高三一轮复习数学模拟试题(一)
高三数学第一轮复习模拟考试试卷及答案
高三数学模拟试题（满分150分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(U N )＝（ ）A. {1,2}B.｛4,5｝C.｛3｝D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ）A. -24B. 21C. 24D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ）A. 23B.43π C. 23+43πD. 5434327π+5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 22 B.2+1 C. 2 D. 16．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.68．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6π)二、填空题：（每小题5分，共30分）9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记nxx )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数31()12x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则1234()f x x x x =+++ ；12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.211lim______34x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中x－5y O525a 、b 、c 为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、 乘运算.现已知2*1=3，2*3=4，且有一个非零实数m ， 使得对任意实数x ，都有x *m =2x ，则m = .三、解答题：15．（本题10分）已知向量a =(sin(2π+xx )，b =(sin x ,cos x ), f (x )= a ·b . ⑴求f (x )的最小正周期和单调增区间； ⑵如果三角形ABC 中，满足f (A)=2，求角A 的值．16．（本题10分）如图：直三棱柱（侧棱⊥底面）ABC —A 1B 1C 1中， ∠ACB =90°，AA 1=AC=1，，CD ⊥AB,垂足为D .⑴求证：BC ∥平面AB 1C 1; ⑵求点B 1到面A 1CD 的距离.17．（本题10分）旅游公司为4个旅游团提供5条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求4个旅游团选择互不相同的线路共有多少种方法; （2）求恰有2条线路被选中的概率;（3）求选择甲线路旅游团数的数学期望.18. （本题10分） 数列{a n }满足a 1+2a 2+22a 3+…+2n -1a n =4n . ⑴求通项a n ；⑵求数列{a n }的前n 项和 S n .19．（本题12分）已知函数f (x )=a ln x +bx ,且f (1)= -1，f ′(1)=0， ⑴求f (x )；⑵求f (x )的最大值； ⑶若x >0,y >0,证明：ln x +ln y ≤32xy x y ++-.20．（本题14分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,2)到F 1，F 2两点的距离之和等于4. ⑴写出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵过点P （1，14）的直线与椭圆交于两点D 、E ，若DP=PE ，求直线DE 的方程; ⑶过点Q （1，0）的直线与椭圆交于两点M 、N ，若△OMN 面积取得最大，求直线MN 的方程.21. （本题14分） 对任意正实数a 1、a 2、…、an ；求证 1/a 1+2/(a 1+a 2)+…+n/(a 1+a 2+…+a n )<2 (1/a 1+1/a 2+…+1/a n )09高三数学模拟测试答案一、选择题:.ACCD BAD A二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分. 9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1514. 3 三、解答题：15．本题考查向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性质，要求学生能运用所学知识解决问题． 解：⑴f (x )= sin x cos xx = sin(2x+3π……… T=π，2 k π-2π≤2x+3π≤2 k π+2π，k ∈Z , 最小正周期为π，单调增区间[k π-512π,k π+12π],k ∈Z .…………………… ⑵由sin(2A+3π)=0,3π<2A+3π<73π,……………∴2A+3π=π或2π，∴A =3π或56π……………………16．、本题主要考查空间线线、线面的位置关系，考查空间距离角的计算，考查空间想象能力和推理、论证能力，同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决问题的能力．⑴证明：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1,又BC ⊄平面A B 1C 1，B 1C 1⊂平面A B 1C 1，∴B 1C 1∥平面A B 1C 1；……………… ⑵（解法一）∵CD ⊥AB 且平面ABB 1A 1⊥平面AB C,∴CD ⊥平面ABB 1A 1 ，∴CD ⊥AD 且CD ⊥A 1D , ∴∠A 1DA 是二面角A 1—CD —A 的平面角，在R t △,∴又CD ⊥AB ，∴AC 2=AD×AB∴AD=3，AA 1=1，∴∠DA 1B 1=∠A 1DA=60°，∠A 1B 1A=30°，∴A B 1⊥A 1D 又CD ⊥A 1D ，∴AB 1⊥平面A 1CD ，设A 1D ∩AB 1=P,∴B 1P 为所求点B 1到面A 1CD 的距离. B 1P=A 1B 1cos ∠A 1B 1cos30°=32.即点1B 到面CD A 1的距离为23．………………………………………………… （2）（解法二）由V B 1-A 1CD =V C -A 1B 1D =13×36，而cos ∠A 1CD=2×33, S △A 1CD =12×333,设B 1到平面A 1CD 距离为h ,则13×3h=6,得h =32为所求.⑶（解法三）分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）则A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，0，0），C 1（0，0，1）， B （0，0），B 1（0，1），∴D （23，3，0）1CB =（0，1），设平面A 1CD 的法向量n =（x ，y ，z ），则1320n CD x n CA x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取n =（1，，-1） 点1B 到面CD A 1的距离为d =1n CB n⋅23=…………………………………… 17．本题主要考查排列，典型的离散型随机变量的概率计算和离散型随机变量分布列及期望等基础知识和基本运算能力．解：（1）4个旅游团选择互不相同的线路共有：A 54=120种方法； …（2）恰有两条线路被选中的概率为：P 2=2454(22)285125C ⋅-= …（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ～B(4,15)∴期望E ξ=np =4×15=45……………… 答: （1）线路共有120种，（2）恰有两条线路被选中的概率为0.224, （3）所求期望为0.8个团数.………………………18．本题主要考查数列的基础知识，考查分类讨论的数学思想，考查考生综合应用所学知识创造性解决问题的能力．解：（1）a 1+2a 2+22a 3+…+2n -1a n =4n ，∴a 1+2a 2+22a 3+…+2n a n +1=4n +1，相减得2n a n +1=3×4n , ∴a n +1=3×2n , 又n =1时a 1=4，∴综上a n =14(1)32(2)n n n -=⎧⎨⨯≥⎩为所求；……………………… ⑵n ≥2时，S n =4+3(2n -2), 又n =1时S 1=4也成立，∴S n =3×2 n -2………………12分19．本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力．解：⑴由b = f (1)= -1, f ′(1)=a +b =0, ∴a =1,∴f (x )=ln x -x 为所求； ……………⑵∵x >0,f′(x )=1-1=1x -,∴f (x )在x =1处取得极大值-1，即所求最大值为-1； ……………⑶由⑵得ln x ≤x -1恒成立， ∴ln x +ln y =ln 2xy +ln ln 2x y +≤12xy -+112x y -+-=32xy x y ++-成立………20．本题考查解析几何的基本思想和方法，求曲线方程及曲线性质处理的方法要求考生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑推理的能力，要求对代数式合理演变，正确分析最值问题．解：⑴椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点A(1,2) 在椭圆上，因此22314 1.2b+=得b 2=1，于是c 2=3； 所以椭圆C 的方程为22121,(4x y F F +=焦点，……… ⑵∵P 在椭圆内，∴直线DE 与椭圆相交， ∴设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入椭圆C 的方程得x 12+4y 12-4=0, x 22+4y 22-4=0,相减得2(x 1-x 2)+4×2×14(y 1-y 2)=0,∴斜率为k =-1 ∴DE 方程为y -1= -1(x -14),即4x +4y =5;……… (Ⅲ)直线MN 不与y轴垂直，∴设MN 方程为my =x -1，代入椭圆C 的方程得 （m 2+4)y 2+2my -3=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则y 1+y 2=-224m m +, y 1y 2=-234m +,且△>0成立. 又S △OMN =12|y 1-y 2|=12=24m +，设t 则S △OMN =21t t,(t +1t )′=1-t -2>0对t 恒成立，∴t 时t +1t取得最小，S △OMN 最大，此时m =0,∴MN 方程为x =1……………。
最新河北省届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：数列
河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（ 河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题） 在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n , 满 足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n， 为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
高三一轮复习验收考试数学试题(文理)
高三一轮复习验收考试数学试题（文理）第Ⅰ卷（选择题：共60分）第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题：60分：第Ⅱ卷为非选择题：90分：共150分：考试时间为120分钟。
2.选择题答案用2B 铅笔在答题卡上把对应题目答案标号涂黑。
一、.选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。
（1）设集合}}{{,,23|,,13|Z n n y y N Z m m x x M ∈+==∈+==若N y M x ∈∈00,：则00y x 与集合M,N 的关系是（ ）A. M y x ∈00B. M y x ∉00C. N y x ∈00D. N y x ∉00 （2）已知函数)(1sin 21sin 2R x x x y ∈++=。
设当y 取得最大值时角x 的值为α：当y 取得最小值时角x 的值为β：其中α：β均属于区间[2,2ππ-]：则)sin(α-β的值等于（ ） A. 41-B. 415-C. 0D. 43（3）有等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4：定义映射f ∶(a 1,a 2,a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4)：则f (4,3,2,1)等于（ ）A （1,2,3,4） B.（0,3,4,0） C. （-1,0,2,-2） D. (0,-3,4,-1)（4）表示α,β表示平面：m, n 表示直线：则m ∥α的一个充分必要条件是（ ）A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且 m ∥n∥n 且 n ∥α D.α∥β且β⊂m（5）设),31,(cos ),sin ,23(α=α=→→b a ：且→→b a //：则锐角α为A. 30ºººº（6）设b a log 是一个整数：且2log log 1log a b bb a a>>：给出下列四个结论： ①21a b b>> ⑵0log log =+a b b a ③0<a<b<1 ④ab-1=0 其中正确结论的个数是（ ）（7）已知函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a ：f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数：若f(1)=2,则f(2)的值为（ ）A.0B. 1C. 2D. 3（8）等比数列{a n }中：a 1+a 2,=30, a 3+a 4=60 ,则a 7+a 8的值为（ ） A. 240 B. -240 C. ±240 D. 1920（9）设函数f(x)的定义域为R,且f(-x )=-f(x)：当x ∈(0, +∞)时,f(x+d)>f(x),(d>0)若f(-2)=0：则xf(x)<0的解集为（ ）A.ΦB.(-2, 0)C.(0, 2) D(-2, 0)∪(0, 2)（10）从5个数1,2,3,4,5中任取3个数x 1, x 2, x 3 ：y 表示x 1, x 2, x 3中最大的一个：则y 的分布列为( ) A. B.η 1 2345p5151 51 51 51C. D.η 1 2345p0 0101 103 106（11）平面内有一长度为4 的线段AB,动点P 满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是（ ） A. [1,5] B[1,6] C.[2, 5] D.[2,6]（12）如图：在一块矩形的草地上（矩形的水平方向为b 米：竖直方向为a 米）：一条弯曲的柏油小路（小路的任何地方的水平宽度都是1米）。
2023届山东省滨州市高三第一次模拟考试数学模拟试题(PDF版)
山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==，则M N ⋂=（ ）A ．(0,5]B ．(0,2]C ．[2,5]D ．[2,)+∞2．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+ D ．21i 55-3．在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 上靠近B 的三等分点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（ ）A ．13a b -B ．13a b -C ．13b a -r rD ．13b a -4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.25．从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．49B ．56C ．64D ．846．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，直线24x π=为()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．12x π=为()f x 的一个零点C ．()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-D ．()f x 的单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．已知34452018120181,2018120181a b ++==++则,a b 之间的大小关系是A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法比较8．已知3()32(0)f x x x m m =-++>，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,,a b c ，使得以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >+B ．02m <<+C ．44m -<+D ．04m <<+二、多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4 B ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4C ．点D 到面1ACDD ．三棱柱1111AA D BB C -10．已知曲线()e (2)x f x x a =+在点(0,2)处的切线为l ，且l 与曲线2()4g x x x b =++也相切．则（ ） A ．a b =B ．存在l 的平行线与曲线()y f x =相切C ．任意(2,)x ∈-+∞，()()f x g x ≥恒成立D ．存在实数c ，使得()()g x c f x +≥任意[)0,x ∈+∞恒成立11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为=1x -B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB = C ．若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D ．延长PF 交抛物线C 于点M ，若4||3PF =，则16||3PM =12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，且当(1,0)x ∈-时，()0f x <，则有( )A ．()f x 为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 为增函数D ．115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题13．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则()()2n x y x y +-的展开式中24x y 的系数为_________．14．两圆x 2+y 2+6x-4y+9=0和x 2+y 2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.15．已知函数()21x f x x +=，则其在3x =处的切线方程为（填写一般式方程）____________；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36a =，642S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若211=-n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)2=，求sin C ． 19．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，平面外一点P 在平面ABCD 内的射影为O ，PB 与平面ABCD 所成角为30°.（1）求证：BD PA ⊥；（2）点N 在线段PB 上，且N PCD V -=，求PN PB 的值.20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．如图,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知12e e =,且241F F =.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.22．已知函数()()233e xf x x x =-+⋅.(1)试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -（2t >-）上为单调函数；(2)若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0R f x z x -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围.第7页山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 2．已知复数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B3．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A ． B ． C ． D ．【答案】A5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==M N ⋂=(0,5](0,2][2,5][2,)+∞i2iz =+12i 55+12i 55-21i 55+21i 55-ABCD M BC B N AD D AB a =AD b =NM =13a b -13a b -13b a -r r 13b a -112V =⨯⨯π3 3.1 3.14 3.211318选的不同选法的种数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C6．已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A ．的最小正周期为B ．为的一个零点C ．在上的最小值为D ．的单调递增区间为 【答案】D7．已知则之间的大小关系是 A ． B ．C ．D ．无法比较【答案】A8．已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、多选题9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）49566484()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭24x π=()f x ()f x ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π12x π=()f x ()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-()f x 5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦34452018120181,2018120181a b ++==++,a b a b >a b <a b =3()32(0)f x x x m m =-++>[0,2],,a b c (),(),()f a f b f c m 4m >+02m <<+44m -<+04m <<+1111ABCD A B C D -第9页A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C ．点D 到面的距离为D ．三棱柱【答案】BCD10．已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（ ） A ．B ．存在的平行线与曲线相切C ．任意，恒成立D ．存在实数，使得任意恒成立 【答案】AC11．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，且，则 C ．若，则的最小值为31D C 1BC π4BC 11ABC D π41ACD 1111AA D BB C -()e (2)x f x x a =+(0,2)l l 2()4g x x x b =++a b =l ()y f x =(2,)x ∈-+∞()()f x g x ≥c ()()g x c f x +≥[)0,x ∈+∞2:4C y x ==1x -()()1122,,,A x y B x y 126x x +=||7AB =(2,1)E ||||PE PF +10D ．延长交抛物线C 于点M ，若，则 【答案】ACD12．定义在上的函数满足，且当时，，则有( )A ．为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得C ．为增函数D ． 【答案】ABC 三、填空题13．若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________．【答案】距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．15．已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）____________； 【答案】16．已知椭圆，的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____． 【答案】6PF 4||3PF =16||3PM =(1,1)-()f x ()()()1x yf x f y f xy --=-(1,0)x ∈-()0f x <()f x 1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2n x y x y +-24x y 15-()21x f x x +=3x =8960x y -+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 1F 2F 121F 2AF C D E ADE V DE =第11页四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 18．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求A ； (2)，求．{}n a n n S 36a =642S ={}n a 211=-n n b a {}n b n n T 121n ⎛++ -⎝ABC 25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭2=sin C1219．已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O ，平面外一点P 在平面内的射影为O ，与平面所成角为30°.（1）求证：；（2）点N 在线段上，且的值.ABCD 60ABC ∠=︒AC BD ABCD PB ABCD BD PA ⊥PB N PCD V -=PN PB第13页，则20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综PO AC O =合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．22⨯X X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++第15页布写分布列和计算数学期望 (1)解：（1）补全的列联表如下：，（关键：根据“是否有99%的把握”，在临界值表中查找对应的值与观测值进行比较）所以没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关． (2)由（1）知抽取的“冬奥迷”有30人，其中男“冬奥迷”有20人，女“冬奥迷”有10人，由分层抽样的知识知抽取的6人中，男“冬奥迷”有4人，女“冬奥迷”有2人，则的所有可能取值为0，1，2，，，， 所以的分布列为22⨯()22502014610 6.464 6.63530202426K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯X ()2226C 10C 15P X ===()114226C C 81C 15P X ===()2426C 22C 5P X ===X16（提示：注意利用分布列中的各个概率之和为1检验所得分布列是否正确） 所以． 21．如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=O 1:C ()222210x y a b a b+=>>12,F F 1e 2:C 22221x y a b -=34,F F 2e 12e e =241F F =12,C C 1F 1C y AB M AB OM 2C ,P Q APBQ第17页则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.22．已知函数.APBQ 222221322122n n n ⋅+==⋅-+--2022n <-≤20n =APBQ 2()()233e xf x x x =-+⋅18(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数； (2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析【分析】（1）根据导数判断函数的单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围；（2）根据函数的单调性与极值最值情况可确定实数的取值范围，再结合函数图象确定的取值范围. （1）由，得，令，解得或，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又函数在上为单调函数，所以； （2）由（1）得函数在，上单调递增，在上单调递减，，，t ()f x []2,t -2t >-t t ()()0R f x z x -=∈[]2,t -z 20t -<≤[]2,t -t t z ()()233e x f x x x =-+⋅()()()()223e 33e 1e x x xf x x x x x x '=-⋅+-+⋅=-()0f x '=0x =1x =0x <()0f x ¢>()f x 01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x ¢>()f x ()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()f x []2,t -20t -<≤()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()03f =()1e f =第19页20。
