高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明

一、核心知识

1.合情推理

（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.演绎推理

(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)演绎推理的主要形式：三段论

“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

3.直接证明

直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

4反证法

（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

确。

（3）反证法的思维方法:正难则反．．．．

5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤

(1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；

(2)假设当 n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

二、典型例题

例1. 已知，猜想的表达式为（ B ）

A.；

B.；

C.；

D..

例2. 已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有

例3. 已知：；

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

_______________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式:

证明：左边 =

=

=

= =

（将一般形式写成

等均正确。）

例4．若均为实数，且。

求证：中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）

假设都不大于0，即，则有，

而 =

∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。

例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=（n∈N*）

三、课后练习

1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B )

[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎨

⎧

a 1＝1，

a n －a n －1＝n

(n ≥2，n ∈N *)．

2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)

2(n ∈N *)时，验

证n ＝1，左边应取的项是( D )

A ．1

B ．1＋2

C ．1＋2＋3

D ．1＋2＋3＋4

[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n 2，则( D )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2

－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

D ．f (n )中共有n 2

－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D )

A ．大于0

B ．小于0

C ．不小于0

D ．不大于0 [解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－

a 2＋

b 2＋

c 2

2

≤0.

5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定

[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1

c ＋c －1，

因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a

6．若

sin A

a

＝

cos B

b

＝

cos C

c

，则△ABC是( C )

A．等边三角形 B．有一个内角是30°的直角三角形

C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形

[解析] ∵

sin A

a

＝

cos B

b

＝

cos C

c

，由正弦定理得，

sin A

a

＝

sin B

b

＝

sin C

c

，∴

sin B

b

＝

cos B

b

＝

cos C

c

＝

sin C

c

，

∴sin B＝cos B，sin C＝cos C，∴∠B＝∠C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

7.观察式子：，…，则可归纳出式子为（ C ）

A、 B、

C、 D、

解析：用n=2代入选项判断。

8.设，，n∈N，则

解：，由归纳推理可知其周期是4

9.函数由下表定义：

若，，，则 4 ．

10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

12. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，

求证：。

答案：证明：要证，即需证。