解读高斯正十七边形的作法(下)

解读高斯正十七边形的作法

正十七边形的尺规作法：

步骤1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O

步骤2：在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝

41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’，易知|OF|＝

2a ，|OF’|＝2b 步骤3：此时|FB|＝122+⎪⎭

⎫ ⎝⎛a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2

422++a a ＝c

步骤4：.类似地，|F’B|＝122

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x 轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e 步骤5：以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e

步骤6：以H 为圆心，

21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -⎪⎭⎫ ⎝⎛＝222e c -⎪⎭

⎫ ⎝⎛＝242e c -步骤7：以K 为圆心，|KH|＝2

1|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝2

42e

c c -+步骤8：取OL 的中点M ，则|OM|＝4

42e c c -+＝cos 172π步骤9：过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。

正十七边形边长的表达式

在上面得到的一系列等式：

a ＝2171+-，

b ＝2171--，

c ＝242++a a ，e ＝2

42++b b ，cos 172π＝4

42e c c -+中，依次求出c ＝4

17234171-++-，

e ＝4

17234171++--。从而求出

cos 17

2π的其它表达式：

可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为

172cos 22π-，将cos 17

2π的值代入，即可求出正十七边形的边长。正十七边形的另一种作法

步骤1：

作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；

在OB 上截取OE ＝14

OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14

∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝4

π，边EG 交CO 于点G 。

步骤2：

以GΑ为直径作圆O’，交OB于点H；

再以点F为圆心，经过点H作圆F，交AC于N4和N6两点。

步骤3：

过N4作AC的垂线交圆O于点P4，

过G6作AC的垂线交圆O于点P6，

则以圆O为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，

P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。

以1

2

弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O上截出正十七边形的所有顶点。

很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多边形。早在《几何原本》一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正7、9、11边形却未能作出。让后来数学家尴尬的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。

不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？

在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：

1)n ＝2m ；（其中m 为正整数）

2)边数n 为质数且形如n ＝22t +1（其中t 为非负整数），即n 为质数的费马(Fermat )

数。

3)边数n 具有n ＝2m p 1p 2p 3……p k 的形式（其中p 1，p 2，p 3，……，p k 为互不相同的费马质数）。

由高斯的结论，具有质数n 条边的正多边形可用尺规作出的必要条件是n 为费马数。由于我们目前发现的费马质数只有前五个费马数，因此，边数是费马数的正多边形中，只有正3、5、17、257、65537边形可用尺规作出（除非你能发现另一个费马质数）。进一步，可以作出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到，这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规作出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数经过组合

而得到。

黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正65537边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。