第七章 采样控制系统
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《采样控制系统》课件
离散时间系统
采样控制系统在离散时间点上对系统 进行采样和调节，其数学模型通常采 用差分方程或离散时间状态方程表示 。
连续时间系统
在连续时间系统下，采样控制系统通 过将连续时间信号转换为离散时间信 号进行处理，其数学模型通常采用积 分方程或微分方程表示。
采样控制系统的稳定性分析
稳定性条件
为了确保采样控制系统的稳定性，需要满足一定的条件，如极点配置、状态反 馈等。
01
02
03
传感器选择
根据控制需求选择合适的 传感器，如光电传感器、 压力传感器等，确保信号 采集的准确性和稳定性。
信号调理电路设计
设计信号调理电路，对采 集的信号进行放大、滤波 等处理，以适应后续的信 号处理。
控制器选择
根据控制需求选择合适的 控制器，如PLC、单片机 等，确保控制算法的实现 和系统的稳定性。
采样控制系统的软件实现
控制算法设计
根据控制需求选择合适的控制算法，如PID控制、模糊控制等，并 进行软件编程实现。
人机界面设计
设计友好的人机界面，方便用户进行系统参数设置、实时监控等操 作。
数据存储与处理
实现数据的存储与处理，方便后续的数据分析和优化。
采样控制系统的调试与测试
系统调试
对硬件和软件进行联合调试，确保系统各部分正常工作。
采样控制系统在智能制造领域的应用前景
智能制造装备
采样控制系统将应用于 智能制造装备中，实现 设备的自动化和智能化 控制，提高生产效率和 产品质量。
工业机器人
通过采样控制系统对机 器人进行精确控制，实 现机器人自主导航、智 能感知和人机交互等功 能。
智能物流系统
利用采样控制系统对物 流系统进行优化和控制 ，实现物流信息的实时 感知和智能调度，提高 物流效率和降低成本。
采样控制系统在离散时间点上对系统 进行采样和调节，其数学模型通常采 用差分方程或离散时间状态方程表示 。
连续时间系统
在连续时间系统下，采样控制系统通 过将连续时间信号转换为离散时间信 号进行处理，其数学模型通常采用积 分方程或微分方程表示。
采样控制系统的稳定性分析
稳定性条件
为了确保采样控制系统的稳定性，需要满足一定的条件，如极点配置、状态反 馈等。
01
02
03
传感器选择
根据控制需求选择合适的 传感器，如光电传感器、 压力传感器等，确保信号 采集的准确性和稳定性。
信号调理电路设计
设计信号调理电路，对采 集的信号进行放大、滤波 等处理，以适应后续的信 号处理。
控制器选择
根据控制需求选择合适的 控制器，如PLC、单片机 等，确保控制算法的实现 和系统的稳定性。
采样控制系统的软件实现
控制算法设计
根据控制需求选择合适的控制算法，如PID控制、模糊控制等，并 进行软件编程实现。
人机界面设计
设计友好的人机界面，方便用户进行系统参数设置、实时监控等操 作。
数据存储与处理
实现数据的存储与处理，方便后续的数据分析和优化。
采样控制系统的调试与测试
系统调试
对硬件和软件进行联合调试，确保系统各部分正常工作。
采样控制系统在智能制造领域的应用前景
智能制造装备
采样控制系统将应用于 智能制造装备中，实现 设备的自动化和智能化 控制，提高生产效率和 产品质量。
工业机器人
通过采样控制系统对机 器人进行精确控制，实 现机器人自主导航、智 能感知和人机交互等功 能。
智能物流系统
利用采样控制系统对物 流系统进行优化和控制 ，实现物流信息的实时 感知和智能调度，提高 物流效率和降低成本。
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
自动控制原理第七章采样控制系统
第三节 信号复现与零阶保持器
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称
保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0 T 2T 3T 4T 5T 6T t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
图7-11 一阶保持器输出特性
第四节 Z变换理论
同拉氏变换一样, 是一种数学变换. 离散信号e*(t)的 拉氏变换为:
E*(s) e(nT )enTs n0
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
G 0 ( s ) 1 s [ 1 e s] T 1 s 1 e 1 s T 1 s 1 1 s 1 T 1 T sT
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
单位脉冲响应
G h(s)L [gh(t) ]S 1S 1e TS 1 Se TS
G 0(j
)1ejT2sin T/(2 )ejT2 j
幅频特性： G 0(j)Tsi( n/ / ( s)s)2 s si( n/ / ( s)s)
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
三. 采样定理
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.
