人口预测的最小二乘模型

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未来五十年中国人口数量的预测与适度人口容量分析

目录一．问题研究的背景 (2)二．人口总量分析与预测—模型I、II (3)（一）短期预测 (4)1．符号说明 (4)2．模型I原理 (4)3．灰色系统建模方法 (5)4．灰色模型检验 (6)5．短期预测模型的建立 (7)（二）长期预测 (7)1．模型II原理（灰数等维递补动态预测方法） (7)2．模型II建立 (8)（三）模型I,II评价: (12)三．适度的人口规模与人口的可持续发展 (13)（一）问题研究背景 (13)（二）适度人口研究的改进方向 (14)四．结语 (15)参考文献 (17)附录 (19)未来50年中国人口数量的预测与适度人口容量分析摘要：中国作为人口大国，人口问题始终是影响我国社会经济发展的主要因素之一。

中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻。

人口预测是人口研究的重要主题，相对准确预测未来50年中国人口数量及其增长，可以为中国经济和社会发展决策提供科学依据。

与人口总量预测紧密相关的概念是适度人口，如果说实际的人口总量是现实情况的话，那么适度人口就是我们制定人口政策的最重要的依据以及努力的目标。

本文依据灰色理论建立相应的灰色预测模型对于中国的未来人口总量进行了短期和长期的分析和预测，同时对于中国的适度人口容量提出一些自己的看法，给出一些可行性的建议。

关键词：等维动态灰数递补预测，适度人口，GM（1，1）模型，新陈代谢模型Abstract:Being the country with the largest population in the world, China has seen the population issues as one of the important factors in the social development process. Since 1980s, Chinese government has make great achievements in carrying on the policy that . However, due to the large number of China’s population, the problem of population is still severe for us. Population prediction is one of the important issue in the demography study. Making a relatively concise prediction about China’s population and its trend would provide scientific basis of China’s economic and social development. The concept that has close relationship with population forecast is optimum population. If we say the real population number is the real situation, the optimum population can be seen our target to do the policy closely relating to the demography study. Based on the grey theory, this article makes the short-term and long-term forecast about the China’s total population. Meanwhile, some personal ideas about China’s optimum population and plausible suggestions are provided.Keywords:Gray Forecasting Model of Equidimensional Filling Vacancies，Optimum Population，GM (1, 1) model，Symbolic Model未来50年中国人口数量的预测与适度人口容量分析经济学院统计041 汪寅彦 2023404157 指导老师：陶用之一．问题研究的背景人口问题是一个关系全局的一个重要问题，作为世界上的第一人口大国，中国的人口的变动甚至会影响国家基本政策的制定，社会福利事业的发展，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规范。

数学建模人口模型人口预测教学内容

数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测教学内容数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测关于计划⽣育政策调整对⼈⼝数量、结构及其影响的研究【摘要】本⽂着重于讨论两个问题:1、从⽬前中国⼈⼝现状出发，对于中国未来⼈⼝数量进⾏预测。

2、针对深圳市讨论单独⼆胎政策对未来⼈⼝数量、结构及其对教育、劳动⼒供给与就业、养⽼等⽅⾯的影响。

对于问题1从中国的实际情况和⼈⼝增长的特点出发，针对中国未来⼈⼝的⽼龄化、出⽣⼈⼝性别⽐以及乡村⼈⼝城镇化等，提出了 Logistic、灰⾊预测、等⽅法进⾏建模预测。

⾸先，本⽂建⽴了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国⼈⼝的历史数据，运⽤线形最⼩⼆乘法对其进⾏拟合，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，得出在 2040 年时，中国⼈⼝有 14.32 亿。

在此模型中，由于并没有考虑⼈⼝的年龄、出⽣⼈数男⼥⽐例等因素，只是粗略的进⾏了预测，所以只对中短期⼈⼝做了预测，理论上很好，实⽤性不强，有⼀定的局限性。

然后，为了减少⼈⼝的出⽣和死亡这些随机事件对预测的影响，本⽂建⽴了 GM(1,1)灰⾊预测模型，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，同时还⽤ 2002 ⾄ 2013 年的⼈⼝数据对模型进⾏了误差检验，结果表明，此模型的精度较⾼，适合中长期的预测，得出 2040 年时，中国⼈⼝有 14.22 亿。

