统计资料分组情况下中位数和众数的计算

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图& 统计分组资料次数分布图
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统计与决策
在长度上 （-I;!0） 上 分 布 有 -I;!0 ・ ,0
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个点， 而在长度 （-I;!0） 内有 （ " , E &;F0;
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", ;F ） 个 点 故 -I;!0 ・ ,0$ 0;% # -I$ >
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69 $ 由 !69: 与 !87: 相似可得， 87 6: 7:
（% ） 再由平行线等分线段定理可知 6:
从 （< ） 式中可得 （,0;,0;%） !0*%*/,0;,0;%+!0 -.$ /=+ /,0;,0*%+*/,0;,0;%+ 若 令 !%$,0;,0;%#!&$,0;,0*%， !0*%$!0*> （= ） 式 变 为 -. $!0* /> 是 众 数 组 组 距 + 则 !% ・ （? ） > !%*!&
! 当 ,"D+ECF时 B1,4/ C2+ 当 ,#D+ECF时 6
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!" 无量纲处理 有 在 #$ 投资回 报 评 价 指 标 体 系 中 ，
的属于正指标， 如销售利润率； 有的属于 适度指标， 如资产负债率； 还有的属于逆 指标， 如客户投诉 率 。 它 们 对 #$ 投 资 效 益的作用趋向不同，因此各个指标之间 不具有可比性， 如果不进行无量纲处理， 就无法进行综合评价。可以采用如下方 法进行无量纲处理。
1&4中的权重分配即为组合权重。对于其 据。从 #$ 投资回 报 评 价 指 标 体 系 来 看 ， 它层指标， 假定上一层所有指标： 销售、 ’!， ’%， 这些经营数据涉及到企业的财务、
客户、 生产、 成本等方面， 因此需要企业 建立比较完善的基础数据系统。 另外，信息技术的影响需要通过分 析生产能力、 盈利能力、 客户价值以及整 个平衡记分卡来单独进行衡量。我们还 可以分别对他们 进 行 考 察 ， 分 析 #$ 投 资 取得良好收益的原因和方法，这对提高 分 别 为 18!， 与 8( 对 应 的 本 层 次 8%" … 834， … 93， 单排序结果为： 指 标 9!， 9%， 1:;， :%， … :34， 若 9( 与 ’< 无 联 系 ， 则 有 :<(/6 。 此 时 ， 本 层 次 指 标 9( 的 组 合 权 重 为 ! 18( 以确 1:=4。 在 这 里 也 需 进 行 一 致 性 检 验 ， 保组合权重分配的合理性。
7" 计算组合权重
计算各层指标的组合权重是从上而 下逐层进行的， 对于最高层区， 其在步骤
#$ 投资回报评价的难点在于如何及
时、 准确、 完整地取得评价所需的经营数
%" 构造判断矩阵 在 得 到 #$ 投 资 回 报 评 价 指 标 体 系
对指标体系中处于同一上层准则指标支 配的同层指标进行两两比较构造判断矩 阵。
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/"$%#&# … (+ 中找到最 大值 ,0， 可以假定如
下：
%1,0$023 4,"5， ,0 是 唯 一 的 ， ,0 对 应 的
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是众数所在组， 简称众数组。 )30#30*%） 中变量是均匀分布 &1 在众数 )30#30*%） 的 众数 -. 的计算推理如下： 方法一、 几何法 如 图 %， 将 统 计 分 组 资 料 以 统 计 次 数分布直方图形式表示， 连结 67 ， 89 两 条线， 由均匀分布的假定， 由6到7是 均匀的上升，由 9 到 8 是均匀的下降， 则 必 然 67 与 97 的 交 点 : 是 众 数 -. 所在的位置。
限公式， 同 理 可 求 得 上 限 公 式 -I $!0 *% ; ", ;F 0;% & ・ >。 ,0 &1 按均匀分布考虑 H 在 长 度 >$!0*%;!0 上 分 布 ,0 个 变 量， 则 单 位 长 度 上 分 布 有 ,0 个 点 ， 所以
显然，此时从 分组资料中无法求 可先从 ," 出众数 -.，
其中： -#/1!*+, 234 0 132!4， .# 查 表 可 得。 认为判断矩阵 ) 具 当 -.56"!6 时 ， 有满意的一致性， 说明权重分配合理； 否 则需调整矩阵 ) ，直到达 到 满 意 的 一 致 性为止。
三、 结束语 我 们 把 平 衡 计 分 卡 引 入 到 #$ 投 资 回报的评价工作中，平衡兼顾了战略与 战术， 长期收益与短期目标， 财务指标与 非财务衡量方法，滞后与先行指标的业 绩评价系统， 极 大 地 提 高 了 #$ 投 资 评 价 体系的科学性和规范性。
>" 计算综合评价结果
设经层次分析法得到度量层各指标 … ?3， 各指标 经 无 的 组 合权重为 ?!， ?%， 量纲处理后的评分值为 @!， 则 @%，… @3， #$ 投资回报评价的最终得分： A/@?$。