第7章 采样控制系统分析基础2
第七章 采样控制系统分析基础
因此 , 必须采用一种线性变换方法 , 使 z 平面上
的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称
为双线性变换, 又称为W变换。 注意, 因z=eTs是超越方程, 故不能将特征方程式变
换为代数方程。令
w 1 z w 1
z 1 w z 1
则
第七章 采样控制系统分析基础
令复变量 z=x+jy w=u+jv 代入双线性变换公式得 x jy 1 ( x 2 y 2 1) 2 yj u jv x jy 1 ( x 1)2 y 2 对于w平面上的虚轴, 实部u=0, 即 x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单 位圆内x2+y2＜1, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部; 单位圆外x2+y2＞1, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半
闭环传递函数为
G( z ) Gc ( z ) 1 G( z )
闭环系统的特征方程为
T ( z eT ) ( z 1)2 0
即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0
当T=1 s时, 系统的特征方程为 z2-z+0.632=0
第七章 采样控制系统分析基础
直接解得极点为 z1,2=0.5±j0.618 。由于极点都 在单位圆内, 所以系统稳定。 当T=4s时, 系统的特征方程为 z2+2z+0.927=0 解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单 位圆外, 所以系统不稳定。
2 2
z
第七章 采样控制系统分析基础
j s平 面
Im z平 面
j
π T
仿真_7_采样控制系统
y( n) x1( n) y( n 1) T x 2 ( n 1)
设计程序时用两个循环嵌套实现不同的计算周期 初始化 k1、k0、、 for n=1: TT/T %TT 总仿真时间
e(n) r (n) y (n 1)
u(n) u(n 1) k1[e(n) e(n 1)]
1
1
其中， e
计算周期也为 T
x2 ( n) x2 ( n 1) k0 (1 )u( n 1)
1 e 1 G ( z ) Z Gh 2 ( s ) Z s s
T s
③第二部分对象为
计算周期为 T’
1 T k0 s z 1
R(t ) e (t )
e (k )
e (kT )
u(kT )
~ u(t )
采样 量化 D/A 区别：采样控制系统的采样开关（A/D），保持器 控制器 对象 （D/A）是真实存在的，采样周期与仿真步长不一定相等。 A散相似法中的采样开关和保持器是虚拟的，离散 化时取的采样周期与计算步长是一致的。
例：被控对象为二阶系统 G ( s )
k0
s (T0 s 1)
1
s T0 s 1
G(z )
k0
若以被控对象状态变量为目标，则需分解成两个环节串联。
G (z )
y(n)
r (t )
T
D(z )
T
Gh1 ( s )
-
e(n)
u(n)
k0 T0 s 1
T
Gh 2 ( s )
x 2 ( n)
end
7.4
基于SIMULINK的多采样速率系统仿真
第24讲第7章 采样控制系统
−1 3
−1
−2
−3
2011-5-14
3 2 −2 9 2 −3 n2 2 −n = T z + T z +⋯+ T z +⋯ 2 2 2 第8章 采样控制系统
17
表明：
e(0) = e(T ) = 0, e(2T) = e(3T) = ⋯= 0 3 2 n2 2 c(0) = c(T) = 0, c(2T) = T ,⋯c(nT) = T ⋯ 2 2
8
设典型输入信号分别为单位阶跃信号、单 位速度信号和单位加速度信号时，其 z 变换分 别为：
r(t) =1(t)
r(t) = t
1 2 r(t) = t 2
2011-5-14
Tz−1 R(z) = (1− z−1)2
T z (1+ z ) R(z) = 2(1− z−1)3
第8章 采样控制系统 9
可见最少拍采样系统经过三拍便可完全跟踪 加速度输入，其调节时间ts=3T 。
2011-5-14
第8章 采样控制系统
18
最少拍系统反应位置阶跃输入、等速输入及 等加速输入信号时的过渡过程c*(t)，分别示于图 7-32，图7-33，图7-34。
图7-32 最少拍阶跃输入过渡过程
2011-5-14 第8章 采样控制系统 19
−1
−2
−m
2011-5-14
第8章 采样控制系统
6
为使数字控制器的脉冲传递函数D(z)具有物理 实现性，在式中，需要有n≥m的条件存在。当n＞m 时，分子多项式中可能缺少前面几项，但其分母各 项式在n＞m和n=m时并没有变化，z0项系数仍为1。 因此，式(7-57)分母多项式中z0项系数的存在，便 说明条件n≥m是成立的。 在这里，对系统控制性能的要求，由闭环脉冲 传递函数Φ(z)或Φe(z)来反映。因此,在闭环脉冲传 递函数和系统性能指标间的联系便是需要讨论的一 个重要问题。
自动控制原理第七部分采样系统
⑵ 部分分式法 先求出已知连续函数 e(t) 的拉氏变换 E(s), 然后将其分解为部分分式 之和,再利用z变换表求出每一部分分式对应的z变换,最后相加即可.