与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄⼀类的因素，只是做出了⼈⼝总数的预测，没有进⼀步深⼊。

对于问题2针对深圳市⼈⼝结构中⾮户籍⼈⼝⽐重⼤，流动⼈⼝多这⼀特点，我们采⽤了灰⾊GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市⾃2001⾄2010年的数据进⾏拟合，发现其⼈⼝变化近似呈线性增长，线性相关系数⾼达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性⽅程。

同理，针对其⾮户籍⼈⼝，我们进⾏matlab 拟合发现，其为⾮线性相关，并得出相关函数。

并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。

最小二乘法估计

机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与研究方向
用于研究社会现象和人类行为，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德于1805年提出，并广泛应用于天文、物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法在数据处理和统计分析方面得到了广泛应用和改进，出现了多种扩展和变种，如加权最小二乘法、广义最小二乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回归分析方法，通过给不同观测值赋予不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法的改进，通过给不同观测值赋予不同的权重来调整误差的平方和。这种方法适用于存在异方差性的数据，即误差项的方差不恒定的情况。通过合理地设置权重，WLS能够更好地拟合数据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型和回归分析，是线性回归分析中最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。

中国人口增长预测

中国人口增长预测摘要本文主要建构了比较稳定的分要素推算法和灰色GM(1.1)模型结合的人口发展模型，以针对中国未来人口发展情况作出合理的估计。

结合中国的实际国情、解决人口问题的战略思路和战略措施，用灰色GM(1.1)模型建立2004年后中国人口发展速度情况的数学模型,在这个模型理论上讲可以较准确地推测出我国人口发展态势：出生率和死亡率。

以分要素推算法构建人口的增长方程,建立了2001年后中国人口的数学模型。

利用该模型可推算2001 年至2005年的的总人口。

通过调整模型中有关参数及输入的条件,使模型更加精确,再以1980年至2004年的数据预测2005年到2050年中国人口总数。

在预测长期人口总数时,利用《中国人口统计年鉴》中的数据验证了以上模型在理论上来可推测很长一段时期内任一年的年龄结构。

预测的结果显示：未来我国人口将继续增长，但增长率逐年下降，到2030年后我国的人口的出生率和死亡率相等,这时我国人口将达到峰值。

2030年后到2050年我国人口将出现负增长，人口结构老龄化严重，城市人口比例增加，镇区的人口在出现上升后回落，农村人口因政策等因素持续下降。

关键词：分要素推算法;灰色GM（1.1）模型;人口预测;人口增长模型; 出生率;死亡率;一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题制约我国经济的发展。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

一近半个世纪以来，世界人口发展的基本态势：一是生育水平逐步下降，人口总量经历高速增长后进入增速趋缓时期。

发展中国家总和生育率从6.2下降到2.9,发达国家从2.8下降到1.6。

据联合国预测，到本世纪中叶，全球人口再生产类型转变将基本完成。

二是人口年龄结构持续老龄化。

2000年，世界60岁以上和65岁以上老年人口比重分别达到10%和7%，欧洲为20%和15%。

三是人口素质成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中的作用更加突出。

人口预测数学实验报告

数学实验报告（一）一、实验题目: 人口预测二、实验目的:1.分析用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据进行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的误差平方和更小？2.详细描述最小二乘法的特点, 并通过实验验证最小二乘的理论；3.方程数多于未知数的线性方程组称为超定方程组,使误差平方和达到最小的求解方法称为最小二乘法.试用矩阵描述最小二乘法的解算步骤.三、实验内容和方法:1.通过多项式拟合程序T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]';L=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);figure(1),plot(T,N,'o',T,PL)RL=sum((N-PL).^2)E=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));figure(2),plot(T,N,'o',T,PE)RE=sum((N-PE).^2)L2008=polyval(L,2008)E2008=exp(polyval(E,2008))分别得到线性函数拟合效果图:指数函数拟合效果图:由图可以看出两种方式的结果差异并不是很大其次, 由程序可以得出, 线性函数的误差平方和为: 4.7619e-005指数函数的误差平方和为: 1.1549e-004可见线性函数的误差平方和更小。

