2020年湖北省部分重点高中高三理科数学上册10月联考试题
2020届高三数学上学期10月联考试题理
高三数学上学期10月联考试题 理考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若i 是虚数单位，则232i i-= A.32i + B.32i - C.32i -+ D.32i -- 2.已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x 2<16}，则A ∩B ＝A.(0，3)B.(2，4)C.(0，4)D.[2，4) 3.若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为 A.1 B.13C.2D.3 4.若1cos()36πα+=-，且263ππα<<，则7sin()12πα+=A.12B.12C.12D.12-5.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“”发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.136.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.77.已知点D 是△ABC 所在平面上的一点，且2BD DC AD AB AC λμu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝－，若＝＋，则λ－µ＝A.6B.－6C.－32D.－3 8.“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为A.8B.9C.10D.129.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为2π，将函数f(x)的图象向左平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是 ①函数g(x)的最小正周期为π； ②函数g(x)的图象关于点(712π，0)对称； ③函数g(x)的图象关于直线23x π=对称； ④函数g(x)在[3π，π]上单调递增。
2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题
2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（ ） A ．MNB ．M N ≠⊂C ．N M ≠⊂ D ．ZN M =【答案】A【解析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系. 【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈， 又{}|41,N x x k k Z ==±∈， 所以M N ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（ ）A ．75B ．1CD ．2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】由(12)3z i i -=+， 得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =， 则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =， 即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=， 即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2， 所以应该满足是15的倍数多2， 并且是比26大的最小的数， 故输出的n 为32， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．已知ln 2ln33,2,2x y z ===，则,x y 的大小关系是（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x y z => D ．y z x >>【答案】C【解析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系. 【详解】 因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =， 又ln31222y z =>==，所以x y z =>，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B（ ） A ．60B >︒ B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围. 【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=， 根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=， 即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=， 化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=， 整理得：2(2)0a c b +-=， 即2a c b +=，所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥，所以233111222b ac ⋅-≥-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<，所以060B <≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．某同学研究曲线1133:1C x y +=的性质，得到如下结论：①x y 、的取值范围是R ；②曲线C 是轴对称图形；③曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x=-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确； 在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确； 设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ， 因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=， 所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C ，所以命题③正确； 所以正确命题的序号是①②③，故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ） A ．∅ B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．1-C ．2-D ．0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值. 【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+， 因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值 故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10．已知O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB == 所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<> 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11．已知实数a 、b 、c 、d 满足2113aa e cb d --==-（e 是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．10B ．18C ．8D ．12【答案】B【解析】由已知可得2,4a b a e d c =-=-,则可知点(,)a b 在曲线2xy x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,进而可得22()()a c b d -+-表示的是曲线2xy x e =-到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可.【详解】实数a b c d ,,,满足2113a a e cb d --==-,2,4a b a e d c ∴=-=-.∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,22()()a c b d ∴-+-的几何意义就是曲线2x y x e =-上的点到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方.12x y e '=-求出2x y x e =-上和直线4y x =-平行的切线方程, 12=-1x y e '=- ∴令12=-1x y e '=-,解得0x =, ∴切点为(0,2)-,该切点到直线4y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离,故22()()a c b d -+-的最小值为218d =. 故选:B . 【点睛】本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般.12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（ ） A ．2p alB ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2lpaπ=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=， 所以2l paπ=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 【答案】3-【解析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-， 故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________.【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案.【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<， 因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-，设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<， 所以()g x 在1(,1)e上单调递减，所以10()2g x e e<<+-， 所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-， 故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A AB B+=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】 因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=， 所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 【答案】()4,8 【解析】令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】 令3()()f x g x x=， 则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x--==， 因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<， 所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递减， 可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <， 由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x ⋅--==， 因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >， 即有(2)48(1)f f <<， 故答案是：(4,8).【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中13(1,0),(,)22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值； （2）若点C 在优弧AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）343-；（2）2333a b c <++≤ 【解析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果； （2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，3AB =，60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可求得323a b <+≤，进而得到三角形的周长的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-，13(,22OB =--， 343343cos cos ,101010OC OB COB OC OB OC OB⋅-∠===-=（2）∵120AOB ∠=︒，3AB =，∴60ACB ∠=︒∴32sin sin sin 60a b A B ===︒∴22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<，323a b <+≤ ∴2333a b c <++≤. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，23BD =，且AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（231313【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =，平面PAB 的法向量为2233,1,n ⎛= ⎭，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BDPD D =，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,P t -.由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3030x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则2233,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭ 因二面角A PB D --的余弦值为34， ∴12233cos ,4124n n t==+，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2233,1,n ⎛= ⎭，∴233233sin cos ,131394134144323EC n θ--====++⋅. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．若a R ∈，函数2()f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.【答案】()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当()221a =-时，()g a 取最小值.【解析】分类讨论，分0a ≤时和0a >时两种情况，当0a ≤时，()2f x x ax =-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a >时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a 的最小值点. 【详解】（1）0a ≤时，∵01x ≤≤，∴()2f x x ax =-，()f x 单调递增.∴()()11g a f a ==- （2）当0a >，如图所示，令()24a f x =，得2a x =或21x +=①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==- ②当21122aa +<<，即()2212a -<<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当2112a +≤，即()0221a <≤-时，()()11g a f a ==-综上，()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当()221a =-时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ； （2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）12212x y x y -；（2）22S =【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果；（2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到22S =，得到结果. 【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.12212211x y x y d x y-=+221122AB AO x y ==+∴2ABC S S AB d ∆==⋅1221221122112x y x y x y x y -=++12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+- 又∵2222121222x x y y a a+=+，∴2221222211y y x x a -=-- ∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K SK K +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）求0P ，1P ，2P ；（2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）； （3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=； （2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系；（3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -； 第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -. ∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤ （3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P⎛⎫=+⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221x a x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围； （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+= ∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<-∴1604ln 35S <<-. 【点睛】 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。
湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题(wd无答案)
湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题一、未知(★★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知命题，，则是（）A．，B．，C．，D．x≤0，(★★★) 3. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 5. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6. 若将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于坐标原点对称，则满足条件的的所有值的和（）A．175B．225C．200D．250(★★★) 7. 已知函数，其导函数为，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 下列选项中，正确的有（）A．若，都是第一象限角，且>，则B．函数的最小正周期是C．若是定义在R上的奇函数，且最小正周期是T，则D．函数的最小值为(★★★) 9. 已知函数的最小正周期为，且，则的值可以为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（）A．的单调减区间是B．的极小值是﹣6C．过点只能作一条直线与的图象相切D．有且只有一个零点(★★★) 11. __________．(★★★) 12. 已知集合，，若，则___________．(★★★) 13. 函数，若，则 a的取值范围是___________．(★★★) 14. 已知函数图象的一条对称轴为直线，若函数在上的所有零点依次记为，，，…，，则___________．(★★★) 15. 在① 的一个极值点为0，②若曲线在点处的切线与直线垂直，③ 为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．已知函数，且，求在上的最大值与最小值．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．(★★★) 16. 已知二次函数满足，且的图象经过点．（1）求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数 m的取值范围．(★★★) 17. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．已知的部分图象如图所示，且．（1）求的解析式；（2）设函数，求在上的值域．(★★★) 18. 已知函数的最小正周期为．（1）求的单调递减区间；（2）已知，且，求的值．(★★★) 19. 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．(★★★) 20. 已知函数．（1）当a=1时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），，求 a的取值范围．二、单选题(★) 21. 若，则（）A．B．C．a D．(★) 22. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：，）A．B．C．D．。
湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题含解析
高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数2i1i z =-+，则其共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.12i+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：()()()21i 2i=i=12i 1i 1i 1i z -=---++-，∴由共轭复数的定义得12i z =+.故选：C.2.已知全集U =R ，{}223A x x x =+<，20x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A.{}30x x -<< B.{}30x x -<≤ C.{}32x x -<< D.{}01x x ≤<【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式223x x +<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，解不等式20x x-≤，得02x <≤，即{|02}B x x =<≤，{|0U B x x =≤ð或2}x >，所以(){}30U A B x x ⋂=-<≤ð.故选：B3.命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.1a ≤B.1a <C.a<0D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知1a ≤，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为20x a ->，即2x a >，且()1,2x ∈，则()21,4x ∈，由题意可得1a ≤，选项中只有选项D 满足{}|1a a ≤是{}|2a a <的真子集，所以命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是2a <.故选：D.4.如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，,,A B C 在一条直线上，且2AB CB =- ，则（）A.1433c a b=-+B.1322c a b=-+C.5322c a b=-D.3122c a b=-【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()33132222=+=+=+-=-+uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu r uuu r OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ，即1322c a b =-+ .故选：B.5.已知曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为（）A.4B.2C.3- D.6-【答案】B 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为11'=++k y x ，可得1|12='=+x k y ，即曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k ，且直线20x y +=的斜率为12-，由题意可得：11122⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭k ，解得2k =.故选：B.6.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，当12x <<时，()2log 1f x x =+，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2log 3B.2log 31- C.2log 3- D.2log 31--【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得4为()f x 的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，可知4为()f x 的周期，且20231425322=⨯-，可得222023133log 1log 32222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：C.7.已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-的结果是（）A.αB.αC.αD.α【答案】A 【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为πcos2sin4ααα⎛⎫===-=-⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得πsin04α⎛⎫->⎪⎝⎭，)π2sin sin cos4ααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；α=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos0α<，α=；)sin cosαααα=-=.故选：A.8.已知向量()22sinm x x=，()cos,2n x=-，若关于x的方程12m n⋅=在()0,π上的两根为()1212,x x x x<，则()12sin x x-的值为（）A.14- B.4- C.12- D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，)22sin cos sin21cos2m n x x x x x⋅=-=-+1π12sin2cos22sin22232x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得：π1sin234x⎛⎫-=⎪⎝⎭，设()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,πx∈当0πx<<时，ππ5π2333x-<<-.且由ππ232x-=，得()f x在()0,π上的对称轴为5π12x=.∵方程12m n⋅=-()0,π上的两根为()1212,x x x x<，∴()11π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且由125π212x x +=得125π6x x +=，∴215π6x x =-.∴()12115ππsin sin 2cos 263x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵当0πx <<时，1π1sin 2034x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴1π203x ->，即有1π6x >.又∵12x x <，∴1π5π612x <<，则1ππ0232x <-<，∴由1π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1πcos 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12115ππsin sin 2cos 2634x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数()sin y A ωx φ=+图象的对称轴和对称中心可结合sin y x =图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈，可解得对称轴方程；令πx k ωϕ+=，Z k ∈，可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.对于()cos y A x ωϕ=+、()tan y A x ωϕ=+，可利用类似方法求解（注意()tan y A x ωϕ=+的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A.数列246,,,S S S 是等比数列B.2q =C.6126S = D.数列(){}lg 2n S +是等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据等比数列的性质得到231432a a a a ==，即可得到关于2a 和3a 方程组，结合条件解得1a 和q ，从而得到n S ，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则231432a a a a ==，由23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，则322a q a ==或12，又q 为整数，所以2q =，且24a =，38a =，所以B 选项正确；又212a a q ==，所以()12122212n n n S +-==--，则32226S =-=，542230S =-=，7622126S =-=，所以C 选项正确；因为6424S S S S ≠，所以246,,,S S S 不是等比数列，所以A 选项错误；又有()()211lg 2lg 2lg 2lg 2211n n n n S S n n ++++-+=-=+--=，所以数列(){}lg 2n S +是公差为1的等差数列，所以D 选项正确；故选：BCD.10.已知实数x ，y ，z 满足23x =，34y =，45z =，则下列结论正确的是（）A.43y <B.2xyz > C.y z<D.x y +>【答案】BD 【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项，根据3443>即可判断；根据对数的换底公式得到2log 5xyz =，即可判断；对于C 选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D 选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为23x =，34y =，45z =，所以2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项：因为3443>，则3433log 4log 3>，即33log 44>，所以34log 43y =>，故A 选项错误；对于B 选项：23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=，故B 选项正确；对于C 选项：()234lg 4lg 3lg 5lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4lg 3lg 4y z --=-=-=，因为0lg3lg 4lg5<<<，所以22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 4lg 3lg 50->，即0y z ->，所以y z >，故C 选项错误；对于D 选项：因为2log 31x =>，3log 41y =>，所以23log 3log 4x y +=+>==，故D 选项正确；故选：BD.11.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2π3ϕ=-B.函数()f x 的零点为ππ,032k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C.若()()124f x f x ⋅=，则12π2k x x -=，k ∈ZD.若00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，则0sin 13x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得A 和ω，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，从而得到()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦的函数的性质判断ABC 选项，对于D 选项：利用三角恒等变换得到()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合同角三角函数关系即可求解.【详解】对A ：由函数图象得2A =，且函数()f x 的周期T 满足：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，解得：2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭得：7ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得：2π2π,3k k ϕ∈=-+Z ，又π<ϕ，所以2π3ϕ=-，故A 选项正确；则()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：令()0f x =，得2π2π3x k -=，k ∈Z ，解得：ππ32k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ32k x =+，k ∈Z ，故B 选项错误；对C ：因为()[]2π2sin 22,23f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=，即()12f x =，且()22f x =，则21π22T k x x k -=⋅=，k ∈Z ，所以C 选项正确；对D ：又00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即00π2π37π2π2sin 22sin 223321223x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯--=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则0000π2sin 3sin 2sin 3cos 2x x x x ⎛⎫+--=+= ⎪⎝⎭()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故213cos 13θ=，所以0π2π2x k θ+=+，k ∈Z ，即0π2π2x k θ=+-，k ∈Z ，则0π213sin sin 2πcos 213x k θθ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以D 选项正确；故选：ACD.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足22n T tn n >-对任意*n ∈N 恒成立，则下列命题正确的是（）A.21n a n =-B.当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C.2284n T n n =+ D.t 的取值范围为(),2-∞-【答案】AC 【解析】【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥可判断A ；求出n b ，分n 为奇数、n 为偶数，求出n T 可判断BC ；分n 为奇数、为偶数，利用22n T tn n >-分离t ，再求最值可判断D.【详解】当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-，故A 正确；所以()()()()1122111nnn n n b n a a n +=---+=，当n 为奇数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯++----+ ()()2437112341n n =⨯++++---⎡⎤⎣⎦()2323144122n n n +--=⨯⨯--2221n n =--+，故B 错误；当n 为偶数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯+---+-+ ()4371121n =⨯++++-⎡⎤⎣⎦ 321422n n+-=⨯⨯()22222n n n n =+=+，所以()()222222284n T n n n n =+=+，故C 正确；当n 为奇数时，n T =2221n n --+，若22n T tn n >-，则222212tn n n n ->-+-，即2222112-+=-+<t n n n，所以2min 12t n ⎛⎫<-+⎪⎝⎭，而2122n-+>-，即(],2t ∞∈--；当n 为偶数时，则22n T tn n >-得22222>-+n tn n n ，即2442+=+<t n n n ，而422n+>，即(],2t ∞∈-，综上所述，(],2t ∞∈--，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b = ，那么b 在a上的投影向量坐标为______.【答案】()1,2-【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】()3,4b =，所以5b == ，同理可得：a ==且13245a b =⨯-⨯=-r r g，·cos ,5a b a b a b==-，b 在a上的投影向量为：()cos ,1,2a b a b a a⨯⨯=-=- 故答案为：()1,2-14.已知函数()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的最小值是______.【答案】e -【解析】【分析】由于()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则()e 0x f x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，可得以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e x a x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()e x h x x =-，求导确定单调性即可得最值从而可得a 的取值范围，即可得所求.【详解】因为函数()21e 12x f x ax =+-在()0,∞+上是增函数，所以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e xa x≥-在()0,∞+上恒成立，令()e xh x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x h x x=-'-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，函数()h x 递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 递减，则()()max 1e h x h ==-，故e a -≥，所以a 的最小值是e -.故答案为：e -.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，每次购n kg ，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x ，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y ，利用作差法，即可比较x ，y 的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，按甲策略，每次购n kg ，按这种策略购物时，两次的平均价格121222p n p n p p x n ++==，按乙策略，第一次花m 元钱，能购物1kg m p 物品，第二次仍花m 元钱，能购物2kg m p 物品，两次购物的平均价格121222=11++m y m m p p p p =，比较两次购物的平均价格1212121212221122+p p p p p p x y p p p p ++-=-=-+221212121212()4()02()2()p p p p p p p p p p +--==≥++，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.16.已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()1f x a x =-，a ∈R 有4个不同的实数根，则a 的取值范围为______.【答案】(](61,3- 【解析】【分析】作出()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩与()1f x a x =-的图象，即可判断【详解】作出()2222ln ,1ln ,01ln ,0,43,1043,0,43,3143,3x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧>⎧⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎪==++-<<⎨⎨++≤⎪⎪----≤≤-⎪⎪++<-⎪⎪⎩⎩的图象，因为,11,1ax a x y a x a ax x ->⎧=-=⎨-≤⎩的图象是过定点(1,0)，并且是绕着该点旋转的两条关于1x =对称的的射线.