转动惯量和力矩
电机的转动惯量和转矩的关系
电机的转动惯量和转矩的关系
1 电机转动惯量和转矩的基本概念
电机的转动惯量指的是电机旋转时所表现出的惯性。
同样大小的
转动惯量会对不同大小的转矩产生不同的影响。
若转动惯量大，则给
定大小的转矩所产生的加速度就会小；而若转动惯量小，则同样大小
的转矩所产生的加速度就会大。
转矩指的是电机在旋转时对应用于轴上的力所产生的力矩。
一个
具有足够大的转矩的电机可以在一定程度上抵御阻力，而使旋转速度
不至于下降过快。
2 电机的转动惯量和转矩的关系
转动惯量和转矩之间的关系可以用牛顿第二定律来表示：F=ma。
其中，F为电机受到的作用力，m为电机的质量，a为加速度。
由于电
机受到的力是由转矩提供的，即F=T/r，其中T为转矩，r为轮子半径。
将电机的转动惯量记为J，则根据牛顿第二定律可得：
T = J * a / r
即，某一大小的转矩所产生的加速度与转动惯量成反比。
因此，
要在限制转矩的情况下增加电机的加速度，就需要减小电机的转动惯量。
另一方面，若要保持电机的加速度不变，可以通过增加转矩的大小来抵消转动惯量。
因此，一些需要较高加速度的机器人和机械装置通常使用低转动惯量的电机，同时加装较大转矩的减速器来调整其工作状态。
3 结语
转动惯量和转矩是电机中重要的机械参量，它们之间的关系对于电机的设计和性能优化具有重要的影响。
在实践应用中，需要根据具体的应用需求和工作环境来选择不同大小、不同类型的电机，以及相应的配套减速器、控制器等组件。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
2 J ddt
1
1
1 dt
1 dt
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
26
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
X
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于
同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚
体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位
置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
1、刚体的转动动能
i质点的动能
Eki
1 2
mi vi2
1 2
miri2 2
整个刚体的动能 — 对i求和
Ek
i
Eki
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi
ri2
2
1 2
(
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度
平方乘积的一半。
t
t0 Mdt L L0
动量守 恒定律
Fi 0,
mi vi
力矩转动定律转动惯量
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
转动惯量和飞轮力矩的关系
转动惯量和飞轮力矩的关系转动惯量和飞轮力矩的关系可不是一件简单的事，听起来就像是物理课上的一个老掉牙的话题，但其实这背后有很多有趣的故事哦。
想象一下，一个飞轮就像是个超级英雄，能在需要的时候给我们提供强大的动力。
它的转动惯量就像是它的身份牌，越重的身份牌，飞轮就越难以转动，但一旦它动起来，那可真是势不可挡。
你可能会想，飞轮和转动惯量之间到底有啥关系呢？哎，别急，慢慢来。
飞轮的力矩就像是小孩拉着风筝，风筝飞得越高，需要的力气就越大。
飞轮越重，转动惯量越大，要想让它转动起来，必须用更多的力矩。
这就好比你在运动的时候，想要举起一块大石头，光靠自己的力气可不够，得找个小伙伴帮忙。