#$ 回报率，加快企业信息化进程具有重
要意义。 （作者单位 0 武汉理工大学管理学院）
（责任编辑 0 亦 民）
%丁岳维
张晓峰
黄曰爱
中位数和众数的计算
那 么 变 量 落 在 区 间 DGEHF $D+ECF 的 概
B/
H, / G2H " C2+ C2+
G
H
显然在统计分组资料中 ， 由 于 资 料 的原始分配情况已被统计整理 后 资 料 所 代替，此时对原始的众数和中 位 数 求 解 已不大可能，只能假定在中位 数 或 众 数 组中是均匀的， 由此进行计算估计 三、统计资料分组中众 数 的 计 算 公 式论证 众数是总体中出现次数 最 多 的 标 志 值，它能够鲜明地反映数据分 布 的 集 中 趋势。 众数也是一种位置平均数， 不受极 端数值的影响，在实际工作中 应 用 较 为 普遍。 众数通常按分组资料计 算 。 由 单 项 数列计算众数时，把次数最多 的 组 定 为 众数组， 该组的变量值即为众数。 由组距
) 进行一致性检验。一致性 检 验 采 用 如 下公式： -./-# 0 .#
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统计与决策
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知识丛林 KLMFLM9NOPQMO
数列计算众数， 也要先确定众数组， 然后 利用上限公式或下限公式计算众数。以 下主要论证组距数列计算众数。 设 对 某 统 计 资 料 !"#"$%#&# … #’ 进 行 分组， 分为 ( 组， 每组组限为 )!"#!"*%+， "$%# 则如表 % 。 &# … ( 各组次数为 ,"，
表% 统计资料分组表 组限 )!"#!"*%+ 组次数 ,"
（ 总 第 !"% 期 ） !"" # 年 第 $ 期
式通常是教科书上的下限公式 （? ） 同理可得上限公式： -. $!0 *% ;
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方法二、 插补法 按图 % 所示， 6， 8， 9， 7 各点坐标分
%1 直线方程插补法 假 定 如 图 6 点 均 匀 变 化 到 8 点 6， （!0#F0;%） 与 （!0*%#F0; 8 两点的坐标分别为 %*,0） 则 68 直线方程为 ,;F0;%$ /F0;%*,0+;F0;% ・ !0*%;!0 ,$", E & 时对应中位数如图中的 将 ,$", E & 代入上式求出 9 点， ", ;F 0;% -I $!0* & /!0*% ;!0+ 此 为 下 ,0 H
别为 6 （!0#,0;%） ， （!0*%#,0*%） 。 8 9/!0#,0+#7/!0*%# （!;!0）
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则 直 线 67 方 程 为 !%： , ;,0 ;% $ ,0;,0;% /!;! + /@+ 0 !0*%;!0 直 线 89 方 程 为 !&： , ;,0 $ ,0*%;,0 !0*%;!0 /!;!0+ /A+ 联 立 !% 与 !& 方 程 可 得 : 点 横 坐 标 众数 -.
!0* ", E &;F0;% ・ > ,0
五、 结束语 本文在均匀分布的假设前提下， 给 出了众数和中位数的求解公式及其推导 论证过程，加深对众数和中位数计算公 式的理解。另一方面还给出了众数出现 的次数， 而这点到目前为止， 尚未在教科 书或其他科研资料中看到，希望这个结 论能填补目前教科书及其他统计科研资 料上的缺憾。 （作者单位!长安大学经济管理学院）
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（ 总 第 !"% 期 ） !"" # 年 第 $ 期
统计资料分组情况下
一、 问题的提出 统计分组是统计实务中一 种 非 常 实 用的分析方法。很多看似无规律 或 规 律 不明显的统计资料， 经过统计分组后 ， 可 以找出其规律或很强的规律。但 统 计 分 组也象其他科学研究的手段一样 有 其 利 弊的。比如有些统计指标在统计 资 料 未 分组前是容易计算的，但当进行 资 料 分 组后， 其计算就变得有点困难了， 有时甚 至要在某些合理修正之下，才能 求 出 其 近似值。 统计资料分组后， 众数和中位数 的计算就是这样的。 很多从事统计实务和统计 研 究 的 工 作人员，难以对统计分组后的资 料 进 行 众数和中位数的求解，大多只能 从 教 科 书中查找到相关的计算公式，只 知 其 然 而不知其所以然，而且大部分教 科 书 和 研究资料中， 也未给出详细的求出过 程 ， 一般只是公式化地进行了 “用插 补 法 求 解” 的说明。 笔者多年从事统计研究与教学工 作，也曾多次给在企事业单位从 事 统 计 工作的实务人员进行培训，研读 过 很 多 统计教科书和相关资料，发现对 统 计 众 数和中位数的求解问题关心者甚多， 但 鉴于理论的缺乏，平时大多只是 照 搬 照 抄教科书公式，真正能理解和正 确 得 出 结论者几乎没有，故在此运用均 匀 分 布 的假定下，给出众数和中位数的 求 解 方 法， 以补充教材和实际操作中的缺憾。 二、 均匀分布及其假定 均匀分布是概率上一种较 常 见 的 分 布函数，它假定随机变量在某一 有 限 区 间内是均匀的，这样其概率密度 函 数 为 如下形式： 率为