等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列

2.2.1 等差数列的概念、通项公式

【学习目标】

1.理解等差数列的定义(重点)；

2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；

3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).

【要点整合】

1. 等差数列的概念

2. 等差中项

如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2

，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2

3. 等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：

(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；

(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；

(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】

题型一 等差数列的概念

例1 判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；

(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；

(3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…；

(5)a，a，a，a，a，….

练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

题型二等差中项

例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.

练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.

题型三等差数列的通项公式及应用

例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

(2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？

（3）等差数列2,5,8,...,107共有项

练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.

(1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a ，2a －1，3－a .

题型四 等差数列的判定

例4若a n ＝7n ＋

2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列.

练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.

2.2.2 等差数列的性质

【学习目标】

1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；

2.能运用等差数列的性质解决有关问题.

【要点整合】

1.等差数列与一次函数

（1）等差数列的图象

等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.

（2）公差d 与斜率

等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m

(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.

2.等差数列的性质

（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…

②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列

若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有

【典例讲练】

题型一等差数列与一次函数的关系

例1 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

练习1若数列{a n}满足a1＝15，3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.

题型二等差数列性质的应用

例2在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.

练习2数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于() A.0 B.3 C.8 D.11

例3已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.

练习3已知{a n}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()

A.10

B.－10

C.15

D.－15