这也解释了为什么在一些机械设备里，我们常常会看到飞轮的身影。
它们就是在帮助设备克服转动惯量，顺利运行。
大家都知道，惯性是物理中的“老大”，一旦飞轮转起来，简直就像是被施了魔法，转动的过程不再受到太多阻碍。
你会发现，飞轮在一些交通工具中尤其重要，像是汽车、火车、甚至是飞机。
想象一下，汽车在加速时，飞轮的力矩就像是给它打了一针强心剂，让它瞬间提速。
再比如，火车启动的时候，飞轮的转动惯量保证了它不会因为瞬间的加速而失控。
哇，这可真是个了不起的家伙，不是吗？而飞轮的设计就像是美食中的调味料，适当的添加才能让整体的性能达到最佳状态。
说到飞轮，咱们得提一下“平衡”这个概念。
飞轮在转动的时候，就像是一个调皮的小孩，随时可能摔倒，但如果设计得当，飞轮就能在转动中保持稳定。
想象一下，一个飞轮在快速旋转，它的重心就像是个魔术师，巧妙地保持平衡。
这个时候，转动惯量发挥了它的威力，让飞轮在各种环境中都能保持稳定，就算遇到风浪，也能轻松应对。
飞轮的力矩就像是一个坚实的后盾，让它在关键时刻展现出超强的能力。
再说说飞轮的应用吧，别小看它，这小东西在生活中可无处不在。
比如，洗衣机在甩干的时候，飞轮的力矩帮助衣物迅速脱水，几乎就像是给衣物上了个“干洗”的魔法。
健身器材中的飞轮，能够让你在锻炼时体验到更顺畅的感觉。
发电机的转动惯量和飞轮力矩的关联
发电机的转动惯量和飞轮力矩的关联【发电机的转动惯量和飞轮力矩的关联】引言：发电机作为一种电力设备在现代社会中扮演着重要的角色。
当我们探讨发电机的性能和工作原理时，转动惯量和飞轮力矩是两个必须考虑的关键概念。
本文将深入剖析发电机的转动惯量和飞轮力矩之间的关联，并分享对这个主题的观点和理解。
1. 转动惯量的概念和重要性转动惯量是物体绕轴旋转时，其惯性对旋转加速度的抵抗程度的物理量。
在发电机中，转动惯量决定了发电机在启动、停机和运行过程中的稳定性和响应能力。
较大的转动惯量意味着发电机能够存储更多的旋转能量，并能够在负载变化时提供更稳定的电能输出。
转动惯量是发电机设计和优化中需要考虑的重要因素。
2. 飞轮力矩的定义和作用飞轮力矩是指发电机转动时旋转部件所受到的力矩。
它产生的主要原因是转子的转动惯性和外部负载的影响。
飞轮力矩对发电机的运行和性能具有关键影响。
它可以平衡反作用力和负载变化，保持发电机的稳定运行。
较大的飞轮力矩使得发电机更能够应对外部负载的变化，减少启停时的能量波动，提高电能输出的质量。
3. 转动惯量与飞轮力矩的关联转动惯量与飞轮力矩之间存在着密切的关联。
较大的转动惯量会导致较大的飞轮力矩。
这是因为在转速恒定的情况下，较大的转动惯量需要较大的力矩才能改变其旋转速度。
而较大的飞轮力矩则可以提供更强的驱动力，以满足转动惯量的需求。
4. 转动惯量和飞轮力矩的影响因素转动惯量和飞轮力矩受到多种因素的影响。
其中包括发电机的物理结构和设计参数，如转子的质量和几何形状，转子轴承的摩擦和损耗等。
负载的变化和外部扰动也会对转动惯量和飞轮力矩产生影响。
通过合理的设计和优化，可以调整转动惯量和飞轮力矩以满足不同的运行需求。
5. 观点和理解转动惯量和飞轮力矩是发电机设计和性能优化中的重要考虑因素。
较大的转动惯量和飞轮力矩有助于提高发电机的稳定性和响应能力，从而提供更可靠的电能输出。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求和运行条件，合理调整和控制转动惯量和飞轮力矩，以实现优化的发电机性能。
力矩与转动惯量
力矩与转动惯量力矩是物体受力后产生的旋转效应，它是描述物体转动能力的物理量。
转动惯量则是物体对转动运动的惯性度量，它和物体的质量分布和其转动轴的位置有关。
本文将介绍力矩和转动惯量的概念、计算公式以及影响因素。
一、力矩的概念与计算力矩是力对物体的转动效应的量度，通常用符号M表示。
在力的作用下，物体的转动效果取决于力的大小和作用点距离旋转轴的距离。
