】（123,,为R 3的一个基，113βαα=+22k ，βα22=2，313k=++βαα(1).,,为R 3的一个基I ）证明向量组βββ（123；（II ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基ααα123,,下的坐标相同，并求所有的ξ,,与基βββ123.I 【详解】（）3123201(,,)(22,2,(1))(,,)020201k k βββαααααααα1231321=+++= k k +201020201令C =k k +，则,,为R 3的一个基,,线性无关，故βββ=≠40，从而βββC 123123.（II ）设ξ在基ααα123,,下的坐标为x ,,与基βββ123，则 123123123Cx x=ξαααβββααα(,,)(,,)(,,)=x =C E x −=得()0.对C E −作初等行变换，1011010100102000k k kC E −=→当k =0时，方程组()00−C E x −=有非零解，所有非零解为1x c 1=，在两个基下坐标相同的所有非零向量为1231231xc −ξαααααααα1=(,,)(,,)0()==−c 31，其中c 为非零常数第四章线性方程组一、知识体系11220 () 0() ()()()()1 ()()()()r A n Ax r A n r A r A n r A r A n k k k ξξξ−− =⇔= Ax =0Ax =⇔<Ax b r A r A r A r A =⇔<⇔=− Ax b Ax b ==⇔== Ax b =⇔=< +++ 性 n r n r 质只有零解有非零解无解 判定有唯一解有无穷多解的通解线性方程组 1122()()()()()()()AX BAX B r A r A B n r A r A B n ξξξη−− Ax =0 ++++ Ax b k k k = =⇔< AX B r A r A B =⇔== AX B =⇔=< A B → n r n r =的通初等行变换解 定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解 求法行最简形矩阵 定义 求法,的行向量组等价()()A ⇔r A r r B B 解的性质与判定解的结构公共解定义公共解与同解 ⇔ A B 同解充要条 件==二、重点题型重点题型一解的判定【方法】【例4.1】（0TA2001，数三）设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，且r r A α α=()，则线性方程组（A ）Ax =α有无穷多解（B ）Ax =α有唯一解A x α （C ）αT0y =0只 有零解Ax α（D ） αT 0y =0有 非零解 【详解】 ×阶矩阵，且【例4.2】设A 为m n r A m n ()=<，则下列结论不正确的是【】T =0（A ）线性方程组A x 只有零解 T （B ）线性方程组A Ax =0有非零解 （C ）∀b ，线性方程组A x b（D ）∀b ，线性方程组T =有唯一解Ax b =有无穷多解【详解】重点题型二求齐次线性方程组的基础解系与通解【方法】1234为4阶矩阵，(1,0,1,0)T为线性方程组Ax =0【例4.3】（2011，数一、二）设A =αααα(,,,)的 *=0的基础解系可为【基础解系，则A x 】 , （A ）αα12,（B ）αα13,,（C ）ααα123,,（D ）ααα234【详解】a b c ，【例4.4】（2005，数一、二）设3阶矩阵A 的第1行为(,,)a b c 12324636k ,,不全为零，B =，满足AB O=，求线性方程组Ax =0的通解.【详解】【例4.5】（2002，数三）设线性方程组n 0n 0n 0 123n 0++++=ax bx bx bx bx ax bx bx 123++++=123++++=bx bx ax bx123++++=bx bx bx ax其中a ≠0，b ≠0，n ≥2. 当a b 求其通解,为何值时，方程组只有零解、有非零解，当方程组有非零解时，.【详解】重点题型三求非齐次线性方程组的通解【方法】,,为非齐次线性方程组【例4.6】设A 为4阶矩阵，k 为任意常数，ηηη123Ax b =的三个解，满足124ηη12+=23245 3，ηη23+==，则.