当0a =时，1y a x =-为x 轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当a<0时，1y a x =-的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故0a >，先考虑[1,)+∞时两图象的交点情形，当1a =时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩,与|ln |y x =刚好只交于(1,0)点.证明如下：当1x ≥时，在点(1,0)处，由ln y x =，故1y x '=，令1x =，则1k =，所以切线方程为：1y x =-；当01x <≤时，在点(1,0)处，由ln y x =-，故1y x'=-，令1x =，则1k =-，所以切线方程为：1y x =-；所以当1a =时在(0,)+∞，两图象只有一个交点，此时考虑(,0)x ∈-∞，当3x <-，两函数图象必有一个交点，当0x =时，21|01|0403-<+⋅+，所以两函数图象在(1,0)-有一个交点，当31x -≤≤时，联立得221,340,Δ916043y x x x y x x =-⎧∴++==-<⎨=---⎩，无解，所以没有交点；所以当1a =时，只有3个交点，不合题意.当1a >时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线更加陡峭，两函数图象在1x >时，没有交点，在(0,1)有一个交点，则在(0,)+∞有两个交点，另外两个交点要在(,0)-∞取得，当2|01|0403a -<+⋅+，即3a ≤时，在(1,0)-和(,3)-∞-各一个交点；故在(1,3]a ∈时，两图象有4个交点.当1a <时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线趋于平缓，则两函数图象在(1,)+∞有一个交点，在(0,1)没有交点，则在(0,)+∞有2个交点，另两个必须在(,0)-∞取得，若y a ax =-与243y x x =---相切，则联立得222,(4)(3)0,Δ(4)4(3)043y a ax x a x a a a y x x =-⎧∴+-++==--+=⎨=---⎩，21240,642,1,642a a a a a ∴-+=∴=±<∴=- ；此时两函数图象在(,0)-∞有三个公共点.所以在6421a -<<时，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有2个公共点，符合题意；当0642a <<-，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有3个公共点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围为(](642,1)1,3- .故答案为：(](642,1)1,3-四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值.【答案】（1）1a =-，3b =（2）最小值是18-，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】()3f x ax bx =+，()23f x ax b '=+.∵函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=，解得1a =-，3b =，∴()33f x x x =-+，经验证在1x =处取得极大值2，故1a =-，3b =.【小问2详解】()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<，令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此()f x 在[)2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，在(]1,3上单调递减，()()3181f f =-<-，故函数()f x 的最小值是18-，()()221f f -==，故函数()f x 的最大值是2.18.设函数()()π2πcos 12f x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的值域和单调递增区间；（2）当()135f α=，且π2π63α<<时，求cos 2α的值.【答案】（1）[]51,32,266k k ππππ⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .（2）750-【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再求出3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】()πsin 12sin 13f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域是[]1,3-.令πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【小问2详解】由()π132sin 135f αα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2πππ4324sin 22sin cos 23335525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以222ππ37cos 22cos 12133525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2π2π12π7cos 2cos 2cos 2sin 233323250αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知0a >且1a ≠，函数()x x x x a a f x b a a---=++在R 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得=a ______，b =______.（2）在（1）的情况下，关于x 的方程()4xf x m =-在[]1,1x ∈-上有两个不等实根，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①②，12a =，0b =（2）172,20⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和()315f =-列方程求解即可；（2）参变分离可得()241241x x m =++-+，[]1,1x ∈-，41x r =+，换元转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调递减函数，故②()315f =-，③()315f -=-不会同时成立，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数.因为函数的定义域为R ，所以()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②.选择①②，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a-------+=+++=++，即0b =，而()11315a a fb a a ---=+=-+，解得12a =.【小问2详解】由（1）可得()111422141122x xx x x x f x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭⎭，由()4x f x m =-，则14414x x x m -=-+，即()14244121441x x x x x m -=+=++-++，令41x r =+，因为[]1,1x ∈-，所以5,54r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，显然，函数()22g t t t =+-在54⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 2g t g==，又517420g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1755g =，要使22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，则17220m -<≤，所以m的取值范围是172,20⎛⎤- ⎥⎝⎦.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =，2b =，且cos sin 3a C c A b +=.（1）求ABC ∠的正弦值；（2）BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求DGE ∠的余弦值.【答案】（1）7（2）266-【解析】【分析】（1）运用正弦定理对cos sin 3a C c Ab +=进行转化，得出角A ，再由正弦定理解出ABC ∠的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出c 、BE 、AD 的值，根据题意得到G 为重心，从而得出AG 、BG ，进而得出DGE ∠的余弦值.【小问1详解】解：因为3cos sin 3a C c Ab +=，由正弦定理可得，sin cos sin sin sin 3A C C A B +=，即sin cos sin sin sin cos cos sin 3A C C A A C A C +=+，整理得sin sin cos sin 3C A A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos 3A A =，即tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.由正弦定理sin sin a b A B =，得32sin 212sin 7b A ABC a ⨯∠===.【小问2详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即22212222c c =+-⨯⨯⨯，所以3c =.在ABE 中，由余弦定理得22213213cos 607BE =+-⨯⨯⨯︒=，则BE =.在ABC 中，2AB AC AD += ，所以222219223421922444AB AB AC AC AB AC AD +⨯⨯⨯++⋅+⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，解得192AD =.由AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的中线可知G 为ABC 的重心，可得233BG BE ==，233AG AD ==.在ABG中，由余弦定理得222cos 2266GA GB AB AGB GA GB +-∠==-⋅，又因为AGB DGE ∠=∠，所以cos cos 266DGE AGB ∠=∠=-.21.数列{}n a 满足1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，13n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2024n m T <对任意*n ∈N 都成立的最小正整数m .（参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=，*n ∈N ）【答案】（1）n a n=（2）1012【解析】【分析】（1）先写出12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，结合题中条件的式子，两式相减可得出n a 与1n a +之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ 中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出n S ，裂项求解出n T ，从而求解出满足题意m 的值.【小问1详解】解：1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，当2n ≥时，12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，作差，得11n n n a a a n +=-，即11n n a a n n +=+.因为11a =，22a =，所以2121a a =，满足11n n a a n n +=+，即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即1n a n =，n a n =.【小问2详解】由题意，()()121321n S n n n n =⋅+⋅-+⋅-++⋅ ，即()()()12123131n S n n n n n n =⋅+⋅+-+⋅+-++⋅+- .设()21k d k n k kn k k =+-=+-，1,2,3,,k n = ，则()()()222121231212n n S d d d n n n n =+++=++++++++-+++ ()()()()()()11121122266n n n n n n n n n n n ++++++=⋅+-=，()()()()()1211312112n n b S n n n n n n n ===-+++++，()()()()()111111111122323341122122n T n n n n n n =-+-++=-<⨯⨯⨯⨯+++++ .因为2024n m T <对任意*n ∈N 都成立，所以120242m ≥，即1012m ≥，m 的最小值为1012.22.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ，()cos sin e xx x g x -=.（1）讨论()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）若()()2f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求导得到()2cos ex x g x -'=，再分别解不等式()0g x '<和()0g x '>，即可得到()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）根据条件得到0x ≥时，2sin cos e 20e x x x x ax -+-≥，构造函数()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-（0x ≥），求导得到()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，再利用导数研究函数的单调性，从而得到()h x '在[)0,∞+上单调递增和()()042h x h a ''≥=-分类讨论2a ≥和2a <即可求解.【小问1详解】由题意得：()2cos e xx g x -'=，()0,πx ∈.由()0g x '<，得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0g x '>，得π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【小问2详解】由0x ≥时，()()2f x g x ≥，得2cos sin e 2e x x x x ax --≥，即2sin cos e 20ex x x x ax -+-≥.设()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-，0x ≥，则()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，设()()x h x ϕ='，则()32π4e 2sin 2cos 44e e e x x x xx x x x ϕ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=+=当[)0,x ∈+∞时，34e 4x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>，所以()x ϕ即()h x '在[)0,∞+上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-.①当2a ≤时，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，则()0420h a '=-<，且x →+∞时，()h x '→+∞，则必存在正实数0x 满足当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()00,x 上单调递减，此时()()000h x h <=，不符合题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明()2sin cos e 2e x xx x h x ax -=+-在[)0,∞+上的最小值大于0即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.。
【数学】湖北省黄冈市2020届高三10月联考 数学(理)
湖北省黄冈市2020届高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1.设集合{}R x y y A x ∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A I （ ）.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21.B )1,0(.C )21,0(.D ]21,0(2.函数⎩⎨⎧≤+>-=0,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为（ ）.A 1-.B 1 .C 2- .D 23.若2ln =a ， 215-=b ，dx x c ⎰=20cos 21π，则,,a b c 的大小关系（ ）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D b c a <<4.下列四个结论：①若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则552sin =α； ②命题“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02≤-x x ； ③若函数)(x f 在)2020,2019(上有零点，则0)2020()2019(<⋅f f ； ④“0log >b a （0>a 且1≠a ）”是“1,1>>b a ”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（ ）.A 0个 .B 1个 .C 2个.D 3个 5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（ ）.A 7- .B 7 .C 1.D 1- 6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）7.若函数axm x f )3()(+=),(R a m ∈是幂函数，且其图像过点)2,2(，则函数)3(log )(2-+=mx x x g a 的单调递增区间为（ ）.A )1,(--∞ .B )1,(-∞.C ),1(+∞ .D ),3(+∞8.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（ ） .A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为2π；.C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称； .D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增9.已知定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)1()1(=-++x f x f 成立，且函数)1(+x f 的图像关于直线1-=x 对称，则=)2019(f （ ）.A 0.B 2 .C 2- .D 1-10.已知函数)(sin )(a x e x f x-=有极值，则实数a 的取值范围为（ ）.A )1,1(-.B ]1,1[- .C ]2,2[- .D )2,2(-11.设函数]1,1[,cos 2)(2-∈+=x x x x f ，则不等式)2()1(x f x f >-的解集为（ ）.A )1,31(-.B )31,0[.C ]21,31(.D ]21,0[12.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，x e x f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（ ）.A )0()1(ef f < .B )2()1(f ef <.C )3()0(3f f e > .D )4()1(5f f e <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是 ． 14．已知函数1)1(log )(223++++=x x ax x f )(R a ∈且3)1(-=f ，则=-)1(f ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且满足a C b =sin ，ac b c a 58222=-+，则=C tan ．16．