知识讲解 平面 基础
掌握中学数学几何学的七个关键知识点
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掌握中学数学几何学的七个关键知识点数学几何学是中学数学中的重要分支,它研究的是空间中的形状、结构以及它们之间的关系。
掌握中学数学几何学的七个关键知识点,对于深入理解数学几何学的基本概念和问题解决方法至关重要。
在本文中,我们将介绍这七个关键知识点,并提供相应的例子和解释。
知识点一:平面几何基础在数学几何学中,平面是指无限延伸的二维空间。
了解平面的基本性质,如平面的定义、平面上的点、直线、线段等概念,是学好数学几何学的重要基础。
例如,在解决平面几何问题时,我们可以利用定义和性质来证明结论,例如两点确定一条直线等。
知识点二:几何图形的性质几何图形是指由点、直线等几何元素组成的几何形状。
了解不同几何图形的定义、性质和特点,能够帮助我们在解决几何问题时进行分类和分析。
例如,在分类讨论三角形时,我们可以根据边长和角度的关系将三角形分类为等腰三角形、等边三角形等,从而更好地理解和解决问题。
知识点三:三角形的性质和定理三角形是几何学中最基本的图形之一,它由三条边和三个角组成。
了解三角形的性质以及定理,能够帮助我们研究三角形的各种特性和关系。
例如,掌握三角形的角度和边长关系定理,我们可以更好地解决有关三角形的角度、边长和面积等问题。
知识点四:圆的性质和定理圆是一个具有特殊性质的几何图形,它由一条封闭的曲线和圆心组成。
了解圆的性质和定理,能够帮助我们理解和解决有关圆的问题。
例如,在解决圆的相交问题时,我们可以利用圆的性质来确定相交部分的特点和关系,从而得出准确的结论。
知识点五:平行和垂直平行和垂直是几何学中常见的重要关系。
了解平行和垂直的定义和性质,能够帮助我们判断和证明线段、直线和平面之间的关系。
例如,在证明两条直线平行时,我们可以利用平行线的定义和必要条件来进行推理和论证,从而得出结论。
知识点六:相似和全等相似和全等是几何学中用于描述和比较图形的重要概念。
了解相似和全等的定义和判定条件,能够帮助我们判断和证明图形之间的关系。
《基本平面图形》基础知识点
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(1)圆的定义:定义①:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以O点为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
定义②:圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
(2)与圆有关的概念:弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.
③线段:线段是直线的一部分,用一个小写字母表示,如线段a;用两个表示端点的字母表示,如:线段AB(或线段BA).
(2)点与直线的位置关系:①点经过直线,说明点在直线上;直线公理:经过两点有且只有一条直线.简称:两点确定一条直线.
(4)经过一点的直线有无数条,过两点就唯一确定,过三点就不一定了.
(1)角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和,记作:∠AOB=∠AOC+∠BOC.∠AOC是∠AOB和∠BOC的差,记作:∠AOC=∠AOB-∠BOC.②若射线OC是∠AOB的三等分线,则∠AOB=3∠BOC或∠BOC= ∠AOB.
(2)度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时,要将度与度,分与分,秒与秒相加减,分秒相加,逢60要进位,相减时,要借1化60.
(3)扇形面积计算公式:设圆心角是n°,圆的半径为R的扇形面积为S,
或 (其中l为扇形的弧长)
(4)求阴影面积常用的方法:①直接用公式法;②和差法;③割补法.
(5)求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.