若r A ()3Ax b =的通解为【】11203142− （A ） +k （B ）21324051 +k （C ）01102132− +k （D ）11121011 +k【详解】2017，数一、二、三）设3阶矩阵A =【例4.7】（(,,)=+2ααα123有三个不同的特征值，其中312ααα. I ）证明r A （()2=；（II ）若βααα=++123，求线性方程组Ax =β的通解.【详解】1101011λλλ 【例4.8】（2010，数一、二、三）设A =−11a ，b =，线性方程组 Ax b=有两个不同的解.（I ）求λ,a 的值；（II ）求方程组Ax b =的通解.【详解】【例4.9】设A 为m n ×阶矩阵，且r A r 12,,,()=.若ξξξ−为齐次线性方程组Ax =0的 n r 基础解系，η为非齐次线性方程组Ax =b 的特解，证明：（,,,,I ）ηξξξ12 n r −线性无关；,,,,（II ）ηηξηξηξ+++12 n r −线性无关；,,,,（III ）ηηξηξηξ+++n r −为Ax =b 所有解的极大线性无关组12 .【详解】重点题型四解矩阵方程【方法】矩阵方程解的判定AX B=无解⇔<()()r A r A B AX B ()()r Ar A B n =有唯一解⇔==AX B ()()r Ar A B n =有无穷多解⇔=<矩阵方程的求法对()AB 作初等行变换，化为行最简形矩阵，得矩阵X .101−202101【例4.10】设A =−−，矩阵X 满足AX E A X 20222，求矩阵X +=+.【详解】【例4.11】（123401111203−−2014，数一、二、三）设A =− −.（I ）求线性方程组Ax =0的一个基础解系；（II ）求满足AB E =的所有矩阵B .【详解】重点题型五公共解的判定与计算【方法】【例4.12】（2007，数一、二、三）设线性方程组（+ +=++=001321x x I ）x x 1+4x 2+a 2x 3=0ax 2x 32x 与方程（II ）x 1+2x 2+x 3=a −1有公共解，求a 的值及所有公共解.【详解】【例4.13】设齐次线性方程组（123420x x x 123+−=230I ）x x x x ++−= 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为ααa a T T =−+=−+.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解.【详解】重点题型六同解的判定与计算【方法】【例4.14】（2005，数三）设线性方程组（ =+=++ I ）202132+321 x 35 x 1+x 2+ax 3=0x x x x 3x +=++0 12+321 2(1)x 3=0c x 0与（II ） x cx b x +bx 2同解，求a ,b ,c 的值.【详解】第五章特征值与特征向量一、知识体系 (0)0()0A E B P AP P AP A n A λλA αλαα−1=≠ −= A E x −= =−1=Λ ⇔ ⇔k k A n 定义性质 特征方程法 定义 性质特征值与特 定义征有个线性无关的特征向量 充要条件重特征值有个线性无关的向特征向量量有个不同的特征值 充分条件为实对称矩阵 T k k 特征值与特征向量相似矩阵相似对角化==Λ特征值均为实数不同特征值的特征向量正交实对称矩阵重特征值有个线性 无关的特征向量,使得− A 可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q Q AQ Q AQ 1二、重点题型重点题型一特征值与特征向量的计算【方法】特征值与特征向量的性质 （1）不同特征值的特征向量线性无关；（2）不同特征值的特征向量之和不是特征向量；（3）k 重特征值最多有k 个线性无关的特征向量；4）设A 的特征值为12（,,,λλλnn ，则i =1∑nA λi=tr A ()，λi i =1=∏；=，即A =αβT，其中5）若r A （()1αβ,为n 维非零列向量，则A 的特征值为TT tr A ()λαββαn1===0 ，λλ2===（6）设α为矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则【例5.1】设1111111111111111−−A = −− −−求A 的特征值与特征向量.【详解】322 223010001【例5.2】（2003，数一）设A = 232 ，P = 101 ，B =P −1A *P ，求B +2E 的特征值与特征向量.【详解】12214212a 【例5.3】设A = −−− 的特征方程有一个二重根，求A 的特征值与特征向量. 