2.曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。

最小二乘法就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。

这就类似于概率中的标准差, 也是用距离的方式来定义, 以求得误差最小。

通过有实际意义的数值来判断比较并最终得到最好的拟合方法。

编写程序, 将实际折线图分别与线性拟合和指数拟合在同一个图中显示：折线图与线性拟合图:T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]';plot(T,N,'O',T,N)hold onL=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);plot(T,N,'*',T,PL)hold of折线图与指数拟合图:T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]'; plot(T,N,'O',T,N)hold onE=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));plot(T,N,'*',T,PE)hold off由此可见, 误差平方和更小些的线性拟合方法拟合出的图形与原图更加接近。

logistic模型在人口预测中的应用

l o g i s t i c模型在人口预测中的应用The final revision was on November 23, 2020Logistic模型在中国人口预测中的应用摘要人口问题是当今世界的一个热门话题，全球人口总数的不断激增，使得自然资源人均可利用量不断减少，因此对未来人口数量的预测显得十分的重要。

随着数学模型的不断发展和应用，数学模型在现实生活中的应用越来越多，所起作用也越来越重要。

经典的人口模型——Malthus模型由于存在诸多限制，其预测的结果不太准确。

本论文主要是应用Logistic模型来对中国未来几年的人口进行一个粗率的预测，利用显着性进行模型检验，同时展示数学模型在中国人口方面的应用。

Logistic模型考虑随着人口的增加，自然增长率、自然因素、环境因素等其它因素对人口的影响，预测结果基本符合我国的人口增长趋势。

应用Logistic模型进行人口预测，相比于Malthus模型和灰色预测模型，其拟合度更高，得到的结果更加精确。

关键词：中国人口人口预测 Logistic模型显着性检验Logistic model in the application of forecast the ChinesepopulationAbstract：The population problem is a hot topic in today's world. World's population soared, which reduce natural resources per capita availability progressively. Therefore population forecast is very important for the future. With the continuous development of mathematical models and models' application, Application of mathematical model in real life becomes more and more, whose work is becoming more and more important as well. By reason that there are many restrictions in the Malthus model the classical population model, the prediction result is not very accurate. This paper mainly uses the Logistic model to roughly predict the population of China in the next few years, and shows the application of mathematical model in terms of population in China at the same time. Logistic model considers the increase of population's natural growth, natural factors, environmental factors and other factors influence on the population, and the prediction results conform to the trend of population growth our country.Compared with the Malthus model and the Grey forecasting model, the prediction results of the Logistic model have a high fitting degree and is also more accurate.Keywords: China's population Population forecast Logistic modelTest of statistical significance目录第1章前言选题的背景和意义 (5)人口数量的可预测性 (5)人口预测模型的发展现状 (5)第2章常用人口预测模型的简述Malthus模型 (7)2.2 GM(1,1)预测模型……………………………………………………….……………………………………7Leslis人口预测模型 (8)Logistic人口预测模型 (8)第3章 Logistic模型模型的建立 (10)模型中的参数估计 (11)模型的检验 (11)第4章 Logistic模型在中国人口的预测应用数据的选取 (14)模型的应用 (14)模型检验以及结果分析 (15)人口预测 (17)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)附录 (21)第一章前言选题的背景和意义二十一世纪中世界最大的问题是环境安全问题和自然资源问题，而这些问题的关键就在于全球人口数量的激增和人口数量的庞大。

人口预测模型

⼈⼝预测模型⼈⼝预测模型想要预测未来某⼀年的⼈⼝数量，我们要建⽴⼈⼝增长模型，⼈⼝增长模型常见的有以下⼏种： 1)马尔萨斯(Malthus)模型——指数模型已知单位时间内⼈⼝增长率为r 。