图79零阶保持器的频率特零阶保持器的近似实现零阶保持器的近似实现tstststs取前三项取前两项更高阶的近似使无源网络变得非常复更高阶的近似使无源网络变得非常复r2r3阶实现零阶保持器t043一阶保持器firstorderhold自学不仅可以保持采样点的幅值而且可以保持采样点的斜不仅可以保持采样点的幅值而且可以保持采样点的斜率至下一时刻
图7-9 零阶保持器的频率特 性 ③ 时间滞后特性.零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应
,表明其输出比输入在时间上要滞后T/2,对系统的稳定性 不利.此外,阶梯输出也同时增加了系统输出的波纹.
et (T 2)
零阶保持器的近似实现
1 e Ts Gh ( s ) s
1 1 1 1 (1 Ts ) 1 T 2s2 s e s 1 Ts 2
上式右边中括号内是一个首项为 z -1 , 公比为 z -1 的 几何级数 . E ( z) z 1 1 则: dz C C z 1 1 Tz 1 z z 1 此方程两边对 z 微分得 : E ( z) 1 . z 1 2 Tz ( z - 1) Tz E ( z) . z 1 2 ( z - 1)
解: 因为 T 为采样周期,故
*
e (t ) T (t ) (t nT )
由拉氏变换知 因此
E * ( s ) e nsT
n 0
E ( z ) z n 1 z 1 z 2
的z变换为 (t )
自动控制原理第七章采样系统
n>m
pi— 极点
Ai— 待定系数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
F (s)=
1 S(S+1)
解：
F (s)=
1 S(S+1)
=
1 S
–
1 S+1
F (z)=
z z–1
–
z z–e –T
=
z(1–e –T ) (z–1)(z–e–T
)
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
+
=Σ k=0
8
f
(kT)∫0∞δ(t
–
kT
)e–stdt
+
=Σ f(kT)e –kTS k=0
第二节 采样控制系统的数学基础
二、求Z变换的方法
1．级数求和法
根据定义式展开
+
F (z)= Σ f (kT) k=0
= f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ··· 利用级数求和法可求得常用函数
+(S+2)
S+3 (S+1)(S+2)
z z–eST S=-2
F (z)=
2z z–e –T
–
z–e
z
–2T
=
z2+z(e-T -2e-2T z2-(e-T +e-2T )z+e
)
-3T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z变换的基本定理
例 z变求换Z[的t –基T 本] 定理为z变换的运算 提供了方便。
自动控制第七章 采样控制系统
2、部分分式法
0.5 z 【例7-9】求 F ( z ) 的z反变换 ( z 1)( z 0.5)
解 将 F（z）/z 展开成部分分式为
F ( z) 1 1 z z 1 z 0.5
所以
z z F ( z) z 1 z 0.5
则对应函数为
f (kT ) 1 0.5
n 0
令
ze
Ts
L[ f * (t )] F ( z )＝ f (nT ) z n
n 0
将F *(s)记作F ( z )
和差 乘常数
Z r1 (kT ) r2 (kT ) R1 ( z ) R2 ( z )
变换 相 关 定 理
Z ar (kT ) aZ r (kT ) aR( z )
各阶差分的变换函数
n 1 n k Z r ( k n) z R ( z ) r ( k ) z k 0
例如
Z y (k 1) zY z 3 zy 0
Z y (k 2) z 2Y z z 2 y 0 zy 1
解 将F（s）展开成部分分式形式
1 1 1 1 F (s) ( ) s( s a) a s s a
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
1 f (t ) [1 e at ] a
1 z z z (1 e aT ) F ( z) [ ] aT 2 aT aT a z 1 z e a[ z (1 e ) z e ]
Z (e
) F ( z)＝ 1 e aT z 1 2、部分分式法
n
e aT z 1 1
第七章 采样控制系统
（7-1-10） ）
综上所述， 的条件下， 综上所述，只有在 ω s ≥ 2ω m 的条件下，才能将采 样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。 样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。 这就是香农 香农（ 这就是香农（Shannon）采样定理。 ）采样定理。
7-2 保持器
零阶保持器
