数学分析3课件：ch18 隐函数定理及其应用

一个y,即y
1 1 x
.
从而
F
( x,
1 1 x
)
0,
x
( ,1)
(1,).
几何意义 :
平面曲线y
1 1 x
是空间曲面z
xy
y
1与平面z
0的
单值交线.
例 2 二元方程F (x, y) x2 y2 1 0.x (1,1)通过方程对应 两个y.若限定0 y 或 y 0,则x (1,1)对唯一一个y,
Fy
(
P0
)
dy dx
x x0
0,
dy dx
x x0
Fx (P0 ) . Fy (P0 )
三、隐函数定理
定理 18.1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件 : (i) 函数F在以P0 (x0, y0 )为内点的某一区域D R2上连续; (ii) F (x0, y0 ) 0(初始条件); (iii) 在D内存在连续的偏导数Fy (x, y); (iv) Fy (x0, y0 ) 0. 则在点P0的某邻域U (P0 ) D内，方程F (x, y) 0唯一地确定了定义
x2 y2 c 0, y x 1sin y 0. 2
可见，(i) 要研究什么条件下才能确定隐函数.
(ii) 隐函数一般不能化成显函数.但要研究其连续性和可微性.
二、隐函数存在性条件的分析
满足方程(1)的点集可看作z F(x, y)与z 0的交集.
1. 若方程(1)能确定隐函数,则交集非空. P0 (x0, y0 )使得
第18章 隐函数Байду номын сангаас理及其应用
§1 隐函数
一、 隐函数概念
若函数的因变量的表达式是自变量的某个算式, 如
z x2 y2 1, u exyz (sin xy sin yz sin zx).
这种形式的函数称为显函数. 下面看隐函数的例子.
例1 二元方程F (x, y) xy y 1 0.x 1通过方程对应唯一
[x0 , x0 ][ y0 , y0 ] D,使其上每点Fy (x, y) 0.
故x [x0 , x0 ], F (x, y)关于y在[ y0 , y0 ]上严格增且连续. 由(ii), F (x0, y0 ) 0, F (x0, y0 ) 0. 由(i), F (x, y0 )和F (x, y0 )在[x0 , x0 ]上连续,
足方程(1), 则称由方程(1)确定一个定义在I上, 值域含于J的隐函数.
若把它记作
y f (x), x I , y J , 则成立恒等式
例如方程
F (x, f (x)) 0, x I. xy y 1 0, x2 y2 1 0.
隐函数必须在指出确定它的方程以及x, y的取值范围后才有意义. 又如方程
由连续函数的局部保号性, (0, ],使当x (x0 , x0 )时,
F (x, y0 ) 0, F (x, y0 ) 0.
A’ +++++++B’
如图，在矩形ABBA的AB边上F 0, AB上F 0,因此,
P0
x (x0 , x0 ), 唯一y (x0 , x0 )使F (x, y) 0.
即y1 1 x2或y2 1 x2 , 也就是 F (x, y1) F (x, 1 x2 ) 0或 F (x, y2 ) F (x, 1 x2 ) 0.
例 3 二元方程F (x, y) xy 2x 2y 0, 在原点的某邻域( , )内，
x ( , )通过方程对应唯一一个y(后面证明),即y (x), 也就是
即方程F (x, y) 0唯一地确定了定义在区间(x0 , x0 ) A−−−−−−−B
内的(隐)函数y f (x).令U (P0 ) (x0 , x0 ) (x0 , x0 ),则 f (x0 ) y0,当 x (x0 , x0 )时, (x, f (x)) U (P0 )且F (x, f (x)) 0.
3）Fy (x, y) x 2 y ln 2在(0,0)的邻域内连续， 4）Fy (0,0) ln 2 0. 满足隐函数存在唯一性定理的条件，所以，在x 0的某邻域内
确定唯一一个隐函数y (x), 满足
Fx,(x) 0.
注意：1. 定理18.1的条件仅仅是充分条件, 例如 F (x,y) y3 x3, F (x,y) (x2 y2 )2 x2 y2,
F (x0, y0 ) 0.
2. 若F在点P0可微,且 (Fx (P0 ), Fy (P0 )) (0,0),
则z F (x, y)在点P0的切平面与z 0相交于直线l. 从而 z F (x, y) 在点P0与z 0相交成平面曲线.
若要求y f (x)可微, 则由链式法则
Fx
( P0
)
Fx,(x) 0.
几何意义 : 空间曲面z xy 2x 2y 与平面z 0在x ( , )时 相交成平面单值曲线y (x).
一般地，设X R,Y R,函数F : X Y R. 对于方程
F (x, y) 0,
(1)
若存在集合I X与J Y , 使得x I , 唯一的y J , 它与x一起满
2）f (x)在(x0 , x0 )内连续.(略)
练习：验证二元方程F (x, y) xy 2x 2 y 0,在x 0的某邻域内
确定唯一一个隐函数y (x), 满足
Fx,(x) 0.
解：因为，
1）F (x, y) xy 2x 2 y 在(0,0)的邻域内连续， 2）F (0,0) 0，
在点(0,0)处满足(i) - (iii), 但不满足(iv).
2. 定理18.1的条件(iii)和(iv), 可减弱为F在P0的某邻域内关于y严格 单调.
在某区间(x0 , x0 )内的(隐)函数y f (x),使得 1）f (x0 ) y0,当 x (x0 , x0 )时, (x, f (x)) U (P0 )且F (x, f (x)) 0; 2）f (x)在(x0 , x0 )内连续.
证：1）存在唯一性.由(iv),不妨Fy (x0, y0 ) 0.由(iii), Fy局部保号,