力矩的计算公式为：M = F × r × sinθ其中，F为力的大小，r为作用点距离转动轴的距离，θ为力和转动轴之间的夹角，sin表示正弦函数。
从公式中可以看出，力矩的大小与力的大小、作用点距离旋转轴的距离以及两者之间的夹角有关。
二、转动惯量的概念与计算转动惯量是物体对转动运动的惯性度量，它与物体的质量分布和转动轴的位置有关。
通常用符号I表示。
对于质点，其转动惯量可以直接通过质量m和离转动轴的距离r计算：I = m × r²对于复杂的物体，转动惯量的计算需要考虑物体的形状和质量分布情况。
例如，对于绕轴旋转的刚体，转动惯量的计算公式为：I = ∫r² dm其中，积分符号∫表示对整个物体进行质量分布的积分，r为质量元dm离转动轴的距离。
通过对物体进行积分求和，可以得到物体的总转动惯量。
三、影响力矩和转动惯量的因素1. 力的大小：力矩与力的大小成正比。
当施加在物体上的力增大时，力矩也会增大。
2. 作用点距离旋转轴的距离：力矩与作用点距离旋转轴的距离成正比。
当作用点距离旋转轴增大时，力矩也会增大。
3. 夹角θ：力矩与力和旋转轴之间的夹角正弦函数有关。
夹角θ越大，力矩越大。
4. 物体的形状和质量分布：转动惯量的大小与物体的形状和质量分布有关。
对于不同形状的物体，其转动惯量会有所不同。
综上所述，力矩和转动惯量分别描述了物体受力后的旋转效应和对转动运动的惯性度量。
力矩的大小与力的大小、作用点距离旋转轴的距离以及两者之间的夹角有关；转动惯量的计算需要考虑物体的形状和质量分布情况。
常用机构的转动惯量与扭矩的计算
常用机构的转动惯量与扭矩的计算引言：在机械工程中，常常需要计算机构的转动惯量和扭矩，这些参数是设计和分析机械系统的重要指标。
本文将介绍一些常用机构的转动惯量和扭矩的计算方法，以帮助读者更好地理解机械系统的运动行为。
一、刚性转动连杆机构刚性转动连杆机构是一种常见的机构，在此之前，我们需要对转动惯量和扭矩有所认识。
1.转动惯量的计算转动惯量是描述物体绕一些轴线转动的惯性大小。
对于刚性连杆机构而言，其转动惯量可以通过以下公式计算：I=m*r^2其中，I表示转动惯量，m表示物体的质量，r表示质点与轴线距离。
扭矩是描述物体受力作用下产生的转动效果的物理量。
对于刚性连杆机构而言，其扭矩可以通过以下公式计算：T=r*F其中，T表示扭矩，r表示力矩臂，F表示力的大小。
二、常见机构的转动惯量和扭矩计算1.单摆机构单摆机构由一个固定轴和一个摆动物体组成，其转动惯量和扭矩的计算公式如下：I=m*L^2T = m * g * L * sinθ其中，I表示摆动物体的转动惯量，m表示摆动物体的质量，L表示摆长，g表示重力加速度，θ表示摆动物体相对垂直方向的偏角。
2.齿轮传动机构齿轮传动机构由驱动轮和从动轮组成，其转动惯量和扭矩的计算公式如下：I=m*r^2T=F*r其中，I表示轮的转动惯量，m表示轮的质量，r表示轮的半径，F表示作用在轮上的力。
3.曲柄摇杆机构曲柄摇杆机构由曲柄和摇杆组成，其转动惯量和扭矩的计算公式如下：I=m*r^2T=F*r其中，I表示摇杆的转动惯量，m表示摇杆的质量，r表示摇杆的长度，F表示作用在摇杆上的力。
4.平行四边形机构平行四边形机构由两个平行的连杆和两个交叉连杆组成，其转动惯量和扭矩的计算公式如下：I = m * a^2 * (sinδ)^2 + 1/12 * m * b^2T = F * a * sinδ其中，I表示交叉连杆的转动惯量，m表示交叉连杆的质量，a表示平行连杆的长度，δ表示平行连杆与交叉连杆之间的夹角，b表示交叉连杆的长度，F表示作用在交叉连杆上的力。
§4.2 力矩 转动惯量 转动定律
Fi
3. Mz、J、皆对同一轴而言。
fi
n
ri Fi ri fi ( miri2)
i
i
i 1
o ri
f
i
mi
Fi
n
ri Fi J i1
Mz J ( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 27 / 18 .