零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。 将前一采样时刻nT的采样值 的采样值e(nT)保持到下一 将前一采样时刻 的采样值 保持到下一 采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关 采样时刻 ， 系如图7-2-1所示。 所示。 系如图 所示
1 1 G h (s ) ≈ 1 − s T 2s2 1 + Ts + 2 Ts 1+ 2 =T T 2s2 1 + Ts + 2
这可用图7-2-4所示的无源网络实现。 这可用图7-2-4所示的无源网络实现。 所示的无源网络实现
图7-2-4
无源网络
7-3 差分方程
c(t ) = c(kT ) + e(kT )(t − kT )
kT ≤ t ≤ (k + 1)T
式中
图7-3-1 采样控制系统
由此可得
c[(k +1)T ] = c(kT ) + Te(kT )
或简写为
c(k +1) = c(k ) + Te(k )
c (k + 1) + (T − 1)c (k ) = Tr (k )
图7-1-2 采样信号的调制过程
采样定理
理想单位脉冲序列δ 是一个以 为周期的函数， 是一个以T为周期的函数 理想单位脉冲序列 T(t)是一个以 为周期的函数， 展开成傅立叶级数， 展开成傅立叶级数，复数形式为
采样控制系统
采样控制系统
系统中的信号是脉冲序列形成的离散系统
01 定义03 05 特点目录02 典型结构 04 几个术语 06 优点
基本信息
通常把系统中的信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的 离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。
定义
定义
具体定义:指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
采样的要求首先是在工程上提出来的。例如早年的落弓式调节器就是一种典型的采样调节器，它实质上是一 种动圈式指示仪表，通过落弓的周期性下落而压住仪表指针来接通调节器，使加于执行机构的控制信号为离散的 脉冲序列，而采样周期即等于落弓下落的周期。
又如,雷达跟踪系统所接收和发射的信号均为脉冲序列,雷达的扫描操作实际上是把方位和仰角的连续信息转 换成采样数据的一种采样过程。在社会系统、经济系统和生物系统中，信息的收集也往往是以离散方式进行的， 因此这类系统的建模一般也采用离散方法。
典型结构
开环采样系统
闭环采样系统
开环采样系统
采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。
闭环采样系统
采样器位于系统闭合回路之内。 常用误差采样控制的闭环采样系统，如:r(t)、e(t)、y(t)为输入误差，输出的连续信号， S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。 T—采样周期。 e(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。 e(t)作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器(或滤波器)恢复为连续信号。即将 脉冲信号e(t)复现为 阶梯信号e(t)，当采样频率足够时e(t)接近于连续信号，从而去控制被控对象，对象输出 又反馈到输入端进行调节。 τ(或γ)采样保持时间。
系统中的信号是脉冲序列形成的离散系统
01 定义03 05 特点目录02 典型结构 04 几个术语 06 优点
基本信息
通常把系统中的信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的 离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。
定义
定义
具体定义:指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
采样的要求首先是在工程上提出来的。例如早年的落弓式调节器就是一种典型的采样调节器，它实质上是一 种动圈式指示仪表，通过落弓的周期性下落而压住仪表指针来接通调节器，使加于执行机构的控制信号为离散的 脉冲序列，而采样周期即等于落弓下落的周期。
又如,雷达跟踪系统所接收和发射的信号均为脉冲序列,雷达的扫描操作实际上是把方位和仰角的连续信息转 换成采样数据的一种采样过程。在社会系统、经济系统和生物系统中，信息的收集也往往是以离散方式进行的， 因此这类系统的建模一般也采用离散方法。
典型结构
开环采样系统
闭环采样系统
开环采样系统
采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。
闭环采样系统
