复合函数求导法则的教学设计
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
大学复合函数求导教案
课时：2课时教学目标：1. 理解复合函数的概念和性质。
2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。
3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。
教学重点：1. 复合函数求导的基本方法。
2. 链式法则和换元法的应用。
教学难点：1. 链式法则和换元法的应用。
2. 复合函数求导的步骤。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元函数的概念和性质。
2. 引入复合函数的概念，举例说明。
二、新授课1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。
2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。
3. 复合函数求导的基本方法：a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。
b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。
三、例题讲解1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。
2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。
四、课堂练习1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。
2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的定义和性质。
2. 回顾复合函数求导的基本方法。
二、例题讲解1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。
2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。
三、课堂练习1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。
2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。
四、总结1. 总结复合函数求导的基本方法。
2. 强调链式法则和换元法的应用。
五、布置作业1. 完成课后练习题。
2. 复习本节课所学内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。
2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。
3. 需要进一步加强对学生解题思路的引导，提高学生的解题能力。
复合函数求导法-教案
2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。
错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。
我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。
x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步：逐一分步求导。
复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
大学复合函数求导公式教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。
2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。
2. 复合函数求导公式的应用。
教学准备：1. 复习导数的基本概念。
2. 复习函数的复合。
3. 准备相关例题和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。
2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。
二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。
- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。
2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
- 举例：求y = ln(x^2)的导数。
解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。
三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。
解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。
2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。
解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。
四、课堂小结1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。
2. 回顾复合函数求导公式。
二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
1.2.2(2)复合函数的求导法则教学设计
情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则
教学活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，查阅历史上的第三次数学危机，了解在解决问题的时候不能犯“自我指谓”的错误。
师生共同分享各自查阅的有关资料，并介绍罗素的“理发师悖论”帮助学生理解“自我指谓”的问题。
多媒体课件
素质目标1
导入新课
10’
求复合函数 的导数
1.教师引导学生利用倍角公式转化问题；
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
复合函数的求导法则
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课主要学习复合函数的求导，以及在复合函数求导的基础上，学习隐函数的导数。复习复合函数的分解是掌握复合函数求导的基础。
教学目标
知识目标
1.掌握复合函数的求导法则；
2.通过显函数和隐函数的对比，掌握隐函数的概念和隐函数的求导法则；
3.掌握对数求导法。
能力目标
1.会求复合函数的导数；
2.会求隐函数的导数；
3.对于幂指函数，能利用对数求导法求导；
4.会求任意一个初等函数的导数。
素质目标
1.培养学生的数学文化素养；
2.让学生体会由简到难、逐层深入的数学思想；
3.提高学生的分析推理能力，培养学生严谨的学习态度。
教学过程
教学环节
时间分配
5’
1.学生课后认真看书进一步理解求导法则；
2.布置课后作业，巩固求导法则的应用。
教学反思
隐函数求导的基础是复合函数求导，复合函数求导的基础是会复合函数的分解，因此一定要让学生先复习复合函数的分解。
2.学生动手练习，得到结果；
3.教师引导学生分析得到的结果所具有的特征。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
简单复合函数的导数(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。
复合函数的求导法则教案
复合函数的求导法则教案教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.（二）教学重、难点及分析重点：理解简单复合函数的复合过程，简单复合函数的求导法则的应用.难点：复合函数结构的分析，简单复合函数的求导法则的应用.教学三维目标（一）知识与技能（1）了解简单复合函数的求导法则；（2）会运用上述法则，求简单复合函数的导数.（二）过程与方法培养学生感悟由特殊到一般的直观归纳的研究方法，培养学生的归纳总结能力与主动观察和探究发现的能力.（三）情感态度与价值观1.通过提问使学生展现自己.2.让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.一、复习回顾基本初等函数的导数公式公式1.0)(,)(='=x f c x f 则若公式2.1)(,)(-⋅='=n n x n x f x x f 则若公式3.x x f x x f cos )(,sin )(='=则若公式4.x x f x x f sin )(,cos )(-='=则若公式5.)0(ln )(,)(>='=a a a x f a x f x x 则若公式6.x x e x f e x f ='=)(,)(则若公式7.)10(ln 1)(,log )(≠>='=a a a x x f x x f a 且则若 公式8.xx f x x f 1)(,ln )(='=则若 导数的运算法则法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即[])()()()(x g x f x g x f '±'='±法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='⋅法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方.即[]0)(,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 法则2推论：[])()()()(x f c x f c x f c x f c '='+'='⋅二、探究引入思考：如何求函数)23ln(+=x y 的导数呢？我们无法用现有的方法求函数)23ln(+=x y 的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设23+=x u ，则u y ln =.即)23ln(+=x y 可以看成是由u y ln =和23+=x u 经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数.