高三一轮数学复习备考试卷归纳
高三一轮数学复习备考试卷归纳高三年级数学复习试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分..1.若复数的实部与虚部相等，则实数()A(A)(B)(C)(D)2.已知，猜想的表达式为().A.B.C.D.3.等比数列中，，则“”是“”的B(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4.从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有B(A)种(B)种(C)种(D)种5.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间()上有零点，则的值为A(A)或(B)或(C)或(D)或6.已知函数，其中.若对于任意的，都有，则的取值范围是D(A)(B)(C)(D)7.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则BA.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，8.如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的公差不为，其前项和是.若，，则______.510.的展开式中的系数是.16011.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.12.在直角坐标系中，点与点关于原点对称.点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______.13.数列的通项公式，前项和为，则___________。
301814.记实数中的_大数为，_小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为(ⅰ)若△为等腰三角形，则______;1(ⅱ)设，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题共14分)已知函数.(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)讨论的单调性;(III)若存在_大值，且，求的取值范围.(18)(共14分)解：(Ⅰ)当时，..所以.又，所以曲线在点处的切线方程是，即.(Ⅱ)函数的定义域为，.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增.当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减. (III)由(Ⅱ)知函数的定义域为，当或时，在区间上单调，此时函数无_大值.当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有_大值._大值.因为，所以有，解之得.所以的取值范围是.16.(本小题满分13分)已知函数的一个零点是.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设，求的单调递增区间.(Ⅰ)解：依题意，得，………………1分即，………………3分解得.………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得.………………6分………………7分………………8分………………9分.………………10分由，得，.………………12分所以的单调递增区间为，.………………13分117.(本小题满分13分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n-2(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga[(1+1)(1+)…(1+)]而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)…(1+)(_)①当n=1时，已验证(_)式成立.②假设n=k(k≥1)时(_)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(_)式成立由①②知，(_)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当0a1时，snlogabn+1 p=18.(本小题满分13分)已知函数，，其中.(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解：的定义域为，………………1分且.………………2分①当时，，故在上单调递减.从而没有极大值，也没有极小值.………………3分②当时，令，得.和的情况如下：↘↗故的单调减区间为;单调增区间为.从而的极小值为;没有极大值.………………5分(Ⅱ)解：的定义域为，且.………………6分③当时，显然，从而在上单调递增.由(Ⅰ)得，此时在上单调递增，符合题意.………………8分④当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意.……9分⑤当时，令，得.和的情况如下表：↘↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意.………………11分当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意.综上，的取值范围是.………………13分19.(本小题满分14分)如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点.记△的面积为，△(为原点)的面积为，求的取值范围.19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为.………………1分设，则.………………2分将代入，解得.………………3分所以椭圆的离心率为.………………4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，椭圆的方程可设为.………………5分设，.依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得.………………7分则，，.………………8分因为，所以，.………………9分因为△∽△，所以………………11分.………………13分所以的取值范围是.………………14分(20)(本小题共13分)设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.(Ⅰ)若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的_大值;(Ⅱ)若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的_大值.(20)(共13分)解：(Ⅰ)依据题意，当时，取得_大值为2.(Ⅱ)①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的_大值，其中.由，得.当且仅当，且时，达到_大值，于是.②当不是中的“元”时，计算的_大值，由于，所以.，当且仅当时，等号成立.即当时，取得_大值，此时.综上所述，的_大值为1.高三数学复习试题整理一、选择题。
高考数学(理)一轮复习模拟题汇练：考点21数列的概念与简单表示法 (1)
2020高考复习模拟试题荟萃 考点21数列的概念与简单表示法一、选择题1．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －4D ．22n －12．(2019·武昌区调研考试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )A ．40B ．44C ．45D ．493．(2019·翼州中学联考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．(2019·山西师大附中月考)定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －55．(2018·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A ．132B ．116C ．14D ．126．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A ．1516B ．158C ．34D ．387．(2019·黄冈质检)已知数列{x n }满足x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，且x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，则数列{x n }的前2020项和S 2020＝( )A ．673B ．674C ．1345D ．1347 8．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝( )A ．20172018B ．20182019C ．40342018D ．40362019二、填空题9．(2019·山东重点中学联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为________．10．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．11．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．12．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.13．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2019·长春模拟)已知数列{a n }满足a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．三、解答题15．(2019·云南昆明一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．16．(2019·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．17．(2018·湖南联考)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求数列{a n}的通项公式．参考答案1. 答案：D解析：因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝22n －1.2. 答案：B解析：法一：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.法二：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d ＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44，故选B.3. 答案：A解析： 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.4. 答案：C解析： 因为n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1，所以a 1＋a 2＋a 3…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)·(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，所以a n ＝4n －3.5. 答案： A解析： ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18．那么a 5＝a 3·a 2＝132．故选A ．6. 答案： C解析： 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34．故选C ．7. 答案： D解析： ∵x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，∴x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ，∴x 1＋x 2＋x 3＝1＋a ＋(1－a )＝2，又x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，∴数列{x n }的周期为3，∴数列{x n }的前2020项和S 2020＝S 673×3＋1＝673×2＋1＝1347．故选D ．8. 答案： D解析： ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝21n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝21－12＋12－13＋…＋12018－12019＝40362019，故选D ． 9. 答案： a n ＝n (n ＋1)2解析： 由图可知a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n (n ＋1)2.10. 答案： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2解析： 已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.11. 答案： [9，12]解析： 当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15．当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋(a －1)24．∵a 5是{a n }中的最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12．∴a 的取值范围是[9，12]． 12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析：因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，所以12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＋12n ＋1a n ＋1＝2(n ＋1)＋1，两式相减得12n ＋1a n ＋1＝2，即a n ＝2n ＋1，n ≥2.又12a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.13. 答案：(0,1)解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．14. 解析：因为a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1， 所以两边同除以a n ·a n ＋1，得2（1－a n ＋1）a n ＋1－2（1－a n ）a n ＝1a n ＋1－1a n＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即{1a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋215. 解析： (1)a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，所以b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－1(2n ＋2)(2n ＋3)<0，即c n ＋1<c n ，所以数列{c n }是递减数列．16. 解析： (1)因为a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6 成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.17. 解析： (1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1， ∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1， ∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1． 又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4．(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3．由a n＋2－a n＝4知数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1．。
2025届百师联盟高三一轮复习联考(一)数学试卷(含答案)
2025届百师联盟高三一轮复习联考（一）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x ∈R ，12x 2−sin x >0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，12x 2−sin x <0 B. ∃x ∈R ，12x 2−sin x ≤0C. ∀x ∈R ，12x 2−sin x ≤0D. ∀x ∈R ，12x 2−sin x <02.若全集U =R ，集合A ={x|x ≥0}，B ={x|x 3≤27}，则A ∩(∁U B)=( )A. (0,3)B. (3,+∞)C. [3,+∞)D. [0,3]3.在复平面内，复数z =(3+i)(1−i)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知sin (α+π6)=32+cos α，则cos (2α−π3)=( )A. −12B. 12C. −34D. 345.函数f(x)={13x 3+ax 2−a +4,x >0,ax +cos x,x⩽0在R 上单调，则a 的取值范围是( )A. [1,3)B. (1,3]C. [1,3]D. (1,3)6.若15log 1.52⋅t =6×10log 1.53，则t =( )A. 60B. 45C. 30D. 157.已知函数f(x)=sin x +a cos x ，且f(x)=f(10π3−x).则函数g(x)=a sin x +cos x 的图象的一个对称轴可以为( )A. x =π6B. x =5π6C. x =7π6D. x =π8.已知点O(0,0)，点P 1(π12,cos π12)，P 2(π8,cos π8)，P 3(π6,cos π6)，则下列选项正确的是( )A. |OP 1|>|OP 2|>|OP 3| B. |OP 1|>|OP 3|>|OP 2|C. |OP 2|>|OP 3|>|OP 1|D. |OP 3|>|OP 2|>|OP 1|二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：幂函数(一)(含解析)
《幂函数》（一）考查内容：幂函数的定义、定义域、值域，函数图像等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为（ ） A ．()2f x x -=B ．()2f x x =C ．()2x f x =D ．()2xf x -=2．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（ ）A ．9B ．19CD 4．已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．25．设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（ ） A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±7．5个幂函数：①2y x；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x-=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤8．设11,0,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) 两点C ．幂函数的图象不可能出现在第三象限D ．图象不经过点(1,1)-的幂函数，一定不是偶函数 10．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222--D ．11,2,,222--12．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．m 、n 是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1m n> 二．填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14．在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 15．对幂函数32()f x x -=有以下结论 （1）()f x 的定义域是{|0,}x x x R ≠∈；（2）()f x 的值域是(0,)+∞； （3）()f x 的图象只在第一象限； （4）()f x 在(0,)+∞上递减； （5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是______. 16．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知幂函数()y f x =的图象过点(.（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域； （2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.18．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在0,单增函数，函数()22g x kx =+.（1）求m 的值；（2）对任意[]11,2x ∈-总存在[]21,2x ∈使()()12g x f x =，求实数k 的取值范围.19．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.20．已知幂函数()223m m y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间(),0-∞上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.21．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b bm m --+<-，求m 的取值范围．22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.《幂函数》（一）解析1.【解析】依题意，设()af x x =，则1()93a=，解得2a =-，()2f x x-∴=，故选:A ．2.【解析】∵幂函数y ＝f （x ）＝x a 的图象经过点（2，4），∴2a ＝4，解得a ＝2，∴y ＝x 2，∴f2＝2．故选B ．3.【解析】12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)f =C4.【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =． 故选：C ． 5.【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-， 因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意； 当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C6.【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ， 故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 7.