采样器位于系统闭合回路之内。 常用误差采样控制的闭环采样系统，如:r(t)、e(t)、y(t)为输入误差，输出的连续信号， S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。 T—采样周期。 e(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。 e(t)作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器(或滤波器)恢复为连续信号。即将 脉冲信号e(t)复现为 阶梯信号e(t)，当采样频率足够时e(t)接近于连续信号，从而去控制被控对象，对象输出 又反馈到输入端进行调节。 τ(或γ)采样保持时间。
自动控制原理第七部分采样系统
稳定性判据
用于判断采样系统的稳定性，如 Nyquist稳定判据和Bode图分析方法。
稳定性分析方法
通过分析采样系统的极点和零点分布、 频率响应特性等，评估系统的稳定性。
03
采样系统的性能分析
采样系统的频率响应
频率响应
描述了系统对不同频率输入信号的响应特性， 通常用频率特性函数表示。
带宽
指系统能够处理的最高频率，决定了系统处 理信号的能力。
只有稳定的系统才能在实际应用中得到有效 控制。来自采样系统的动态性能分析
阶跃响应和脉冲响应
描述了系统对阶跃信号和脉冲信号的响应特 性。
动态性能的定义
系统对输入信号的响应速度和超调量等动态 特性。
动态性能的优化
通过调整系统参数，改善系统的动态性能， 以满足实际应用需求。
04
采样系统的设计
采样系统的设计原则
在航空航天控制中的应用
导航与定位
采样系统能够实时采集航空航天器的位置、速度、姿态等数据，通 过导航与定位算法，实现航空航天器的精确导航和定位。
姿态控制
采样系统能够实时采集航空航天器的姿态数据，通过姿态控制算法， 实现航空航天器的稳定飞行和精确机动。
自主决策
采样系统能够实时采集航空航天器周围的环境信息，通过自主决策 算法，实现航空航天器的自主避障、路径规划等任务。
采样系统的基本原理
采样系统基于时间离散化原理，通过 在等间隔时间点上获取输入和输出信 号的样本值，再根据这些样本值进行 计算和控制，以实现对连续时间系统 的近似或重构。
采样系统的组成
采样器
采样器是采样系统的核心部件， 负责在等间隔时间点上采集输入 和输出信号的样本值。
保持器
保持器用于在两次采样间隔期间 保持输出信号不变，以实现连续 时间系统的近似或重构。
第21讲第7章 采样控制系统
根据复数位移定理，有
T(zeaT) X (zeaT ) = Z[te−at ] = (zeaT −1)2 Tze = (z − e−aT )2
2011-5-14 第6章 采样控制系统分析 20
−aT
4）复数微分定理 ）
dX (z) 若 Z[x(t)]=X(z)，则 Z[tx(t)] = −Tz dz 5）初值定理 ）
2011-5-14
第6章 采样控制系统分析
16
6.2.3 Z 变换的基本定理
若 Z[x1 (t)] = X1(z), Z[x2 (t)] = X2 (z) 对于任何常数a和 b，则有 Z[ax1 (t) + bx2 (t)] = aX1 (z) + bX 2 (z) 证明：由Z变换定义
Z[ax1 (t) + bx2 (t)] = ∑[ax1 (kT) + bx2 (kT)]z −k
试用终值定理确定
0.792z 2 举例：设Z变换函数为 E(z) = , 2 (z −1)(z − 0.416z + 0.208)
解：由终值定理得
0.792z 2 e(∞) = lim (z −1) z→ 1 (z −1)(z 2 − 0.416z + 0.208) 0.792z 2 = lim 2 z→ z − 0.416z + 0.208 1 =1
2011-5-14 第6章 采样控制系统分析 8
2) 部分分式法 设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以 展开成部分分式的形式，即
F(s) = ∑
i=1
n
Ai s − pi
式中pi为F（s）的极点， Ai为常系数。
Ai pit 对应的时间函数为Ai e 其Z变换为 s − pi
第七章 自动控制系统的采样控制系统
引入新变量则有我们称为的z变换并记作????????dtetfsfst0??????ktttftfk????????0??tf??????dtektttfsfstk?????????????????00????dtekttktfstk??????????00??ktskektf??????0ktse?tsez?????kkzktfzf??????0??zf??tf???????tfzzf??第二节采样控制系统的数学基础722求z变换的方法1
图7-3 数字控制系统结构图
第一节
采样控制系统的基本概念
系统中的连续误差信号通过A/D转换器转换成数字量， 经过计算机处理后，再经D/A转换器转换成模拟量，然后 对被控对象进行控制。这里，若将A/D转换器和D/A转换 器的比例系数合并到系统的其他系数中去，则A/D转换器 相当于一个采样开关，D/A转换器相当于一个保持器，此 时图7-3可改画成图7-4所示。
采样控制系统的数学基础
5z 的反变换。 2 z 3z 2
F (z )
5 z 1 可以写为 F ( z ) 1 3z 1 2 z 2
用 F z 的分子除以分母，得
F ( z) 5z 1 15z 2 35z 3 75z 4 ...