【详解】 2【例5.4】设3阶非零矩阵A 满足A O = ，则A 的线性无关的特征向量的个数是【】（B ）1（C ）2（A ）0【详解（D ）3】【例5.5】设A =+αββαTT，其中αβ 1,为3维单位列向量，且αβT 3=，证明：（I ）0为A 的特征值； ,（II ）αβαβ为A +−的特征向量；（III ）A 可相似对角化.【详解】重点题型二相似的判定与计算【相似的性质】（1）若A B ，则A B ,有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹；2）若（A B ，则()()f A f B ，A B −− 11 ，(0)AB BA A ≠，A B T T ，A B ** ；3）若（A B ，B C，则A C .【例5.6】设1000030000110022 A =矩阵B 与A 相似，则r B E r B E ()(3)−+−=.【详解】【例5.7】设n 阶矩阵A 与B 相似，满足A E 2=2，则 AB A B E +−−=. 【详解】【例5.8】（22−−002221 2019，数一、二、三）设A x =−−21001000y与B =−相似.I ）求（x y ,的值；−（II ）求可逆矩阵P ，使得P AP B 1=.【详解】重点题型三相似对角化的判定与计算【方法】【例5.9】设3阶矩阵A 的特征值为1，3，−2，对应的特征向量分别为ααα123,,.若P =−ααα(,2,)−1*=【132，则P A P 】12 （A ）−1− 36 （B ）−2 −36 （C ） −2 13（D ） −2【详解】【例5.10】设n 阶方阵A 满足32A A E O ，证明A 可相似对角化2−+=.【详解】【例5.11】（2020，数一、二、三）设A 为2阶矩阵，P A =(,)αα，其中α为非零向量且不是A 的特征向量.（I ）证明P 为可逆矩阵； 2ααα+−=60，求II ）若（A A P AP−1，并判断A 是否相似于对角矩阵.【详解】重点题型四实对称矩阵的计算【方法】2+=，n 阶矩阵B 满足【例5.12】设n 阶实对称矩阵A 满足A A O B B E 2+=，且r AB ()2=，则A +【详解】01413【例5.13】（2010，数二、三）设40A a a −=−T，正交矩阵Q 使得Q AQ 为对角矩阵.若Q的第12,1)T ，求a Q ,.【详解】 2=，【例5.14】设3阶实对称矩阵A 满足A E A E+的各行元素之和均为零，且r A E ()2+=.（I ）求A 的特征值与特征向量；（II ）求矩阵A .【详解】第六章二次型一、知识体系0,0T T f x Ax B C AC x Ax x Bx =x x Ax T =T ⇔ ⇔ 定∀≠>义 拉格朗日配方法 合同变换 标准形的求法法正交变换法 定义与有相同的正、负惯性指数 充要条件A B ,有相同的正、负特征值的个数 充分条件A B 与相似必要条件二次A B 与等价型有T 0(1,,)0A E A A 二次型与标准形合同矩阵定义 性质 ⇔f n ⇔ 正定矩阵 ⇔ii >= a i n > 的正惯性指数为与合同充要条件的特征 值均大于零⇔A 的顺序主子式均大于零必要条件二、重点题型重点题型一求二次型的标准形【方法】222【例6.1】（2016，数二、三）设二次型123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x=+++++ 的正、负惯性指数分别为1，2，则【】（B ）a <−2 a （A ）a >1【详解（D ）a =1或−（C ）−<<212】 =−+++++222【例6.2】（2018，数一、二、三）设二次型1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax .I ）求f x x x （(,,)0 123=的解；（II ）求f x x x (,,)123的规范形.【详解】【例6.3】（2020，数一、三）设二次型121122(,)44f x x x x x x 1122x y =−+22经正交变换x y =Q化为二=++22，其中次型(,)4121122g y y ay y y by a b ≥.I ）求（a b ,的值；（II ）求正交矩阵Q .