【解析】①2yx的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .8.【解析】当1n =-时，1()f x x=定义域为{}0x x ≠，不满足题意 当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意当12n =时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意 当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意 当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2故选：B9.【解析】A ，错误，因为函数y x α=的的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ，故图像为是一条直线除去点()0,1 B 错误，当幂函数,0y x αα=<时图象不经过()0,0, C ，错误，如幂函数1y x -=图象在第三象限和第一象限D ，正确，故选D 10.【解析】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y xx-==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C.11.【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象， 图象由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：112,,,222--，故选：C.12.【解析】将分数指数式化为根式，mn y x ==由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ， 又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸，当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C13.【解析】因为f (x )为幂函数，所以设()f x x α=，因为f (x )的图象经过点(4，14)，所以14=14αα∴=-， 因此()2221log 31log 3111log 32232(2)()()232f -----====，故答案为：3214.【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤，故答案为：3 15.【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}0,x x x R ∈，因此不正确； （2）()f x 的值域是()0,+∞，正确； （3）()f x 的图象只在第一象限，正确； （4）()f x 在()0,+∞上递减，正确； （5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确． 则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 16.【解析】幂函数yx α=，当0α<时是减函数，函数 14y x -=的定义域为()0,∞+，所以有1320a a +>->， 解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=， 即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，a 的范围是(]1,3.18.【解析】（1）由题：()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m = ；（2）由（1）()2f x x =，记()[]{},1,2A y y f x x ==∈，()[]{},1,2B y g x x ==∈-，由题意B A ⊆，容易求得[]1,4A =.由B A ⊆得12241424k k ≤-+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得1142k -≤≤，即k 的取值范围是11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 19.【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.21.【解析】（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b aa b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-． 22.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立； 当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.。
高三数学第一轮复习(1)—集合和简易逻辑
高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的）1、定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且；若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ；则N －M 等于（ ） A ．M B ．N C ．{1；4；5} D ．{6}2、全集U ={x ∈N |1≤x ≤9},A ={1,3,5,7,8}；则满足A ∩B ={1；3；5；7}的集合B 的个数为A . 1B . 4C . 15D . 16 （ ） 3、下列四组条件中；p 是q 的充分非必要条件是 （ ）A . p ：x ≠0；q ：xy ≠0B . p ：a >b ；q ：ba 11< C . p ：a =b ；q ：a ＋b =2ab D . p ：⎩⎨⎧<<<<1010b a ；q ：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a4、命题“M ∩N =M 则M ⊆N ”的否命题是 （ ）A . 如果M ⊆N 则M ∩N =MB . 如果M ⊆N 则M ∩N ≠MC . 如果M ∩N ≠M 则M ⊄ND . 如果M ∩N ≠M 则N ⊆M5、若非空集S ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈S,必有(6－a)∈S,则所有满足上述条件的集合S 共有 A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9 个 （ ）6、命题“若△ABC 不是等腰三角形；则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（ ） A ．“若△ABC 是等腰三角形；则它的任何两个内角相等” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等；则它不是等腰三角形” C ．“若△ABC 有两个内角相等；则它是等腰三角形”D ．“若△ABC 任何两个角相等；则它是等腰三角形” 7、（05年高考天津卷）给出下列三个命题： ① 若1->≥b a ,则bba a +≥+11； ② 若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-； ③ 设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点；圆2O 以),(b a Q 1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、两个集合A 与B 之差记作“/A B ”定义为：/{|,}A B x x A x B =∈∉；如果集合2{|log 1,}A x x x R =<∈；集合{||2|1,}B x x x R =-<∈；那么/A B 等于 （ ） A.{|1}x x ≤ B. {|3}x x ≥ C. {|12}x x ≤< D. {|01}x x <≤ 9、已知集合M={直线的倾斜角}；集合N={两条异面直线所成的角}；集合P={直线与平面所成的角}；则下面结论中正确的个数为 （ ）① (0,]2M N P π=； ② [0,)MN P π=； ③ ()[0,]2MN P π=； ④ ()(0,)2MN P π=.A. 4B. 3C. 2D. 1 10、（06年江西）若0,0a b >>；则不等式1b a x-<<等价于 （ ） A. 10x b -<<或10x a << B. 11x a b-<<C. 1x a <-或1x b >D. 1x b <-或1x a>11、（06年山东）设1232,()log (1),x e f x x -⎧=⎨-⎩ 2.2.x x <≥；则不等式()2f x >的解集为（ ） A. (1,2)(3,)+∞B. )+∞C. (1,2)(10,)+∞D. (1,2)12、(06年湖北) 有限集合S 中元素的个数记作()card S ；设A 、B 都为有限集合；给出下列命题： ① AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；② A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤； ③ A B ⊄的充分条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =.其中真命题的序号是 （ ）A. ③、④B. ①、②C. ①、④D. ②、③高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑姓名： 得分：第Ⅱ卷（非选择题；共90分）二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分把答案填在题中横线上）13、设集合A= {x |x 2+x －6=0}；B={x |m x +1= 0}；则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是___ ____. 14、已知{}1(,)|3,(,)|31y A x y B x y y kx x -⎧⎫====+⎨⎬+⎩⎭；全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈。
河北省衡水中学2023届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题
2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、下列说法正确地是A ．0与地意义相同B ．高一（1）班个子比较高地同学可以形成一个集合C ．集合是有限集D ．方程地解集只有一个元素2、已知集合,则A ． B ． C ． D ．3、设命题,则为A ．B ．C ．D ．4、已知集合,则集合A ． B ． C ． D ．5、设,则""是""地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ． B ． C ． D ．7、已知命题有解,命题,则下列选项中是假命题地为A ．B ．C ．D ．8、已知集合,则集合不可能是A ． B ． C ． D ．{}0{}(,)|32,x y x y x N +=∈2210x x ++=2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈A B =(0,2)[0,2]{}0,2{}0,1,22:"1,1"p x x ∀<<p ⌝21,1x x ∀≥<201,1x x ∃<≥21,1x x ∀<≥201,1x x ∃≥≥2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-A B = 1[0,)2[0,1]1(,1]21(,)2+∞,a b R ∈22log log a b >21a b ->221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-p q a 1(0,)21[0,)21(0,]21[,1)22:,10p m R x mx ∀∈--=2000:,210q x N x x ∃∈--≤p q ∧()p q ∧⌝p q ∨()p q ∨⌝{|A x y A B φ=== B 1{|42}x x x +<{(,)|1}x y y x =-φ22{|log (21)}y y x x =-++9、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．10、已知命题,命题,若命题且是真命题,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．11、对于任意两个正整数,定义某种运算"",法则如下:当都是正奇数时,；当不全为正奇数时,,则在此定义下,集合 地真子集地个数是A ．B ．C ．D ．12、用表示非空集合中地元素个数,定义 ,若,且,设实数地所有可能地取值集合是,则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上..13、已知含有三个实数地集合既可表示成,又可表示成,则等于14、已知集合,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是15、已知集合,若,则实数地所有可能取值地集合为16、下列说法错误地是 (填序号)①命题",有"地否定是",有"；②若一个命题地逆命题,则它地否命题也一定为真命题；③已知,若为真命题,则实数地取值范围是1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤p q a 3[1,]23(1,)23(,1)[,)2-∞+∞ 3(,1)(,)2-∞+∞ 2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥2:,220q x R x ax a ∃∈++-=p q a {}(,2]1-∞ (,2][1,2]-∞ [1,)+∞[2,1]-,m n *,m n m n m n *=+,m n m n mn *={(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈721-1121-1321-1421-()C A A ()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=1A B *=a {,,1}b a a 2{,,0}a a b +20172017a b +2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<x A ∈x B ∈m {1,1},{|20}A B x ax =-=+=B A ⊆a 1212,,x x M x x ∃∈≠1221[()()]()0f x f x x x -->1212,,x x M x x ∃∉≠1221[()()]()0f x f x x x --≤21:230,:13p x x q x+->>-()q p ⌝∧x (,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④""是""成立地充分条件三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合 .（1）分别求；（2）已知集合,若,求实数地取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知,关于地方程有实数,关于地函数在区间上是增函数,若"或"是真命题,"且"是假命题,求实数地取值范围；（2）已知,若是地必要不充分条件,求实数地取值范围.19、（本小题满分12分）集合（1）若集合只有一个元素,求实数地值；（2）若是地真子集,求实数地取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数地值域是集合A,关于地不等式地解集为B,集合,集合.（1）若,求实数地取值范围；（2）若,求实数地取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数,集合.（1）若,求实数地值；3x ≠3x ≠2{|3327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>,()R A BC B A {|1}C x x a =<<C A ⊆a :p x 240x ax -+=:q x 224y x ax =++[3,)+∞p q p q a 22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤p ⌝q ⌝a 219{|()(3)0},{|ln(0}24A x x xB x x ax a =--==+++=B a B A a ()41log ,[,4]16f x x x =∈x 31()2()2x a x a R +>∈5{|0}1x C x x -=≥+{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->A B B = a D C ⊆m ()f x =A 22{|290}B x x mx m =-+-≤[2,3]A B = m（2）若,使,求实数地取值范围.22、（本小题满分12分）已知是定义域为R 地奇函数,且当时,,设"".（1）若为真,求实数地取值范围；（2）设集合与集合地交集为,若为假,为真,求实数地取值范围.12,()R x a x C B ∀∈∃∈21x x =m ()f x 12x x <1212()[()()]0x x f x f x -->:p 2(3)(128)0f m f m ++-<p m :q {|(1)(4)0}A x x x =+-≤{|}B x x m =<{}|1x x ≤-p q ∧p q ∨m。
2023届北京市高考数学(理)一轮复习模拟收官卷(一)(解析版)
A B =（ 1,2．（2022·北京房山（ ） 5．（2022·北京|23MN ，那143k -403k0k 或43k -403k 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ）2x = 3y x =- cos 2x =2ln2xy x-=+ 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设函数()1sin f x x =∈R ，其中A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值9．（2022·北京师大附中高二期中）当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-10．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△11OB A ，△122A B A 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，12,,O A A 三点共线.若点12,P P 分别是边1122,A B A B 上的动点（不包含端点）.记12=m OB OP ⋅，21=n OB OP ⋅，则（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）cos60，请写出一组符合题意的北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这1,2)，描清华附中模拟预测）在ABC中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的：ABC的周长为A B =（ 1,2【答案】D【详解】解：因为A B ={0,1,2故选：D.．（2022·北京房山5 【答案】A【详解】由题意知，|23，那143k -403k0k 或43k -403k 【答案】D【详解】圆化简为标准方程为()22x -+，圆心()2,0到直线y 的距离2d k =22243k k ⎛- ⎝，4n S 成立，即项和中的最大值，10635a a .北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有【详解】经过又小程序在发布时已有又小程序发布经过A．直线A D与直线相交30C CB当点E 为BC 的中点时，//EF CB ，又AD CB ⊥，所以EF AD ⊥，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)F ，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，所以12EF BC a ⋅=-，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅=，322212a -=⨯+⨯，解得43a =±， 不符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；：如图，ADESBF ⋅为定值，所以ADF -()()5a 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，,O A 12=OB OP ⋅，21=OB OP ⋅，则（A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确232122 2=OB OP⋅=1232 2=OB OP⋅= m n<.故选：B.二、填空题（共5分，共25分．）．（2022·北京·清华附中模拟预测）函数)lg xx=的定义域为cos60，请写出一组符合题意的()cos9030sin30os60=-=，sin30，1,2)，描1,2)，两式作差得，{}n b 为正实数数列，故，因为11a b -清华附中模拟预测）在ABC 中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求ABC 的：ABC 的周长为3342; 选择条件22cos a c b B +-=所以存在两个ABC ，不符合题意； ，(0,πA ∈由正弦定理知，sin a A =所以ABC 的面积选择条件③：因为ABC 的周长为23c ac +-所以ABC 的面积（2022·北京市十一学校高三阶段练习）ABCD ，求证：Q 为求平面ACQ 求直线PB 到平面【答案】(1)证明见解析 PBD平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =20n AQ y z n AC x ⎧⋅=+⎨⋅=+=⎩，故可设(1,1,n =--ABCD 的法向量为()0,0,1m =， ACQ 与平面ABCD 夹角为θ， 1333m n m nθ⋅===⋅. 由于//PB 平面ACQ ，则()0,2,0BC AD ==,23BC n n⋅==的距离为23318．（2022·北京·人大附中模拟预测）某家电专卖店试销A B C ､､三种新型空调，销售情况如下表所示：a ⎧,都是32时，由于k a,都是3的倍数；2综上所述，若集合M存在一个元素是。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。
【2022届高三数学一轮复习】专题1
专题1.8 基本不等式-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•三模拟）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．89C ．49D ．2√23【分析】利用已知条件推出1b +2a =3，然后利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ， 所以1b +2a =3，所以3=1b +2a ≥2√2ab ， 所以√ab ≥2√23，即ab ≥89当且仅当{1b =2aa +2b =3ab即a =43，b =23时等号成立，故ab 的最小值89． 故选：B ．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 2．（5分）（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．y ＝x 2+2x +4 B ．y ＝|sin x |+4|sinx| C ．y ＝2x +22﹣xD ．y ＝lnx +4lnx【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ． 【解答】解：对于A ，y ＝x 2+2x +4＝（x +1）2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0＜|sin x |≤1，所以y ＝|sin x |+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sin x |＝2时取等号， 因为|sin x |≤1，所以等号取不到，所以y ＝|sin x |+4|sinx|＞4，故选项B 错误；对于C ，因为2x ＞0，所以y ＝2x +22﹣x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4， 当且仅当2x ＝2，即x ＝1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确； 对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5＜4， 所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题． 3．（5分）（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．4．（5分）（2021•包头二模）在△ABC 中，已知C ＝60°，AB ＝4，则△ABC 周长的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【分析】根据余弦定理算出（a +b ）2＝16+3ab ，再利用基本不等式加以计算可得a +b ≤8，即可得到△ABC周长的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝c ＝4，∴由余弦定理，得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即16＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab （当且仅当a ＝b ＝4时等号成立）， ∵16＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ，∴（a +b ）2≤16+3ab ≤16+3×16＝64，由此可得a +b ≤8（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），∴△ABC 周长a +b +c ≤8+4＝12（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），即当且仅当a ＝b ＝4时，△ABC 周长的最大值为12．故选：C ．【点评】本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值，着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．5．（5分）（2021•南通模拟）已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．1x+1y 有最小值4B ．xy 有最小值14C ．2x +2y 有最大值√2D ．