若函数kx x ke xf x +-=22)(在[]2,0上单调递增，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且BCb c a cos cos 2=-. （I ）求角B 的大小； （II ）求2cos 2sin 2cos 32AA C -的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入)(x G （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-=20,)1(9000200070200,2180)(x x x x x x x G . （I ）写出年利润)(x W （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （II ）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB DE //，BC AC ⊥，42==AC BC ，DE AB 2=，DC DA =且平面⊥DAC 平面ABC .（I ）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ； （II ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60，求二面角C AD B --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点)0,2(P 作两条直线2=x 和)0(2:>+=m my x l 分别交抛物线x y 22=于B A , 和D C ,（其中C A ,位于x 轴上方），直线BD AC ,交于点Q .（I ）试求D C ,两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2-=x 上； （II ）若PBDPQC S S ∆∆=λ，求λ的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在]2,0[π上的最大值为21-π. （I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为0sin 4cos 2=-θθρ，P 点的极坐标为)2,3(π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为060.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标； （II ）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--. （I ）解不等式()()f x g x <；（II ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围.高三10月联考理科数学参考答案一． 选择题：二、填空题13． 057=--y x 14． 5 15． 3- 16． ],1[2e - 三、解答题： 17．解：（1）由B C b c a cos cos 2=-得到BCB C A cos cos sin sin sin 2=- 即)sin(cos sin 2C B B A +=，即A B A sin cos sin 2= 又A 为三角形内角，0sin ≠∴A ，所以1cos 2B =，从而3B π= . -----------------------5分 （2）A C A A C sin 21)1(cos 232cos 2sin 2cos 32-+=-23)32sin(21cos 23+--=C C π23sin 41cos 43+-=C C 23)6cos(21++=πC --------- 8分 320π<<C Θ 6566πππ<+<∴C ， --------------------------------------------- 9分 23)6cos(23<+<-∴πC 所以 43323)6cos(2143<++<πC . --------------- 11分 所以2cos 2sin 2cos 32A A C -的取值范围为)433,43(. -----------------12分18．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>++--≤<-+-=--=,20,19501900010,200,5010025080)()(2x x x x x x x x xG x W ， -----------------4分 （Ⅱ）当200≤<x 时1200)25(2501002)(22+--=-+-=x x x x W ，1150)20()(max ==∴W x W . -----------------------7分当20>x 时1960)19001(10)(++++-=x x x W 19601900)1(210++⨯+⨯-≤x x 1360= 当且仅当19001+=+x x 即29=x 时等号成立，1360)29()(max ==∴W x W . -----------11分 11501360>Θ，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. --------------------12分 19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接OF EF ,.在∆DAC 中DC DA =，AC DO ⊥.由平面⊥DAC 平面ABC ，且交线为AC 得⊥DO 平面ABC . ------------------------------2分 F O ,Θ分别为BC AC ,的中点，AB OF //∴，且OF AB 2=.又AB DE //，DE AB 2=，DE OF //∴，且DE OF =. 四边形DEFO 为平行四边形.DO EF //∴⊥∴EF 平面ABC . -----------------------------------------6分（Ⅱ）解：⊥DO Θ平面ABC ，BC AC ⊥以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)0,4,1(-B .-------------------------------------------------7分⊥EF Θ平面ABC ，直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60=∠EBF .3260tan ===∴οBF EF DO . )32,0,0(D ∴. -------------------8分可取平面ADC 的法向量)0,1,0(=， --------------------------9分 设平面ADB 的法向量),,(z y x =，)0,4,2(-=，)32,0,1(-=，则⎩⎨⎧=+-=+-032042z x y x ，取1=z ，则3,32==y x .)1,3,32(=∴， ----------------------11分 43,cos =>=<∴nm n m ， 二面角C AD B --的余弦值为43. -----------------------12分20.解：（Ⅰ）将直线l 的方程2+=my x 代入抛物线x y 22=得：0422=--my y . 设点),(),,(2211y x D y x C 则421-=y y . ---------------------------2分 由题得)2,2(),2,2(-B A ，直线AC 的方程为)2(2221-+=-x y y ， 直线BD 的方程为)2(2222--=+x y y ，消去y 得4)(2212121+-+-=y y y y y y x ， 将421-=y y 代入上式得2-=x ，故点Q 在直线2-=x 上. ------------------6分 （Ⅱ）2)2(2111+=+=∆x x AP S PQC ，222)2(21x x BP S PBD -=-=∆， ----------7分 又441622222121==⋅=y y x x ，)2(2)2(422221111121-+=-+=-+==∴∆∆x x x x x x x S S PBD PQC λ. ----------------9分 令)0(,21>-=t x t 则3223422)4)(2(+≥++=++=tt t t t λ，当且仅当22=t 即2221+=x 时λ取到最小值322+. --------------12分 21．解（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ， )cos (sin )(x x x a x g +='. ----------1分 当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去. 当0<a 时0)(<'x g )(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去. 当0>a 时0)(>'x g )(x g 在]2,0[π上单调递增，21212)2()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a 综上：1=a ---------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，x x x x g cos sin )(+=' ]2,0π时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，0212)2(>-=ππg ， 在]2,0(π上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0sin cos 2)(<-=''x x x x g ，)(x g '在),2(ππ上单调递减. -------------8分又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ，)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减. -----------------------10分 又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点. -------------12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， ------------------------------2分P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P ---------------------------3分（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数) ----------------5分 将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=， --------------------------------------------7分1212121248,PA PB t t t t PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=+=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅ -----------------10分 23.解：（Ⅰ）原不等式即|5||23|5x x -+-<,55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, 原不等式的解集为(1,3). --------------------------------------------- 5分（Ⅱ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，则)()(2x g x f -的最小值小于或等于a53210232552)()(2--+-=-+--=-x x x x x g x f 25)32(102=----≥x x .当且仅当]5,23[∈x 时取等号，)()(2x g x f -∴的最小值为2.2≥∴a . ----------------------------------------------- 10分。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三(上)联考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）联考数学试卷（10月份）1.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}2.从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为()A. 55B. 80C. 90D. 1103.已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤54.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是()A. 此人第六天只走了5里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=Asin(ωx+π4)(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000+12×1000×2=32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000+12×32×1000×2=94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间约为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A. 34小时B. 37小时C. 40小时D. 43小时8. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)9. 如图，点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有( )A. 三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. A 1P 与平面ACD 1所成的角大小不变C. DP ⊥BC 1D. DB 1⊥A 1P10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个顶点分别是A 1，A 2，左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( )A. |PF1|−|PF2|=2aB. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2C. 使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个D. 焦点到渐近线的距离等于b11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，b=4，下列判断：A.若c=√3，则角C有两解；B.若a=92，则角C有两解；C.△ABC为等边三角形时周长最大；D.△ABC为等边三角形时面积最小．其中判断正确的是()A. AB. BC. CD. D12.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，其中e为自然对数的底数，k∈R.若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，则下列命题正确的是()A. k=e2+1eB. 曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线与直线x−ey+1=0平行C. 函数y=g(x)+2ex2在[0,e]上的最大值为2e2+1D. 函数y=g(x)−xe−e2x在(0,1)上单调递增13.(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为______．14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a=______．15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+ c2−ac)x+1有极值点，则∠B的范围是______ ．16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p,当x=qp(p,q都是正整数,qp是既约真分数)0,当x=0,1或[0,1]上的无理数，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2−x)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(lg103)−f(85)=______．17.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+14n2−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．19.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√52,√32)，离心率为2√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x=a2c的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立，(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．22.已知函数f(x)=x2+ax−a，其中a∈R．e x(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用Venn图表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．【解答】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．由已知求得A或B等级所占比例，乘以200得答案．【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，则A或B等级所占比例为55%，∴200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：200×45%=90人．故选：C．3.【答案】C【解析】解：因为命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题，所以“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，所以a≥4，a ≤4，a ≤5是真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5， 故选：C ．将命题“∀x ∈A ，x 2−a ≤0”是真命题，转化为“∀x ∈A ，a ≥x 2”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断． 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．4.【答案】BCD【解析】解：设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x =192．A .此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；C .此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确； D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x =8倍，正确．故选：BCD ．设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x.进而判断出结论．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数， ∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m =0， ∴f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减， ∵2−3=18∈(0,1)，3m =1，|log 0.53|=log 23>1， ∴f(2−3)<f(3m )<f(log 0.53)，即a <b <c ． 故选：A ．由题意可得m =0，可得f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象及其变换规律，属于中档题．函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知周期T =2π3，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知最小正周期T =2π3，那么：ω=2πT=2π×32π=3．则f(x)=Asin(3x +π4)=Asin3(x +π12).要得到g(x)=Acos3x =Asin(3x +π2)=Asin3(x +π6)的图像， 只需将f(x)向左平移π12即可． 故选A ．7.【答案】C【解析】解：设第n 个小时后细胞个数为a n ， 则a n+1=12a n +12a n ×2=32a n ， 又a 1=32×1000，可得{a n }是等比数列， ∴a n =32×1000×(32)n−1=1000×(32)n ， 由a n =1000×(32)n >1010，得(32)n >107， 即nlg 32>7，∴n >7lg3−lg2=70.4771−0.3010≈40．故选：C．设第n个小时后细胞个数为a n，由题意结合等比数列的通项公式求得a n，再由a n= 1000×(32)n>1010，结合对数的运算性质求解．本题考查等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，由题意知AD1//BC1，AD1⊂面ACD1，BC1⊄面ACD1，∴BC1//面ACD1，故BC 1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，△ACD1面积为定值，而V A−D1PC =V P−AD1C，所以，以动点P在BC1任何位置，三棱锥A−D1PC体积不变，故A正确；对于B，如图，连接A1B，A1C1，由正方体性质可知，A1C1//AC，A1C1⊄面ACD1，AC⊂面ACD1，∴A1C1//面ACD1，由A知：BC1//面ACD1，A1C1∩BC1=C1，故平面ACD1//平面A1C1B，而A1P⊂面A1C1B，由面面平行的性质易得：A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，∵DC⊥面BCC1D1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥面DCP，则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误，对于D，如图，由正方形A1B1C1D1可得A1C1⊥B1D1，又BB1⊥面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，D1B1∩BB1=B1，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴DB1⊥A1C1，同理，DB1⊥BC1，∴DB1⊥面BA1C1，∵A1P⊂面A1BC1，∴DB1⊥A1P，故D正确，故选：ABD．