【详解】重点题型二合同的判定【方法】 12【例6.4】（2008，数二、三）设A =21，与A 合同的矩阵是【】−1221 （A ）− 21− （B ） −12 21 12（C ）12− （D ）−21 【详解】【例6.5】设A B ,为n 阶实对称可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得 ①PA B −；②=P ABP BA 1−；③=P AP B 122T =；④P A P B =. 成立的个数是【 】 （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【详解】重点题型三二次型正定与正定矩阵的判定【方法】【例6.6】设A 为m n ×阶矩阵，且r A m ()=，则下列结论 ①AA T 与单位矩阵等价；③AA T 与单位矩阵合同；②AA T 与对角矩阵相似；④AA T 正定. 正确的个数是【 】（B ）2（C ）3 （A ）1【详解（D ）4】 I ）设A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则【例6.7】证明：（A B −2为正定矩阵；,为n 阶矩阵，且（II ）设A B r A B n TT()+=，则A A B B +为正定矩阵.【详解】。
线性代数考研讲义完整版
线性代数考研讲义完整版前言线性代数是数学中的重要分支，也是计算机科学和物理学等领域中不可或缺的基础知识。
在考研数学中，线性代数是必考内容，因此对线性代数的掌握程度也是考生考研数学成绩的重要指标之一。
在本篇文章中，我们将介绍线性代数考研讲义的完整版，包括向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等知识点，帮助考生全面掌握线性代数的基本原理和应用。
第一章向量1.1 向量的基本概念•向量是有大小和方向的量，在平面和空间中表示为有向线段。
•向量的大小称为模长，方向由箭头所指示。
•向量之间可以进行加、减、数乘等运算。
1.2 向量的几何意义•向量可以表示平移和旋转等变换。
•向量运算可以表示点与直线、点与面的关系。
1.3 向量的坐标表示•向量的坐标表示可以转化为矩阵的形式。
•两个向量的数量积可以表示为它们坐标的点积。
1.4 向量的线性运算•向量加、减、数乘的线性运算满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
•向量组的线性运算可以表示为矩阵的形式。
第二章矩阵2.1 矩阵的基本概念•矩阵是一个由数个数排成的矩形数表。
•矩阵可以表示为行向量和列向量的组合形式。
•矩阵的大小也称为维数，行数和列数分别表示为矩阵的行数和列数。
2.2 矩阵的运算•矩阵加法、减法、数乘等运算满足基本性质。
•矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
•矩阵的转置、伴随矩阵等运算也具有重要的应用意义。
2.3 矩阵的初等变换•矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以非零数加到另一行（列）上等三种操作。
•矩阵的初等变换可以通过矩阵乘法表示为简单矩阵的乘积，也称为初等矩阵。
第三章行列式3.1 行列式的定义•行列式是一个数值函数，是一个方阵中各行各列对应元素的代数和。
•若行列式的值为零，则该矩阵为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
3.2 行列式的性质•行列式可以表示为对角线元素的乘积形式。
•行列式的任意两行（列）互换改变行列式的符号，相同的两行（列）使行列式为零。
2015方浩线性代数讲义5
f x, y d f x , y d f x , y d
D D1 D2
3 比较定理: ○
f ( x , y ) g( x , y ),则 f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
4 估值定理: ○ 若 f ( x, y) 在
1 1
【例 5.8】
D
x, y 1 x
2
y 4, x 0, y 0
2
2 2
计算二重积分
D
x sin( x y ) dxdy x y
【例 5.9】 计算
D
x 2 y 2 sin xy 1 dxdy ,
其 中 D 由 曲 线 x 2 y 2 2ay 与 曲 线 x 2 y 2 4a 2 所围成.
D
D
上 连 续 , 则
mS f ( x , y )d MS .
4 中值定理: ○ 若 f ( x, y) 在
D
上 连 续 , 则
D
f ( x , y )d f ( , ) S .