√x +√y 有最大值2【分析】利用“乘一法”及基本不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1， 对于A ，1x +1y=（1x+1y）（x +y ）＝2+x y +yx ≥4，故A 正确，对于B ，∵x +y ≥2√xy ，∴xy ≤（x+y 2）2=14，故B 错误，对于C ，2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2，故C 错误， 对于D ，（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，∵xy 有最大值14，故（√x +√y ）2有最大值2，故D 错误，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式的性质，同时考查学生的运算能力．属于基础题．6．（5分）（2021•湖南模拟）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD ＝a ，BD ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．2aba+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）C ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）D ．a 2+b 2≥2√ab （a ＞0，b ＞0）【分析】由已知图形先求出OC ，CD ，然后结合OC ≤CD 即可判断．【解答】解：由题意得AB ＝AD +BD ＝a +b ，CO =12（a +b ），OD ＝OB ﹣DB =12（a +b ）﹣b =12（a ﹣b ），Rt △OCD 中，CD 2＝OC 2+OD 2=(a+b)24+(a−b)24=a 2+b 22， 因为OC ≤CD ，所以12（a +b ）≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时取等号， 故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题．7．（5分）（2021•浙江模拟）已知直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°，则1m+4n的最小值为（ ）A ．4B ．9C ．23D ．32【分析】根据题意，由直线的斜率计算公式可得n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则有1m+4n=16×（1m+4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm），结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°， 则n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则1m+4n=16×（1m +4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm ）， 又由点（m ，n ）在第一象限，即m ＞0，n ＞0， 则有4m n+nm≥2√4m n ×nm =4，当且仅当n ＝2m 时等号成立， 故1m +4n =16（5+4m n +n m ）≥32，即1m +4n 的最小值为32， 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题．8．（5分）（2021•1月份模拟）已知a ，b ，c ∈[12，1]，则a 2+2b 2+c 2ab+bc的取值范围是（ ）A ．[2，3]B ．[52，3]C ．[2，52]D ．[1，3]【分析】由a 2+2b 2+c 2＝a 2+b 2+b 2+c 2，然后利用重要不等式得到a 2+2b 2+c 2ab+bc≥2，根据12≤a b≤2，12≤b a≤2，构造对勾函数，然后结合其性质可求． 【解答】解：a 2+2b 2+c 2ab+bc=a 2+b 2+b 2+c 2ab+bc≥2ab+2bc ab+bc=2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为12≤a ≤1，12≤b ≤1，所以12≤a b≤2，12≤b a≤2，令f （x ）＝x +1x ，12≤x ≤2，根据对勾函数单调性知，当x ＝1时，函数取得最小值2，当x ＝2或12时，函数取得最大值52，故2≤f(x)≤52， 所以2≤b a +a b ≤52，即a 2+b 2≤52ab ， 同理b 2+c 2≤52bc ，所以a 2+2b 2+c 2≤52(ab +bc)， 所以a 2+2b 2+c 2ab+bc≤52．所以2≤a 2+2b 2+c 2ab+bc ≤52．故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式，不等式的性质及对勾函数单调性在求解范围及最值中的应用，试题的变形比较灵活，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•二模拟）已知正数a ，b 满足ab ＝a +b ，则（ ） A ．1a−1+1b−1≥2B ．1a 2+1b 2≥12C ．2−a +2−b ≥12D ．log 2a +log 2b ≥2【分析】由ab ＝a +b ，转化为（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，可判断A ； 由ab ＝a +b 转化为1a +1b=1，再结合2（a 2+b 2）≥（a +b ）2可判断B ；取a ＝b ＝3可判断C ；由ab =a +b ≥2√ab ，得ab ≥4，可判断D ．【解答】解：因为正数a ，b 满足ab ＝a +b ，所以（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，且a ＞1，b ＞1，所以1a−1+1b−1≥2√1(a−1)(b−1)=2，∴A 对；由ab ＝a +b 可得1a+1b=1，所以2(1a 2+1b 2)≥(1a +1b )2=1，即1a 2+1b 2≥12，故B 正确；当a ＝b ＝3时，2−3+2−3=14＜12，故C 错误；因为ab =a +b ≥2√ab ，所以ab ≥4，所以log 2a +log 2b ＝log 2（ab ）≥log 24＝2，故D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．10．（5分）（2021•B 卷模拟）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．（a +b ）√c ≥2 B ．1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2C ．若0＜c ≤1，则（a +1）（b +1）＜4D ．a 2b 2+2b 2c ≥3【分析】（a +b ）√c 转化为（a +b ）√1ab 可判断A ；1a+1b+1c转化为ab +bc +ac 可判断B ；由0＜c ≤1可知ab ≥1，则（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1，利用基本不等式可判断C ； 2b 2c 转化为2b 2•1ab=2b a可判断D ．【解答】解：∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1∴（a +b ）√c =（a +b ）√1ab ≥2√ab •√1ab =2，∴A 对；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴1a +1b +1c=ab +bc +ac ≤a 2+b 22+b 2+c 22+a 2+c 22=a 2+b 2+c 2，∴B 对；由0＜c ≤1，abc ＝1可知ab ≥1，∵a ，b 为正数，∴（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1≥ab +2√ab +1≥4，∴C 错；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴a 2b 2+2b 2c =a 2b2+2b 2•1ab=a 2b 2+b a+b a≥3√a 2b 2⋅b a ⋅ba3=3，∴D 对． 故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式及应用，考查数学运算能力，属于中档题． 11．（5分）（2021•辽宁模拟）设x ＞0，y ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立B ．函数f （x ）＝3x +3﹣x的最小值为2C ．函数f(x)=xx 2+3x+1的最大值为15D ．若x +y ＝2，则12x+1+1y+1的最小值为 56【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为x ＞0，y ＞0， （x +y ）（1x+1y ）＝2+yx+xy ≥4，当且仅当y x =x y时取等号，A 正确； 因为3x ＞1，则f （x ）＝3x +3﹣x ≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x ＝3﹣x ，即x ＝0时取等号，但x ＞0，故B 错误； f(x)=xx 2+3x+1=1x+1x +3≤12+3=15，当且仅当x =1x ，即x ＝1时取等号，C 正确； 因为x +y ＝2，所以2x +2y ＝4， 则12x+1+1y+1=12x+1+22y+2=17（12x+1+22y+2）（2x +1+2y +2）=17（3+2y+22x+1+2x+1y+1）≥17(3+2√2)， 当且仅当2y+22x+1=2x+1y+1时取等号，D 错误．故选：AC ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的检验及配凑．12．（5分）（2021•山东二模）已知实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），下列结论中正确的是（ ） A ．b ≥4B ．2a +b ≥8C ．1a+1b＞1 D ．ab ≥274【分析】A ．由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误； C ．由a ＞1，可得1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＞1，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．求出f ′（x ），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误．【解答】解：实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），A ．b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2＝4，当且仅当a ＝2时取等号，因此正确；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4＝2√3+4，当且仅当a ＝1+√33取等号，因此不正确；C ．∵a ＞1，∴1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＜1，因此不正确；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．f ′（x ）=2x 2(x−32)(x−1)2， 可得x =32时，函数f （x ）取得极小值，即最小值．f （32）=(32)332−1=274， ∴f （x ）≥274，即ab ≥274，因此正确． 故选：AD ．【点评】本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湖南模拟）已知a ＞b ，关于x 的不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在实数x 0，使得ax 02+2x 0+b ＝0成立，则a 2+b 2a−b的最小值为 2√2 ．【分析】不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得△≤0，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，可得ab 的等式关系，利用基本不等式的性质求解a 2+b 2a−b的最小值即可．【解答】解：由题意，不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得{a ＞04−4ab ≤0，解得ab ≥1，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，即4﹣4ab ≥0，得ab ≤1， ∴ab ＝1，∵a ＞b ，∴a ＞1，∴a −1a ＞0， 由b =1a ，a 2+b 2a−b=a 2+1a2a−1a=（a −1a ）+2a−1a≥2√2，当且仅当（a−1a）2＝2时取等号．故答案为：2√2．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用和构造思想，特别是构造分子，分母适合基本不等式，属于中档题．14．（5分）（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为2．【分析】由已知2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，而5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，令t＝2x﹣y,则x+y=1 t,则5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2=t2+1t2≥2√t2⋅1t2=2,当且仅当t2=1t2，即t＝±1时取等号，此时5x2﹣2xy+2y2取最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．15．（5分）（2021•汕头三模）函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为124．【分析】先利用指数函数的性质求出定点A，然后利用点在直线上，得到3m+2n＝1，再利用基本不等式求解mn的最值即可．【解答】解：因为当x＝3时，y＝a3﹣3+1＝2，所以函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（3，2），又点A在直线mx+ny﹣1＝0上，所以3m+2n﹣1＝0，即3m+2n＝1，因为m＞0，n＞0，所以mn=16⋅3m⋅2n≤16⋅(3m+2n2)2=16×14=124，当且仅当3m=2n=12，即m=16，n=14时取等号，所以mn的最大值为124．故答案为：124．【点评】本题考查了指数函数恒过定点问题，利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．16．（5分）（2021•嘉定区二模）已知正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y 的最小值为 9 ．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y ＝（1x+y ）（x +4y ）＝5+xy +4xy ≥5+2√xy ⋅4xy =9，当且仅当xy =4xy 且x +4y =1，即x =13，y ＝6时取等号，此时1x+y 的最小值9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021•内江模拟）已知a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ． （1）求a +b 的最小值；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解；（2）结合（1）中的最值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化关系，结合零点分段讨论即可求解． 【解答】解：（1）因为a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ， 所以4b +1a=2，所以a +b =12（a +b ）（1a+4b）=12（5+b a+4a b ）≥12(5+2√b a ⋅4a b )=92， 当且仅当b a=4a b且4b+1a=2，即a =32，b ＝3时取等号，a +b 的最小值92；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，则92≥|2x ﹣1|+|3x +2|， 当x ≥12时，原不等式可化为2x ﹣1+3x +2≤92， 所以12≤x ≤710；当−23＜x ＜12时，原不等式可化为﹣2x +1+3x +2≤92， 所以−23＜x ＜12，当x ≤−23时，原不等式可化为﹣2x +1﹣3x ﹣2≤92，所以−1110≤x ≤−23， 综上，x 的取值范围[−1110，710]．【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，还考查了不等式的恒成立与最值关系的相互转化及利用零点分段求解不等式，分段讨论去绝对值是求解不等式的关键． 18．（12分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a +1b=1．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【分析】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a ＞1，b ＞1，所以a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，则4a a−1+9b b−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a =53、b =52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题． 19．（12分）（2020秋•海淀区校级月考）已知x +y ＝1，x ，y ∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求√x +√y 的最大值； （3）求x （1﹣3y ）的最小值．【分析】（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ，然后利用基本不等式即可求解； （2）（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，然后利用基本不等式即可求解；（3）由x （1﹣3y ）＝（1﹣y ）（1﹣3y ）＝3y 2﹣4y +1，然后结合二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ≥1﹣（x+y 2）2=34，当且仅当x ＝y =12时，取得最小值34；（2）因为x+y＝1，x，y∈R+，所以（√x+√y）2＝x+y+2√xy=1+2√xy≤1+x+y＝2，当且仅当x＝y时取等号，此时取得最大值2；（3）∵x，y∈R+，x+y＝1，∴x（1﹣3y）＝（1﹣y）（1﹣3y）＝3y2﹣4y+1，结合二次函数的性质可知，当y=23时取得最小值−13．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于基础题．20．（12分）（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+3ba取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先利用基本不等式求出a+b的最小值，从而将所求的不等式转化为|x+1|+2|x|≤2，根据绝对值的定义分别讨论，求解不等式即可；（2）利用已知的等式，将b用a表示出来，然后代入a﹣b+3ba中化简变形，由基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，可得1a +1b=2，所以a+b=12(a+b)(1a+1b)=12(b a+a b+2)≥12⋅(2√b a⋅a b+2)=12×4=2．当且仅当a＝b＝1时取等号，不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，即|x+1|+2|x|≤2，当x＜﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时x∈∅；当﹣1≤x≤0时，不等式可化为x+1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x≤0；当x＞0时，不等式可化为x+1+2x≤2，解得x≤13，此时0＜x≤13．综上所述，实数x的取值范围是{x|−1≤x≤13 }；（2）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，所以b=a2a−1，故a﹣b+3ba=a−a2a−1+32a−1=2a2−2a+32a−1=a−12+54a−2=14(4a−2)+54a−2，当4a﹣2＞0，即a＞12时，a﹣b+3ba=14(4a−2)+54a−2≥2√14(4a−2)⋅54a−2=√5，当且仅当a=12+√52，b=12+√510时，a﹣b+3b a有最小值√5．【点评】本题考查了不等式的求解以及基本不等式的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．21．（12分）（2020秋•海门市校级月考）（1）已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为多少？（2）已知a＞b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)的最小值是多少？【分析】（1）令t＝xy，t＞0，则y=tx，然后代入后结合基本不等式即可求解，（2）由已知a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）令t＝xy，t＞0，则y=t x，∴10＝x+2x+3y+4y=x+2x+3t x+4x t=（1+4t）x+2+3tx≥2√(1+4t)x⋅2+3tx=2√(2+3t)(t+4)t，整理可得，3t2﹣11t+8≤0，解可得，1≤t≤8 3，故1≤xy≤8 3，（2）∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，≥2√ab⋅1ab+2√a(a−b)⋅1a(a−b)=2+2＝4，当且仅当ab=1ab且a（a﹣b）=1a(a−b)即a=√2，b=√22时取等号，此时取得最小值4．【点评】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．22．（12分）（2019秋•濮阳期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ2+3υ+1600（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【分析】（1）根据基本不等式性质可知y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v 的范围． 【解答】解：（1）依题意，y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083， 当且仅当v =1600v，即v ＝40时，上式等号成立， ∴y max =92083（千辆/时）． ∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km /h 且小于64km /h ．当v ＝40km /h 时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得920υυ2+3υ+1600＞10，整理得v 2﹣89v +1600＜0，即（v ﹣25）（v ﹣64）＜0．解得25＜v ＜64．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．。
2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(一)(含答案)