九、角平分线的定义
(1)角平分线的定义
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
(2)性质:若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
平面构成基础知识(理论学习知识)
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平⾯构成基础知识(理论学习知识)平⾯构成基础知识(理论知识)⼀、构成的含义平⾯构成是视觉元素在⼆次元的平⾯上,按照美的视觉效果、⼒学的原理,进⾏编排和组合,它是以理性和逻辑推理来创造形象研究形象与形象之间的排列的⽅法。
是理性与感性相结合的产物。
⼆、平⾯构成是设计的基础平⾯构成主要是运⽤点、线、⾯和律动组成结构严谨,富有极强的抽象性和形式感。
⼜具有多⽅⾯的实⽤特点和创造⼒的设计作品,与具象表现形式相⽐较,它更具有⼴泛性。
是在实际设计运⽤之前必须要学会运⽤的视觉的艺术语⾔,进⾏视觉⽅⾯的创造,了解造型观念,训练培养各种熟练的构成技巧和表现⽅法,培养审美观及美的修养和感觉,提⾼创作活动和造型能⼒,活跃构思。
第⼀章平⾯构成中美的形式法则⼀、对称与平衡1.对称:形本⽤对折的⽅法,基本上可以重叠的图形称为对称。
它们是等形等量的配置关系,最容易得到统⼀,是具有良好的稳定感的最基本形式。
(1)轴对称“以对称为中⼼。
左右、上下或倾斜⼀定的⾓度的等形的对称图形。
(2)中⼼对称:对称的图形,对称点在中⼼就称为中⼼对称。
(3)旋转对称:⼀个图形按照⼀定的相同的⾓度旋转,成为放射状的图形,称为旋转对称,旋转90度的图形,称为回旋对称。
旋转180度的图形彼此相逆,叫逆对称,也称反转对称。
(4)移动对称:图形按照⼀定的距离或按某种⼀定的规则乾地平⾏移动所得到的图形称为移动对称。
(5)扩⼤对称:图形按⼀定的⽐例放⼤,称为扩⼤对称。
2.平衡:从视觉上来指⼀种等量和不等形的⼒的平衡状态。
如均衡、适称。
平衡⽐对称在视觉上显得灵活、新鲜,并富有变化的统⼀的美感。
⼆、对⽐、调和1.对⽐:对⽐是互为相反因素的东西,同时设置在⼀起的时候所产⽣的现象,使它们各⾃的特点更加鲜明突出。
运、静、刚硕、柔软,⾼、矮、强、弱放在⼀起的形成对经。
⼤⼩关系放在起时⽐它们单独地放置时,⼤的显得更⼤,⼩的显得更⼩。
强弱关系放在⼀起时,也会产⽣同样的感觉。
通常在构成设计中运⽤这种对⽐关系寻求变化和刺激,创造具有各种特性的画⾯效果。
平面几何基础知识
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平面几何基础知识平面几何是数学中的一个重要分支,它研究的是二维图形在平面上的性质和相互关系。
在这篇文章中,我们将介绍一些平面几何的基础知识,包括点、线、角、三角形等概念和性质。
1. 点和线在平面几何中,点是最基本的要素。
点是没有大小和形状的,我们用大写字母表示点,如A、B、C等。
而线是由无数个点组合而成,它是一条无限延伸的轨迹,没有宽度。
线段是线的一部分,具有长度。
我们用小写字母表示线段,如ab、cd等。
2. 角角是由两条射线共同起点组成的,我们用大写字母表示角,如∠ABC。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角是小于90°的角,直角是等于90°的角,钝角是大于90°小于180°的角,而平角则是等于180°的角。
3. 三角形三角形是由三条线段组成的闭合图形,它是平面几何中最基本的多边形。
根据三条边的长度,三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等,等腰三角形的两条边长度相等,而普通三角形的三条边长度都不相等。
4. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形,其中包含一个直角(90°角)。
根据勾股定理,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在解决实际问题时非常有用,如测量两点间的距离。
5. 圆圆是由一个固定点到平面上所有点的距离相等的轨迹组成。
固定点称为圆心,相等的距离称为半径。
圆还有直径、弦、弧等概念。
直径是通过圆心的一条线段,弦是圆上任意两点间的线段,弧是圆上的一段弯曲部分。
6. 角的平分线和垂直平分线在平面几何中,角的平分线是指将一个角分为两个相等角的射线。
垂直平分线则是指将一条线段垂直平分,并通过线段中点的射线。
平分线和垂直平分线在解决几何问题时起到重要作用,帮助我们找到角度和线段的平衡点。
以上介绍了平面几何的基础知识,其中包括点、线、角、三角形、直角三角形、圆、角的平分线和垂直平分线等内容。
平面设计基础知识
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概念与术语一、基本概念(一)、平面设计平面设计是将不同的基本图形,按照一定的规则在平面上组合成图案的。
主要在二度空间范围之内以轮廓线划分图与地之间的界限,描绘形象。
而平面设计所表现的立体空间感,并非实在的三度空间,而仅仅是图形对人的视觉引导作用形成的幻觉空间。
(二)、平面设计的术语:1.和谐:从狭义上理解,和谐的平面设计是统一与对比两者之间不是乏味单调或杂乱无章的。
广义上理解,是在判断两种以上的要素,或部分与部分的相互关系时,各部分给我们的感觉和意识是一种整体协调的关系。
2.对比:又称对照,把质或量反差很大的两个要素成功的配列在一起,使人感觉鲜明强烈而又具有统一感,使主体更加鲜明、作品更加活跃。
3.对称:假定在一个图形的中央设定一条垂直线,将图形分为相等的左右两个部分,其左右两个部分的图形完全相等,这就是对称图。
4.平衡:从物理上理解是指的重量关系,在平面设计中指的是根据图像的形量、大小、轻重、色彩和材质的分布作用与视觉判断上的平衡。
5.比例:是指部分与部分,或部分与全体之间的数量关系。
比例是构成设计中一切单位大小,以及各单位间编排组合的重要因素。