设t 时刻时⼈⼝数为x(t),则t ?时间内增长的⼈⼝数为： )()()()()()(t rx tt x t t x t t rx t x t t x =?-?+??=-?+当0→?t 时，得微分⽅程0)0(,x x rx dtdx== 求解得rtex t x 0)(=待求参数r x ,0.2) 罗杰斯特(Logistic)模型-阻滞型⼈⼝模型已知环境能容纳的最⼤⼈⼝数为m x ，⼈⼝净增长率随⼈⼝数量的增加⽽线性减少，即)1()(mx x r t r -= 设t 时刻时⼈⼝数为x(t)，由此建⽴为微分⽅程：0)0(),1(x x x xrx dt dx m=-= 求解得rtmme x x x t x --+=)1(1)(0待求参数r x x m ,,0. 举例说明：下⾯是美国近两个世纪的⼈⼝统计数据（百万），试建⽴数学模型，预测2010年美国的⼈⼝数。

⼀建模分析⽬标：寻找⼈⼝数量随时间变化的规律,即函数关系式.⼈⼝的变化规律有其内在的规律，如Malthus 模型,Logistic 模型.题⽬中给的数据有什么作⽤呢？⽤这些数据做散点图，观察散点图分布规律，确定⼈⼝模型.散点图Matlab 程序：x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; t=1:22; plot(t,x,'*')% scatter(t,x)图形⾛势很像指数模型，所以我们先选择指数模型，即Malthus 模型.⼆建⽴模型Malthus 模型:0)0(,x x rx dtdx== rtex t x 0)(=要预测,得确定参数r x ,0.⽅法⼀：（最⼩⼆乘法⾮线性拟合）C = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,...)fun 是需要拟合的函数； x0是对函数中各参数的猜想值；xdata 则是横轴坐标的值；ydata 是纵轴的值；C 为fun 中待预测的系数。

中国人口增长预测模型_冯守平

安徽科技学院学报,2008,22(6):73~76Journa l o f Anhu i Sc i ence and T echno logy U n i versity收稿日期:2008-09-15基金项目:安徽省教育厅处自然科学基金项目(2006KJ052C )。

作者简介:冯守平(1954-),男,安徽省淮南市人,学士,副教授,主要从事数理统计研究。

中国人口增长预测模型冯守平(安徽财经大学统计与应用数学学院,安徽蚌埠 233030)摘要:本文以Log istic 人口阻滞增长模型为基础建立了我国人口增长的预测模型,对各年份全国人口总量增长的短、中、长期趋势作出了预测。

从而为我国人口的控制与管理提供了一定的依据。

关键词:Log istic 模型;最小二乘法;人口增长;Excel 软件;MATLAB 软件中图分类号:O213 文献标识码:A 文章编号:1673-8772(2008)06-0073-04On PredictionM odel of Chi na Population Growt hFE NG Shou-ping(Sc hoo l of S tatistics&Applied M athe m atics ,AnhuiUn iversity of F i n ance and E cono m ics ,Bengbu 233030,Ch i n a)A bstract :By retard i n g i n crease m ode,l th is article g i v es predicti o n on China popu l a ti o n gro w th m odel and on short-ter m ,m ediu m -ter m and l o ng-ter m trend o f Ch i n a population g r ow th ;it prov i d es a basis for the contro l and m anage m ent o f China populati o n .K ey words :Populati o n gro w th ;Log istic m ode;l Least squaresm ethed ;Exce;l LI N GO10中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国经济发展的关键因素之一。

人口预测的数学模型与预测方法分析

人口预测的数学模型与预测方法分析摘要：随着人口总数的不断增加，在很大程度上增加用地等方面的压力，不仅会影响到区域发展和经济水平的提升，也会阻碍着区域自然环境的协调发展，因此，必须重视对人口预测的重视程度，合理控制人口规模。

在科学技术日新月异的时代背景下，人口预测的方法和模型逐渐增多，每种方式适应范围和使用程序都有所不同，应根据区域实际情况，选择最恰当的预测方式，确保能够指导区域制定科学的科学发展战略。