2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(一)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}x |－1≤x ≤2 ，B ＝{}0，2，4 ，则A ∩B ＝( ) A ．{}0，2，4 B ．{}0，2C ．{}x |0≤x ≤4D ．{}x |－1≤x ≤2或x ＝42．若复数z 满足z ()1－2i ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为( )A ．86 πB ．46 πC ．3π3D ．22π34．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的单调增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z ) 5．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y2b2 ＝1()a >b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线y ＝kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，||AF 1 ＝3||BF 1 ，且∠F 1AF 2＝60°，则椭圆C 的离心率是( )A ．716B ．74C ．916D ．346．已知2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝7，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝( ) A ．－12 B ．14 C ．27 D ．257．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，也是曲线y ＝e x －1的切线，则k ＋b ＝( )A ．－ln 22B ．1－ln 22C ．ln 2－12D ．ln 228．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是( )A ．102B ．112C ．130D ．136 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是( )A ．A 地：中位数为2，极差为5B ．B 地：总体平均数为2，众数为2C ．C 地：总体平均数为1，总体方差大于0D ．D 地：总体平均数为2，总体方差为3 10．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＝()1，－1 ，a －3b ＝()－7，－1 ，c ＝()1，1 ，设a ，b 的夹角为θ，则( )A ．||a ＝||bB ．a ∥cC ．θ＝135°D ．b ⊥c11．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，下列选项中，圆C 的面积可以是( )A ．3π4B ．4π5C ．5π4 D ．(6－25 )π12．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1 C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1(包含边界)内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，下列说法正确的是( )A ．A 1F 与BE 是异面直线B ．A 1F 不可能与D 1E 平行C ．DF 不可能与平面AD 1E 垂直 D ．三棱锥F ABD 1的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知m ≠0，f ()x ＝x e x ＋mxe x －m为偶函数，则m ＝________．14．若三个点M (3，26 )，N (2，23 )，Q (3，－26 )中恰有两个点在抛物线y 2＝2px 上，则该抛物线的方程为________．15．已知f ()x ＝e x ，g ()x ＝x 2e x ，若存在实数x 1，x 2满足f ()x 1 ＝g ()x 2 ，则x 1x 2的最大值为________．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)，若m ＝5，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知公差不为0的等差数列{}a n 的前3项和S 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设T n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，求T 100.18.(12分)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：(1)用η(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .C ＝π3，AB 边上的高为3 .(1)若S △ABC ＝23 ，求△ABC 的周长；(2)求2a ＋1b 的最大值．20．(12分)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝3，BC ＝2，E ，P 分别是B 1C 1和CC 1的中点，点F 在棱A 1B 1上，且B 1F ＝2.(1)证明：A 1P ∥平面EFC ；(2)若AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，求二面角P CF E 的余弦值．21．(12分)双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1()a >0，b >0 的顶点与椭圆C 1：x 23＋y 2＝1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y ＝33x . (1)求双曲线C 2的方程；(2)过双曲线C 2右焦点F 作直线l 1与C 2分别交于左右两支上的点P ，Q ，又过原点O 作直线l 2，使l 2∥l 1，且与双曲线C 2分别交于左右两支上的点M ，N .是否存在定值λ，使得||MN →·MN → ＝λPQ → ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝2ax －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论函数f ()x 的单调性； (2)当a >0时，若x 1，x 2()0<x 1<x 2 满足f ()x 1 ＝f ()x 2 ，证明：f ()2ax 1 ＋f ()2ax 2 >4a 2()x 1＋x 2 .答案1．答案：B解析：集合B 中的元素在区间[－1，2]内的只有0，2，所以A ∩B ＝{0，2}．故选B. 2．答案：A解析：∵z ()1－2i ＝3－i ，∴z ＝3－i1－2i ＝()3－i ()1＋2i ()1－2i ()1＋2i ＝5＋5i 5 ＝1＋i ，∴复数z的共轭复数为1－i.故选A.3．答案：C解析：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝π，πrl ＝2π， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.所以h ＝3 . 圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×12×3 ＝3π3 ，故选C.4．答案：B解析：因为函数y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )，所以k π－π2<2x －π3 <k π＋π2 ，(k ∈Z )，解得k π2 －π12 <x <k π2 ＋5π12，(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z ).故选B.5.答案：B解析：由椭圆的对称性，得||AF 2 ＝||BF 1 .设||AF 2 ＝m ，则||AF 1 ＝3m .由椭圆的定义，知||AF 1 ＋||AF 2 ＝2a ，即m ＋3m ＝2a ，解得m ＝a 2 ，故||AF 1 ＝3a 2 ，||AF 2 ＝a2.在△AF 1F 2中，由余弦定理，得||F 1F 2 2＝||AF 1 2＋||AF 2 2－2||AF 1 ||AF 2 cos ∠F 1AF 2，即4c 2＝9a 24 ＋a 24 －2×3a 2 ×a 2 ×12 ＝7a 24 ，则e 2＝c 2a 2 ＝716 ，故e ＝74.故选B. 6．答案：B解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ，2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝7， 即得2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝7sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ， 化简得⎣⎡⎦⎤4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 ＝0， ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ∈[]－1，1 ，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝14， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝14 .故选B.7．答案：D解析：设曲线y ＝e x －2上的点P (x 1，y 1)，y ′＝e x －2，k 1＝e x 1－2； 曲线y ＝e x －1上的点Q (x 2，y 2)，y ′＝e x ，k 2＝e x 2； ∴l 1：y ＝e x 1－2x ＋e x 1－2－x 1e x 1－2， ∴l 2：y ＝e x 2x ＋e x 2－1－x 2e x 2∴⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－2＝e x 2，e x 1－2－x 1e x 1－2＝e x 2－x 2e x 2－1， ∴x 2＝－ln 2，∴k ＋b ＝e x 2＋e x 2－1－x 2e x 2＝12 ＋12 －1－(－ln 2)12 ＝ln 22 .故选D.8．答案：B解析：由题意得，三乡总人数为8 758＋7 236＋8 356＝24 350.∵共征集378人，∴需从西乡征集的人数是7 23624 350 ×378≈112，故选B.9．答案：AD解析：对A ，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7.故A 正确．对B ，若乙地过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误．对C ，若丙地过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误．对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于110×()8－2 2＝3.6>3.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人．故D 正确．故选AD.10．答案：BC解析：∵a ＋b ＝()1，－1 ，a －3b ＝()－7，－1 ，∴a ＝()－1，－1 ，b ＝()2，0 ，得||a ＝()－12＋()－12＝2 ，||b ＝2，故A错误；又c ＝()1，1 ，则a ＝－c ，则a ∥c ，故B 正确； cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－222＝－22 ，又θ∈[]0°，180° ，∴θ＝135°，故C 正确；∵b ·c ＝2×1＋0×1＝2≠0，∴b 与c 不垂直，故D 错误．故选BC. 11．答案：BCD解析：因为AB 为直径，∠AOB ＝90°，(其中O 为坐标原点)，所以点O 在圆C 上，由O 向直线2x ＋y －4＝0作垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆C 与直线2x ＋y －4＝0的切点时，圆C 的半径最小， 此时圆的直径为点O (0，0)到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝||－422＋12＝455 ，此时圆的半径为r ＝12 d ＝255 ，所以圆C 面积的最小值为S min ＝πr 2＝π·⎝⎛⎭⎫255 2＝4π5 .又3π4 <4π5 ，故A 错误；(6－25 )π>4π5 ，5π4 >4π5，故BCD 正确．故选BCD. 12．答案：ACD 解析：取BB 1，B 1C 1的中点N ，M ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，BC 1，则A 1N ∥D 1E ，MN ∥BC 1∥AD 1， 又A 1N ⊂平面A 1MN ，MN ⊂平面A 1MN ，A 1N ∩MN ＝N ，D 1E ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，所以平面A 1MN ∥平面AD 1E ，又A 1F ∥平面D 1AE ，A 1F ⊂平面A 1MN ，所以点F 的轨迹是线段MN ，对于A ：因为MN ∥BC 1，所以点F 一定不在BC 1上，所以A 1F 与BE 是异面直线，故A 正确；对于B ：当点F 与点N 重合时，A 1F ∥D 1E ，故B 不正确；对于C ：因为点F 的轨迹是线段MN ，又正方体中DB 1⊥平面AD 1E ，若DF ⊥平面AD 1E ， 则DB 1∥DF ，这显然不可能，所以DF 不可能与平面AD 1E 垂直，故C 正确； 对于D ：因为MN ∥AD 1，AD 1⊂平面ABD 1，MN ⊄平面ABD 1，所以MN ∥平面ABD 1， 所以点F 到平面ABD 1的距离是定值，所以三棱锥F ABD 1的体积为定值，故D 正确，故选ACD.13．答案：±1解析：因为f ()x 是偶函数，所以f ()－x ＝f ()x ，即x ()e x ＋m e x －m＝－x ()e－x ＋me －x －m，解得m 2＝1，即m ＝±1. 14．答案：y 2＝8x解析：由抛物线的对称性知：M (3，26 )，Q (3，－26 )在y 2＝2px 上， ∴6p ＝24，可得p ＝4，即抛物线的方程为y 2＝8x .15．答案：2－ee解析：∵g ()x 2 ＝x 22 e x 2 ＝e2ln x 2－x 2＝f ()2ln x 2－x 2 ＝f ()x 1 ，且f (x )＝e x 在R 上单调递增，∴x 1＝2ln x 2－x 2，x 1x 2 ＝2·ln x 2x 2－1.设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0. ∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴⎝⎛⎭⎫x 1x 2 max ＝2－e e .16．答案：5 41解析：当m ＝5时，a 1＝5，a 2＝5×3＋1＝16，a 3＝8，a 4＝4，a 5＝2，a 6＝1，所以需5次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则a 6＝1，a 5＝2，a 4＝4，a 3＝8或1 ，当a 3＝8，a 2＝16，a 1＝32或a 1＝5；当a 3＝1时，a 2＝2，a 1＝4，所以m 的可能值是{}4，5，32 ，m 的可能值的和是4＋5＋32＝41. 17．解析：(1)设等差数列{}a n 公差为d 且不为0，因为等差数列{}a n 的前3项和S 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列．所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝9，a 22 ＝a 1a 5，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝9，()a 1＋d 2＝a 1·()a 1＋4d ，解得：d ＝2或0(0舍去)， 故a 1＝1，所以a n ＝1＋2n －2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝(－1)n ·(2n －1)，所以T 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 18．解析：(1)由题意可知：η的可能取值为23，8，5 产品为一等品的概率为：0.5×0.75×0.8＝0.3， 产品为二等品的概率为：(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5， 产品为三等品的概率为：1－0.3－0.5＝0.2， 所以η的分布列为E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响，理由如下：由题意可知：改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为23－x ，8－x ，5－x所以一等品的概率为⎝⎛⎭⎫0.5＋19x ×0.75×0.8＝0.3＋x15， 二等品的概率为：⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫0.5＋x 9×0.75 ×0.8＝0.5－x 15， 三等品的概率为：1－⎝⎛⎭⎫0.3＋x 15 －⎝⎛⎭⎫0.5－x15 ＝0.2， 所以E (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0.3＋x 15 (23－x )＋⎝⎛⎭⎫0.5－x15 (8－x )＋0.2×(5－x ) ＝6.9－0.3x ＋2315 x －115 x 2＋4－0.5x －815 x ＋115 x 2＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响．19．解析：(1)依题意S △ABC ＝12 ab sin C ＝12c ·3 ＝23 ，可得c ＝4，因为C ＝π3 ，所以ab ＝8.由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝c 2，因此(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝40，即a ＋b ＝210 . 故△ABC 的周长为210 ＋4. (2)由(1)及正弦定理可得，2a ＋1b ＝2b ＋a ab ＝2b ＋a 2c ＝2sin B ＋sin A 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋sin A 3 ＝7sin （A ＋θ）3，(其中θ为锐角，且tan θ＝32 )由题意可知0<A <2π3 ，因此，当A ＋θ＝π2 时，2a ＋1b 取得最大值213.20．解析：(1)证明：如图，连接PB 1交CE 于点D ，连接DF ，EP ，CB 1. 因为E ，P 分别是B 1C 1和CC 1的中点，故EP 綊12 CB 1，故PD DB 1 ＝12.又B 1F ＝2，A 1B 1＝3，故A 1F FB 1 ＝12，故FD ∥A 1P .又FD ⊂平面EFC 且A 1P ⊄平面EFC ，所以A 1P ∥平面EFC .(2)由题意知AB ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为坐标原点，以BB 1的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz .则C ()0，2，0 ，B 1()0，0，3 ，F ()2，0，3 ，E ()0，1，3 ，P ⎝⎛⎭⎫0，2，32 . 设n ＝()x 1，y 1，z 1 为平面EFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1＝0y 1－3z 1＝0 ，可取n ＝⎝⎛⎭⎫32，3，1 . 设m ＝()x 2，y 2，z 2 为平面PFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PF →＝0，m ·PC →＝0 ，即⎩⎨⎧2x 2－2y 2＋32z 2＝0，－32z 2＝0， 可取m ＝()1，1，0 .所以cos 〈n ，m 〉＝n·m||n ||m ＝32＋3⎝⎛⎭⎫322＋9＋1×1＋1＝9214 . 由题意知二面角P CF E 为锐角，所以二面角P CF E 的余弦值为9214.21．解析：(1)由椭圆C 1：x 23 ＋y 2＝1得到：a ＝3 ，双曲线的渐近线方程为y ＝33 x ，得到：b a ＝33，解得：b ＝1.则双曲线C 2的方程x23－y 2＝1.(2)若存在定值λ，使得||MN → ·MN → ＝λPQ → ，∵MN → 与PQ →同向，∴λ＝||MN →2||PQ → ，∵F ()2，0 ，设l 1：x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2x 2－3y 2＝3 消去x 整理得：()t 2－3 y 2＋4ty ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－4tt 2－3y 1y 2＝1t 2－3 ，由l 1交C 2左右两支于P 、Q 两点，有⎩⎨⎧t 2－3≠016t 2－4()t 2－3>0x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－3≠0()ty 1＋2()ty 2＋2<0，则t 2－3>0，||PQ → ＝1＋t 2 ||y 1－y 2 ＝1＋t 2 ()y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝1＋t 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4t t 2－32－4t 2－3 ＝23()t 2＋1t 2－3 ，由于l 2∥l 1，可设l 2：x ＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty x 2－3y 2＝3消去x 整理得：()t 2－3 y 2＝3，∴y 2＝3t 2－3， 由此||MN → 2 ＝()1＋t 2||y －()－y 2 ＝()1＋t 2 ·4y 2＝12()1＋t 2t 2－3 ， ∴λ＝||MN →2||PQ → ＝23 ，故存在定值λ＝23 ，使得||MN → ·MN → ＝λPQ → . 22．解析：(1)函数f ()x 的定义域为()0，＋∞ ，f ′(x )＝2ax －1x . ①当a ≤0时，则当x ∈()0，＋∞ 时，f ′()x ≤0恒成立， ∴f ()x 在()0，＋∞ 上单调递减，无单调递增区间；②当a >0时，则由f ′()x ＝0得x ＝12a， ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞ 时，f ′()x >0.∴f ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞ 上单调递增， 综上所述，当a ≤0时，f ()x 在()0，＋∞ 上单调递减，无单调递增区间；当a >0时，f ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞ 上单调递增． (2)f (x )＝2ax －ln x (x >0).∵x 1，x 2()0<x 1<x 2 满足f ()x 1 ＝f ()x 2 ，∴2ax 1－ln x 1＝2ax 2－ln x 2，即ln x 1－ln x 2x 1－x 2 ＝2a ， 欲证f ()2ax 1 ＋f ()2ax 2 >4a 2()x 1＋x 2 ，即证ln ()2ax 1 ＋ln ()2ax 2 <0，即证x 1x 2<14a 2 ，又a >0，0<x 1<x 2，即证x 1x 2 <12a， 亦证x 1x 2 <x 1－x 2ln x 1－ln x 2 ，即ln x 1x 2 －x 1－x 2x 1x 2>0 即证2ln x 1x 2 ＋ x 2x 1 － x 1x 2 >0， ∵0<x 1<x 2，设x 1x 2 ＝t (0<t <1)，即证2ln t ＋1t－t >0. 设h (t )＝2ln t ＋1t －t (0<t <1). ∵h ′(t )＝2t －1t 2 －1＝－（t －1）2t 2 <0在t ∈()0，1 上恒成立， ∴h ()t 在()0，1 上单调递减， ∴h (t )>h (1)＝0.∴2ln t ＋1t－t >0. 即f ()2ax 1 ＋f ()2ax 2 >4a 2()x 1＋x 2 成立．。
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220|A x x x =-<，集合{}210|2x B x -=-≤，则A B ⋃=（）A ．{}|02x x <<B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x <D ．{}2|x x ≤【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,A B ,由集合的并运算即可求解.【详解】由于22021022202x x x x ---≤⇒≤⇒-≤⇒≤所以{}|02A x x =<<，{}|2B x x =≤，所以{}|2A B x x ⋃=≤.故选：D.2．已知复数1z ，2z ，“21z z >”是“211z z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若21z z >，可得复数1z ，2z 都为实数，当120z z <<时，211z z <，充分性不成立；反之，若211z z >取复数11i z =+，222i z =+，满足2121z z =>，但此时复数1z ，2z 均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，所以“21z z >”是“211z z >”的既不充分也不必要条件；故选：D.3．若函数923log ,14()1,123x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪++⎩，则523f f ⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎣⎛ ⎝⎦⎭⎥⎫（）A ．517B ．175C ．417D ．174【正确答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于5231>，所以5522935313log 34442f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故5211431217134f f f ⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+⎪⎭+⎛⎫ ⎝=，故选C.4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在[]50,100内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（）A ．70.2B ．72.6C ．75.4D ．82.2【正确答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得m 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得()0.0040.0540.0120.010101m ++++⨯=，则0.020m =，故得分的平均数为.()0.004550.020650.054750.012850.010951075.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：C5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221x y z a b c++=（0,z ≥，,,0a b c >，且a ，b ，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)m m π>的圆，给出下列结论：①a b =；②c m =；③2ac m =；④若ac m >，则1c >，其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据已知得a b m ==，结合题设判断各项正误即可.【详解】在2222221x y z a b c ++=中，令0z =可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221x y a b+=，由室内地面是面积为2πm (0)m >的圆，故a b =，①对；且22ππa m =，则a b m ==，又,,a b c 不全相等，故c m ≠，②错；若2ac m =，则2mc m =，可得c m =，与,,a b c 不全相等矛盾，③错；若ac m >，则0mc m >>，故1c >，④对.故选：B.6．已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A ．24B 33C 3D ．22【正确答案】A【分析】根据α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，利用二倍角公式整理得26sin sin 10αα--=，求得sin α，再利用基本关系求解.【详解】∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 1sin 3αα=--=-，∴2tan 4α=，故选：A.7．直线:40l ax by +-=与圆22:4O x y +=相切，则22(3)(4)a b -+-的最大值为（）A ．16B ．25C ．49D ．81【正确答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出,a b 的方程，根据方程分析利用22(3)(4)a b -+-表示的几何意义求解即可.【详解】由直线l 与圆O 相切可得：圆心()0,0O 到直线l 的距离等于圆的半径，2=，故224a b +=，即点(,)a b 在圆O 上，22(3)(4)a b -+-的几何意义为圆上的点(,)a b 与点(3,4)之间距离的平方，由224a b +=圆心为()0,0，因为22344+>，所以点(3,4)在圆224a b +=外，所以点(,)a b 到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，即27d r +=，所以22(3)(4)a b -+-的最大值为2749=.故选：C.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A ，B ，C 三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）A ．