6.重心:画面的中心点,就是视觉的重心点,画面图像的轮廓的变化,图形的聚散,色彩或明暗的分布都可对视觉中心产生影响。
7.节奏:节奏这个具有时间感的用于在构成设计上指以同一要素连续重复时所产生的运动感。
8.韵律:平面构成中单纯的单元组合重复易于单调,由有规律变化的形象或色群间以数比、等比处理排列,使之产生音乐的旋律感,成为韵律。
设计常识﹝一﹞大小的对比大小关系为造形要素中最受重视的一项,几乎可以决定意象与调和的关系。
大小差别少,给人的感觉较沈着温和,大小的差别大,给人的感觉较鲜明,而且具有强力感。
﹝二﹞明暗的对比阴与阳、正与反、昼与夜等等,如此类的对比语句,可使人感觉到日常生活中的明暗关系。
初诞生的婴儿,最初在视觉上只能分出明暗,而牛、狗等动物虽能简单识别黑白,可是,对彩度或色相却无法轻易识别,由此可知,明暗﹝黑和白﹞乃是色感中最基本的要素。
平面几何基础知识
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平面几何基础知识
平面几何是几何学的一个分支,研究平面上的图形和它们之间的关系。
以下是一些平面几何的基础知识:
1. 点:平面上的位置,用字母表示,如A、B、C等。
2. 直线:由无限多个点组成的轨迹,用一条直线上的两个点的大写字母表示,如AB。
3. 线段:直线上的一部分,由两个点确定,用两个点间的线段上的小写字母表示,如AB。
4. 射线:直线上有一个起点,向无限远方延伸出去的部分,用起点和一个穿过起点的点的大写字母表示,如OA。
5. 平行线:在同一个平面内,永远不会相交的直线。
6. 垂直线:两条直线相交,且相交的角度为90度。
7. 角:由两条射线共享起点的一部分平面,用顶点上的字母表示,如∠A。
8. 三角形:由三条线段组成的图形,用三个顶点的大写字母表示,如△ABC。
9. 直角三角形:一个角是90度的三角形。
10. 相似三角形:具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的
对应角度相等,对应边的比例相等。
11. 圆:平面上所有与一个固定点的距离相等的点的轨迹。
12. 弧:圆上的一部分,由两个端点和该弧上的一段曲线组成。
13. 弦:连接圆上的两个点的线段。
14. 弧长:弧上的一段曲线所对应的长度。
15. 弧度:用于衡量角度的单位,1弧度等于圆的半径所对应
的弧长。
以上是平面几何的基础知识,掌握这些概念和性质可以帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
平面几何基础知识
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平面几何基础知识在数学的世界里,几何学是研究空间及其内部图形的一门学科。
平面几何则更专注于二维空间中的图形和形状。
平面几何基础知识对于理解和解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍一些关键概念和定理,帮助读者建立起扎实的平面几何基础知识。
1. 点、直线和线段在平面几何中,点是最基本的概念。
它是几何图形中最小的单位,没有大小和方向。
直线是由无数个点组成,没有宽度和端点。
而线段则是直线的一部分,有起点和终点。
2. 角角是由两条射线共享一个公共的端点而形成的图形。
角可以通过度数或弧度来度量。
常见的角包括直角(90度)和钝角(大于90度)。
3. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。
根据边长和角度,三角形可以分为不同的类型,包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
三角形的内角和为180度,这一性质被称为三角形的内角和定理。
4. 平行和垂直平行是指两条直线在平面上永不相交,垂直是指两条直线相交且互相成直角。
平行线有许多重要性质,如平行线的传递性和平行线和转折线之间的角度关系等。
5. 圆圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
圆由中心和半径来确定。
圆的重要性质包括圆心角和弧长之间的关系,以及切线和弦之间的角度关系。
6. 多边形多边形是由多条线段组成,形成一个封闭的图形。
根据边的数目,多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
多边形的内角和可以通过公式(n-2) × 180度计算,其中n为多边形的边数。
7. 相似和全等当两个图形的形状相似时,它们的对应角度相等,对应边长成比例。
全等指两个图形的形状和大小完全相同。
8. 比例比例是用来表示两个量之间的关系。
在几何中,比例经常用来计算线段的长度或图形的边长比。
比例的一些性质包括比例的可逆性和比例的传递性。
总结:平面几何基础知识是理解和应用数学问题的关键。
点、直线、线段、角、三角形、圆、多边形、平行和垂直、相似和全等以及比例等概念和定理,构成了平面几何的基础框架。
基础平面设计知识点
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基础平面设计知识点平面设计是应用于平面媒体中的视觉传达方式,通过运用各种设计元素和原则,传达信息、表达情感,并为观众提供视觉美感。
在进行平面设计时,了解一些基础知识点将会对设计作品的质量和效果产生重要影响。
本文将介绍一些基础平面设计的知识点,以帮助您了解和应用这些重要概念。
1. 色彩理论色彩是设计中不可或缺的要素之一。
了解色彩的基本理论将有助于您在设计中正确选择配色方案。
例如,理解色轮、色相、明度和饱和度等概念,可以帮助您创建具有平衡和吸引力的配色方案。
2. 布局与组合布局是指将各种设计元素有机地组合在一起,形成整体设计。
在进行布局时,应考虑到信息的层次结构、对齐方式、间距和比例等因素,以确保设计的清晰性和可读性。
3. 字体选择字体是传达信息的重要手段,选择合适的字体对于设计的成功至关重要。