对于A选项，可将三棱锥A−D1P的体积转化为求P−AD1C的体积进行求证；对于B选项，可通过证明面ACD1//面A1C1B，进而证明出A1P//平面ACD1；对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明；对于D选项，可通过证明DB1⊥面BA1C1，进而证明出，DB1⊥面BA1C1．本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a，故A不正确；由点差法知，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2，故B正确．若点P在第一象限，可以分别以点F1，F2为顶点构成等腰三角形，根据对称性，一共有八个等腰三角形，故C错误．由点F(c,0)到直线y=ba x的距离为√a2+b2=b，故D正确，故选：BD．由双曲线的定义可判断A不正确；由点差法可判断B正确；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断C不正确，由点到直线的距离公式可得D正确．本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，由bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√3sin60°4=38，由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，A错误；对于B，同理，由asinA =bsinB，可得sinA=9√3256<1，由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，B正确；对于C，由b2=a2+c2−2accosB，得16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2．故a+c≤8，当且仅当a=c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，C正确；对于D，由C推导过程知得16=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，此时三角形ABC面积最大，又B=60°，所以三角形为等边三角形，D正确，故选：BC．根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sin C和sin A，结合角度大小进行判断；C，D选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．本题考查的是正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，可得f(x)=g(x)，即为lnxx=x2−2ex+k有唯一解．设ℎ1(x)=lnxx，ℎ2(x)=x2−2ex+k，ℎ1(x)的导数为ℎ1′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ1(x)递减；当0<x<e时，ℎ1(x)递增，可得ℎ1(x)的最大值为1e，ℎ2(x)=x 2−2ex +k 的最小值为ℎ2(x)min =ℎ2(e)=k −e 2， 所以k −e 2=1e ，即k =e 2+1e ，故A 正确；由g(x)=x 3−2ex 2+kx 的导数为g′(x)=3x 2−4ex +e 2+1e ，g′(e)=1e ，g(e)=1，所以切线的方程为y −1=1e (x −e)，即为x −ey =0， 故切线与直线x −ey +1=0平行，故B 正确； 由函数y =F(x)=g(x)+2ex 2=x 3+(e 2+1e )x ， 导数为F′(x)=3x 2+e 2+1e >0，可得函数F(x)在[0,e]上递增，可得最大值为F(e)=2e 3+1，故C 错误； 设G(x)=g(x)−xe −e 2x =x 3−2ex 2的导数为G′(x)=3x 2−4ex ，可得当0<x <43e 时，G′(x)<0，G(x)递减，则G(x)在(0,1)上递减，故D 错误． 故选：AB ．由函数方程的关系，求得函数的最值，可判断A ；求得g(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，可得切线的方程，可判断B ；设F(x)=g(x)+2ex 2，求得导数和单调性，可得最大值，即可判断C ；设G(x)=g(x)−xe −e 2x ，求得导数和单调性，可判断D ． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：因为(x +y)4展开式的通项公式为：T r+1=∁4r ⋅x4−r⋅y r ； 令4−r =2可得r =2； 令4−r =3可得r =1；∴(x +2y)(x +y)4的展开式中，x 3y 2的系数为：∁42+2×∁41=14．故答案为：14．求出(x +y)4展开式的通项公式，进而求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形可得：a2−(a+2)x21−x2=1，必有a=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】(π3,π)【解析】解：∵f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1，∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，又∵函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，∴x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，∴△=(2b)2−4(a2+c2−ac)>0，即ac>a2+c2−b2，即ac>2accosB；即cosB<12；故∠B的范围是(π3,π)；故答案为：(π3,π)．先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，从而化函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，对任意x 都有f(2−x)+f(x)=0， 令x =25，则有f(85)=−f(25)， 又由f(25)=R(25)=15，故f(85)=−15 又由0<lg103=1−lg3<1，则有f(lg 103)=R(lg 103)=0，故f(lg 103)−f(85)=0−(−15)=15； 故答案为：15．根据题意，运用特殊值法可得f(85)=−f(25)，由函数的解析式求出f(25)和f(lg 103)的值，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算性质，是基础题．17.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2， 当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)， 又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2， ∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x +π3)，(2)由x ∈[π6,m]，可知5π6≤3x +π3≤3m +π3， ∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32， 由余弦定理的性质得：π≤3m +π3≤7π6，∴2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9,5π18].【解析】(1)依题意，易求A =1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式． (2)x ∈[π6,m]⇒5π6≤3x +π3≤3m +π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m +π3≤7π6，从而可求m 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点， ∴MN//AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB//平面CMN ．(Ⅱ)证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB =BC ，AC =CV =2，M ，N 分别为VA ，VB 的中点． ∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC =AC ， ∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ．(Ⅲ)解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，V(√2,0，2)，B(0,0，0)，C(√2,0，0)，N(√22,0，1)，A(0,√2,0)，M(√22,√22,1)， BV ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0，1)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y +z =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√2)， 设直线VB 与平面CMN 所成角为θ， 则直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为： sinθ=|BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2√6⋅√6=2√23．【解析】(Ⅰ)推导出MN//AB ，由此能证明AB//平面CMN ．(Ⅱ)推导出AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，从而VC ⊥平面ABC ，由此能证明AB ⊥VC ． (Ⅲ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得 { a 2=b 2+c 254a 2+34b 2=1c a =2√55，解得a =√5，b =1，c =2， 所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x =52，AB 1与A 1B 的交点是(94,0)．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2+5y 2=5⇒(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， 所以x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2，A 1(52,y 1)，B 1(52,y 2)， 所以l AB 1：y =y 2−y 152−x 1(x −52)+y 2，l A 1B ：y =y 2−y 1x 2−52(x −52)+y 1，联立解得x =x 1x 2−254x 1+x 2−5=20k 2−51+5k 2−25420k21+5k 2−5=−45(1+k 2)−20(1+k 2)=94，代入上式可得 y =k(x 2−x 1)−10+4x 1+y 2=−9k(x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k4x 1−10=−9k⋅20k 21+5k 2+4k⋅20k 2−51+5k 2+20k 4x 1−10=0，综上，直线AB 1与A 1B 过定点(94,0)．【解析】(1)由过点(√52,√32)，离心率为2√55，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线AB 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，写出直线AB 1的方程，直线A 1B 的方程，联立解得x ，y 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅13⋅12=512．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，P(ξ=0)=C 30(712)3=3431728，P(ξ=1)=C 31(512)(712)2=7351728， P(ξ=2)=C 32(512)2(712)=5251728，P(ξ=3)=C 33(512)3=1251728，∴ξ的分布列为：∵ξ～B(3,512)，∴Eξ=3×512=54．【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)，由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的导数f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x=−(x+a)(x−2)e x，当a =0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e ，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ， (2)证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递减，无极值； ②当−a <2，即a >−2时，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(2)=a+4e 2>2e 2>0，③当−a >2，即a <−2时，=−ae a>0，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(−a)=−ae−a综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．【解析】(1)利用导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，分a=−2，a>−2，a>−2讨论即可．本题考查了导数的几何意义，即利用导数求函数极值，属于中档题．第21页，共21页。
2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考理科数学试题
绝密★启用前 2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考理科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（ ） A ．M N = B ．M N ≠⊂ C ．N M ≠⊂ D ．Z N M =ð 2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（ ） A ．75 B ．1 C D ．2 3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ）○…………线…………○……○…………线…………○……A．29 B．30 C．31 D．325．已知ln2ln33,2,2x y z===，则,x y的大小关系是（）A．x y z>>B．y x z>>C．x y z=>D．y z x>>6．设A B C、、为三角形三内角，且方程2(sin sin)(sin sin)sin sin0B A x AC x C B-+-+-=有两相等的实根，那么角B（）A．60B>︒B．60B≥︒C．60B<︒D．60B≤︒7．某同学研究曲线1133:1C x y+=的性质，得到如下结论：①x y、的取值范围是R；②曲线C是轴对称图形；③曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．若在直线l上存在不同的三点A B C、、，使得关于x的方程20x OA xOB BC++=u u u v u u u v u u u v v有解（O l∉），则方程解集为（）A．∅B．{}1-C．{}1,0-D．1122⎧---⎪⎨⎪⎪⎩⎭9．将函数()2sin(2)()2f x xπϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．B．1-C．2-D．010．已知O为ABC∆的外心，且4,AC AB==u u u v u u u v则()AO AC AB⋅-u u u v u u u v u u u v等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8 11．已知实数a 、b、c 、d 满足2113a a e c b d --==-（e 是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（ ） A ．10 B ．18 C ．8 D ．12 12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（ ） A ．2p al B ．2al p C ．2l pa D ．2pa l 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________. 15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A A B B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________. 16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 三、解答题…………○………○…………线…※※在※※装※※订※※线※※ …………○………○…………线…17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中1(1,0),(,)22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . （1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值；（2）若点C 在优弧»AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，BD =AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.19．若a R ∈，函数2()f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.20．已知椭圆2221(1)x y a a +=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .…………○………………○…… （1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ； （2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求0P ，1P ，2P ； （2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）； （3）求玩该游戏获胜的概率. 22．已知函数()2ln ()a f x ax x a R x =--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围； （2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系.【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈，又{}|41,N x x k k Z ==±∈，所以M N =，故选A.【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果.【详解】由(12)3z i i -=+， 得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =，则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =，即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=，即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．D【解析】【分析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，所以应该满足是15的倍数多2，并且是比26大的最小的数，故输出的n 为32，故选：D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．C【解析】【分析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系.【详解】因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =， 又ln31222y z =>==，所以x y z =>，故选：C.【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．D【解析】【分析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围.