1. Mz J 反映了力矩 Mz与角加速度 间的瞬时关系。
P. 29 / 18 .
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。
解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 Mz J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
而 J 1 ml 2 3
0 t
0 t0 0
0
t0
M阻 J
ml 2 3t 0
i 1
二、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 9 / 18 .
n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
i 1
n
ri Fi J i1
Mz J
Fi fi
o ri
F ma
f
i
mi
Fi
( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
力矩转动定律转动惯量jm汇总课件
力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
0
3
8
以上各例说明：
(1)刚体的转动惯量 与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(２)质量元的选取：
线分布 dm dx(或dl)
面分布 dm ds
体分布 dm dv
线分布
面分布
体分布
9
习题4-11： 质量为m1和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图示的组合轮两端.设两轮的半 径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力 均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两 物体的加度度和绳的张力.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2 )
J11 J 22
(J1 J2 )
22
习题4-16：一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘，通过 其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在 某时刻，一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开，且恰好 沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？ 破裂
Lz x mv y ymv x
15
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
z
L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
dL d(J) M
dt dt
O ri
v i
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
20
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
1
2
航天器调姿
力矩转动定律转动惯量
二. 转动定律
Fit (mi )at mri
M i ri Fit (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O ri mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量 转动定律
J miri2
M J
M J 转动定律
J miri2
J miri2
i
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
J r2dm m
适用于连续分布刚体转动惯量的计算
在国际单位制（SI）中，转动惯量的单位 为千克二次方米，即 k.g m2
例： 1.求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB
的转动惯量.
（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；
（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴.
2
l
5. 一长为 质l 量为 匀m质细杆竖直放置，其下
端与一固定铰链 O 相接，可绕其转动.由于此竖直放 置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时， 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动.试计
算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
T2
mM
Gm
a2 GM
(2M m)mg mM阻
T1 m( g a)
2
R
M m m
2
(2m m)Mg MM阻
T2 M ( g a)
2
R
M m m
2
注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时， 此时有 -T-1---T(2中学的情况)
4.一根长l质量为m 的均匀直棒，其一端固定在光滑的水平轴O，
转动惯量乘角加速度和力矩的关系
转动惯量乘角加速度和力矩的关系你有没有想过，为什么当你推一辆车的时候，车会慢慢地转动，而不是立刻就开始旋转起来？这背后，其实有个叫“转动惯量”的家伙在捣乱。
别看它名字听起来挺学术的，其实它就是衡量一个物体对旋转的“抗拒力”。