了解不同字体类型(如衬线字体、非衬线字体、手写字体等)以及其在设计中的应用场景将帮助您更好地选择和使用字体。
4. 图像处理在平面设计中,经常需要处理、编辑图像。
了解基本的图像处理技术,如裁剪、调整色彩和对比度、消除背景等,将使您能够更好地控制和优化图像,以适应设计的需求。
5. 图形与符号图形和符号是设计中常用的视觉元素,用于传达特定的信息或象征意义。
了解如何使用简洁的图形和符号来强调重点、增加识别度和传达概念将有助于提升设计的效果。
6. 比例与尺寸在平面设计中,比例和尺寸的使用与平衡和美感密切相关。
了解如何运用黄金分割、对称和不对称等比例原则,以及如何根据设计需求正确选择物体的尺寸,都是设计师必备的技能。
7. 可读性与排版在进行文字设计时,必须考虑到文字的可读性和排版。
了解如何选择合适的文字大小、行距和字间距,以及如何分段和使用标题、标点符号等,可以提升设计作品的可读性和视觉呈现效果。
8. 印刷与输出当您将设计作品输出时,需要考虑到不同媒介(如纸张、屏幕等)对色彩和清晰度的影响。
了解印刷和输出的基本原理,以及如何正确准备设计作品的文件格式和分辨率等,是确保最终输出效果满意的关键。
平面设计基础知识
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平面设计基础知识1. 色彩学原理色彩是平面设计中非常重要的元素,掌握色彩学原理不仅有助于设计师更好地进行色彩搭配,还能实现更好的视觉效果。
在色彩学原理中,需要了解色相、明度、饱和度等基本概念,同时还需要掌握色彩搭配的规律。
2. 组合平衡原理组合平衡原理是指平面设计中图形、文字等元素的排布方式。
一个好的设计需要合理地组合各种元素,避免过于复杂或过于简单的情况。
在组合平衡原理中,需要掌握对称、不对称、平衡、不平衡等设计方式。
3. 字体知识在平面设计中,选择适合的字体有助于传递信息、表达情感。
设计师需要掌握字体的分类、特点和适用场景,了解字体在视觉设计中的作用和意义。
4. 设计空间原理在平面设计中,设计空间是指元素之间的关系和布局。
设计师需要了解设计空间的布局方式、掌握对视觉空间的控制,以达到更好的视觉效果。
5. 图像处理技术图像处理技术是平面设计中必不可少的一部分。
设计师需要掌握各种处理技术,如裁剪、调整颜色、滤镜等等。
这些技术可以让设计师更好地控制图像效果,达到视觉传达的目的。
6. 设计语言在设计中,语言是非常重要的。
设计师需要选择适当的语言方式来传达信息、表现观点。
设计语言可以包括文字、图形、色彩等元素,它们可以和谐地结合在一起,形成整体的美观和视觉效果。
7. 意识形态意识形态是平面设计中表达思想和观点的一种方式。
设计师需要清楚地理解设计的意识形态并将其体现在设计中。
这样,设计可以更好地传达思想和观点,引起观众的共鸣。
以上就是平面设计中的一些基础知识,掌握这些知识将有助于设计师更好地进行设计,实现更好的视觉效果。
平面设计基础知识点
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平面设计基础知识点在现代社会中,平面设计是一门广泛应用于各行各业的艺术形式。
从宣传资料到广告海报,从网页设计到品牌标识,平面设计扮演着至关重要的角色。
本文将介绍一些平面设计的基础知识点,帮助读者了解并掌握这门艺术形式。
一、色彩理论色彩是平面设计中最重要的元素之一。
了解色彩理论可以帮助设计师在选择和搭配颜色时更加准确和有效。
色彩有三个重要的属性:色调、饱和度和亮度。
色彩可以用来传达情感和吸引目标受众。
在平面设计中,设计师需要考虑色彩的搭配和对比,以达到视觉上的平衡和吸引力。
二、排版技巧排版是平面设计中另一个重要的要素。
通过良好的排版,设计师可以有效地传达信息和引导读者的目光。
了解基本的排版技巧可以帮助设计师创建易读、美观的设计作品。
重要的排版要素包括字体选择、字号和行距的搭配、段落的对齐方式等等。
设计师还需要注意文本和图片的组合,以及版面的整体平衡。
三、图形和图像处理平面设计中经常使用图形和图像来传达信息和创造视觉效果。
设计师需要熟练掌握一些图形和图像处理工具,比如Adobe Photoshop和Illustrator。
对于图形和图像的处理,设计师需要了解分辨率、像素和矢量图像的概念。
此外,设计师还需掌握一些基本的图像编辑技巧,比如裁剪、调整颜色和添加滤镜等。
四、平面设计的构图原则构图是平面设计中至关重要的技巧之一。
通过合理的构图,设计师可以引导观众的目光并创造出有吸引力的设计。
一些常见的构图原则包括平衡、对比、重点突出和对齐等。
设计师需要了解这些原则,并在实际设计中加以应用。
通过不同的构图方式,设计师可以创造出不同的视觉效果,从而使设计更加丰富和有趣。
五、品牌设计和标识品牌设计和标识是平面设计中的一项重要任务。
一个好的品牌设计可以帮助企业塑造其形象并与目标受众建立联系。
设计师需要了解品牌设计的基本原则,包括色彩搭配、字体选择和标识图形的设计等。
通过捕捉品牌的精髓和核心价值观,设计师可以打造出独特而具有吸引力的品牌标识。
平面几何基础知识
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平面几何基础知识在数学中,平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等基本元素之间的关系和性质的一门学科。
它是数学中最基础、最重要的一个分支,对于理解和应用其他数学概念起着重要的作用。
本文将介绍平面几何的基础知识,包括点、线、面的概念以及它们之间的关系。
一、点的概念在平面几何中,点是最基本的元素。
点通常用大写拉丁字母表示,比如A、B、C等。
点在平面上没有大小,只有位置。
任意两个点之间都可以划定一条直线。
而且,任意三个点不共线,可以确定一个平面。
二、线的概念线是由一系列点连在一起形成的图形。
线有无限延伸性,没有起点和终点,可以用小写字母表示,如ab、cd、ef等。
线可以是直线或曲线。
直线是两个点之间最短的路径,也是最简单的线。
曲线则是在平面上运动形成的轨迹,它可以弯曲和交叉。
