函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性

知识体系一函数的奇偶性的定义

1．偶函数:

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

○

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○

2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

二具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

三奇偶函数的性质：

1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)

f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0

f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

()()0f x f x ±-=，()1()

f x f x =±-7设()f x ，()

g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇

题型体系

一判断函数的奇偶性

例1判断下列函数的奇偶性

（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x x

x f +=1

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○

2确定f(－x)与f(x)的关系；○

3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，

（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象

例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系

例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

规律：

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。O

x

y

例3已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则（）A 12()()

f x f x ->-B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x ->-D 12()()

f x f x -<-例4.（湖北理6）已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x

g 满足

()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=

2f A.2 B.415 C.417 D.2

a 例5.（全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是

（A）3y x =(B)1y x =+（C）21y x =-+(D)2x

y -=抽象函数奇偶性的证明

例6已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1(

)()()1,1(,xy

y x f y f x f y x --=--∈有证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；学生作业1函数f(x)=x 2/(x 2+bx+1)是偶函数，则b=2函数F(x)=(1+2/(2x -1))f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)

()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数，又是偶函数

(D)非奇非偶函数3、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（

）A ．()()f x f x -是奇函数

B ．()()f x f x -是奇函数

C ．()()f x f x --是偶函数

D ．()()f x f x +-是偶函数

4已知函数f(x)=x 2+lg(x+

12+x ),若f(a)=M,则f(-a)等于（）(A)2a 2-M (B)M -2a 2

(C)2M -a 2(D)a 2-2M 5.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ﹥0时,f(x)=x 2+x+1,则x ﹤0时,f(x)=_________________

6下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A 1B 2C 3D 47定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)

8、设函数))(1()(a x x x f ++=为偶函数，则=a __

9．已知函数f(x)=x 5+ax 3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于

A.-26

B.-18

C.-10

D.10

10、已知函数f(x)=a+141x +是奇函数，则常数a=.

11．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+)∞上是单调增函数，若f （1）

12．若f （x ）是偶函数，其定义域为R 且在[0，＋∞）上是减函数，则f （－

4

3）与f （a 2－a ＋1）的大小关系是____．13设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是()

A.()()f x f x -是奇函数

B.()()f x f x -是奇函数

C.()()f x f x --是偶函数

D.()()f x f x +-是偶函数

14已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数.当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=

)(x f .15若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______