144种B ．162种C ．216种D ．288种【正确答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有24C 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有211342231C C C A 2方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有224222C C A 种分法，分给3名同学中的2名同学，有23A 种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有14C 种分法，共有2221423422C C A C A ⋅种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有222113214242233422C C 1C C C A A C 1442A +⋅=种.故选：A.二、多选题9．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π2，若12()()2f x f x =-，则（）A ．()f x 关于直线1x x =对称B ．()f x 关于点2(,0)x 对称C ．12x x +的最大值为π2D ．12x x +的最小值为π8【正确答案】AD【分析】根据辅助角公式化简()f x ，利用周期的公式求解4ω=，进而根据12()()2f x f x =-可判断12,x x x x ==为()f x 的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.【详解】由π()sin cos cos )4f x x x x ω=+=+的最小正周期为π2可得2ππ2ω=，即4ω=，故π())4f x x =+，由12()()2f x f x =-可得1()f x ，2()f x 分别为()f x 的最大值和最小值，故()f x 关于直线1x x =对称，不关于点2(,0)x 对称，故A 正确，B 错误；由()π4πZ 4x k k +=∈可得()1πZ 416x kx k =-∈，故()f x 的对称中心()1ππ,0Z 416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则121π1π2ππ,Z 41628x x n n n +=-=-∈，当0n =时，12x x +取得最小值π8，没有最大值，故C 错误，D 正确.故选：AD10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（）A ．若(,)P m n 且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为21mynx a -=B ．若(2,1)P ，直线l 的斜率为1C．若离心率e =2OAB S=△D ．若直线l 的斜率不存在，2AB =【正确答案】BCD【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A ，利用A 选项的求解可判断B ，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB 与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C ，根据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意1b =，双曲线222:1x C y a-=.对于A ，若(,)P m n ，则2221m n a-=，即2222m a n a -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221120x y a -=，222220x y a -=，利用点差法可得121222212122()2ABy y x x m m k x x a y y a n a n-+===-+=，所以直线l 的方程为y n -=2()mx m a n-，即2222a ny a n mx m -=-，所以22222mx a ny m a n a -=-=，即21mxny a -=，故A 错误；对于B ，若(2,1)P ，可得222211a -=,则a =l 的斜率为22121m a n ==⨯，即B 正确；对于C，若离心率222,2c e c a b a==+，可得2a =.则双曲线22:14x C y -=，其渐近线方程为2xy =±，设11(,)2x A x ，22(,2xB x -，直线()()121112:22x x x AB y x x x x +=-+-，令121220,x xy x x x ==+，则121221122212221OAB x x x x x x S x x +=+=△，由A 知AB 方程为14mxny -=，联立方程142mxny x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得142x m n =-，同理可得242x m n =+，所以1211442222OAB S x x m n m n ==⨯-+△2288244m n ===-，故C 正确；对于D ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以(,0)P a ±，双曲线的渐近线方程为1y x a=±，当x a =±时，代入渐近线方程易得A ，B 两点的纵坐标为1±，所以2AB =，故D 正确；故选：BCD.11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，点P ，Q ，M 分别为11A D ，11C D ，BC 的中点，下列结论正确的有（）A ．//AC 平面PQMB ．该四棱柱有外接球，则四边形ABCD 为正方形C ．BC 与平面PQM 不可能垂直D ．BD QM⊥【正确答案】ABC【分析】根据线线平行即可判断A ，利用外接圆的对角互补，则可判断B ，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C,D.【详解】对A ，连接11AC ，由点P ，Q ，分别为11A D ，11C D 可得11//ACPQ ，11111////.AA BB CC AA BB CC == ，所以四边形11A ACC 为平行四边形，则11//AC AC ，故//AC PQ ，AC ⊄平面PQM ,PQ ⊂平面PQM ,则//AC 平面PQM ，即A 正确；对B ，若四棱柱有外接球，则四边形ABCD 有外接圆，则ABCD 对角互补，则ABCD 为正方形，即B 正确；对C ，若BC ⊥平面PQM ，PQ ⊂平面PQM ,则BC PQ ⊥，由//PQ AC 可得BC AC ⊥，与条件矛盾，故BC 与平面PQM 不可能垂直，即C 正确；对D ，取CD 的中点N ，连接MN ，QN ，则//MN BD ，1//QN CC ,1CC ⊥ 平面ABCD ，QN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂ 平面ABCD ，QN MN ∴⊥，90QNM ∴∠=︒，则90QMN ∠<︒，故BD 与QM 不垂直，即D 错误.故选：ABC.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，2()f x x =，若方程()4log (5)(0,1)a f x x a a >=+≠在[]4,6-上恰有5个实数解，则（）A ．()f x 的周期为4B ．()f x 在[]8,10上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,2D ．711a <<【正确答案】AD【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A 、B ，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C ，画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象，数形结合，即可判断D.【详解】由()f x 的图象关于2x =对称可得(4)()f x f x +=-，再由()f x 为偶函数可得()()f x f x -=，故()(4)f x f x =+，即()f x 的周期为4，即A 正确；当[0,2]x ∈时，由2()f x x =，可得()f x 在[0,2]上单调递增，故()f x 在[]8,10上单调递增，即B 错误；又(0)0f =，(2)4f =，故()f x 的值域为[]0,4，即C 错误；在同一坐标系下画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象如图所示.由图可知，要使()y f x =与()4log (5)b g x x =+在[]4,6-上恰有5个不同交点，只需()()24641g g a ⎧<⎪>⎨⎪>⎩，即log 71log 1111a a a <⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得711a <<，即a 的取值范围为()7,11，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知O 为ABC 的外心，若2OA =，且75BAC ∠=︒，则OB OC ⋅=__________.【正确答案】23-【分析】由平面向量数量积公式进行求解.【详解】由圆的性质可得2150BOC BAC ∠=∠=︒，2OA OB OC ===，故cos 22cos15023OB OC OB OC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯︒= 故23-14．若函数4()ln 42mxf x x-=-的图象关于原点对称，则实数m 的值为__________.【正确答案】2-【分析】根据奇函数的性质根据()()f x f x -=-，即可求解.【详解】依题意，()()f x f x -=-，即44ln ln 4242mx mxx x-+=-+,所以442424mx x x mx +-=+-，解得2m =±，当2m =时，42()ln42xf x x-=-，定义域{}2x x ≠不关于原点对称，故舍去，当2m =-时，42()ln 42xf x x+=-，定义域为{}22x x -<<，符合要求，故2m =-，故2-15．函数33()sincos sin cos 2222x x x xf x =-的最小值为__________.【正确答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sin cos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故14-四、双空题16．如图，在三棱锥A BCD -中，AB CD ⊥，AD BC ⊥，且3BD AC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________，AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【正确答案】90︒10【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG AC ，//EG BD ，故EFG ∠或其补角为异面直线AC 与EF 所成的角，过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO ，则AO CD ⊥，又AB CD ⊥，且AB AO A = ，故CD ⊥平面AOB ，故BO CD ⊥，同理可得DO BC ⊥，即O 为BCD △的垂心，故BD CO ⊥，又AO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，故BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥，即AC 与BD 所成角为90︒；所以90EGF ∠=︒，由3BD AC =可得3EG FG =，故cos FG EFG EF ∠==即异面直线AC 与EF故①90︒，②10.五、解答题17．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a ，4a 的等比中项，1278S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)(1)31nn T n =-⨯+【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，即可得结果；（2）由（1）可得：1(21)3n n b n -=-⨯，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为2a 是1a ，4a 的等比中项，则2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又因为121121211782dS a =+⨯⨯=，整理得163339a d +=②由①②解得，11a =，1d =，所以()11n a n n =+-=.（2）由（1）知，()11213213n n n n b a n ---=⨯=-⨯，则021133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，可得12313133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得0123121323232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯16(13)1(21)313n n n --=+--⨯-(22)32n n =-⨯-，所以(1)31nn T n =-⨯+.18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占13，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为12.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列22⨯列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【正确答案】(1)表格见解析(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p ，再求出男职工中支持养宠物的人数；（2）根据卡方公式求解.【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为p ，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，∴111(1)(1)32p ---=，解得14p =，则男职工中支持养宠物的人数为1300745⨯=，22⨯列联表如下：支持养宠物不支持养宠物合计男职工75225300女职工50100150合计125325450（2）零假设为：0H ：性别与态度无关联；由于22450(7510022550) 3.462 3.841125325300150χ<⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.19．在ABC 中，4AB =，AC =点D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.【正确答案】(1)4-2【分析】（1）设BD DC x ==，由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=结合余弦定理求解即可求出x =ABC 中，由余弦定理即可求出答案.（2）在ABC 中，由余弦定理求出BC =ABD △中，由余弦定理求出AD =，连接BE ，在ABE 中，由余弦定理即可求出线段BE 的长.【详解】（1）因为1DE =，3AE DE =，所以2AD =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，设BD DC x ==，则222222022BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-+=⋅⋅，即224164802222x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得x =2BC BD ==在ABC 中，由余弦定理知，222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以2816242BC BC =+-⋅⋅⋅，化简得280BC -+=，解得BC =因为D 是BC 的中点，所以12BD BC ==在ABD △中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD ABC =+-⋅⋅∠16224102=+-⨯=，所以AD =，因为3AE DE =，所以32AE AD ==在ABD △中，由余弦定理知，222cos2AB AD BD BAE AB AD +-∠=⋅连接BE ，在ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅∠=351624222⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BE =20．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，若PAC △为等边三角形，ABC 为等腰直角三角形，且AC BC =，点E 为AC 的中点，点D 在线段AB 上，且4AB AD =.(1)证明：AB ⊥平面PDE ；(2)求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析4【分析】（1）作出辅助线，得到DE AB ⊥，由三线合一得到PE AC ⊥，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取AB 的中点G ，由AC BC =可得CG AB ⊥，由4AB AD =可得D 为AG 的中点，由E 为AC 的中点可得DE 为ACG 的中位线，∴DE CG ∥，∴DE AB ⊥，∵E 为AC 的中点，PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PE 在面PAC 内，∴PE ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥，又PE DE E = ，且PE DE ⊂，平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE .（2）以C 为原点，CA 、CB 为x 、y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，设4PA =.则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C，P ，则(2,0,PA =- ，()4,4,0AB =-，∴1(1,1,4PD PA AD PA AB =+=+=-，(2,4,PB =--，(2,0,PC =--，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由24020n PB x y z n PC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得0y =，令x =1z =-，故1)n =-，由（1）可知(4,4,0)AB =-为平面PDE 的一个法向量，∴cos,4ABAB nA nBn=⋅=-⋅，又平面PDE与平面PBC21．已知抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点为F，直线:(1)2(0)l y k x k=>--与C交于A，B 两点，当3k=时，28AF BF+=.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线:(1)2m y k x=---与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线AM，直线BN及y 轴围成的三角形为等腰三角形.【正确答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当3k=时，直线:3(1)235l y x x=--=-，与22x py=联立消去y，整理可得26100x px p-+=，由0∆>得236400p p->，即109p>.设11(,)A x y，22(,)B x y，可得126x x p+=，所以()12123101810y y x x p +=+-=-，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，根据抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+，所以121810191028AF BF y y p p p p +=++=-+=-=，解得2p =，满足0∆>，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）直线():12(0)l y k x k =-->与24x y =联立可得24480x kx k -++=，由0∆>得21616320k k -->，即2k >或1k <-（舍）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=；直线:(1)2m y k x =---与24x y =联立消去y ，整理可得24480x kx k +-+=，由0∆>得21616320k k +->，即1k >或2k <-（舍），故2k >，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344x x k +=-；因为2231313131314()4AMy y x x x xk x x x x --+===--，同理424BN x x k +=，所以123404AMBN x x x xk k ++++==，所以由直线AM ，直线BN 及y 轴围成的三角形为等腰三角形.22．已知函数()()2ln 2R f x ax x x x a =--∈.(1)若4a =，求()f x '的极值；(2)若函数()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，且21x ex >，求证.12ln ln 3a x x +>【正确答案】(1)极大值为4ln 22-，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的单调性，即可求出()f x '的极值；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-即112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，构建新函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，求导，利用导数证明()2t ϕ>即可.【详解】（1）2()ln 2f x ax x x x =--的定义域为(0,)+∞，当4a =时，()4ln 22f x x x '=-+，设()4ln 22g x x x =-+，则442()2xg x x x-'=-=，由()0g x =可得2x =，当02x <<时，()0g x '>，当2x >时，()0g x '<，∴()f x '在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴()f x '的极大值为(2)4ln 22f '=-，无极小值；（2）由()20f x x +=可得2 ln 0ax x x -=，即1ln xa x=.设ln ()(0)xh x x x=>，则21ln ()x h x x -'=.由()0h x '=可得e x =，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.∴()h x 有极大值1(e)eh =，当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >.要使()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，需有110ea <<，即e a >.∵1212ln ln 1x x a x x ==，由比例的性质可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，故121212122211111ln()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++==--，设21x t x =，由21e 0x x >>可得t e >，设函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-，设1()2ln s t t t t =--，则22211()110s t t t t ⎛⎫'=-+=-> ⎪⎝⎭，∴()s t 在(e,)+∞上单调递增，故1()(e)e 20es t s >=-->，故()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(e,)+∞上单调递增，故e 12()(e)12e 1e 1t ϕϕ+>==+>--，∴212e x x >，故312e ax x >，故312ln()ln e ax x >，即12ln ln 3a x x +>.关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出1212ln ln 1x x a x x ==，建立关系112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.。