【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=，根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=，即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=，化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=，整理得：2(2)0a c b +-=，即2a c b +=， 所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-， 因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥， 所以233111222b ac ⋅-≥-=， 又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<， 所以060B <≤o ，故选D.【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．D【解析】【分析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果.【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x =-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确； 在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确；设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ， 因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=， 所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C 上的点到原点的距离的最小值是8，所以命题③正确； 所以正确命题的序号是①②③， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．B 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r ，即20x OA xOB OC OB ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以2x OA xOB OB OC --+=u u u r u u u r u u u r u u u r， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r 等价于0BC =u u u r r，不合题意，所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．A 【解析】 【分析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值.【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+， 因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值 故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目. 10．A 【解析】 【分析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,AC AB ==u u u r u u u r()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,AC AB ==u u u r u u u r所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目. 11．B 【解析】 【分析】由已知可得2,4ab a e dc =-=-,则可知点(,)a b 在曲线2xy x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,进而可得22()()a c b d -+-表示的是曲线2x y x e =-到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可. 【详解】Q 实数a b c d ,,,满足2113aa e cb d --==-, 2,4a b a e dc ∴=-=-.∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,22()()a c b d ∴-+-的几何意义就是曲线2x y x e =-上的点到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方.12x y e '=-Q 求出2x y x e =-上和直线4y x =-平行的切线方程, 12=-1x y e '=- ∴令12=-1x y e '=-,解得0x =, ∴切点为(0,2)-,该切点到直线4y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离,故22()()a c b d -+-的最小值为218d =. 故选:B . 【点睛】本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般. 12．C 【解析】 【分析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2l pa π=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=， 所以2l paπ=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目. 13．3- 【解析】 【分析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上， 设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-， 故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目. 14．10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案. 【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<， 因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-， 设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<， 所以()g x 在1(,1)e 上单调递减，所以10()2g x e e<<+-， 所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-， 故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目. 15．【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=， 所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目. 16．()4,8 【解析】 【分析】 令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】 令3()()f x g x x =， 则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x--==， 因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<， 所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递减，可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <， 由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x⋅--==， 因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >， 即有(2)48(1)f f <<， 故答案是：(4,8). 【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.17．（1（2）a b c <++≤【解析】 【分析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB u u u r u u u r的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；（2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，AB =60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可求得a b <+≤.【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-u u u r，1(,2OB =-u u u r ，3cos cos ,10OC OB COB OC OB OC OB ⋅∠===-=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r（2）∵120AOB ∠=︒，AB =60ACB ∠=︒∴2sin sin a b A B ===∴22sin 2sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<a b <+≤∴a b c <++≤【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目. 18．（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥； （2）分别以OA u u u r ，OB uuu r ，OE uuu r为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =u r，平面PAB的法向量为2n t =⎭u u r ，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BD PD D =I ，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA u u u r ，OB uuu r ，OE uuu r为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A，()B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,P t .由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =u r设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v即0x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则2n t ⎫=⎪⎪⎭u u r 因二面角A PB D --的余弦值为34，∴123cos ,4n n ==u r u u r ，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r，23n =⎭u u r ，∴2sin cos,EC nθ====u u u r u u r【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．()))21,21,21241,2a aag a aa a⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当)21a=时，()g a取最小值.【解析】【分析】分类讨论，分0a≤时和0a>时两种情况，当0a≤时，()2f x x ax=-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a>时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()))21,21,21241,2a aag a aa a⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a的最小值点.【详解】（1）0a≤时，∵01x≤≤，∴()2f x x ax=-，()f x单调递增.∴()()11g a f a==-（2）当0a>，如图所示，令()24af x=，得2ax=或12x a=①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==-②当1122aa <<，即)212a <<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭1a ≤，即)021a <≤时，()()11g a f a ==-综上，()))21,21,21241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当)21a =时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目. 20．（1）12212x y x y -；（2）S =【解析】 【分析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果； （2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到S =.【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.d =2AB AO ==∴2ABC S S AB d ∆==⋅=12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-又∵2222121222x x y y a a +=+，∴2221222211y y x x a -=--∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K S KK +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目. 21．（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=； （2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系；（3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -. ∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤ （3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-L L2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P⎛⎫=+⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】 【分析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221xa x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围； （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x af x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221xa x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞ （2）将S 表示为关于1x 的函数， 由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a+= ∴11121023x x a <+=< ∴1113x << 1122122ln 2ln a aS m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭1111111112ln 2ln 22ln a a aax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+=∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()40ln 35g t <<- ∴1604ln 35S <<-. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。
湖北省100所重点中学2020届10月高三数学联合考试 理
湖北省100所重点中学2020届10月高三联合考试数学试卷（理科）考生注意：1本试卷共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数占50%，数列占50%.—、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若函数：的定义域为A，函数的值域为JB，则为A B. C. D.2. 已知等比数列的公比q为正数，且，则q的值为A. B. 2 C. D. 33. 已知命题；命题+则命题P是命题q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 等差数列中，若，则等于A 40 B. 80 C. 90 D. 1005. 若函数.在.处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为A. 一5B. —8C. —10D. -126. 数列满足下列条件：，且对于任意的正整数，恒有，则的值为A. 1B.C.D.7. 若则.等于A.1B. 2C.D.8. 已知甲、乙两个车间的月产值在2020年元月份时相同，甲以后,每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2020年8月份发现两个车间的月产值又相同.比较甲、乙两个车间2020年4月份的月产值大小，则有A 甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定9. 已知数列满足且，其中，，若，则A的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知定义在R上的函数的图象关于点(1，0)对称，且当时，成立，（其中是的导函数），若、则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中的横线上.11.已知数列的通项公式，前n项和为，则当最小时，n= ___▲___ .12. 命题“”的否定是___▲___.13. 已知数列的前n项和为.，则= ___▲___.14. 设，若函数存在整数零点，则m的取值集合为___▲___ ，此时工的取值集合为 ___▲___.15. 如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为第二层在第一层线段的前端作两条与其成角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段.重复前面的作法作图至第《层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第W层的树形的总高度，则到第四层的树形图的总高度=___▲___，当n为偶数时，到第《层的树形图的总高度=___▲___三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分10分）已知，设不等式！：函数有两个不同的零点，求使“’’为真命题的实数m的取值范围.17 (本小题满分12分）数列中，，已知点在直线上.(1) 求数列的通项公式；(2) 若，求数列的前n项和.18. (本小题满分12分）某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为0，且m为常数)万元.已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.(1) 设投放B型电视机的金额为X万元，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；(2) 当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？19. (本小题满分13分）设函数是定义域在上的单调函数，对于任意正数x，y都有(1) 求旳值；(2) —个各项均为正数的数列{a n}满足，其中S n是数列的前n项和，求数列的通项公式.20. (本小题满分14分）已知函数(1) 求函数的单调区间；(2) 设，求在上的最大值；(3) 试证明：对任意，不等式恒成立.21. (本小题满分14分）已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且，有⑴求证：；(2) 求证；(3) 对于n=9，试给出一个满足条件的集合A.。
湖北省武汉市部分重点中学2020届高三月考数学(理)试卷含答案
四、解答题
17．
在锐角
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．已知
cos
2C
3 4
.
（Ⅰ）求 sin C ；
（Ⅱ）当 c 2a ，且 b 3 7 时，求 a .
18．已知数列an 满足： a1 1， a1 a2 a3 an n2an . （1）求an 的通项公式；
（2）求an 的前 n 项和 Sn .
3
B． f (x) 的极小值是 15
C．当 a 2 时，对任意的 x 2 且 x a ，恒有 f (x) f （a） f （a） (x a)
D．函数 f (x) 有且只有一个零点
-2-
三、填空题
13．
(2017·厦门一检)已知函数
f
(x)
(1 2a)x 3a, x 2x1, x 1
旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为
60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为 10 6 米，则旗杆的高度为______米.