本文简要分析人口预测的数学模型，重点介绍Logistic预测模型、双曲预测模型、指数预测模型三种预测方式，并阐述模型间关系。

关键词：人口预测；数学模型；预测方式；双曲预测模型我国人口总数大，增长速度快，在一定程度上增加了人口预测的难度，人口的发展可能受到自然因素、文化因素、政治因素、经济因素等多方面的影响，因此相关工作人员必须综合考虑地域经济状况、人口素质、政治环境，选择最恰当的预测方式，确保人口预测的准确性和可靠性。

需要注意的是，人口预测中运用的数学模型较多，其预测方式表面看似简单，但在实际运用过程常会出现问题，影响到人口预测的准确性，因此，工作人员应不断更新数学模型，做好人口预测工作。

一、人口预测的数学模型概述人口预测是指在某一特定时间段、某一区域中，调查其现有的人口现状和变化，总结出其中的发展规律，并提出影响人口变化的假设条件，并结合合适的计算方式，预测出未来人口的发展和变化[1]。

区域中真实的人口统计资料是人口预测的基础，不仅会影响发展规律的总结，更直接关系着预测结果的可靠性。

在实际运用过程中，常会出现以下三方面的问题：一是简单的推断人口增长，如规定人口某一时期的增长率，这相当于将人口与某一准确的数学函数相连，但人口的变化从来都不会呈现出完全的函数曲线；二是选择模型时，没有确定的标准，常采用同一模型去预测不同区域的人口变化，未将人口发展规律考虑进去；三是多种结果的相加得出人口预测，但这种方式忽略了模型之间的差异性，降低了人口预测的科学性。

数学建模美国人口预测报告1

3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。

首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。

一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。

在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。

在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。

2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。

城市人口预测方法

城市人口预测方法人口预测就是指以人口现状为基础,对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求与假定条件,即参数条件来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法。

城市人口预测就是城市总体规划的首要工作,它既就是城市规划的目标,又就是确定总体规划中的具体技术指标与城市合理布局的前提与依据,因此合理预测城市人口对城市的总体规划与城市的可持续发展有着十分重要的意义。

1、含义城市人口预测(urban population forecast)就是对未来一定时期内城市人口数量与人口构成的发展趋势所进行的测算。

2、传统人口预测方法传统的人口预测方法包括平均增长率法、带眷系数法、剩余劳动力转化法与劳动平衡法等。

1)平均增长率法在城市进行总体规划时,对人口规模预测的常见方法之一为平均增长率法,计算时应分析近年来人口的变化情况,确定每年的人口增长率。

人口规模预测公式为: P = P0 (1 + K1 + K2)n。

式中, P为规划期末城市人口规模, P0 为城市现状人口规模, K1 为城市年平均自然增长率, K2 为城市年平均机械增长率, n 为规划年限。

这种方法适合初步经济发展稳定的城市,人口增长会逐步增加,人口增长率变化不大。

但就是随着人口基数的增大,人口结构逐步趋于老龄化,人口增长的速度将会越来越慢,不可能都以平均的速度增长。

若要考虑到未来社会经济发展等因素对人口变动的影响,则可按预见的趋势改变人口增长率进行测算。

该方法具有普遍的适用性,但它对人口增长率的精度要求较高。

2)带眷系数法带眷系数法就是根据新建工业项目的职工数及带眷情况计算的。

当建设项目已经落实,规划期内人口机械增长稳定的情况下,宜按带眷系数法计算人口发展规模。

计算时应分析从业人员的来源、婚育、落户等状况以及城镇的生活环境与建设条件等因素,确定增加的从业人员及其带眷系数。

具体预测公式为: P =P1 (1 + a) + P2 + P3。

式中, P为规划期末城镇人口规模,P1 为带眷职工人数,a 为带眷系数, P2 为单身职工人数, P3 为规划期末城镇其她人口数。

人口预测模型

人口预测模型模型概述人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，人口老龄化的现象日益明显，使得我国调整人口生育政策成为可能，人类开始研究人和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行控制等问题模型一我国人口现状及人口增长的预测1.1指数增长型英国人口学专家马尔萨斯研究得出了著名的人口指数增长模型，记时刻t的人口为某为了利用微积分这一数学工具，将某视为连续可微函数。