2023-2024学年江苏省常州市高三考前数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年江苏省常州市高三考前数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合{}{}228|,17|A x x B y y =+∈=+∈N N ，若A B C = ，则集合C 中的子集有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【分析】由A B C = 可知需满足22817x y +=+，利用,N x y ∈解方程组代入可得{}17,33C =，即C 中有2个元素.【详解】由A B C = 可得，集合C 为集合A ，B 的公共元素，需满足22228179x y x y +=+⇒-=，即()()9x y x y +-=，又,x y ∈N ，故91x y x y +=⎧⎨-=⎩或33x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩此时集合{}17,33C =有2个元素，故集合C 中的子集共有4个.故选：C.2．已知复数1i z =-，则212z z+的虚部为（）A ．110B ．1i5C ．15D ．15-【正确答案】C【分析】由1i z =-可求得22z z +，再根据复数的除法运算可得212z z+，再根据虚部的定义即可得答案.【详解】因为1i z =-，所以222(1i)2(1i)24i z z +=-+-=-，所以21124i 24i 11i 224i (24i)(24i)20105z z ++====++--+，所以212z z +的虚部为15.故选：C.3．已知点A 是抛物线2(0)x my m =>上的一点，(2,0)B ，F 是抛物线的焦点，且FA AB =uu r uu u r，则m 的值为（）A ．1B ．2CD．【正确答案】D【分析】根据抛物线标准方程可得0,4m F ⎛⎫⎪⎝⎭，设出点A 的坐标利用向量的坐标运算即可计算出m 的值.【详解】易知0,4m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点A 在抛物线2x my =上，可设200,m A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；又(2,0)B ，由FA AB =uu r uu u r可得220000,,24x x m x x m m ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭-即00220024x x x x mm m =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，计算可得0218x m =⎧⎨=⎩；又0m >，可得m =.故选：D4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（）A ．13B ．23C ．49D ．59【正确答案】D【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，10种情况，若这三个数之积为偶数有()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，9种情况，它们之和大于8共有()()()()()1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为59P =.故选:D.5．设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=，314S =，若存在0n 使得012,,,n a a a ⋯的乘积最大，则0n 的一个可能值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】A【分析】由已知利用等比数列的性质可求24a =，又314S =，可得13131610a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，解得1328a a =⎧⎨=⎩或1382a a =⎧⎨=⎩，分类讨论可求q 的值，即可求解数列的各项，即可求解．【详解】等比数列{}n a 中，公比0q >；由213216a a a ⋅==，所以24a =，又314S =，所以13131610a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩解得1328a a =⎧⎨=⎩或1382a a =⎧⎨=⎩；若1328a a =⎧⎨=⎩时，可得2q =，可得012,,,n a a a ⋯的值为2,4,8,16⋯，，可知数列{}n a 单调递增，且各项均大于1，所以不会存在0n 使得012,,,n a a a ⋯的乘积最大(舍去)；若1382a a =⎧⎨=⎩时，可得12q =，可得012,,,n a a a ⋯的值为118,4,2,1,,24，…，可知数列{}n a 单调递减，从第5项起各项小于1且为正数，前4项均为正数且大于等于1，所以存在04n =，使得8421⨯⨯⨯的乘积最大，综上，可得0n 的一个可能值是4.故选：A.6．如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（）A ．,m n 是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n <C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>【正确答案】B【分析】由幂函数性质及01x <<时两图象的位置关系可知1mn<；由图象可知m n y x =为偶函数，进而确定,m n 的特征.【详解】由幂函数性质可知：mn y x =与y x =恒过点()1,1，即在第一象限的交点为()1,1，当01x <<时，m n x x >，则1mn<；又m ny x=图象关于y 轴对称，m n y x ∴=为偶函数，()m m nnx x ∴-==又,m n 互质，m ∴为偶数，n 为奇数.故选：B.7．已知,,a b e是平面向量，其中e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角是π3，向量b 满足|2|1b e -= ，则||a b -的最小值是（）A1B 1C ．2D ．2【正确答案】A【分析】先确定向量a 、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】以向量e 的起点为原点，以e为x 的正方向，建立平面直角坐标系，则()1,0e =r ，设()(),,,a c d b m n ==r r，则由π,3a e = 得πcos ,3a a e e c ⋅=⋅=r r r r所以d =由|2|1b e -=得()2221-+=m n ，所以点(),c d 在直线y =上，点(),m n 在圆()2221x y -+=，又a b -=r r 所以||a b -等于点(),c d 到点(),m n 的距离，圆()2221x y -+=的圆心到直线y =的距离为1d ==>，所以直线y =与圆()2221x y -+=相离，因此a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.-故选：A.8．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π【正确答案】B【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r ra x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=-所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知,二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足22222cos cos 41sin r m nam nr a αθθ-⋅=⋅++ 设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ 则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r ra x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知,二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos k hk hβ⋅==⋅ 由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<<所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π故选:B本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=B ．若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>C ．若O 为坐标原点，点B 在直线0x y +-=上，则(0,)d B 的最小值为2D ．若O 为坐标原点，点P 满足(,)1d O P =，则P 所形成图形的面积为2【正确答案】AD【分析】根据定义结合绝对值三角不等式分别判断各选项.【详解】A 选项：若点C 在线段AB 上，设点()00,C x y ，()()1122,,,A x y B x y ，则0x 在1x ，2x 之间，0y 在1y ，2y 之间，则010*********(,)(,)(,)d A C d C B x x y y x x y y x x y y d A B +=-+-+-+-=-+-=，故A 正确；B 选项：在ABC 中，010*********(,)(,)(,)d A C d C B x x y y x x y y x x y y d A B +=-+-+-+-≥-+-=，故B 错误；C 选项：设(),B x y ，则(0,)d B x y x x =+=+≥，即(0,)d B 的最小值为C 选项错误；D 选项：由(,)1d O P x y =+=，则点P 的轨迹如图所示，面积为12222⨯⨯=，D 选项正确.故选：AD.10．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）A ．333334510C C C C 330++++=LB ．设9090345903459023489A A A A A x ⎛⎫=⨯+++ ⎪⎝⎭L ，则x 的个位数字是6C ．已知n m >，则等式11C C 11m m nn m n ++=++对任意正整数n ，m 都成立D ．等式()()()()22220122C C C C C n n n n n n n ++++= 对任意正整数n 都成立【正确答案】ACD【分析】对A ：根据11C C C m n m mn n -++=运算求解；对B ：可得11111A A A nn n n n nn ---=-，结合排列数分析运算；对C ：根据组合数分析运算；对D ：构建()()()2111nnnx x x ++=+，利用n x 的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】对A ：3333333333451045105101441445C C C C C C C C C C 30C 3C ++++=++++==++=+⋅⋅⋅=L L L ，A 正确；对B ：∵()*11111111,3,A !1!!A A n n nn n nn n n n n n n ----==-=-≥∈-N ，则345902334899029034590233489902902348911111111A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，故9090909090903459029034590290A 2348911A A 1A A A A A A 2x ⎛⎫⎛⎫=⨯+++=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵9090A 90!4589!22==⨯其个位数字是0，故9090A 12x =-的个位数字是9，B 错误；对C ：若n m >，则()()()()()()()111!C C !11!!111!11!m m n n n n m m m n m n n m n m +++===++⨯-++⨯++-+⎡⎤⎣⎦，C 正确；对D ：∵()1nx +的展开式为11C 1C ,0,1,2,,rn rr r r r n n T x x r n -+=⨯⨯=⋅=⋅⋅⋅，∴()011C C C nn nn n n x x x +=++⋅⋅⋅+，故()()11nn x x ++展开式的n x 的系数为0110C C C C C C n n n n n n n n n -++⋅⋅⋅+，又∵C C m m n n n -=，则()()()()01122220120C C C C C C C C C C n n n n n n n n n nn n n n -++⋅++++⋅⋅+=L ，同理可得：()21nx +的展开式为22122C 1C ,0,1,2,,2rn rr r rr n n T x x r n -+=⨯⨯=⋅=⋅⋅⋅，即()21nx +展开式的n x 的系数为2C nn ，由于()()()2111n n n x x x ++=+，故()()()()22220122C C C C C n n n n n n n ++++= ，D 正确；故选：ACD.11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球,O E F 、分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有（）A ．存在点,G 使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点,//G OA 平面EFGC ．直线EF 的被球ОD ．过直线EF 的平面截球О所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π【正确答案】ACD【分析】A.当点G 为中点时，证明1B D ⊥平面EFG ；B.当点G 与B 重合时，A 在平面EFB 上，O 在平面EFB 外，说明不成立；C.点M 是线段EF 的中点，利用弦长公式求弦长；D.当OM垂直于过EF 的平面，此时截面圆的面积最小，利用C 的结果求圆的面积.【详解】当G 为BC 中点时，EG BD ⊥，1EG BB ⊥1BD BB B ⋂=，EG ∴⊥平面1BDB ，平面//EFG 平面1ACD ，1B D ⊂平面1BDB ，1EG B D ∴⊥，同理1GF B D ⊥，EG GF G = ，所以1B D ⊥平面EFG ，即OD ⊥平面EFG ，故A 正确；当G 与B 重合时，A 在平面EFB 上，O 在平面EFB 外，故B 不正确;如图，点M 是线段EF 的中点，由对称性可知OM EF ⊥，由勾股定理可知易知226,EF EB BF =+=2OE =球心O 到EF 距离为()2262222OM ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则EF 被球截得的弦长为222222122l R OM ⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭故C 正确;当OM 垂直于过EF 的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是222l r ==，面积为212S r ππ==，故D 正确.故选：ACD思路点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，C 选项的关键是利用EF 的长度，计算OM ，再利用球的弦长公式计算弦长.12．已知0e sin e sin y x x y x y π<<<，＝，则（）A ．sin sin x y <B ．cos cos x y>-C ．sin cos x y>D ．cos sin x y>【正确答案】ABC【分析】将e sin e sin yxx y ＝变为e sin e sin y x yx=结合指数函数的性质，判断A;构造函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，求导，利用其单调性结合图象判断x,y 的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C ，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0e sin e sin y x x y x y π<<<，＝，得0y x ->，e sin e sin y x y x=，e 1y x->，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对；e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =，令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='-=，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，因为()()f x f y =，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<-<>，，∴sin()sin y x π->，结合图象则y x π->，∴cos()cos y x π-<，∴cos cos x y >-，B 对；结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>-，且,4224y y πππππ<<-<-<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ-<-<<，在区间[,24ππ-上，函数cos y x =不是单调函数，即cos()cos 2y x π-<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误；故选：ABC ．本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.三、填空题13．平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是__________．【正确答案】4【分析】在平行线找到能够成矩形的四点，设角并表示出边长，由矩形面积公式和三角函数性质求最值，注意等号成立条件即可.【详解】如图ABCD为矩形，令π(0,)2EABθ∠=∈，则12,sin cosAB ADθθ==，所以241sin22Sθ=≥，仅当π4θ=时等号成立，故面积的最小值是4.故414．设函数2()cos,Rf x x a x a=+∈，非空集合{}()0,RM x f x x==∈.若集合{}(())0,RN x f f x x==∈，且M N=，则a的值是______.【正确答案】0【分析】根据集合M N=，即可得出(0)0f=,从而求出a的值.【详解】因为{}()0,RM x f x x==∈，{}(())0,RN x f f x x==∈且M N=，即任意x M∈,都有x∈N，()0f x=,(())0f f x=，(0)0f∴=，即20cos00a+=00a∴+=，a∴=，故0．15．设双曲线Γ的中心为O，右焦点为F，点B满足2FB OF=．若在Γ的右支上存在一点A，使得||||OA OF=且3OAB OBA∠≥∠，则Γ离心率的取值范围为___________．【正确答案】21,7⎛+⎝⎦【详解】在平面直角坐标系xOy中考虑问题．不妨设A 在第一象限．A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆Ω与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即,FAB FBA FA FB ∠≥∠≤．在Ω上取一点C ，使FC FB =，则FC FA ≥．由双曲线的定义知2CX CF a -≤（a 是实半轴长），即2222(2)4a CF CX c CF +≥=-（c 是半焦距）．代入2c CF FB ==，得2222424c c a c ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭．解得22151,7e ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦．故22151,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦16．两个数列{}n a ､{}n b 满足12a =，11b =，1537n n n a a b +=++，135n n n b a b +=+（其中*n ∈N ），则{}n a 的通项公式为n a =___________.【正确答案】132224n n +-+-【分析】依题意可得21110628n n n a a a ++-=-，即()()214416410n n n a a a +++=+-+，即可得到{}4n a +的特征方程为26101x x =-，求出方程的根，则设数列{}4n a +的通项公式为428n n n q a p +=⋅+⋅，根据1a 、2a 得到方程组，求出,p q ，即可得到{}n a 的通项公式；【详解】解：因为1537n n n a a b +=++，135n n n b a b +=+，所以()12117391595557n n n n n n n n b a b a a a a a ++++=+=⇒--+--，所以21110628n n n a a a ++-=-，即()()214416410n n n a a a +++=+-+，所以{}4n a +的特征方程为26101x x =-，解得特征根2x =或8x =，所以可设数列{}4n a +的通项公式为428n n nq a p +=⋅+⋅，因为12a =，11b =，所以21153720a a b =++=，所以22242820428p q p q +=⋅+⋅⎧⎨+=⋅+⋅⎩，解得214p q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以132422n n n a +-+=+，所以132224n n n a +-=+-；故132224n n +-+-四、解答题17．已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:40l kx y k --=，当3k =时，直线l 与圆O 恰好相切．(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 上存在距离为2的两点M ，N ，在圆O 上存在一点P ，使得0PM PN ⋅=，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)224x y +=(2),77⎡-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.（2）分直线l 与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合0PM PN ⋅=，则点P 在以MN 为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.【详解】（1）当k O 到直线l2=，则r ＝2，所以圆O 的方程为224x y +=．（2）圆心O 到直线l 的距离d =①当直线l 与圆O 有公共点，即2d r =≤=，解得33k -≤≤，若点P 与点M （或N ）重合，则满足0PM PN ⋅=，符合题意．②当直线l 与圆O 无公共点，即2d r =>=，解得k <k >由0PM PN ⋅=，可知点P 在以MN 为直径的圆上，设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则圆Q 的方程为()()22001x x y y -+-=，又圆Q 与圆O 有公共点，设圆Q 的半径21r =，圆O 的半径12r =，则112213r r r O r Q -=+≤≤==，只需点O 到直线l 的距离3d =≤，所以k ≤<k ≤≤综上，实数k 的取值范围为,77⎡-⎢⎥⎣⎦．18．已知函数()2sin(2)16f x x πω=++．(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12minπ2x x -=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；(3)已知函数π()cos(2)23(0)6h x a x a a =--+>，在第（2）问条件下，若对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,4x ∈，使得12()()h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,;(2)13π9;(3)80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】（1）由()()()12f x f x f x ≤≤，12minπ2x x -=可求得函数()f x 的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得()g x 的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n m -的最小值；（3）将所给条件转化为()h x 和()g x 的值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围．【详解】（1）∵()2sin(2)16f x x πω=++的最小正周期为2π2T ω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，∴()f x 的最小正周期是π，故2ππ2T ω==，解得1ω=±，当1ω=时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k +=∈⇒=-+∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，；当1ω=-时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k -+=∈⇒=-∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；综上所述，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,.（2）∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，∴ππ2sin 216)3(x g x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵π3x =是()g x 的一个零点，π2ππ(π2sin 1=03363)g ωω⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，即ππ1sin =362ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴ππ7π2π366k ω+=+或ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈，，解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，由05ω<<可得3ω=∴5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，最小正周期π3T =.令()0g x =，则5π1sin 662x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭即15ππ62π66x k -=-+或25π5π62πZ 66x k k -=-+∈，，解得1ππ39k x =+或2π3k x =，12,Z k k ∈；若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，故46T n m T<-<要使n m -最小，须m 、n 恰好为()g x 的零点，故()min ππ13π4+=399n m -=⨯.（3）由（2）知5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,4x ∈，使得12()()h x g x =成立，则{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=，当2π[0,]4x ∈时，[]()[]25π5π2π5π6,,sin 61,1,1,36636x x g x ⎡⎤⎛⎫-∈--∈-∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当1π[0,]4x ∈时，()1ππππ132,,cos 2,1,3,3663622x x h x a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤-∈--∈∈-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦，由{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=可得0331233a a a >⎧⎪⎪-+≥-⎨⎪-+≤⎪⎩，解得80,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故实数a 的取值范围为80,3⎛⎤⎥⎝⎦.