图7-6
零阶保持器的输入输出特性
第二节
采样控制系统的数学基础
7.2.1 z变换的定义
对连续函数 f t 进行拉氏变换，即
k 0
F s
f t e st dt 0
对离散函数 f t f t t kT 进行拉氏变换，即
kTs st st F s f t t kT e dt f kT t kT e dt f Kt e 0 k 0 k 0 0 k 0
图7-3 数字控制系统结构图
第一节
采样控制系统的基本概念
系统中的连续误差信号通过A/D转换器转换成数字量， 经过计算机处理后，再经D/A转换器转换成模拟量，然后 对被控对象进行控制。这里，若将A/D转换器和D/A转换 器的比例系数合并到系统的其他系数中去，则A/D转换器 相当于一个采样开关，D/A转换器相当于一个保持器，此 时图7-3可改画成图7-4所示。
采样控制系统的数学基础
5z 的反变换。 2 z 3z 2
F (z )
5 z 1 可以写为 F ( z ) 1 3z 1 2 z 2
用 F z 的分子除以分母，得
F ( z) 5z 1 15z 2 35z 3 75z 4 ...
图7-6
零阶保持器的输入输出特性
第二节
采样控制系统的数学基础
7.2.1 z变换的定义
对连续函数 f t 进行拉氏变换，即
k 0
F s
f t e st dt 0
对离散函数 f t f t t kT 进行拉氏变换，即
kTs st st F s f t t kT e dt f kT t kT e dt f Kt e 0 k 0 k 0 0 k 0
采样控制系统的分析
采样控制系统的分析1. 引言采样控制系统是现代自动控制系统中的一个重要组成部分。
它通过对被控对象进行采样和控制操作，实现对系统动态特性的精确控制。
本文将对采样控制系统进行深入分析，包括系统的基本原理、特点以及应用。
2. 采样控制系统的基本原理采样控制系统是基于采样周期的自动控制系统，其基本原理是通过周期性采样对被控对象的状态进行测量，并根据测量结果进行控制操作。
采样系统由采样器、控制器和执行器组成。
2.1 采样器采样器是采样控制系统中用于对被控对象进行采样的部件。
它包括传感器和采样信号处理器两部分。
传感器将被控对象的状态转换为电信号，而采样信号处理器则对传感器输出的信号进行采样和处理，获得被控对象在每个采样周期内的状态。
2.2 控制器控制器是采样控制系统中用于根据采样结果进行控制操作的部件。
它根据被控对象的状态和目标控制要求，计算并输出控制信号。
常见的控制器包括比例-积分-微分（PID）控制器、模糊控制器等。
2.3 执行器执行器是采样控制系统中用于执行控制操作的部件。
它接收控制信号并将其转换为对被控对象的操作，实现对被控对象状态的调节。
常见的执行器包括电动执行器、气动执行器等。
3. 采样控制系统的特点采样控制系统具有以下特点：3.1 时变性由于采样控制系统是周期性的，它对被控对象的控制是离散的。
这使得系统在不断变化的环境和外界干扰下，能够对被控对象的状态进行实时调节。
3.2 数字化采样控制系统使用数字技术对被控对象进行采样和控制，使得系统具有较高的精度和稳定性。
此外，数字化还使得系统易于实现自动化和远程控制。
3.3 离散性采样控制系统是离散系统，它通过周期性采样和控制操作来实现对被控对象的控制。
这种离散性使得系统具有一定的响应速度和抗干扰能力，但也会对系统的控制性能产生一定影响。
4. 采样控制系统的应用采样控制系统广泛应用于工业自动化、航空航天、电力系统等领域。
4.1 工业自动化在工业自动化中，采样控制系统用于对机械设备、生产线等进行控制。
自动控制原理 第七章 采样系统理论
2. 幂级数法（综合除法) n -1 -2 由Z变换的定义 E ( z ) e(nT )z e (0) e (T)z e (2T)z
b0 b1 z b2 z bm z m 而 E( z) (m n) c0 c1z-1 c2z-2 1 a 1 z 1 a 2 z 2 a n z n
t 0 z
(7) 终值定理 若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)， 且极限 lim e ( nT ) 存在，则
n
lim[e( nT )] lim( z 1) E ( z )
n z 1
离散系统的数学模型
脉冲传递函数 脉冲传函定义
第七章
采样系统理论
离散系统的相关概念 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的校正
信号的采样与保持
采样过程与采样定理
采样过程
e(t) S e*(t) T e(t) e*(t)
0
t
0
T 2T
t
(a)
(b)
(c)
基本概念：
1）采样周期：采样开关经一定时间T，重复闭合，每次闭合时间为τ， τ<T，T称为采样周期。f=1/T为采样频率。 2）采样角频率：ωs=2π/T rad/s。 3）采样脉冲序列：连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期T的时 间序列，称为采样脉冲序列。 4）采样过程：将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲序列的 过程，称为采样过程。
R(s) ＋ － T
K s(s 4)
C(s)
K K 1 1 Z G(z) Z s( s 4) 4 s s 4 K z z K 1 e 4T 4T 4 z 1 z e 4 ( z 1)(z e 4T )
b0 b1 z b2 z bm z m 而 E( z) (m n) c0 c1z-1 c2z-2 1 a 1 z 1 a 2 z 2 a n z n
