复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解

1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：

1) mi

ni a n -+=

11； 2) n n i a -⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=21； 3) ()11++

-=n i a n n ；

4) 2i n n e

a π-=；

5) 21i n n e n

a π-=

。 2． 证明：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在，

3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：

1) ∑∞

=1n n

n i ；

2) ∑∞

=2n n

n i ln ；

3)

()∑∞=+0856n n n i ；

4) ∑∞=0

2n n in cos 。

4． 下列说法是否正确？为什么？

1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；

3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。

5． 幂级数()∑∞

=-02n n n

z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？

6． 求下列幂级数的收敛半径：

1) ∑∞

=1n p n

n z （p 为正整数）；

2)

()∑∞=12n n n z n n !；

3)

()∑∞=+01n n n z i ；

4)

∑∞=1n n n i z e π；

5)

()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛1

1n n z n i ch ； 6) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝

⎛1n n in z ln 。

7． 如果

∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

8． 证明：如果n

n n c c 1+∞→lim 存在∞≠，下列三个幂级数有相同的收敛半径∑n n z c ；∑+++111n n z n c ；∑-1n n z nc 。

9． 设级数

∑∞=0

n n c 收敛，而∑∞=0n n c 发散，证明∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。

10． 如果级数

∑∞=0n n n z c 在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，

证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。

11． 把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径：

1)

311z +；

2)

()2211z +；

3) 2z cos ；

4) shz ；

5) chz ；

6) 22z e

z sin ；

7) 1-z z e

；

8) z -11sin

。

12． 求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：

1)

11+-z z ，10=z ；

2)

()()21++z z z ，20=z ；

3)

21z ，10-=z ；

4)

z

341-，i z +=10； 5) tgz ；40π=

z ；

6) arctgz ；00=z 。

13． 为什么在区域R z <内解析且在区间()R R ,-取实数值的函数()z f 展开成z 的幂级数时，展开式的

系数都是实数？

14． 证明在()⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=z z z f 1c o s 以z 的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为()⎰=π

ϑϑϑπ20221d n c n cos cos cos ，() ,,,210±±=n 。[提示：在公式()844..中，取C 为1=z ，

在此圆上设积分变量ϑζi e =。然后证明n c 的积分的虚部等于零。]

15． 下列结论是否正确？

用长除法得

++++=-4321z z z z z

z ++++=-3211111z

z z z z 因为 01

1=-+-z z z z 所以 0111143232=+++++++++

z z z z z z z

16． 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：

1)

()()

2112-+z z ，21<

2)

()211z z -，11<

3)

()()

211--z z ，110<-

-11，+∞<

5)

()

i z z -21，在以i 为中心的圆环域内； 6) z -11sin

，在1=z 的去心邻域内；

7)

()()()()

4321----z z z z ，43<

⎝⎛z tg 1能否在圆环域()+∞<<<

18． 如果k 为满足关系12

+0

2211n n k k n k ϑϑϑcos sin sin ()∑∞=+--=+02

211n n k k k n k ϑϑϑcos cos cos [提示：对k z >展开()1--k z 成洛朗级数，并在展开式的结果中置ϑi e z =，再令两边的实部与实部

相等，虚部与虚部相等。]

19． 如果C 为正向圆周3=z ，求积分()⎰C

dz z f 的值。设()z f 为：

1)

()21+z z ；