如果把y 与u 的关系记作)(u f y =，u 和x 的关系记作)(x g u =，“复合”过程可以表示为 )23ln())(()(+===x x g f u f y .如函数2)32(+=x y ，是由2u y =和32+=x u “复合”而成的. 三、新课讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数.记作))((x g f y =.实战演练例：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成.x x y +=22)1()sin(log )2(2x e y =注意：法则可推广到两个以上的中间变量.解：x x u y u +==2,2)1(x v e v u u y ===,log ,sin )2(2复合函数求导法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为：x u x u y y '⋅'='即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.推广：)(u f y =，)(v g u =，)(x h v = x v u x v u y y '⋅'⋅'='无论是几层函数复合都可以按照复合函数求导法则，外导乘内导例 求)23ln(+=x y 的导数解：第一步：u y ln =，23+=x u 第二步：uy u1='，3='x u 第三步：23331+=⋅='x u y x（学生总结复合函数求导步骤）复合函数求导三部曲：第一步：分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量）.第二步：层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）.第三步：相乘还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原）.例 求下列函数的导数（以老师计算、演示为主，说明根据复合函数求导公式求导数的具体操作过程.）（1）2)32(+=x y解：方法一()91243222++=+=x x x y 128+='x y思维点拨：括号直接展开求导；本题还有另外的解法，学生思考分析.方法二函数2)32(+=x y 可以看作函数2u y =和32+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有 ()()'+⋅'='⋅'='322x u u y y x u x ()12832422+=+=⋅=x x u（2）105.0+-=x e y 解：函数105.0+-=x e y 可以看作函数ue y =和105.0+-=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+-⋅'='⋅'='105.0x e u y y u x u x ()05.0-⋅=ue 105.005.0+--=x e（3）()ϕπ+=x y sin （其中ϕπ,均为常数）解：函数()ϕπ+=x y sin 可以看作函数u y sin =和ϕπ+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+⋅'='⋅'='ϕπx u u y y x u x sinu cos π=()ϕππ+=x cos（4）32-=x y解：函数()2132-=x y 可以看作函数21u y =和32-=x u 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ()'-⋅'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅'='3221x u u y y x u x 2121221--=⋅=u u ()3213221-=-=-x x 通过例题，使学生掌握复合函数求导的方法和步骤.四、当堂检测1.若函数x y 2sin =，则y '等于（ ） A .x 2sin B .x sin 2 C .x x cos sin D .x 2cos2.函数()223-=x y 的导数为（ ） A .()232-x B .x 6 C .()236-x x D .()236-x3.求下列函数的导数.（1）xe y 3=（2）3cos x y =解：（1）x e y 33='（2）3sin 31x y -=' 总结：复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.能力提升1.求函数x e y x ππsin =的导数.解：x e x e y x x ππππππcos sin +='2.求函数()52sin 2+=x x y 的导数.解：()()52cos 452sin 2+++='x x x y3.求函数21x xy +=的导数.解：()()()2222111x x x x x y +'+-+'=' 222121211x xxx x +⋅+-+= 2222111x x x x ++-+= ()()2222111x x x x ++-+= ()22111x x ++=简单复合函数导数的应用1. 求曲线12)(+=x ex f 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处的切线方程. 解：122)(+='x e x f 22)21(0==-'=e f k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121x y 即022=+-y x ∴切线方程为022=+-y x五、课堂小结1. 复合函数求导的一般步骤为“分层→求导→相乘回代”.2.（1）分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键（2）对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外向内逐层求导.六、课后作业（拓展延伸）（1）()()x y sin sin sin = （2）()()x y ln ln ln =。
教学设计9：简单复合函数求导
简单复合函数求导教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ·ln a (a >0) f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝ln x f ′(x )＝1x导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f (x )＝ln x 的导数是什么？函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f (x )＝ln x 的导数是f ′(x )＝1x ，函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x )＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x >－23)，则y ＝ln u .从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝ln u 和函数u ＝3x ＋2(x >－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f (u )，u 与x 的关系记作u ＝g (x )，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f (u )＝f (g (x ))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x－2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．理解新知例1 指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)； (4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数． (4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x 的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程． 设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝ln u ，u ＝12x －3；(2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5. 解：(1)y ＝ln(12x －3)；(2)y ＝e 3x ＋5. 设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？ (二)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′(y x′表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(板书)理解新知例3 求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(3x＋2)．解：(1)因为函数y＝(3x－2)2可以看作函数y＝u2和u＝3x－2的复合函数，所以y＝(3x －2)2对x的导数等于y＝u2对u的导数与u＝3x－2对x的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.(2)因为函数y＝ln(3x＋2)可以看作函数y＝ln u和u＝3x＋2的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(3x＋2)′＝1u·3＝33x＋2.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看作函数y＝u2和u＝2x＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝e u和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(e u)′(－0.05x＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看作函数y＝sin u和u＝πx＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′(πx＋φ)′＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解 y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导 y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代． 