说白了，物体的转动惯量越大，你就得越使劲才能让它转起来。
就像推冰山，谁能说轻松呢？得给它点力气才行！这时候，我们还得提一个小伙伴——力矩，别看它名字简单，其实它就是一个决定力到底能不能让东西旋转的“神奇力量”。
你可能会想，力矩和转动惯量到底有什么关系呢？简单来说，力矩就是你给物体施加的“推力”，而转动惯量则是物体“抵抗旋转”的能力。
就像你站在一个溜冰场上，准备转圈，你越用力推自己，转的速度就越快。
但如果你是个胖子或者背上背着大包，那你转起来就慢。
为什么？因为你的“转动惯量”大了，抗拒力也强了，想转快点就得花更多的力气。
说到力矩，大家可能知道这家伙的作用。
比如说，你用扳手拧螺丝，扳手的长度越长，力气就能施加得越有效，螺丝就能更容易拧开。
而如果你把扳手短了，你就得使劲蹬，才能得到同样的效果。
力矩就像那长长的扳手，越长，你的“推力”就越能有效作用到物体上。
而你给物体施加的力矩，能通过一个简单的公式表达出来：力矩 = 力 x 距离。
力越大，距离越长，力矩自然就大，旋转的效果就更显著。
不过，说到转动惯量，这东西真的挺“霸道”的。
转动惯量不是你想改变就能改变的，它跟物体的质量和形状有关系。
比如一个重的物体，比一个轻的物体，转动惯量就大，因为它更“难缠”，不容易旋转。
如果你拿一根长长的铁棍，站在它的中间旋转，比拿它的一端旋转，转动惯量肯定不同。
站在中间，旋转起来相对容易一点，而站在两头，你就得更费劲了。
这是因为旋转惯量不仅和物体的质量有关，还跟它的质量分布有关系。
你想象一下，物体的质量越分散，转动时就越难。
就像有些人买了个大冰箱，放满了东西，推它可不是说推就能推动的，得使劲儿！所以啊，力矩、转动惯量和角加速度就像三个人玩接力赛，一环扣一环。
力矩与转动惯量的计算与平衡问题
力矩平衡的条件
力矩平衡的定义：当物体受到多个力矩作用时，如果这些力矩的矢量和为零，则称 该物体处于力矩平衡状态。
力矩平衡的条件：当物体处于力矩平衡状态时，其所受的合力矩为零，即所有力矩 的矢量和为零。
力矩平衡的应用：在工程和日常生活中，力矩平衡条件广泛应用于各种机械设备的 设计和使用中，如汽车、飞机、轮船等。
力矩平衡的概念
力矩平衡：物体在受到多个力矩作用时，如果这些力矩的合力为零，则称该物 体处于力矩平衡状态。
力矩平衡的条件：多个力矩的合力为零，即ΣM=0。
力矩平衡的应用：在工程、建筑、机械等领域，力矩平衡是设计和分析的重要 依据。
力矩平衡的求解：通过求解力矩平衡方程，可以得到物体在特定条件下的转动 状态和受力情况。
物理意义：表示物 体抵抗转动的能力 ，与物体的质量和 形状有关。
转动惯量的计算方法
公式：I = mr^2
质量m：物体的质量
半径r：物体到旋转轴的距离
计算示例：对于一个均匀的圆盘，其转动惯量为I = 1/2 * m * R^2，其中m为圆盘 的质量，R为圆盘的半径。
PART 04 力矩平衡问题
国际单位：牛顿·米（N·m） 常用单位：公斤力·米（kgf·m） 换算关系：1N·m = 0.10197kgf·m 注意事项：力矩的单位与力的单位和距离的单位有关，需要根据实际情况选择合适的单位。
力矩的计算方法
力矩的定义： 力与力臂的
乘积
力矩的计算 公式： M=F*L
力矩的方向： 与力臂垂直，
与力同向
THANK YOU
汇报人：XX
保持不变
力矩平衡： 系统内各物 体的力矩之 和保持为零
能量守恒：系 统内各物体的 动能和势能之
转动惯量和转矩的关系
转动惯量和转矩的关系
转动惯量是物体对于旋转轴的惯性量度，而转矩是物体受到的力矩，在物体旋转时产生的力。
这两个概念密切相关，因为转矩和转动惯量之间存在着一定的关系。
具体来说，如果一个物体受到一个力矩，它就会产生一个加速度，从而改变它的角速度。
而物体的角加速度正比于力矩的大小，且反比于物体的转动惯量。
也就是说，当物体的转动惯量变大时，同样大小的力矩就会产生更小的角加速度，而当转动惯量变小时，同样大小的力矩就会产生更大的角加速度。
因此，转动惯量越大的物体会更难以旋转，并且需要更大的力矩才能产生相同的角加速度。
这也是为什么在旋转物体时，一些物体比另一些物体更容易旋转的原因。
总之，转动惯量和转矩是密切相关的物理概念，它们之间的关系可以帮助我们更好地理解物体的旋转行为。
- 1 -。
4-2力矩 转动定律 转动惯量
dm：质量元 dV ：体积元
r dV
2 V
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关．
（2）与刚体的几何形状(及体密度 的分 布)有关． （3）与转轴的位置有关．
例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 量。 B A 解：取如图坐标，dm=dx X L L 2 2
m,l O
FN
θ
1 mgl sin J 2
式中
mg
1 2 J ml 3
3g sin 得 2l
由角加速度的定义
dω dω dω dθ ω dθ dt dθ dt 3g sin θdθ 有 ωdω 2l
3g 解得： ω (1 cos θ ) l
m,l O
y O Q
M 2.14 10 N m
12
二、 转动定律 （1）单个质点 m 与转轴刚性连接
z
M
O
Ft
Ft mat mr
M rF sin θ
M rFt mr
2
r
F
m Fn
M mr
2
（2）刚体 质量元受外力 Fej， 内力 Fij
M ij
rj
j
F ji
ij
O
M ji
d
iF ri
M ij M jiБайду номын сангаас
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所 示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通 过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