本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．19．如图，在三棱台ABC —111A B C 中，1111122BB B C C C BC AB BC ====⊥，，平面11AA B B ⊥平面11BB C C.(1)证明：AB ⊥平面11BB C C ；(2)若二面角1B C C A --的大小是π6，求侧面11AAC C 与底面ABC 所成二面角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）在等腰梯形11BB C C 中，作1B D BC ⊥，利用勾股定理得到11B C B B ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到1B C AB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可得证.（2）建立空间直角坐标系，设AB t =，写出相应点的坐标，求出平面1ACC 与平面11BB C C 的法向量，利用二面角1B C C A --的大小是π6求出t ，从而利用向量法求解二面角的余弦值，利用同角关系求出正弦值.【详解】（1）1242BC BC =∴= ，，在等腰梯形11BB C C 中，作1B D BC ⊥，则()11112BD BC B C =-=，在1Rt BDB 中，111cos 2BD B BC BB ∠==，所以1π3B BC ∠=，1B D =，在1Rt CDB △中，3DC =，解得1B C =，所以22211B B B C BC +=，即11B C B B ⊥，由平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B Ç平面11BB C C 1B B =，11B C B B ⊥，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1B C ⊥平面11AA B B ，因为AB ⊂平面11AA B B ，所以1B C AB ⊥，因为AB BC ⊥，1BC B C C = ，1,BC B C ⊂平面11BB C C ，所以AB ⊥平面11BB C C.（2）如图，在平面11BB C C 内，过点B 作BE BC ⊥，以B 为原点，以,,BA BC BE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AB t =，则11(,0,0),(0,4,0),3),3)A t C C B ，则1(,4,0),(0,3)AC t CC =-=-，设平面1ACC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即4030tx y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则43(,3,1)n t = ，易知平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)m =，则2433cos ,2483+1n m t n m n mt ⋅===⋅+2t =，即2AB =，则平面11AAC C 的法向量为(23,3,1)n =，易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)v =，则1cos ,4123+1n v n v n v⋅==+⋅ ，设侧面11AAC C 与底面ABC 所成二面角的平面角为,[0,π]θθ∈，则215sin 1cos ,4n v θ=-，所以侧面11AAC C 与底面ABC 所成二面角的正弦值为154.20．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“和扩充”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S .(1)若1,2,3a b c ===，求2P ，2S ；(2)设满足2023n P ≥的n 的最小值为0n ，求0n 及03n S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中[x ]是指不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]2.63-=-）；【正确答案】(1)29P =，238S =；(2)010n =，03142714n a b S c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=++；【分析】（1）根据数列的一次“和扩充”，即可列举出数列求解.（2）根据第1n +次“和扩充”后增加的项数1n P -，与经“和扩充”后的项数为n P ，构造等比数列即可求解033n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，结合“和扩充”，即可列举出数列求解.【详解】（1）数列1，2，3，经第1次“和扩充”后得到数列为1，3，2，5，3，数列1，2，3，经第2次“和扩充”后得到数列为1，4，3，5，2，7，5，8，3，所以2549P =+=，214352353878S +++++=+=++；（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经“和扩充”后的项数为n P ，则经第1n +次“和扩充”后增加的项数为1n P -，所以()1121n n n n P P P P +=+-=-，所以()112221n n n P P P +-=-=-，由（1）得114P -=，{}1n P -是首项为4，公比为2的等比数列，所以111422n n n P -+-=⋅=，所以121n n P +=+，由1212023n n P +=+≥，即122022n +≥，解得10n ≥，所以满足2023n P ≥的n 的最小值为10，故010n =，所以033n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，数列a ，b ，c 经过第1次“和扩充”后得到数列,,,,a a b b b c c ++，且1232S a b c =++，数列a ，b ，c 经过第2次“和扩充”后得到数列,2,,2,,2,,2,a a b a b a b b b c b c b c c ++++++，且21363S S a b c =+++，数列a ，b ，c 经过第3次“和扩充”后得到数列,3,2,32,,a a b a b a b a b ++++23,2,3,a b a b a b +++,3,2,32,,23,2,3,b b c b c b c b c b c b c b c c+++++++，且329189S S a b c =+++，即033142714n S S a b c⎡⎤⎢⎥⎣⎦==++；21．中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC ）赞助，因此也称NEC 杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有n 名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的n 名队员按出场的先后顺序记为12,,n a a a L ；日本队的n 名队员按出场的先后顺序记为12,,n b b b .假设i a 胜(,1,2,3,)j b i j n = 的概率为p （01p <<为常数）.(1)当5n =时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；(2)记中国队被淘汰1(1,2,3)k k n -= 人且中国队获得擂台赛胜利的概率为k P ，求k P 的表达式；(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率()P A 的表达式（不用说明理由）.【正确答案】(1)35256；(2)112C (1)(1,2,)k n k k n k P p p k n --+-=-= ；(3)P =1121C (1)n k n k n k k p p --+-=-∑.【分析】（1）方法1，列举出中国队的5a 出场且获得胜利的所有结果，再求出每种结果的概率并借助互斥事件概率的加法公式求解作答；方法二，求出5a 出场的结果种数，再利用独立重复试验的概率公式求解作答.（2）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式作答.（3）利用（2）的结论，结合互斥事件的加法公式求解作答.【详解】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为12，列举出中国队的5a 出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：①4a 负于1b ，只有一种情况，5a 获胜的概率为911()2P =；②4a 负于2b ，此前共淘汰4人，123,,a a a 及1b ，共进行4场比赛，而日本队负1场，有14C 种情况，5a 获胜的概率为19241C ()2P =；③4a 负于3b ，此前共进行5场比赛，日本队负2场，共有25C 种情况，5a 获胜的概率为29351C ()2P =；④4a 负于4b ，此前共进行6场比赛，日本队负3场，共有36C 种情况，5a 获胜的概率为39461C ()2P =；⑤4a 负于5b ，此前共进行7场比赛，日本队负4场，共有47C 种情况，5a 获胜的概率为49571C ()2P =，这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为.591135(14101535)()2256i i P P ===++++=∑方法二：由于两队的实力相当，则可认为i a 与j b （,1,2,3,4,5i j =）比赛时，i a 获胜的概率为12，而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的5a 出场且获得胜利，就有9人被淘汰，则共进行了9场比赛，且最后一场是中国队胜，在此之前的8场比赛中，中国队必胜4场，负4场（若胜5场，则5a 不必出场），所以所求事件的概率为498135C (2256P ==.（2）中国队被淘汰1(1,2,3)k k n -= 人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了1n k +-场比赛，前2n k +-场比赛中，中国队被淘汰了1k -人，负了1k -场，所以112C (1)(1,2,)k n k k n k P p p k n --+-=-= .（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是(1,2,,)k a k n = 胜n b 的n 个互斥事件的和，由（2）知，k a 胜n b 的概率为112C (1)k n k k n k P p p --+-=-，所以中国队获得擂台赛胜利的概率11211)()C (1n n k n k k n k k k P A P p p --+-====-∑∑.22．已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．(1)当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；(2)当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a >．【正确答案】(1)()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e1x a x h x x ---，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，故可将原问题转化为对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【详解】（1）当1a =时，()1e ln ln2xf x x x-=-+,则1122(1)(e )e (1)11()x x x x x x f x x x x ------'=-=，设1()=e 1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x a x x x x f x x x x ------'=-=，设()=e 1x a x h x x ---，则1()e 11x a h x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+，使得0000()e 01x a x h x x -=-=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>的极小值点，也是最小值点，则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥，又因为000e 1x a x x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a ->-+-，设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a->-+-，故对任意1x >，()1f x a>.本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.。
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高三一轮复习数学模拟试题（一）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．设集合，，则等于（ ）A.B. C.D. 3．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．执行右边的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 14B. 20C. 30D. 555.已知向量，向量，且，则实数x 等于（ ）A. 0B. 4C. -1D. -46．若是等差数列的前n 项和，则的值为（ ）A ．12B ．22C ．18D ．447. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.8．已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则i i z )1(+=}{21|<<-=x x A }{30|<<=x x B B A }{20|<<x x }{21|<<-x x }{30|<<x x }{31|<<-x x ︒=60α21cos =α)2,1(=a )2,(-=x b b a //n S {}n a 2104,a a +=11S 125)(-+-=x x x f )1,0()2,1()3,2()4,3(m l ,βα,αα⊂m l ,//m l //αβα⊥l ,//β⊥l αβα⊂l ,//β//l l m m l ⊥⊂=⊥,,,αβαβα β⊥m9．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ） A ．B ．B ．D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）A. 6B. 12C. 18D. 2411．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且，垂足为A ，若直线AF 的斜率为，则|PF |等于（ ）A.B.4C.D.812．若对任意的，函数满足，且，则（ ） A.0B. 1C.-2013D.2013cos 2y x =6πcos(2)16y x π=-+cos(2)13y x π=-+cos(2)16y x π=++cos(2)13y x π=++x y 42=l PA ⊥3-3234R x ∈)(x f (2013)(2012)f x f x +=-+(2013)2013f =-(0)f =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m ，中位数为n ，众数为p ，则m ，n ，p 的大小关系是_____________.14．已知变量满足则的最小值是____________． 15．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．16．设函数，观察： ……依此类推，归纳推理可得当且时，．,x y 1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩z x y =+)0,0(12222>>=-b a by a x 3x y -=)0(2)(>+=x x x x f 2)()(1+==x x x f x f 43))(()(12+==x x x f f x f 87))(()(23+==x x x f f x f 1615))(()(34+==x x x f f x f *N n ∈2≥n ____________))(()(1==-x f f x f n n三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列的前n 项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，求数列的前n 项和．18.（本小题满分12分）设关于的一元二次方程.（1）若，都是从集合中任取的数字，求方程有实根的概率；（2）若是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．19.（本小题满分12分）设函数（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．{}n a )(2*2N n n n S n ∈+={}n a {}n b )0(>q q 32412,a a b S b +=={}n b n T x 2220x ax b ++=a b {}1,2,3,4a b a x x x x f ++=2cos cos sin 3)()(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx )(x f 231)(>x f20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面底面ABCD ，且，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．（1）求证：平面PAD ；（2）求证：平面PDC 平面PAD ；（3）求四棱锥的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率． （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．ABCD P -⊥PAD AD PD PA 22==//EF ⊥ABCD P -)0(1:2222>>=+b a by a x C )3,2(A 21=e C )4,0(-B l 716=⋅ON OM l22．（本小题满分14分）已知函数在处取得极小值2． （1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=1=x )(x f )(x f a ax x x g +-=2)(2R x ∈1]1,1[2-∈x )()(12x f x g ≤a答案又当时，，满足上式 ……4分∴ ……5分（2）由（1）可知，， ……7分 又∴ ……8分又数列是公比为正数等比数列∴ 又∴ ……9分∴ ……10分 ∴数列的前n 项和 ……12分 18、解：（1）设事件A =“方程有实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） ……2分 一共16种且每种情况被取到的可能性相同 ……3分1=n 311==S a )(12*N n n a n ∈+=311==S a 52=a 73=a 32412,a a b S b +==12,342==b b {}n b 4242==b b q 0>q 2=q 2321==q b b {}n b )12(2321)21(231)1(1-=--=--=n n n n q q b T ),(b a∵关于的一元二次方程有实根∴ ……4分∴事件A 包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分∴方程有实根的概率是 ……6分 （2）设事件B =“方程有实根”，记为取到的一种组合∵是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字∴点所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：又满足：的点的区域是如图所示的阴影部分∴ ∴方程有实根的概率是 （第（2）题评分标准说明：画图正确得3分，求概率3分，本小题6分）19、解：（1） ……1分 ……3分 ……4分令 ， ∴， ∴函数的递减区间为： ……6分 x 2220x ax b ++=22440,a b a b ∆=-≥⇒≥105()168P A ∴==85),(b a a b ),(b a b a ≥83433321)(=⨯⨯⨯=B P 8331cos 2()sin 222x f x x a +=++1sin(2)62x a π=+++T π∴=3222262k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈263k x k ππππ+≤≤+Z k ∈)(x f 2[,],63k k k Z ππππ++∈（2）由得： ……8分 ……9分 ∴ ， ……11分 又 ∴不等式的解集为 ……12分20、解：（1）连接EF ，AC∵四棱锥中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点 ∴对角线AC 经过F 点 ……1分又在中，点E 为PC 的中点∴EF 为的中位线∴ ……2分又 ……3分∴平面PAD ……4分（2）∵底面ABCD 是边长为a 的正方形∴ ……5分又侧面底面ABCD ，，侧面底面ABCD =AD [,]63x ππ∈-52666x πππ-≤+≤max min 3(),()2f x a f x a ∴=+=33022a a a ∴++=⇒=1()1sin(2)62f x x π>⇒+>52226663k x k k x k ππππππππ∴+<+<+⇒<<+Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 1)(>x f {|0}3x x π<<ABCD P -PAC ∆PAC ∆PA EF //PAD EF PAD PA 面面⊄⊂,//EF AD CD ⊥⊥PAD ABCD CD 平面⊂ PAD∴……7分又 ∴平面PDC 平面PAD ……8分（3）过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G∵侧面底面ABCD ，，侧面底面ABCD =AD ∴，即PG 为四棱锥的高 ……9分 又且AD =a ∴ ……10分 ∴ ……12分 21、解：（1）∵椭圆过点，且离心率 ∴ ……2分 解得：, ……4分 ∴椭圆的方程为： ……5分 （2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足． ……6分 若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y 轴所在直线 ∴直线与椭圆的两不同交点M 、N 就是椭圆短轴的端点∴PAD CD 平面⊥PCD CD 平面⊂⊥⊥PAD PAD PG 平面⊂ PAD ABCD PG 平面⊥ABCD P -AD PD PA 22==2a PG =32ABCD ABCD -P 6123131a a a PG S V =⨯⨯=⋅=正方形四棱锥)0(1:2222>>=+b a by a x C )3,2(A 21=e ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222221194c b a a c b a 162=a 122=b 1121622=+y x )4,0(-B l 716=⋅ON OM l )4,0(-B l l )32,0(),32,0(-N M∴ ∴直线的斜率必存在，不妨设为k ……7分∴可设直线的方程为：，即联立 消y 得∵直线与椭圆相交于不同的两点M 、N∴ 得： …… ① ……8分 设∴ ∴ ……9分 又 ∴ 化简得 ∴或，经检验均满足①式 ……10分∴直线的方程为：或 ……11分 ∴存在直线：或满足题意． ……12分22、解：（1）∵函数在处取得极小值2 ∴ ……1分 又 71612)32,0)(32,0(≠-=-=⋅ON OM l l kx y =+44-=kx y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+41121622kx y y x 01632)43(22=+-+kx x k 0)43(164)32(22>+⨯⨯--=∆k k 2121>-<k k 或),(),,(2211y x N y x M 2212214316,4332kx x k k x x +=+=+2221212212143484816)(4)4)(4(k k x x k x x k kx kx y y +-=++-=--=716=⋅ON OM 7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM 12=k 1=k 1-=k l 4-=x y 4--=x y l 04=--y x 04=++y x ),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=1=x ⎩⎨⎧==0)1('2)1(f f 2222222)()(2)()('n x mx mn n x mx n x m x f +-=+-+=∴由②式得m =0或n =1，但m =0显然不合题意∴，代入①式得m =4∴ ……2分经检验，当时，函数在处取得极小值2 ……3分 ∴函数的解析式为 ……4分 （2）∵函数的定义域为且由（1）有 令，解得： ……5分∴当x 变化时，的变化情况如下表： ……7分 x-1 1 —0 + 0 — 减 极小值-2 增 极大值2减 ∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ……8分（3）依题意只需即可．∵函数在时，；在时，且 ∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②① 021m mn n m 1=n 1,4==n m 1,4==n m )(x f 1=x )(x f 14)(2+=x x x f )(x f R 22)1()1)(1(4)('++--=x x x x f 0)('=x f 1±=x )('),(x f x f )1,(--∞)1,1(-),1(+∞)('x f )(x f 1-=x )(x f 1=x )(x f min min )()(x f x g ≤14)(2+=x x x f 0>x 0)(>x f 0<x 0)(<x f 0)0(=f )(x f∴当时，函数有最小值-2 ……9分 又对任意，总存在，使得 ∴当时，的最小值不大于-2 ……10分 又①当时，的最小值为∴得； ……11分 ②当时，的最小值为∴得； ……12分③当时，的最小值为 ∴得或又∵∴此时a 不存在 ……13分 综上所述，a 的取值范围是． ……14分1-=x )(x f R x ∈1]1,1[2-∈x )()(12x f x g ≤]1,1[-∈x )(x g 222)(2)(a a a x a ax x x g -+-=+-=1-≤a )(x g a g 31)1(+=-231-≤+a 1-≤a 1≥a )(x g a g -=1)1(21-≤-a 3≥a 11<<-a )(x g 2)(a a a g -=22-≤-a a 1-≤a 2≥a 11<<-a ),3[]1,(+∞--∞。