记初始时刻的人口为某，即有微积分知识可得满足微分方程即r>0时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，利用最小二乘法将(3)式取对数，可得：经计算与验证，指数增长模型能比较准确的预测人口的增长，但对于长期预报不够准确，因此必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设1.2阻滞增长模型分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，自然环境，环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。

阻滞作用体现在增长率R的影响上，使得R随着人口数量某的增加而下降。

若将R表示为某的函数，则它应该是减函数，于是方程（2）写作对R的一个简单的假定是，设为的线性函数，即这里R称固有增长率，表示人口很少时（理论上是某=0）的增长率。

为了确定系数S的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量某称人口容量。

当时人口不再不再增长，即增长率代入（6）式可得于是（6）式为（7）式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率R方程（8）右端的因子体现人口自身增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。

如果以某为横轴为纵轴做出方程（8）的图形可以分析人口增长速度随着某的变化而变化的情况，从而大致地看出的变化规律方程（8）可以用分离变量的方法求解得到。

最小二乘法求解线性回归问题

最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是一种求解线性回归问题的常用方法，可以通过求解最小化残差平方和来得到回归系数。

在实际应用中，线性回归问题非常广泛，例如：用于根据人口、GDP等因素预测国家的经济增长；用于预测某个公司未来的销售额等等。

因此，掌握最小二乘法的原理及实现方法对于数据分析人员来说是非常有必要的。

一、线性回归问题的定义首先，我们需要了解什么是线性回归问题。

简单地说，线性回归问题是指在给定的一些输入自变量和输出因变量之间，通过线性函数建立它们之间的联系，然后预测新的自变量所对应的因变量的值。

例如，在预测房屋价格时，我们可以使用房屋面积等自变量来建立一个线性模型，模型的输出为房屋价值。

二、最小二乘法的原理最小二乘法的本质是通过找到一组能够最小化误差平方和的回归系数来进行预测。

对于给定的自变量和因变量，我们假设它们之间存在一个线性关系：$$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示常数项，$\beta_1, \beta_2,...,\beta_n$分别表示$x_1, x_2,...,x_n$的系数，$\epsilon$表示误差。

因此，我们需要求解出这些系数，使得误差平方和最小化。

误差平方和的表达式为：$$S(\beta_i)=\sum_{i=1}^n (y_i-\tilde{y_i})^2 =\sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\beta_1x_{i1}-\beta_2x_{i2}-...-\beta_nx_{in})^2$$将上述表达式对系数进行求导，并令导数等于0，我们就可以得到最小二乘法的回归系数。

对于任意的自变量$x$，它所对应的因变量$y$的预测值$\tilde{y}$为：$$\tilde{y}=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n$$三、最小二乘法的实现最小二乘法的实现可以分为两步：Step 1：计算回归系数回归系数的计算可以使用矩阵的形式进行，公式如下：$$\begin{bmatrix}\beta_0 \\\beta_1 \\\beta_2 \\... \\\beta_n \\\end{bmatrix}=(\textbf{X}^T\textbf{X})^{-1}\textbf{X}^T\textbf{y}$$其中，$\textbf{X}$是自变量特征矩阵，形式为$n \times m$，即有$n$个样本和$m$个自变量；$\textbf{y}$是因变量向量，形式为$n \times 1$。