t 0 z
(7) 终值定理 若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)， 且极限 lim e ( nT ) 存在，则
n
lim[e( nT )] lim( z 1) E ( z )
n z 1
离散系统的数学模型
脉冲传递函数 脉冲传函定义
第七章
采样系统理论
离散系统的相关概念 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的校正
信号的采样与保持
采样过程与采样定理
采样过程
e(t) S e*(t) T e(t) e*(t)
0
t
0
T 2T
t
(a)
(b)
(c)
基本概念：
1）采样周期：采样开关经一定时间T，重复闭合，每次闭合时间为τ， τ<T，T称为采样周期。f=1/T为采样频率。 2）采样角频率：ωs=2π/T rad/s。 3）采样脉冲序列：连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期T的时 间序列，称为采样脉冲序列。 4）采样过程：将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲序列的 过程，称为采样过程。
R(s) ＋ － T
K s(s 4)
C(s)
K K 1 1 Z G(z) Z s( s 4) 4 s s 4 K z z K 1 e 4T 4T 4 z 1 z e 4 ( z 1)(z e 4T )
第7章 采样控制系统分析基础2
与连续系统类似, 系统的误差
设闭环系统稳定, 根据终值定理可以求出在输入信号作 用下采样系统的稳态误差终值
在连续系统中, 如果开环传递函数G(s)具有ν 个s=0的极点, 则由z=eTs可知相应G(z)必有ν个z=1 的极点。
把开环传递函数G(s)具有s=0的极点数作为划 分系统型别的标准, 并分别把ν=0, 1, 2, …的系统称 为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统等。
闭环传递函数为
闭环系统的特征方程为
即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0
当T=1 s时, 系统的特征方程为 z2-z+0.632=0
直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。由于极点都在 单位圆内, 所以系统稳定。
当T=4s时, 系统的特征方程为
z2+2z+0.927=0
解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单 位圆外, 所以系统不稳定。
4）线性采样系统劳斯判据
对于线性采样系统, 不能直接应用劳斯判据, 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否 在s平面虚轴的左半部, 而采样系统中希望判别的 是特征方程式的根是否在z平面单位圆的内部。
因此, 必须采用一种线性变换方法,使z平面上的 单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为 双线性变换, 又称为W变换。
从这个例子可以看出, 一个原来稳定的系统, 如果加长采样周期, 超过一定程度后, 系统就会不 稳定。通常, T越大, 系统的稳定性就越差。
例 7-11 设采样系统如图7-18所示, 采样周期T=0.25s, 求 能使系统稳定的K值范围。
图 7-18 采样系统
解 开环脉冲传递函数为 闭环传递函数为
同样, 在离散系统中, 也可把开环传递函数 G(z)具有z=1的极点数ν作为划分系统型别的标准, 分别把G(z)中ν=0, 1, 2, …的系统称为0型、Ⅰ型 和Ⅱ型(离散)系统等。
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E(z) e(0)Z 0 e(T )Z 1 e(2T )Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
E( z) Z[e* (t )] Z[e(nT )] e(nT )z n n0
自动控制原理 蒋大明
单位脉冲响应
Gh (s) L[gh (t)]
1 S
1 eTS S
1 e TS S
频率特性:
G0
(
j
)
1
e jT
j
2
sin(T
jT
/ 2) e 2
幅频特性：
G0 ( j )
T
sin( /s ) ( /s )
2 s
sin( /s ) ( /s )
相频特性: 其中:
arg G( j ) sin( /s )
e*(t) 只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0 T 2T 3T 4T 5T 6T t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
自动控制原理 蒋大明
图7-11 一阶保持器输出特性
第四节 Z变换理论
同拉氏变换一样, 是一种数学变换. 离散信号e*(t)的 拉氏变换为:
e nT e nTs
e 2 nT nTs
n0
n0
1
1 e T
( s 1)
1
e
1
T
(
s
2
)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
自动控制原理 蒋大明
三. 采样定理
n0
e(t)只有在采样瞬间才有意义.