例5 求下列函数的导数． (1)y ＝x －a x 2－2ax；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax ＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． (2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x )＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x .解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x )3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1.【答案】(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x )2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝xx 2＋1.变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)； (4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2x sin(2x ＋5)． 【答案】(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3；(4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)． 设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．达标检测1．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝sin 3x ＋sin 3(3x )；(3)y ＝sin(2x )2x －1；(4)y ＝log a (x 2－2)．2．求y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)的导数． 【答案】1.(1)y x ′＝10(2x ＋1)4； (2)y x ′＝3sin 2x cos x ＋9sin 2(3x )cos(3x )； (3)y x ′＝2cos2x (2x －1)－2sin2x(2x －1)2；(4)y x ′＝2x(x 2－2)ln a .2．y x ′＝4x ＋32x 2＋3x ＋1.课堂小结1．复合函数的定义．2．复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导．3．复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代．布置作业课本习题1.2A 组第6、7题，B 组第2题．补充练习基础练习 一、选择题1．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．3 3C ．－6 3D ．63 2．函数y ＝sin 23x ＋5cos x 2的导数是( )A ．2sin3x －5sin x 2B ．2si n 6x －10x sin x 2C ．3sin6x ＋10sin x 2D ．3sin6x －10x sin x 2 二、填空题3．若函数f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝__________.4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是__________． 三、解答题5．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离． 【答案】1.B 2.D 3.1ln3 4.3x －y －11＝0 5. 5.拓展练习1．求下列函数的导数．(1)y ＝2x sin(3x ＋π6)；(2)y ＝x sin2x ＋cos3x ；(3)y ＝cos(－2x ＋π6)；(4)y ＝22x ＋1.2．求曲线y ＝sin2x 在点P (π，0)处的切线方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．【答案】1.(1)y x ′＝2sin(3x ＋π6)＋6x cos(3x ＋π6)．(2)y x ′＝sin2x ＋2x cos x －3sin3x . (3)y x ′＝2sin(－2x ＋π6)．(4)y x ′＝22x ＋2ln2. 2．2x －y －2π＝0. 3．a ＝3，b ＝－11，c ＝9.设计说明本节课主要讲了两个方面的内容：一、复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程；二、复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法．通过大量的例题与练习巩固这两方面的知识，使学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握，为接下来的利用导数研究函数的性质打下坚实的基础．在方法方面，重在引导与不断地总结；在法则方面，重在加强练习．在教学过程中不断地与学生互动，使学生不断超越自我，享受成功的喜悦．。
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。
【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。
2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。
3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。
【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。
前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。
教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。
在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。
在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。
然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。
本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。
【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。
【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。
难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。
【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。
《简单复合函数的求导法则》参考教案
§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
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复合函数求导法则的教学设计
摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则
复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：
一、教学目的
（一）教学目标
1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点
本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法
主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新
通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？
本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？
对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
对于法则，针对士官学员基础较差的实际特点，突出“淡化理论推导”的思想，我略去了对法则的严格证明过程，对法则的函数构成、可导条件、法则结论和应用关键进行了分析。
这部分体现了本节课学的是什么？而对于计算，我采用启发式教学法，结合例题，启发学员提炼出了复合函数求导的计算步骤，并且应用计算步骤，我们又具体求解了两层和三层复合函数的导数，这部分回答了如何运用复合函数求导法则进行计算。
（三）有什么用？
数学来源于实际，又服务于实际。
在数学教学中，只有联系了实际生活，才能体现出学习数学的价值，并且能激发学员对学习数学的兴趣。
本节课最后，我又应用法则和计算步骤，圆满的解决了课前提出了军事问题，不仅实现了首尾呼应，而且回答了学习本节课内容有什么用？
三、教学实施
下面我具体介绍下本节课的实际设计过程。
为了激发学员的学习兴趣，并考虑到数学的连贯性。
本节课我首先从数学实例和火炮身管受热膨胀这两个问题入手，突出了学习本节课内容的必要性和迫切性，从而引出本节课的课题——复合函数求导法则。
在给出求导法则之前，我首先引导学员回顾了复合函数的相关概念——复合和分解。
为了便于理解，此处我分别以我们小时候常玩的玩具俄罗斯套娃的装套娃过程形象的类比于复合函数的复合过程，而以套娃的拆分过程形象的类比于复合函数的分解过程。
其次，在复合函数的复合和分解的基础上，给出了复合函数求导法则。
并且对该法则，分别从函数构成、可导条件、法则结论和应用关键这四个方面来进行分析。
在例题的求解过程中，总结出了利用法则求导数的计算步骤。
最后，应用法则和计算步骤，圆满的解决了课前提出的火炮身管直径变化率
这一实际问题，从而实现了首尾呼应。