短期人口增长预测模型

１）模型．
表６新陈代谢ＧＭ（１，１）模型精度检验
３结论
笔者对灰色ＧＭ（１，１）模型、新陈代谢ＧＭ（１，１）模型分别进行了分析与对比，结合实际，建立了不同
维度的预测模型，并对预测模型进行对比和讨论．得
序列的，并且预测的时间越短，误差越小．５维灰色
２．１模型建立所谓新陈代谢模型，即有原始序列 ’＝［ ‘ 。（１）， ‘ 。（２）， …，。（ｎ）］建模后求得预测值
ＧＭ（１，１）模型的平均相对误差最小，平均相对精度也
・
２０・
平顶山学院学报
２０１３正
’ （ｋ＋１），将此信息加入序列，并去掉最老的信息 ∞ ’ （１）以保持序列长度不变，如此反复类推则可以
朱维钧，杨锦伟
（平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山４６７０９９）
摘要：利用已知数据对不同维度的灰色ＧＭ（１，１）模型和不同维度新陈代谢ＧＭ（１，１）模型进行了精
选择初始序列的维度．
由于灰色ＧＭ（１，１）预测模型是一个短时间序列
模型，并不是数据越多越好，所以原始数据不一定全部用来建模．一般来说，取不同维的数据建立的模型
到２０２０年的人口数．具体计算结果如表５．

matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测

实验目的[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模型；[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

应用实验（或综合实验）一、实验内容从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：表综2.1年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106)3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106)31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年份 193019401950196019701980人口(×106)123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。

二、问题分析1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。

记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rxtx2：阻滞增长模型（或Logistic 模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d xx x x rx t xm三、数学模型的建立与求解根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1=x0*exp(r*x);y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。

人口预测方法

4、灰色GM（1，1）预测模型
灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法,它的特点是所需信息量少,不仅能够将无序离散的原始序列转化为有序序列,而且预测精度高,能够保持原系统的特征,较好地反映系统的实际情况。
第一步:对原始数据进行变换处理
灰色GM（1，1）预测模型第二步:对原始数据列进行累加处理
双河镇人口
1.0000
地
二产产值
0.9782
0.9998
1.0000
三产产值
0.9769
0.9979
0.9966
三产产值 1.0000
1、综合增长率预测模型
P np0(1r1r2)n
P0 为基期人口数;
Pn 为预测年份人口数；
n 为预测年份距基期的年数；
r1 为预测期内的年平均人口自然增长率； r2 为预测期内的年平均人口机械增长率；
12.8 12.5-13.0
The End
谢谢您的聆听！
期待您的指正！
（3）人口规模预测方法
综合增长率法一元线性回归模型指数函数预测模型多元回归预测模型灰色GM（1，1）模型
·······
以双河镇为例——城镇规模发展条件分析
2008年，呼包鄂三市经济总量达到亿元，比上年增长 18.9%，增速快于全区平均水平个百分点。三市经济总量占全区各盟市比重达53.7% ；《呼包鄂区域经济十一五发展规划》中“两轴——多点” 的产业空间结构，托克托县位于其“沿黄河发展轴”；
P np0(1r1)np
综合增长率预测模型
近期： 2008—2010年，工业园区以及其他重点项目的建设，双河镇作为
二、三产业和城镇人口的集聚地，必然吸引大量本旗农业剩余劳动力以及部分外来人口进入。近期内，机械增长必然成为人口增长的主要来源。增长速度应比之前有较大幅度提高，约25‰；中期：

两种人口预测模型的精确度比较_以人口年龄移算法和灰色预测模型为例(1)

2009年1月第25卷第1期南京人口管理干部学院学报Journa l of N anji ng Co lleg e for P opulation P rogra mm e M anage m entJan .,2009V o.l 25 N o .1[收稿日期]2008-10-06;[修订日期]2008-11-18[作者简介]茆长宝(1984-),男,江苏连云港人,四川大学硕士研究生,研究方向:人口学、人口资源与可持续发展。

程琳(1984-),女,河南三门峡人,四川大学硕士研究生,研究方向:金融学、环境经济学。

人口研究两种人口预测模型的精确度比较以人口年龄移算法和灰色预测模型为例茆长宝1,程琳2(1.四川大学人口研究所;2.四川大学经济学院,四川成都610064)[摘要]对灰色预测模型、人口年龄移算法在人口预测结果中的精确度问题进行了比较研究。

结论是:(1)灰色预测模型的预测精确度优于人口年龄移算法;(2)灰色预测模型残差在小范围内呈波动趋势,而人口年龄移算法残差表现为随预测时间的推移而增加的趋势;(3)灰色预测模型比人口年龄移算法更适合较长时期的人口预测。