三、线段和射线线段是由两个点及其之间的所有点组成的部分,具有起点和终点,可以用符号“ ”表示。
比如AB表示线段AB。
而射线是由一个起点及其从该起点出发的所有点组成的部分,可以用符号“→”表示。
比如AB→表示以点A为起点,沿着直线AB方向上无限延伸的射线。
四、面的概念面是由无数个点和直线组成的,是一个没有厚度的二维物体。
面可以用大写字母表示,如P、Q、R等。
在平面几何中,有两种特殊的面:平面和圆。
平面由无数的直线组成,没有边界。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的。
五、基本性质和定理平面几何有许多基本的性质和定理。
下面介绍几个常见的:1. 直线的性质:直线上的任意两点可以连成一条直线,直线与直线最多只有一个公共点,直线可以无限延伸。
2. 平行线的性质:如果两条直线在平面上没有交点,那么它们是平行线。
3. 垂直线的性质:如果两条直线相交成直角,那么它们是垂直线。
4. 三角形的性质:三角形是由三条线段组成的图形。
三角形的内角和等于180度。
5. 圆的性质:圆上的任意点到圆心的距离相等,这个相等的距离叫做半径。
圆上的点可以任意连成一条弧。
平面设计基础知识
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平面设计基础知识平面设计第一章绪论一、基本概念1、设计的内涵英文:指进行某种创造时计划、方案的展开过程,即头脑中的构思。
中文:动脑筋、想办法、找窍门、安排、计划、制定方案等含义。
广义:设计是一种有目的的创造活动。
它既可以指这种活动本身,此时它的词性是动词;同时“设计”也可以指这种活动的结果,此时它的词性是名词。
外延:“设计”一词的外延非常广泛,不仅仅局限于某一领域。
设计已深入到人类的知识体系中,尤其在应用学科中,设计是人为事物和活动的本质因素所在。
2、平面设计设计是一种有目的的创造性活动,平面设计是这种活动所要采取的形式之一。
平面设计就是以文字、符号、造型来捕捉美感,表达意象,表达意念与企图,进而达到沟通与说服效果的一种设计活动。
在平面设计中需要用视觉元素来传播设计者的设想和计划,用文字和图形把信息传达给受众,让人们通过这些视觉元素了解设计者的设想和计划。
3、设计的本源人们一直寻找能够用视觉符号思想感情的办法。
它深受意识形状的影响,其超大型风格因素是社会政治、经济、文化的缩影,代表着一种浓缩的时代精神。
早期的画等于字,字等于画,即所谓的“书画同源”。
文字的产生使平面上的基本元素得以圆满地组合,印刷的发展及为此提供了舞台。
这意味着当代平面设计的真正入手下手。
4、平面设计的特点(1)手腕性设计自己不是目的,而是手腕,它不大概为设计而设计。
设计作品是一种中介,它的核心目的是最终传达设计者的意图。
因此当衡量一个作品好坏的时候,是否达到设计要求、能否实现传达目的是首要的指标。
(2)客观性设计过程是设计师按照自己的客观意愿对设计资本和素材的重新构造、整合过程。
客观性是平面设计的一个紧张特性。
对于统一个设计主题,不同的设计师有不同的设计方案。
这就是客观性的体现。
(3)客观性指的是设计表达的客观规律。
合乎现实实际。
(4)立异性设计不是模仿,设计的本质是创新。
创新包含很多方面的内容,所谓创新性,是指对过去经验和知识的分解组合使之实现新的功能。
平面几何基础知识教程
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平面几何基础知识教程嘿,朋友!咱们今天来聊聊平面几何这神奇的世界。
你知道吗,平面几何就像是一座神秘的城堡,里面藏着无数的宝藏和秘密。
那啥是平面几何呢?简单说,就是在一个平平的面上研究图形的学问。
先来说说点,这可是平面几何的小原子。
一个点,小得不能再小,可它却是构成各种图形的基础。
你想想,无数个点连起来,是不是就能变成线啦?线呢,又分直线和线段。
直线那可是勇往直前,没有尽头的。
就像咱们追求梦想的道路,永无止境。
线段呢,有头有尾,规规矩矩的。
还有角,角就像两个小伙伴在那里比力气,张开的大小决定了角的大小。
锐角就像个胆小的孩子,不敢张太大嘴;直角呢,规规矩矩,像个听话的学生;钝角呢,大大咧咧,张得可开了。
三角形可是平面几何里的大明星!它稳定得很,就像咱们家的房子,有它在就觉得安心。
等边三角形,三边都一样长,多公平呀;等腰三角形,就像两个好朋友,有两条边一样长,关系特别好;直角三角形,有个直角在那,像是个勇敢的战士,准备冲锋陷阵。
四边形也不甘示弱,平行四边形,对边平行且相等,就像两排整齐的士兵在行进;矩形呢,四个角都是直角,规规矩矩的;菱形,四边相等,像个漂亮的风筝在天上飞;正方形,那更是完美,结合了矩形和菱形的优点,简直是四边形里的全能冠军。
圆,那可是个温柔的家伙,它的曲线优美得让人陶醉。
圆心就像它的心脏,半径决定了它的大小,直径则是它的大跨度。
学习平面几何,就像一场冒险。
咱们要仔细观察,用心思考。
比如说,看到一个三角形,你就得想想它的内角和是不是 180 度呀?看到一个圆,就得琢磨琢磨它的周长和面积怎么算。
这平面几何的世界,充满了惊喜和挑战。
只要咱们用心去探索,就一定能发现其中的乐趣和奥秘。
你说是不是?别觉得它难,只要多练习,多思考,你也能成为平面几何的高手!所以呀,别犹豫,别害怕,勇敢地走进平面几何的世界,去寻找属于你的宝藏吧!。