15-3-2力矩转动定律转动惯量
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
31
物理学
第五版
2.6.3 力矩 转动定律 转动惯量
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l
θ mg
O
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
Mij M ji
3
物理学
第五版
2.6.3 力矩 转动定律 转动惯量
例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在 水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已
知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的
摩擦力矩的大小．
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止下降距 离 y 时，其速率是多少？
24
物理学
第五版
2.6.3 力3-矩2 力转矩动、定转动律惯量转、动转惯动量定律
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
dx
m L
1 3
x3
2 L
2
m L
1 3
L3 8
L3 8
1 12
mL 2
9
物理学
第五版
2.6.3 力矩 转动定律 转动惯量
(2) 轴过一端端点
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2
力矩与转动惯量
力矩与转动惯量力矩是物体在力的作用下发生转动的性质，它与转动惯量密切相关。
转动惯量是描述物体抵抗转动的特性，它是物体质量分布与轴线位置的函数。
在本文中，我将从物理学的角度探讨力矩与转动惯量的概念、计算方法以及实际应用。
一、力矩的定义与计算力矩是一种矢量量，它的大小等于力乘以力臂的长度。
力臂是力矩的重要参数，它是从轴线到力的作用线的垂直距离。
根据右手定则，力矩的方向垂直于力的作用面。
计算力矩的公式为：M = F * d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示力臂的长度。
力矩的单位是牛顿米（N·m）。
二、转动惯量的定义与计算转动惯量是描述物体抵抗转动的特性。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量的计算需要考虑物体的质量、几何形状以及旋转轴线的位置。
对于质点，转动惯量的计算公式为：I = m * r^2其中，I表示转动惯量，m表示质点的质量，r表示质点到转轴的距离。
对于刚体，转动惯量的计算需要积分来处理。
具体计算方法与刚体几何形状有关，如长方体、圆柱体等。
三、转动惯量的实际应用转动惯量在物体的旋转运动中起到重要作用，它影响着物体的旋转速度、角加速度以及旋转动能的变化。
在实际应用中，转动惯量被广泛运用于各个领域。
1. 机械工程领域：在机械设计中，准确计算物体的转动惯量可以预测机械的运动特性，如转速、动力学性能等。
这对于设计安全可靠的机械系统至关重要。
2. 物理学研究：转动惯量在物理学研究中具有重要的地位。
研究物体的转动运动可以深入理解物理学的基本原理，解释自然现象。
3. 航天航空工程：在航天航空领域，转动惯量的准确计算对于飞行器的稳定性和控制性能具有重要影响。
合理设计转动惯量可以提高航天器的整体效能。
4. 运动物体的稳定性：在体育运动中，积极利用转动惯量可以改变运动物体的稳定性，如跳远时的腿部摆动，滑冰时的臂部伸展等。
四、总结力矩与转动惯量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在力的作用下发生转动的性质。
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2
r
p
L
m o r
转动惯量
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转惯量
2 j j 2 11 j
J m r m r m r
2 2 2
M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
j
dm
：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
质点的角动量
在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
L
x
z
r
o
L r p r mv 大小 L rmv sin
m y
v
L
v
为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
L 的方向符合右手法则. 质点以角速度 作半径
P
R O m
力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
r
F
*
d
P
Fi 0 , Mi 0
d F
: 力臂
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F Fz F F 其中 Fz 对转轴的力 k Fz
矩为零，故 F 对转轴的 力矩
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、质 量分布、形状及转轴的位置 .
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量 C
d
mO
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 J P mR 2 mR 2 的转动惯量 2