[关键词]人口预测;灰色模型;人口年龄移算;精确度[中图分类号]C923 [文献标识码]A [文章编号]1007-032X (2009)01-0029-04Abst ract :A co m parison w as m ade bet w een t w o de m ograph ic m odels ,gray forecasti n g m ode l(G M )and the m odel of population sh ift algorithm,to study their accuracy in populati o n pro jection.The au t h ors have co m e to threeconc l u si o ns as fo llo w s :Firstly ,G M is mo re accurate than the other one .Secondly ,t h e resi d ual error o fG M fl u c tuates i n a s m all range w hile the resi d ual error of the other m odel i n creases as ti m e goes by .Th ir d l y ,the GM is m uch m ore adapted to long per i o d popu lation projections .K ey w ords :Popu lation Pro jecti o ns ;GM;Popu lation sh iftA lgorithm;Analysis of Accuracy人口预测是人口学研究中的重要内容之一,其理论发展一直受到关注[1-9],产生了众多预测方法[10],如人口年龄移算、灰色模型[GM (1,1)]、线性方程、几何增长方程、指数增长方程、修正指数方程、逻辑斯蒂曲线、玛克汉曲线、刚培兹曲线、n 次方程、自回归方程等,为人口预测理论的发展奠定了坚实的基础。

Gompertz模型在人口增长预测问题中的应用

Gompertz模型在人口增长预测问题中的应用阎慧臻【摘要】Gompertz模型是常用的动物种群生长模型,可用于描述种群的生长发育规律.利用分离变量的方法求出了Gompertz模型的解析解,利用MATLAB软件描绘了Gompertz模型解析解的图形.基于Gompertz模型,运用最小二乘法,对1985-2012年中国人口数据进行非线性拟合,建立了中国人口增长的近似公式,运用此公式估算了中国历年人口数量,并对中国2020、2030和2050年的人口数量进行了预测.估算的中国人口数量与实际统计结果吻合情况良好.【期刊名称】《大连工业大学学报》【年(卷),期】2015(034)002【总页数】3页(P150-152)【关键词】Gompertz模型;人口数量;预测【作者】阎慧臻【作者单位】大连工业大学信息科学与工程学院,辽宁大连 116034【正文语种】中文【中图分类】O29;Q141中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键性因素之一。

人口预测就是根据现有的人口状况并考虑影响人口发展的各种因素，按照科学的方法，测算在未来某个时间的人口规模、水平和趋势［1］。

众所周知，人口增长规律符合S 型生长曲线。

但在实际生活中，由于灾难、疾病等各种客观因素的干扰，使得人口增长的规律并不是理想中的完全对称的S型，因此，如果用Logistic模型［2］进行人口预测，并不能很好地描述人口增长的实际情况。

Gompertz模型［3］是当前使用较多的用以描述生物种群生长发育规律的生长曲线模型。

不仅如此，Gompertz模型在医学、软件开发、交通运输等领域的应用都非常广泛。

作者利用Gompertz模型，以中国1985—2012年人口数据为依据，通过曲线拟合，建立了中国人口增长的近似公式，并对中国未来人口进行预测。

Gompertz种群增长模型的基本方程是式中：y（t）表示在t时刻种群个体的数量；k称为种群的相对增长率，即平均出生率减去平均死亡率；M表示环境的最大容纳量。

最小二乘复指数法

最小二乘复指数法
最小二乘复指数法是一种数学方法，它以最小二乘法为基础，通过引入复数指数函数来对数据进行拟合和预测。

这种方法通常用于处理具有非线性和非平稳性的数据序列，例如金融市场价格、人口增长等。

最小二乘复指数法的主要步骤包括：
1.定义一个复数指数函数模型，该模型可以描述数据的变化趋势和
周期性。

2.使用最小二乘法对模型参数进行估计，以获得最佳拟合结果。

3.通过模型预测未来的数据点，并进行误差分析和模型评估。

最小二乘复指数法在数学、统计学和经济学等领域中都有广泛的应用。

它可以帮助人们更好地理解数据的动态特征和变化趋势，为决策提供科学依据。