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平面【学习目标】1.利用生活中的实物对平面进行描述;理解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.2.重点掌握平面的基本性质.3.能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】【高清课堂:空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1.平面的概念:“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的.要点诠释:(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据);(2) “平面”无厚薄之分;(3)“平面”无边界,它可以向四周无限延展,这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2.平面的画法:通常画平行四边形表示平面.要点诠释:(1)表示平面的平行四边形,通常把它的锐角画成45,横边长是其邻边的两倍;(2)两个相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画;3.平面的表示法:(1)用一个希腊字母表示一个平面,如平面?、平面?、平面?等;(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD;(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示,如平面AC或者平面BD;4.点、直线、平面的位置关系:(1)点A在直线a上,记作Aa?;点A在直线a外,记作Aa?;(2)点A在平面?上,记作A??;点A在平面?外,记作A??;(3)直线l在平面?内,记作l??;直线l不在平面?内,记作l??.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理,它们是研究立体几何的基本理论基础. 1.公理1:(1)文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内;(2)符语言表述:Al?,Bl?,A??,Bl?????;(3)图形语言表述:要点诠释:公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.2.公理2:(1)文字语言表述:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;(2)符语言表述:A、B、C三点不共线?有且只有一个平面?,使得A??,B??,C??;(3)图形语言表述:要点诠释:公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“只有一个”说明“唯一”,所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.(4)公理2的推论:①过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;②过两条相交直线,有且只有一个平面;③过两条平行直线,有且只有一个平面. (5)作用:确定一个平面的依据. 3.公理3:(1)文字语言表述:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;(2)符语言表述:Pl???????且Pl?;(3)图形语言表述:要点诠释:公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据. 要点三、证明点线共面所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1.证明点线共面的主要依据:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1);②经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理2及其推论).2.证明点线共面的常用方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面a、β重合;(3)反证法.3.具体操作方法:(1)证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证明其余各点都在这个平面内;(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证明其余直线均在这个平面内.要点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上.1.证明三点共线的依据是公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.也就说一个点若是两个平面的公共点,则这个点在这两个平面的交线上.对于这个公理应进一步理解下面三点:①如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;②如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;③如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.2.证明三点共线的常用方法方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知,这些点都在交线上.方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上.要点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.1.证明三线共点的依据是公理3.2.证明三线共点的思路:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1.下面的说法中正确的是().A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面【答案】D【解析】利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断.A不正确.我们用平行四边形来表示平面,但不能说平行四边形是一个平面.平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延展的.B不正确,平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以无限延展的.C不正确,太平洋再大也会有边际,也不可能是绝对平面.D正确.