16．已知函数 f x 的导数为 f x ，若 x2 1 f x 2xf x ，且 f 2 5 ，则不等式
f x2 3x x2 3x 2 1的解集为______.
-8-
所以 x y x 2 y 15 的展开式中 x3 y2 项的系数为 120 (40) 80
故选：C.
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题
8．B
【解析】
f ' x 2 f 'e 1 ，所以 f 'e 2 f 'e 1 ，得 f 'e 1 ，故选 B。
2020届高三数学10月联考试题理
2020届高三数学10月联考试题理本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1.设集合，，则（）2.函数的零点之和为（）3.若，，，则的大小关系（）4.下列四个结论：①若点为角终边上一点，则；②命题“存在”的否定是“对于任意的，；③若函数在上有零点，则；④“（且）”是“”的必要不充分条件.其中正确结论的个数是（）个个个个5.已知，且，则的值为（）6.已知，则函数的图象大致为（）7.若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为（）8.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）函数的图象关于点对称；函数的最小正周期为；函数的图象关于直线对称；函数在区间上单调递增9.已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则（）10.已知函数有极值，则实数的取值范围为（）11.设函数，则不等式的解集为（）12.已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数,则曲线在点处的切线方程是．14．已知函数且，则．15．在中，角所对的边分别是且满足，，则．16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在中，设内角所对的边分别为，且.（I）求角的大小；（II）求的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（I）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（II）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体中，，，，，且平面平面.（I）设点为线段的中点，试证明平面；（II）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和（其中位于轴上方），直线交于点.（I）试求两点的纵坐标之积，并证明：点在定直线上；（II）若，求的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数，（是的导函数），在上的最大值为.（I）求实数的值；（II）判断函数在内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，且倾斜角为.（I）写出曲线的直角坐标方程以及点的直角坐标；（II）设直线与曲线相交于两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（I）解不等式；（II）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.2020届高三数学10月联考试题理本试卷共4页，23题（含选考题）。
湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三数学十月联考试题 理
2020年秋季武汉市部分市级示范高中高三十月联考理科数学试卷考试时间：2020年10月12日上午8：00-10: 00试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．己知集合A={x|-3<x<1}，B={x|x2-2x<0}，则AUB=( )A. {x|0<x<l}B.{x|0<x<l} c.{x|-3 <x<2) D.{x|-3<x<2}2．命题“x∈[1，2]，x2-3x+2≤0”的否定为( )A. x∈[l,2]，x2—3x+2>0B. x [1,2]，x2—3x+2>0C. x o∈[l,2],x o2-3x o +2 >0D. x o [1,2]，x o2-3x o+2 >03．化简√1+2sin（π-2）- cos(π-2)得( )A.sin2+cos2B.cos2 - sin2 C．±cos2 - sin2 D. sin2 - cos24．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-lC.l D35．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B -C -M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图像的形状大致是下图中的( )6．已知P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是A. (8, -6)B. (-8, -6)C. (-6, 8)D. (-6, -8)7．设a，b都是不等于1的正数，则“a>b>1”是“log a3<log b3”的( )条件A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D. 既不充分也不必要8.已知f(x)= 2sinx-cosx，f(x)的最大值为f(θ)，则cosθ=( )A、一B、C、-D、9.如图，己知函数f(x)= 的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；则下列是g(x)的单调递增区间的为( )A、 B、 C、 D、10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2 1+则∠C=( )A． B． C． D．11.已知函数f(x)=f’(x)= lnx-x，若在△ABC中，角C是钝角，则( )A. f(sinA)>f(cosB)B. f(sin A)<f(cosB)C.f(sinA)<f(sinB)D.f(sinA)<f(sinB)12．已知函数f(x) 在上单调递增，若恒成立，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题S分，共20分。
湖北省黄冈市麻城市2020届高三上学期10月月考数学(理)试题
5. 将曲线 y 2sin 4 x
上的每个点的横坐标伸长为原来的
5
2 倍（纵坐标不变） ，得到的
曲线的对称轴方程为（
）
A. x C. x
3k kZ
80 8 3k
kZ 80 8
B. x D. x
3k kZ
20 2 3k
kZ 20 2
-2-
【答案】 D 【解析】 【分析】 利用三角函数的图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程， 即可得到答案．
果进行促销 : 一次购买干果的总价达到 150 元，顾客就少付 x(2 x∈Z) 元 . 每笔订单顾客网上支
付成功后，张军会得到支付款的 ①若顾客一次购买松子和腰果各
80%. 1 千克，需要支付 180 元，则 x=________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 值为 _____.
C. 所有的奇函数的值域都不为 R
D. 存在一个奇函数，其值域不为 R
【答案】 A
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定的定义得到答案 .
【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为
R”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为
R”
故答案选 A
【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力
3. 函数 f ( x) 3 3 x ln | x |的定义域为（）
【详解】由题意，将曲线 y 2sin 4x
上的每个点的横坐标伸长为原来的
5
不变），
2 倍（纵坐标
得到曲线 y 2sin 2 x
的图象，
5
令 2x
k , k Z ，解得 x 3
k ,k Z ，
2020届湖北省黄冈市麻城市高三上学期10月月考数学（理）试题
2020届湖北省黄冈市麻城市高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．若集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<，则M N ⋃=（）A ．(]2,3B ．()2,3C ．[)1,4D ．()1,4【答案】C【解析】先计算集合M ，N ，再计算M N ⋃. 【详解】集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<∵[1,3)M =，(2,4)N =， ∴[1,4)MN =.故答案选C 【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型. 2．命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为（） A ．所有的偶函数的值域都不为R B ．存在一个偶函数，其值域不为R C ．所有的奇函数的值域都不为R D ．存在一个奇函数，其值域不为R 【答案】A【解析】直接利用命题的否定的定义得到答案. 【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为R ” 故答案选A 【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力3．函数()ln ||f x x 的定义域为（） A ．[)1,-+∞B ．[)()1,00,-⋃+∞C ．(],1-∞-D ．()()1,00,-⋃+∞【答案】B【解析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案. 【详解】函数()ln ||f x x =∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B 【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力4．若10b a =，且a 为整数，则“b 能被5整除”是“a 能被5整除”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别考虑充分性和必要性，得到答案. 【详解】若a 能被5整除，则10b a =必能被5整除； 若b 能被5整除，则10ba =未必能被5整除 故答案选B . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力 5．将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为（ ）A ．()3808k x k Z ππ=-+∈B ．()3202k x k Z ππ=-+∈ C ．()3808k x k Z ππ=+∈ D ．()3202k x k Z ππ=+∈ 【答案】D【解析】利用三角函数的图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程，即可得到答案． 【详解】由题意，将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 令2,52x k k Z πππ+=+∈，解得3,202k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴方程为3,202k x k Z ππ=+∈． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（）A ．16B ．3 C ．13D ．23【答案】C【解析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力 7．下列不等式正确的是（） A ．3sin130sin 40log 4︒>︒> B ．tan 226ln0.4tan 48︒<<︒ C ．()cos 20sin65lg11-︒<︒< D ．5tan 410sin80log 2︒>︒>【答案】D【解析】判断每个式子与0,1的大小关系，排除A,B,C ，再判断D 选项得到答案. 【详解】∵3sin 401log 4︒<<ln0.40tan 226<<︒，()cos 20cos20sin70sin65-==>︒︒︒︒，∴排除A ，B ，C51tan 410tan 501sin80log 22︒=︒>>︒>> 故答案选D . 【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力8．函数22cos ()xx x f x e-=在[]π,π-上的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇偶性排除C ，根据取值02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，()1f π>-排除B,D ，故选A 【详解】易知()f x 为偶函数，排除C因为02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，22x 322()1e ef πππ++=->->-，所以排除B ，D故答案选A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，考查推理论证能力9．已知cos 270.891︒=)cos72cos18︒+︒的近似值为（） A ．1.77 B ．1.78C ．1.79D ．1.81【答案】B【解析】化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案. 【详解】()cos72cos18sin18cos18184563=+=︒+︒︒︒︒==︒+︒︒ )cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，)cos72cos18︒+︒的近似值为1.78. 故答案选B 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，3 ()2log (43)f x x x =++，则1609()2f =（） A ．4- B ．4C ．5-D ．5【答案】C【解析】由()f x 的图象关于点(3,0)对称，则()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-，则可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9()52f =-， 即可得解. 【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，则()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，所以160999()(1008)()222f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393()()3log 9522f f =-=-+=-，所以1609()52f =-， 故选C. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力. 11．函数()f x =的值域为（）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．[]1,1-D ．[]22-,【答案】A【解析】化简函数得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据定义域得到值域. 【详解】2sin 43()2sin 2,cos 20662cos 26x f x x x x ππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-++≠ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭且当且仅当cos 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为()2,2- 故答案选A 【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域，考查推理论证能力 12．若函数32())(20f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭有最大值，则a 的取值范围为（） A ．[)4,0- B ．(],4-∞-C ．[)2,0-D ．(],2-∞-【答案】B【解析】求导得到函数的单调区间，得到()f x 在3a x =处取得极大值，3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3()27a f x =-得到3a x =或6a x =-，再计算62336a a a a +<<≤-得到答案. 【详解】令()2(3)f x x x a '=-，得10x =，2(0)3ax a =< 当03ax <<时，()0f x '<； 当3ax <或0x >时，()0f x '>. 从而()f x 在3ax =处取得极大值3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由3()27a f x =-，得22033a a x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a x =或6a x =-.∵()f x 在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值， ∴62336a a a a +<<≤-，∴4a ≤-. 故答案选B 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力二、填空题13．设函数2lg ,0()1,04xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，则((10))f f -=________.【答案】16【解析】直接代入数据得到答案. 【详解】2((10))(2)416f f f -=-==故答案为16 【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力 14．直线210y +=与曲线cos y x =，在33,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的交点的个数为________. 【答案】3【解析】判断321cos 422π⎛⎫-=-<- ⎪⎝⎭，画出图像得到答案. 【详解】 如图所示：321cos 422π⎛⎫-=-<- ⎪⎝⎭直线210y +=与曲线cos y x =在33,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有3个交点.【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，15．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x (2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x =________； ②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____. 【答案】10 18.5【解析】①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。
