(三)立体几何与空间向量

(三)立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC.(1)求证：PC⊥平面MBD；(2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值.(1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得BD⊥P A，又BD⊥AC，P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BD.又PC⊥BM，BD∩BM＝B，BD，BM⊂平面MBD，∴PC⊥平面MBD.(2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD，即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角.不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2.∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC，∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PBPC＝23＝63，故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为6 3.方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，不妨设P A ＝AB ＝1，则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0).由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC →＝(1,1，－1)， 而PB →＝(1,0，－1).∴cos 〈PB →，PC →〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63，故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63. 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.(1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为74，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF .因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝23，且O 为BC 的中点.又由题意知，AM →＝23AF →，所以AG AO ＝AM AF ＝23，所以GM ∥OF .因为点N 为AB 的中点，所以NO ∥AC . 又AC ∥DF ， 所以NO ∥DF ，所以O ，D ，F ，N 四点共面， 又OF ⊂平面DFN ，GM ⊄平面DFN ， 所以GM ∥平面DFN .(2)解 连接OE .由题意知，AG ⊥平面BCDE ， 因为AG ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCDE ，又BC ⊥CD ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ， CD ⊂平面BCDE ， 所以CD ⊥平面ABC .又四边形BCDE 为直角梯形，BC ＝2，DE ＝1， 所以OE ∥CD ， 所以OE ⊥平面ABC .因为BC ∥DE ，DE ⊄平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ， 同理DF ∥平面ABC ，又因为DE ∩DF ＝D ，DE ，DF ⊂平面DEF ， 所以平面ABC ∥平面DEF ，又△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，故以O 为坐标原点，OC ，OE ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设CD ＝m (m >0)， 则C (1,0,0)，D (1，m ，0)， A (0,0，3)，F ⎝⎛⎭⎫12，m ，32，B (－1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，因为AM →＝23AF →，所以M ⎝⎛⎭⎫13，2m 3，233，BC →＝(2,0,0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫43，2m 3，233设平面MBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BC →＝2x ＝0，n ·BM →＝43x ＋2m 3y ＋233z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3m z ，令z ＝－m ，得n ＝(0，3，－m ). 又平面BCD 的法向量为v ＝(0,0,1). 由题意得|cos 〈v ，n 〉|＝|v ·n ||v ||n |＝m 3＋m 2＝74， 解得m ＝213， 又MN →＝⎝⎛⎭⎫－56，－2m 3，－36，CD →＝(0，m ，0)，所以|cos 〈MN →，CD →〉|＝|MN →·CD →||MN →||CD →|＝mm 2＋74＝277，所以异面直线MN 与CD 所成角的余弦值为277.3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面ABCD ⊥平面P AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AP ＝12AD ，∠ADP ＝30°，∠BAD ＝90°，E 是PD 的中点.(1)证明：PD ⊥PB ；(2)设AD ＝2，点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为105，求二面角M －AB －P 的余弦值.(1)证明 ∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD ，∵平面ABCD ⊥平面P AD ，平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，在△P AD 中，∵AP ＝12AD ，∠ADP ＝30°，∴由正弦定理可得，sin ∠ADP ＝12sin ∠APD ，∴∠APD ＝90°，即PD ⊥AP ， 又AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面P AB ， ∴PD ⊥平面P AB ， ∴PD ⊥PB .(2)解 以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则B (0,1,1)，C ⎝⎛⎭⎫32，12，1，E ⎝⎛⎭⎫32，0，0，设M ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，a ()0≤a ≤1， 则BM →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a －1，a －1， CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1， ∴cos 〈BM →，CE →〉＝BM →·CE →|BM →||CE →|＝32－54a 2a 2－3a ＋2×52＝105，得a ＝23，∴BM →＝⎝⎛⎭⎫33，－23，－13，而AB →＝(0,0,1)，设平面ABM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧3x －2y －z ＝0，z ＝0，令x ＝2，则n ＝(2，3，0)，取平面P AB 的法向量m ＝(1,0,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27＝277，由图易知二面角M －AB －P 为锐二面角， 故二面角M －AB －P 的余弦值为277.4.如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点.(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，求二面角P －AC －S 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SC ∶SE 的值；若不存在，试说明理由.(1)证明 连接BD 交AC 于O ，由题意得，SO ⊥AC . 在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， 又SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ， 所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SD .(2)解 由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示.设底面边长为a ，则高SO ＝62a . 则S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0 又SD ⊥平面P AC ，则平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，平面SAC 的一个法向量OD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，则cos 〈DS →，OD →〉＝DS →·OD →|DS →||OD →|＝－12，又二面角P －AC －S 为锐二面角，则二面角P －AC －S 为60°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .由(2)知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a .设CE →＝tCS →，t ∈[0,1]， 则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 又BE ∥平面P AC ，所以BE →·DS →＝0， 解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时，BE →⊥DS →， 而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC . 所以侧棱SC 上存在点E ，当SC ∶CE ＝3∶2时，有BE ∥平面P AC .5.已知，如图1，直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面F AB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0,0,0)，A (2，0,0)，B (0,2,0)，设F (a,0,2)，0≤a ≤2， 所以AF →＝(a －2,0,2)，BF →＝(a ，－2,2)， 设平面F AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0，取x ＝2，得n ＝(2,2,2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1,0,0).所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23，所以a ＝1.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面F AB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.。