在需要时,除用平行四边形表示平面外,还能用三角形、梯形、圆等来表示平面.【总结升华】平面与平面图形既有区别又有联系.平面没有角度、绝对平展、无边界,是一种理想的图形.平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示.但平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们是有大小之分的,不能说三角形、正方形、梯形等是平面.举一反三:【变式1】下列命题:(1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是50 m,宽是20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为().A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A例2.平面?内的直线a、b相交于点P,用符语言概述为“abP?,且P∈?”,是否正确?【答案】不正确【解析】不正确.应表示为:a??,b??,且a∩b=P.相交于点P的直线a、b都在平面?内,也可以说,平面?经过相交于点P的直线a、b.题中的符语言只描述了直线a、b交于点P,点P在平面?内,而没有描述直线a、b 也都在平面内,下图也是题中的符语言所表示的情形.【总结升华】用符语言来叙述时,必须交代清楚所有元素的位置关系,不能有半点遗漏.立体几何中的三种语言(文字语言、符语言、图形语言组成立体几何语言,我们强须准确地把握它们.其中文字语言比较自然、生动,能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来.图形语言给人以清晰的视觉形象,有助于空间想象力的培养;而符语言更精练、简洁.三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径,有利于对思维广阔性的培养.举一反三:【变式1】指出图中的图形画法是否正确,如不正确,请改正.(1)如图1,直线a在平面α内.(2)如图2,直线a和平面α相交.(3)如图3,直线a和平面α平行.【答案】详见解析【解析】(1)(2)(3)的图形画法都不正确.正确画法如下图:(1)直线a在平面α内:(2)直线a与平面α相交:(3)直线a与平面α平行:类型二、平面的确定例3.判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面:(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的4条线段在同一平面内.【答案】不正确正确不正确不正确【解析】(1)不正确.如果点在直线上,可以确定无数个平面;如果点不在直线上,在已知直线上任取两个不同的点,由公理2知,有且只有一个平面,或直接由公理2的推论1知,有且只有一个平面.(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,由公理2的推论2知,有且只有一个平面.(3)不正确.3条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,如下图(1)、(2)所示.前者,由公理2的推论2知.可以确定1个或3个平面;后者,由公理2的推论2及公理1知,能确定一个平面.(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第4点不一定在此平面内,如上图(3),因此这4条线段不一定在同一平面内.【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据,对涉及这方面的应用问题,务必分清它们的条件.立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题,要有一定的空间想象能力.对于问题中的点、线,要注意它们各种不同的位置关系,以及由此产生的不同结果.举一反三:【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定个平面.【答案】20例4.三个互不重合的平面,能把空间分成n部分,则n的所有可能值为______________..【思路点拨】将互不重合的三个平面的位置关系分为:三个平面互相平行;三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交;三个平面交于一线;三个平面两两相交且三条交线平行;三个平面两两相交且三条交线交于一点;五种情况并分别讨论,即可得到答案.【答案】4,6,7,8【解析】若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分;若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分;若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系),则可将空间分为7部分;若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系),则可将空间分为8部分;故n等于4,6,7或8类型三、平面的基本性质的应用例5.如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由点A、D、C可以确定一个平面;(4)由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1;(5)由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面.【解析】(1)错误.因为点A?平面CC1B1B,所以AC1不在平面CC1B1B内.(2)正确.因为点O∈直线AC,直线AC?平面AA1C1C,所以点O∈平面AA1C1C.