连续信号
理想采样器(单位脉冲序列) 自动控制原理 蒋大明
幅值调制过程
采样过程的拉氏变换
E* (s) L[e* (t)] L[ e(nT ) (t nT )] n0
根据拉氏变换的位移定理
L[ (t nT )] enTs (t )est dt enTs 0
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T. 香农采样定理：
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且最高角 频率为 Wmax ,则只要采样频率满足Ws≥2Wmax，则采样后的脉 冲序列中将包含了连续信号的全部信息。
自动控制原理 蒋大明
第三节 信号复现与零阶保持器
有:
E* (s) e(nT ) enTs e(0) e(T )eTs e(2T )e2Ts n0
自动控制原理 蒋大明
举例
设 e(t) et e2t (t 0) ，试求采样拉氏变换E*(s)
解：
E* (s)
e(nT )enTs
(enT e2nT )enTs
n0
n0
1 s
1 1
1 sT
T 1 sT
自动控制原理 蒋大明
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
e(t) e(nT ) e(nT )(t nT ) e(nT ) (t nT )2 2!
nT t (n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
自动控制原理 蒋大明
二.采样过程的数学描述
τ非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。
e*(t) = e(t) δT(t）
其中:
T (t ) (t nT )
δ(t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲
n 0
e* (t) e(t) (t nT )
n0
e* (t) e(nT ) (t nT )
E * (s)
e(nT )e nTs
n0
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
自动控制原理 蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z eTS
S
1 T
ln Z
代入上式得:
E ( z) E * (s) 1 e(nT ) z n
s T
ln z
n0
s
/s
ωS=2∏/T
自动控制原理 蒋大明
传递函数
零阶保持器的频率特性
低通特征：
|G0(jω)|
幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减.
相角滞后特性：
ωS -∏
2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180° 零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 (s)
1 [1 esT s
]
1 s
1
1 e sT
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称
保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
自动控制原理 蒋大明
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。
放大器与 转速
燃料
开度
炉
执行电机
供应阀
-
炉温
自动控制原理 蒋大明
其它典型采样控制系统
1. 青藏铁路环境监测系统 2. 微机监测 3. 日本新干线综合安全监测系统 4. 计算机控制系统
自动控制原理 蒋大明
第二节 采样过程与采样定理
一. 采样过程 连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
例：炉温采样控制系统
连续控制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感, 造成炉温大幅度震荡。 采样控制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔T时
间, 接通τ时间, 等待炉温变化, 避免振荡。
自动控制原理 蒋大明
采样系统典型结构图
误差 信号
离散误 差信号
T
τ
误差信号 离散误差处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一 致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
自动控制原理 蒋大明
3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ(t) , R(s)=1
理想单位脉冲
gh(t)=1(t)-1(t-T)
第七章 采样系统分析
连续系统： 控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数。
离散系统： 控制系统中有一处或几处信号是间断的脉冲或数码。
采样控制系统(脉冲控制系统)： 系统中的离散信号以脉冲序列形式出现。
数字控制系统(计算机控制系统)： 系统中的离散信号以数码形式出现。
自动控制原理 蒋大明
第一节 采样基本概念