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湖北省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学试题考试时间2015年10月27日15:00-17:00 满分150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D ．52．下列命题中正确命题的个数是(1)对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； (2) 命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 (3)回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08 (4)3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(5)若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +< 成立的概率是4π； A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．执行右面框图，则输出m 的结果是A ．5B ．7C ．9D ．114．某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是 A ． 13B ．6π C ．23 D ．15．在ABC ∆中， ac b =2，且33,cos 4a c B +==，则BC AB ⋅=A ．32B ．32- C ．3 D ．－36．定义在R 上的函数()x x g x e e x 则满足(21)(3)g x g 的x 的取值范围是A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－1，2)D ．(2，＋∞)7．若x 、y 满足，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为A ．2B ．2-C ．12D ．12-8．)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为A 3B ．2C 6D ．310．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6x =π对称，则()f x 在以下区间上是单调函数的是A ．31[,]56--ππB ．71[,]123--ππC ．11[,]63-ππ D ．1[0,]2π11．定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道. 定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =, ②sin ()xf x x=，③()f x = ④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是A ．95(,)84B ．25(1,)24C ．9(1,)8D ．5(1,)4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）14．若120()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰15．向量,a b 满足2||||=•==b a b a ，向量c 满足0)()(≤-•-c b c a ，则c 的最小值为 ；16． 已知数列{}n a 共有9项，其中，191a a ==，且对每个{}1,2,...,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭。
（1）记392128...a a a S a a a =+++，则S 的最小值为 （2）数列{}n a 的个数为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分） 已知函数. 求.18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，*1123111,23().2n n n a a a a na a n N ++=++++=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.19．（本小题满分12分）已知ABCD 是正方形，直线⊥AE 平面ABCD ，且AB=AE=1. （Ⅰ）求异面直线AC,DE 所成的角； （Ⅱ）求二面角D CE A --的大小；（Ⅲ）设P 为棱DE 的中点，在ABE ∆的内部或边上是否存在一点H ，使⊥PH 平面ACE ？若存在求出点H 的位置，若不存在说明理由.20．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
21.（本小题满分12分） 已知函数()()()21ln ,02f x xg x ax bx a ==+≠ （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2x x x e be x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点,P Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12,C C 于点,M N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，且AD=13AC ， AE=23AB ，BD ，CE 相交于点F ．（Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径．23.(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程直线4,:(),:)124x a t l t C y tπρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。
（Ⅰ）求圆心C 到直线l 的距离；（Ⅱ）若直线l 被圆C a 求的值。
24.(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--． (Ⅰ)求不等式2)(>x f 的解集；(Ⅱ)若R x ∈∀，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围。
湖北省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学答案CCBDB CDAAB CB 13．20- 14．13- 151 16．（1）6；（2）49117.解：由条件可得：f(x)=-√3 msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+π/6)+m+nx ∈[0,π/6],∴2x+ π/6∈[π/6,7π/6]∴sin (2x+ π/6)∈[-1/2,1] …………………………..4分当m>0,f(x)的最大值为-2m(-1/2)+m+n=4. f(x)的最小值为-m+n=-5. 解得：m=3,n=-2,从而g(x)=3sinx-4cosx=5 sin (x+∅),x ∈R. 则T=2π，最大值为5，最小值为-5. ………………………………………..8分 当m<0,解得：m=-3,n=1,从而g(x)=-3sinx+2cosx=√13 sin (x+∂),x ∈R. 则T=2π，最大值为√13，最小值为-√13. ……………………………………….12分 18．解：（Ⅰ）1211a a =⇒=当2n ≥时123123(1)2n n n a a a n a a -++++-=11(2).22n n n n n na a a n ++⇒=-≥ 即13(1)(2).n n na n a n +⇒=+≥显然n a ≠，则13(2).1n n a nn a n +⇒=≥+当3n ≥时13(1)(3).n n a n n a n--⇒=≥ 2321123(1)3(2)32213(3).13n n nn n n a a a n n a a n a a a n n n-----⨯⇒=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⨯=⋅≥-而21a =符合，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩6分（Ⅱ）()11n n a a n n λλ≤+⇔≥+有解，由（1）可知当2n ≥时，设()()223,11n n a f n n n n -⋅==++则()()()()()()()143(1)10,1212n n f n f n f n f n n n n n -⨯-+-=>∴+>≥++又()123f =及1122a =知min1()13na n =+，所以所求实数λ的最小值为1312分19.解 （Ⅰ） 以A 为坐标原点、AD 为x 轴，AE 为y 轴、AB 为z 轴建立坐标系，则()0,0,0A ，()()(),1,0,1,0,1,0,0,0,1C E D 从而()()0,1,1,1,0,1-==DE AC ，于是21,cos -=>=<DE AC , 因此异面直线AC 与DE 所成角为 60.------------------4分（Ⅱ）()()1,1,1,1,0,1--==CE AC ，设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，则⎩⎨⎧=-+-=+.0,0z y x z x令1=x ，得()1,0,11-=n ，同理可得平面CDE 的法向量为()0,1,12=n ，因此其法向量的夹角为 60，即二面角D CE A --的大小为 60. -----------------8分 （Ⅲ）由于⎪⎭⎫⎝⎛0,21,21P ，设()z y H ,,0（其中1,0,0≤+≥≥z y z y ），则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=z y PH ,21,21.由⊥PH 面ACE,得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0CE PH AC PH 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-,02121,021z y z 解得,21==z y 故存在点⎪⎭⎫⎝⎛21,21,0H ，即BE 的中点，使⊥PH 平面ACE.----------------12分20解：（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-12.10,则2b x xx x x∴≤+>+≥12.10,则22 2.b x xx x x∴≤+>+≥得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩…………4分 （Ⅱ）①X 可取60，70，80 ，(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======X 的分布列为：600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=,222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=……8分②购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得：应购进17枝 ………12分21.解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+= ()h x 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x '∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，…………2分(].22,∞-∴的取值范围为b (4)分（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为 当t=1时，y m I n =b+1； (6)]2,1[222,12.4)2(22上为在函数时即当y ，b bb b t y ≤≤-≤-∴-+= ,]2,1[222,12.4)2(22上为增函数在函数时即当y ，b bb b t y ≤≤-≤-∴-+= ,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-<,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-<当t=2时，y m I n =4+2b.4)(,24.1)(,222,2bx b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ .4)(,24.1)(,222,2b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b + …………8分（III ）设P 、Q .0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在M 处的切线斜率为.2|12121x x x k x x x +==+=C 2在N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax kx x x ++=+=+=……9分假设存在点R 使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k = ……10分 设① ……11分这与①矛盾，假.1)1(2)(2ln 1212211212x x x x x x x x x x +-=+-=∴,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u uu u x x u 则,lnln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即,ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即,lnln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即,ln ln ln )2()2()(2)().2)(12121212122212212221x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a b x x a =-=-=+-+=-+-=++[).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [.1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 ).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u uu u u r 则故上单调递增在所以则令设不成立.所以不存在点R 使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行， ……12分22.（Ⅰ）证明：23AE AB =，∴13BE AB =. 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =，又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠， 即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. …………5分 （Ⅱ）解：如图，取AE 的中点G ，连结GD ，则12AG GE AE ==. 23AE AB =，∴1233AG GE AB ===，1233AD AC ==，60DAE ∠=︒， ∴△AGD 为正三角形，∴23GD AG AD ===，即23GA GE GD ===， 所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为23. 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23. …………10分23.解（Ⅰ）把⎩⎨⎧--=+=t y t a x 214化为普通方程为,022=-++a y x 把)4cos(22πθρ+=化为直角坐标系中的方程为,02222=+-+y x y x ……………4分 ∴ 圆心(1,1)C -到直线的距离为5|1|5a - …………… 5分 （Ⅱ）由已知圆的半径为2，弦长的一半为35所以，()22213255a ⎛-⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………8分022=-∴a a ，02a a ==或 …………… 10分24． 解：（Ⅰ）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩， ……………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥ 综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 ．……………5分 （Ⅱ）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立，则只需22min 73()32760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t ≤≤． ……………10分。