同理,点O1∈平面AA1C1C,所以直线OO1?平面AA1C1C.同理,直线OO1?平面BB1D1D.故OO1为平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线.(3)错误.因为点A、O、C在同一直线上,故不能确定—个平面(4)正确.因为点A、C1、B1不共线,故可确定一个平面,又AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1,故由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1.(5)正确.因为点A、C1、B1确定的平面为平面ADC1B1,而由点A、C1、D确定的平面也是平面ADC1B1,故它们确定的是同一个平面.【总结升华】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据.例6.已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面.证明证法一:如下图所示.由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面?.设lA??,blB?,∴A∈?,B∈?,且A∈l,B∈l,∴l??.即过a,b,l有且只有一个平面.证法二:由已知可设laA?,lbB?.∵laA?,过l与a有且只有一个平面?.∵a∥b,∴过a,b有且只有一个平面?,∴B∈?,B∈?,a??,a??.又B?a,∴平面?与?重合.即a∥b,.alA?,blB??过a,b,l有且只有一个平面.【总结升华】在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.确定一个平面的方法:①直线和直线外一点确定一个平面;②两条平行线确定一个平面;③两条相交直线确定一个平面.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.举一反三:【高清课堂:空间点线面之间的位置关系例2】【变式】(1)空间两两相交的四条直线能确定几个平面?(2)证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.【答案】(1)1或6;(2)略【解析】(1)略(2)分两种情形,有三条交于一个点,没有三条交于一个点.已知:直线AB、BC、CD、DA两两相交,且不过同一点.求证:直线AB、BC、CD、DA共面.证明:如图(左),AB、BC、CD、DA两两相交,且无三条直线相交于一点.设AD、BC交于点M,AB、CD交于点N.∴AB、CD确定一个平面α.又∵C∈CD,B∈AB,D∈CD,A∈AB.∴A、B、C、D∈α.由公理1,知AD、BC∈α故AB、BC、CD、DA四条直线共面.如图(右),AB、BC、CD、DA两两相交,且有三直线交于一点D.∵AB∩CD=C.∴AB、CD确定一个平面β.又∵A∈AB,D∈CD,∴A、D∈β,B∈AB,D∈CD,∴B、D∈β.∴AD?β,BD?β(公理1).∴AB、BC、CD、DA四直线共面.例7.如下图,已知△ABC的三个顶点都不在平面?内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面?于点P、Q、R.求证:P、Q、R在同一条直线上.证明由已知AB的延长线交平面?于点P,根据公理3,平面ABC与平面?必相交于一条直线,设为L.∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC.又AB∩?=P,∴P∈平面?,∴P是平面ABC与平面?的公共点.∵平面ABC∩?=l,∴P∈l,同理,Q∈l,R∈l.∴点P、Q、R在同一条直线l上.【总结升华】多点共线中的这条线一定是两个平面的交线,因此这类问题实际为两平面的相交问题.举一反三:【高清课堂:空间点线面之间的位置关系例3】【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB,AD,BC,CD上的点,且直线EF与GH交于点P.求证:B,D,P在同一直线上.【解析】PEFPABDPEFGHPGHPBCD??????????????平面平面PABDBCDBDPBD?????平面平面例8.(2016 甘肃天水月考)在正方体1111ABCDABCD?中,E为AB的中点,F为1AA的中点,求证:CE,1DF,DA三线共点.【思路点拨】延长1DF、DA交于P,连结EP,由已知条件得△PAE≌△PAF,从而得到∠PEA+∠AEC=180°,由此能证明CE、1DF、DA三线共点于P.【答案】略【解析】延长1DF、DA交于P,连结EP∵AE=AF,PA=PA,∠PAE=∠PAF=90°,∴△PAE≌△PAF,∴∠PFA=∠PEA,∵∠PEA=1PDD?,1PDD?=∠DCE(11ADF?=∠BCE),∴∠PEA=∠DCE,又∵∠DCE+∠AEC=180°,∴∠PEA+∠AEC=180°,即点P、E、C共线,∴CE,1DF,DA三线共点于P.【总结升华】本题考查三线共点的证明,题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.举一反三:【变式1】如下图,已知空间四边形ABCD(即四个点不在同一平面内的四边形)中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且23CFCGCBCD??.求证:直线EF、GH、AC相交于一点.证明:∵E、H分别是边AB、AD的中点,∴EH∥BD且12EHBD?.∵F、G分别是边BC、CD上的点,且23CFCGCBCD??,∴FG∥BD且23FGBD?.故知EH∥FGE且EH≠FG,即四边形EFGH为梯形,从而EF与GH必相交,设交点为P.∵P∈EF,EF?平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∵平面ADC∩平面ABC=AC,∴P∈AC.即EF、GH、AC交于一点P。