（二）二重积分的表示方法 1.直角坐标系 X 型区域：设积分区域 D 可以用不等式 a x b, y1 x y y2 x 表示，
f x , y dx
2.交换
3.极坐标: 设积分区域 D 可表示成: , r1 r r2
D
f x , y d d
r2
r1
f r cos , r sin rdr
4. 还原
（三）二重积分的计算 1.化简 1 利用奇偶性： ○
辅导讲义(线性代数第一讲)
4、利用行列式行列 展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】 设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】 已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例 行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质 性质 1．行列式和它的转置行列式相等； 性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数 乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。
2015方浩线性代数讲义4-1
,t 线性无关 ,t 线性表出
t n r A
3 Ax 0 的任一解都可由 , , ○ 1 2
（3）求基础解系的方法： 具体方程：初等变换； 抽象方程：从解的结构寻找； （4） 齐次方程通解： k11 k22
ktt
（三） 非齐次方程组的解 （1）解的判定
第四章
1. 基本概念 1 齐次方程组： ○ a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a1 x1 am 2 x2
线性方程组
a 1 n xn 0 a 2 n xn 0 a mn xn 0
（I）
x11 x2 2
bs
（五）公共解与同解 公共解：联立方程 Ax 0, Bx 0求解； 同解：一个方程的基础解系满足另一方程； 反之亦然
x11 x2 2 Amn x b
xn n b
（二） 齐次方程组的解 （1）判定：
nm
必有非零解 答 A 0 必有非零解
n r A 必有非零解
nm
nm
（2）基础解系：向量组1 ,2 ,
,t 称为齐次线
性方程组 Ax 0的基础解系，若 1 , , ○ ,t 是 Ax 0的解 1 2
xn n 0；
Ax 0
2 非齐次方程组 ○ a11 x1 a12 x2 a 1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 a mn xn bm
（II）
（5）重要结论 若1 , 2 s 是非齐次方程（II）的解，则
1 k k ○ 1 2
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线性代数考研讲义完整版Newly compiled on November 23, 2020考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成a1(a1,a2, ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0 c=0 或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B 范德蒙行列式：形如 1 1 1 … 1 a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a 2…………a1n-i a2n-i a3n-i… ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.几个n 阶行列式 两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当ab 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开. 4.关于克莱姆法则的题 例14 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB )2=A 22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s, AB 的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).② =(b1,b2,…,bn)T,则A= b11+b22+…+b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i1+b2i2+…+b nin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(,,), C=(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s 列,设 B=(1,2,…,s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A T =1.(2)T =1 A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆 E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s线性表示表示方式是否唯一”就是问：向量方程x11+x22+…+xss=。
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2015考研数学综合强化课
科目：线性代数
主讲老师：方浩
新浪微博：Professor_fang 1
(一)时间安排
○1行列式
○2矩阵
○3向量
○4线性方程组
○5特征值与特征向量○6二次型
2
（二）命题特点
○1重点突出（围绕方程组和相似问题展开）○2综合性强（行列式，秩，向量，方程）○3重理论，轻计算
○4应用性非常突出
3
（三）复习方法
○1紧跟强化课程（串讲，提炼，综合）○2真题即是考题
○3把握整体逻辑体系
○4重点知识重点把握
4
第一章行列式
核心考点：计算行列式(0-4分) （1）特殊行列式
（2）行列展开定理
（3）递推型行列式
5
6
（一）基本概念 （1）[行列式] 12)
1212
11121(212221212(1)
n n
n
n j j j n
j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
二阶行列式：
a b
ad bc c d
=-.
7
（2）[余子式]
[余子式]：划去ij a 所在的第i 行、第j 列，剩下的1n -阶行列式称为ij a 的余子式，记为ij M [代数余子式]：(1)i j
ij ij A M +=-
8
（二）行列式的性质
（1）T
A A
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）某行（列）扩大K 倍，行列式扩大K 倍 （4）两行（列）成比例，行列式为0
（5）某行（列）能拆成两个行（列）向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和
（6）将某行（列）的K 倍加到另一行（列），行列式值不变
9
（三） 特殊行列式 （1）[上（下）三角] 1112111
22221
221
2
n n ii
i
nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a =
=∏
10
111121,112,1221222,11
,1
1
(1)2
12,1
1
00000
00(1)n n n n n n n n n nn
n n n n n n a a a a a a a a a a
a a
a a a a a ------=
=-
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(2) [拉普拉斯展开式] 主对角：m m m n n n A O A C A B C B O B == 副对角：
()1mn m m m n n n O A C A A B B C B O ==-
推论：
n n n n A B A B =
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(3) [范德蒙行列式] ()1
21
111
21
11n j i j i n n n n a a a a a a a a >---=-∏
13
（三）行列展开定理
11221122i i i i in in j j
j j nj nj
D a A a A a A D a A a A a A =+++=+++ [变型]
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（四） 克拉默法则
对于方程组n A x b =
（1）
若0n A ≠，上述方程有唯一解 （2）
若0n A ≠，具体解为i i n D x A =，其中i D 为行列式n A 中的第i 列用向量b 替换得到。